4.3 任意角的三角函数

授课题目4.3任意角的三角函数选用教材高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长3课时授课类型新授课教学提示角的三角函数值的符号．教学目标αα0π余弦值，逐步提升逻辑推理和数学运算等核心素养．教学重点任意角三角函数的定义及应用．教学难点αα终边上点的选取无关；各象限的角的三角函数值的符号的推断．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图引入三角函数是基本初等函数之一，在研究三角形、圆和其他多边形等几何图形的性质时有导航、工程学以及物理学等方面都有广泛的应用.讲解介绍倾听思考介绍知识背景情境导入4.3.1任意角的三角函数定义在义务教育阶段，我们学习了锐角三角函数.sinA角A的对边BC，斜边 ABcosA角A的邻边AC，斜边 ABtanA角A的对边BC.角的邻边 AC弦函数、正切函数等三角函数如何定义呢？ 引导提问启发指导回忆思考作答交流借助原有为新知学习知识做好铺垫，体会从特殊到一般的思想方法探索新知α为平面直角Oxy中的任意一个角,在其终边上任取O不重合的一点P(x,y),则|OM|＝|x|, |MP|＝PO的距离OP＝r＝x2y2r＞0.由相似三角形的性质可知：比值yxyr r x(x≠0)α的大小,Pα终边上的位置无关.因此，对任意角α义：yα的正弦，即sin＝y，r r讲解说明介绍观察思考理解将锐角三角形中的三条边与点的坐标对应起来，帮助学生更加直观认识问题感受发现的乐趣xα的余弦，即cos＝x，r ryα的正切tanα，即tan＝yx(x≠0)．

x 引导 思考cosαα为自变量的函数，分别称为函数与余弦函数R．当+kkZPx=0，2tanαtanαα为自变量的函数，称为正切函数，其定义域为

+kkZ．2 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．例1已知角α的终边经过点P(−4,3),求角α 提问 思的正弦、余弦和正切．解因为x＝−4，y＝3，所以 引导 分r＝(−4)2+32＝5．

直接利用定义求三角函数值由三角函数的定义，得

y 讲解 解

加强对y 3例题 sinα＝r＝5，辨析 x 4

P(−4，3)

32 强调 交1

定义的理解x−1−2−3cosα＝r＝−5，x−1−2−3y 3 −4 Otanα＝x＝−4．例2求终边在射线y=2x(x≥0)上的角的正弦、余弦和正切.解在射线y=2x(x≥0)上取点P(1，2)，则x=1，提问 思

示例求特殊角三角函数提升直观想y=2，r=12225．所以sin=y=2=25，r 5 5cos=x=1=5，r 5 5tan=y=2=2.x 1温馨提示由三角函数的定义可知,角α值只与这个角有关,P在角置无关．因此,点P便．探究与发现α为第四象限角，其终边上的一个点Px5，且cos=2xsinαtanα4的值．引导讲解强调说明强调分析解决交流理解体会象核心素养理解三角函数是以实数为自变量的函数巩固练习练习4.3.1αP的坐标如下,求出角α的正弦、余弦和正切.(1) (4,3)； (2)(2,0)； (3)(0,1)(4) (−12,5)； (5)(1,−2).已知角α的终边经过点(a,−1)，且tan=1，求a的值．2α为第二象限角,P的横坐标为−8, |OP|＝10.求角α的正弦、余弦和正切值．提问巡视指导思考交流通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺4.已知角α的终边在射线y=−3x(x≥0)上,求角的正弦、余弦和正切.引入4.3.2单位圆与三角函数1的圆称为单位圆O为圆心，1像的绘制都有极为重要的作用．讲解倾听为新知学习做铺垫在单位圆上,角的终边与单位圆的交点P的坐标可以用角的三角函数表示吗？结合单提问思考位圆与三角函情境导入启发作答数引发学生思考引导交流角的终边与单位圆相交于点P(x,y),则r=|OP|=1,由正弦函数和余弦函数的定义,得sinα=yyy，cosα＝xxx．r 1 r 1由此可知，角的终边与单位圆的交点P的坐标可以表示为(sin,cos).一般地,α的终边与单位圆的交点为P(x,y),那么讲解理解发现规律体会数形结说明记忆合思想方法新知探索启发体会cosα=x，sinα=y，tanα=yx0.xPxy们可以确定当角α的终边在不同的象限时，sinα，cosαtanα的符号．探究与发现30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表为 .60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表为 .120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为 .结合坐标轴记示思考忆和总结更加生动提总结升直观规律想象核心素养引发交流思考讨论例3求90°角的正弦、余弦和正切.提问思考数形结解 90°角的终边与单位圆的角的交点坐标为合加深(0,1)，体会利所以sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在.引导解决用单位例题辨析讲解交流圆求界限角的三角函数适时总结加深温馨提示认识0°180°270°360°提示填写正切值.总结表格提提例4 判断下列各三角函数值的符号.(1)sin(－325°)； (2)cos35(3)tan4252°； (4)sin19．6解 (1)因为－325°＝35°－360°，所以－325°角是第一象限角，故sin(－325°)＞0；(2)因为3弧度的角是第二象限角,所以5cos3＜0；5(3)因为4252°＝292°11×360°，所以4252°角是第四象限角，因此tan4252°＜0；(4)因为＝，所以弧度的角6 6 6是第三象限角，故sin＜0．6例5 已知cos＞0,且tan＜0,试确定角是第几象限角．解 因为cos＞0,所以角可能是第一或第四象限角,也可能终边在x轴的正半轴上.又因为tan＜0，所以角可能是第二或第四象限角．故满足cos＞0且tan＜0的角是第四象限角．探究与发现利用单位圆求 弧度的角的正弦、余弦和3正切值．示例如提问思考何确定已知角的三角引导分析函数值的符号讲解解决强调交流逆向思维问题提问思考培养学生逻辑引导分析推理能力讲解解决强调交流引发尝试思考解决巩固练习4.3.2练习判断下列三角函数值的符号：(1)sin156°； (2)cos； (3)cos5（−440°）；(4)tan； (5)sin2； 8 (6)tan556°．计算：(1)7cos270°+12sin0°+2tan0°−8cos180°；(2)5cos180°−3sin90°+2tan0°−6sin270°；(3)cos−tan0+tan²π−sin+cosπ．2 3 2求下列各角的正弦、余弦和正切值．(1)； (2)−．6 4sinθ＜0