专题六 直线的倾斜角与斜率（B卷-能力提升）解析版

专题六直线的倾斜角与斜率（B卷·能力提升）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：100分考试时间：100分钟题号一二三总分得分注意事项：答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．给出下列结论：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线构成的集合建立了一一映射关系．正确结论的个数()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】由倾斜角α∈[0°，180°)知②错；又平行于x轴的直线的倾斜角是0°，这样的直线有无数条，故③④错；只有①是正确的．2．已知A(1,2eq\r(3)＋1)、B(－1,1)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为()A．1 B．eq\f(\r(3),3) C．eq\r(3) D．不存在【解析】∵kAB＝eq\f(2\r(3)＋1－1,1－－1)＝eq\r(3)，∴直线AB的倾斜角为60°，则直线l的倾斜角为30°.其斜率k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).3．若A(－2,3)、B(3，－2)、C(eq\f(1,2)，m)三点共线，则m的值为()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2) C．－2 D．2【解析】由已知得，kAB＝kAC，∴eq\f(－2－3,3－－2)＝eq\f(m－3,\f(1,2)－－2)，解得m＝eq\f(1,2).[点评]若kAB＝kBC，则A，B，C三点共线；若AB与BC的斜率都不存在(即A、B、C三点横坐标相同)，则A、B、C三点共线．4．已知四点A(－4,2)、B(6，－4)、C(12,6)、D(2,12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD，其中正确结论的序号为()A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解析】直线AB、CD、BD、AC的斜率都存在，因为kAB＝eq\f(－4－2,6－－4)＝－eq\f(3,5)，kCD＝eq\f(12－6,2－12)＝－eq\f(3,5)，kAC＝eq\f(6－2,12－－4)＝eq\f(1,4)，kBD＝eq\f(12－－4,2－6)＝－4，所以kAB＝kCD，kACkBD＝－1，即AB∥CD，AC⊥BD.5．直线l1、l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是()A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直【解析】设方程x2－3x－1＝0的两根为x1、x2，则x1x2＝－1.∴直线l1、l2的斜率k1k2＝－1，故l1与l2垂直．6．已知直线l的倾斜角为20°，直线l1∥l，直线l2⊥l，则直线l1与l2的倾斜角分别是()A．20°，20° B．70°，70° C．20°，110° D．110°，20°【解析】∵l1∥l，∴直线l1与l的倾斜角相等，∴直线l1的倾斜角为20°，又∵l2⊥l，∴直线l2的倾斜角为110°.7．若过点A(2，－2)、B(5,0)的直线与过点P(2m,1)、Q(－1，m)的直线平行，则m的值为()A．－1 B．eq\f(1,7) C．2 D．eq\f(1,2)【解析】kAB＝eq\f(0－－2,5－2)＝eq\f(2,3)，∴kPQ＝eq\f(m－1,－1－2m)＝eq\f(2,3)，解得m＝eq\f(1,7).8．以A(－1,1)、B(2，－1)、C(1,4)为顶点的三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形【解析】kAB＝eq\f(－1－1,2－－1)＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(4－1,1－－1)＝eq\f(3,2).∴kAB·kAC＝－eq\f(2,3)×eq\f(3,2)＝－1，∴AB⊥AC，故选C．9．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)、(6，y)，且l1⊥l2，则y＝()A．2 B．－2 C．4 D．1【解析】∵l1⊥l2且k1不存在，∴k2＝0，∴y＝1.故选D．10．经过两点A(2,1)、B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1【解析】设直线l的倾斜角为α，则kAB＝eq\f(m2－1,1－2)＝tanα＞0．∴1－m2＞0，解得－1＜m＜1．第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分．11．已知在过和的直线上，则的值是________【解析】解：因为在过和的直线上，所以，即，解得，故答案为：.12．若直线与直线平行，则m=___________.【解析】依题意可得，解得，当时，这两条直线重合，所以.故答案为：13．若直线与直线平行，则实数a的值为______.【解析】解：因为与直线平行，所以，解得，故答案为：3.14．经过两点的直线的倾斜角为，则___________.【解析】解：因为过两点的直线的倾斜角为，所以，解得，故答案为：2.15．若直线与直线垂直，则实数的值是____________.【解析】因为直线与直线垂直，所以，得，故答案为：116.已知，直线与直线垂直，则a的值为_______.【解析】a＝0时，化为，化为，两直线垂直，满足题意，当a≠0时，两直线垂直，则.故答案为：0或3.17.设P为x轴上的一点，A(－3,8)、B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为__(－5,0)__．【解析】设P(x,0)为满足题意的点，则kPA＝eq\f(8,－3－x)，kPB＝eq\f(14,2－x)，于是eq\f(8,－3－x)＝2×eq\f(14,2－x)，解得x＝－5．18.已知A(2,1)、B(－1，m)、C(－1,3)，若△ABC为直角三角形，则m的值为__1或－eq\f(7,2)__.【解析】画出A，C两点，由于B，C两点横坐标都是－1，所以C不可能为直角．当∠B为直角时，由于B、C两点横坐标相同，故A、B两点纵坐标相等，可得m＝1；当∠A为直角时，由kAC·kAB＝eq\f(3－1,－1－2)·eq\f(m－1,－1－2)＝eq\f(2,9)(m－1)＝－1.得m＝－eq\f(7,2).故答案为1或－eq\f(7,2).19．直线l1、l2的斜率k1、k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝__2__；若l1∥l2，则b＝__－eq\f(9,8)__.【解析】当l1⊥l2时，k1k2＝－1，∴－eq\f(b,2)＝－1.∴b＝2.当l1∥l2时，k1＝k2，∴Δ＝(－3)2＋4×2b＝0.∴b＝－eq\f(9,8).20．已知直线l的斜率的绝对值为，则直线的倾斜角为________．【解析】解：由题意知直线的斜率k＝或k＝－，所以直线的倾斜角的大小为60°或120°.故答案为：60°或120°.评卷人得分解答题：本题共3小题，共30分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.21．（10分）判断下列各题中的直线l1、l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)、B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)、Q(2,1)；(2)l2经过点A(3,4)、B(3,6)，l2经过点P(－5,20)、Q(5,20)；(3)l1经过点A(2，－3)、B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)、D(4,2)．【解析】(1)直线l1的斜率k1＝eq\f(2－－2,1－－1)＝2，直线l2的斜率k2＝eq\f(1－－1,2－－2)＝eq\f(1,2)，因为k1·k2＝1，所以l1与l2不垂直．(2)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝eq\f(20－20,5－－5)＝0，所以l1⊥l2.(3)直线l1的斜率k1＝eq\f(1＋3,－1－2)＝－eq\f(4,3)，直线l2的斜率k2＝eq\f(2－－1,4－0)＝eq\f(3,4)，因为k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.22．（10分）已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．若l1⊥l2，求a的值.[分析]由直线垂直的条件求解，注意斜率不存在的情况．【解析】设直线l2的斜率为k2，则k2＝eq\f(2－a＋2,1－－2)＝－eq\f(a,3).①当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－eq\f(4,3)，不符合题意；②当a≠4时，l1的斜率存在，此时k1＝eq\f(2－a,a－4).由k1·k2＝－1，得－eq\f(a,3)·eq\f(2－a,a－4)＝－1，解得a＝3或a＝－4.∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.23.（10分）已知A(－4,3)、B(2,5)、C(6,3)、D(－3,0)四点，若顺次连接A、B、C、D四点，试判定图形ABCD的形状.[思路分析]先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【解析】由题意知A、B、C、D四点在坐标平面内的位置，如右图，由斜率公式可得kAB＝eq