北京16年高考数学试卷

北京16年高考数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，则其定义域为：

A.$\{x|x≠1\}$，B.$\{x|x≠0\}$，C.$\{x|x≠±1\}$，D.$\{x|x≠0，x≠1\}$

2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,3)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为：

A.5，B.7，C.9，D.11

3.在三角形ABC中，$\angleA=\frac{\pi}{3}$，$\angleB=\frac{\pi}{4}$，则$\angleC$的度数为：

A.30°，B.45°，C.60°，D.75°

4.若$a+b=4$，$ab=3$，则$a^2+b^2$的值为：

A.7，B.9，C.11，D.13

5.已知等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_3=9$，则该数列的公差为：

A.2，B.3，C.4，D.6

6.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，则$f'(1)$的值为：

A.2，B.3，C.4，D.5

7.若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_3=8$，则该数列的公比为：

A.2，B.4，C.8，D.16

8.在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-3,4)，则线段AB的中点坐标为：

A.(-1,2)，B.(1,3)，C.(2,2)，D.(3,1)

9.若复数$z=3+4i$，则$|z|$的值为：

A.5，B.6，C.7，D.8

10.在等腰三角形ABC中，若底边BC=6，腰AB=8，则顶角$A$的度数为：

A.30°，B.45°，C.60°，D.75°

二、判断题

1.向量$\vec{a}=(1,2)$与向量$\vec{b}=(2,1)$的夹角余弦值为$\frac{1}{\sqrt{5}}$。（）

2.函数$f(x)=x^3$在区间$(-\infty,+\infty)$上单调递增。（）

3.在直角坐标系中，点A(1,1)关于x轴的对称点坐标为A'(1,-1)。（）

4.等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1=5$，$d=3$，则$a_6=21$。（）

5.若复数$z=3-4i$，则$z$的共轭复数$\overline{z}=3+4i$。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=\sqrt{2x+3}$的定义域为$[0,+\infty)$，则常数$k$的值为______。

2.向量$\vec{a}=(3,-4)$与向量$\vec{b}=(-2,3)$的夹角余弦值为______。

3.在直角坐标系中，点P(2,3)到原点O的距离为______。

4.等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_4=10$，则该数列的公差$d$为______。

5.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}$的定义域为______。

四、简答题

1.简述函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$的图像特征，包括其定义域、值域、单调性、极值以及对称性等。

2.请给出一个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像，并说明如何通过该图像来判断该二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=50$，$S_8=90$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$。

4.设向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec{b}=(2,-3)$，请证明向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$是垂直的。

5.简述解一元二次方程$x^2-5x+6=0$的步骤，并给出该方程的解。

五、计算题

1.计算定积分$\int_0^2(3x^2-2x+1)dx$。

2.解不等式$2x^2-5x+3<0$，并画出解集的图像。

3.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，求该数列的前10项和$S_{10}$。

4.若复数$z=2+3i$，求$|z|$和$z$的共轭复数$\overline{z}$。

5.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f'(x)$，并计算$f'(1)$的值。

开篇直接输出：

六、案例分析题

1.案例分析题：某中学开展了一项“绿色校园”活动，旨在提高学生的环保意识。请结合可持续发展的理念，分析该活动对学生、学校和社会可能产生的影响。

2.案例分析题：某企业为了提高员工的工作效率，决定对工作流程进行优化。请分析以下问题：

（1）企业应该如何确定优化工作流程的目标？

（2）在优化过程中，企业可能面临哪些挑战？

（3）如何评估优化工作流程的效果？

七、应用题

1.应用题：某班级有学生50人，成绩分布如下：60-70分的有15人，70-80分的有20人，80-90分的有10人，90-100分的有5人。请计算该班级的平均成绩，并求出成绩在70-80分区间的学生的比例。

2.应用题：一个长方形的长是宽的两倍，且长方形的周长为20cm。请计算长方形的长和宽。

3.应用题：某工厂生产一批产品，已知生产该批产品的固定成本为2000元，每件产品的可变成本为10元，售价为15元。如果生产1000件产品，请计算该批产品的总利润。

4.应用题：一个圆锥的底面半径为r，高为h。请计算该圆锥的体积V，并说明当底面半径和高分别为2r和2h时，体积V如何变化。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.C

2.A

3.D

4.B

5.A

6.C

7.B

8.A

9.A

10.D

二、判断题答案：

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案：

1.2

2.$\frac{7}{\sqrt{29}}$

3.$\sqrt{13}$

4.3

5.$\{x|x≠2\}$

四、简答题答案：

1.函数$f(x)=\frac{1}{x^2-1}$的图像特征如下：

-定义域为$\{x|x≠±1\}$；

-值域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$；

-单调性：在$(-\infty,-1)$和$(1,+\infty)$上单调递减，在$(-1,1)$上单调递增；

-极值：在$x=-1$处取得极大值$f(-1)=1$，在$x=1$处取得极小值$f(1)=1$；

-对称性：关于y轴对称。

2.二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像特征如下：

-开口方向：当$a>0$时，图像开口向上；当$a<0$时，图像开口向下；

-对称轴：对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$；

-顶点坐标：顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},f(-\frac{b}{2a}))$。

3.等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1$和公差$d$的求解如下：

-$S_5=50$，即$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=50$；

-$S_8=90$，即$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8=90$；

-由$S_5$和$S_8$可得$3a_6=40$，因此$a_6=40/3$；

-公差$d=a_6-a_5=40/3-50/3=-10/3$；

-首项$a_1=a_6-5d=40/3+50/3=90/3=30$。

4.向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$垂直的证明如下：

-向量$\vec{a}=(3,4)$，$\vec{b}=(-2,3)$；

-向量点积$\vec{a}\cdot\vec{b}=3*(-2)+4*3=6$；

-由于$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，因此向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$垂直。

5.一元二次方程$x^2-5x+6=0$的解法如下：

-分解因式：$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$；

-解得$x_1=2$，$x_2=3$。

五、计算题答案：

1.$\int_0^2(3x^2-2x+1)dx=(x^3-x^2+x)\bigg|_0^2=8-4+2=6$。

2.设长方形的长为l，宽为w，则$l=2w$，且$2l+2w=20$。解得$l=10$，$w=5$。

3.总利润=（售价-可变成本）×产量-固定成本=（15-10）×1000-2000=5000元。

4.圆锥体积V的计算公式为$V=\frac{1}{3}\pir^2h$。当底面半径和高分别为2r和2h时，新体积$V'=\frac{1}{3}\pi(2r)^2(2h)=\frac{8}{3}\pir^2h=8V$，体积变为原来的8倍。

六、案例分析题答案：

1.“绿色校园”活动对学生、学校和社会的影响如下：

-学生：增强环