聚焦一致性的数与运算教学策略

新课程标准对小学数学“数与运算”主题内容的教学要求是：“初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。”如何在教学中落实新课程标准的上述要求呢？一、立足计数单位，明确数与运算一致性的内涵从数的意义看，对于整数、小数和分数，我们都可以从计数单位及其个数的角度加以认识。具体来说，整数、小数、分数都可以看作由若干计数单位组成的数，如8由8个一组成，0.8由8个0.1组成，[89]由8个[19]组成。学生理解了整数、小数、分数基于计数单位表达的一致性，也就打通了整数、小数、分数的概念，感悟到数的概念本质上的一致性。从运算的意义看，无论是整数、小数还是分数，其四则运算的意义都一致。整数、小数、分数加减法的算法虽有不同，但从算理看，无论是整数加减运算的相同数位对齐、小数加减运算的小数点对齐，还是分数加减运算的先通分再计算，其背后的道理都是相同计数单位的个数相加减。同时，整数、小数、分数的四则运算都是以加法为基础的计数单位及其个数的变化：加法是计数单位的累加，减法是计数单位的减少，乘法是计数单位的倍增，除法是计数单位的细分。此外，现行的各版本数学教材都是先编排整数的四则运算内容，再逐步编排小数、分数的四则运算内容，这体现了数的运算学习路径的一致性。可见，整数、小数、分数的概念都是对计数单位及其个数的描述，它们的四则运算本质上都是计数单位个数的增减。因此，小学阶段“数与运算”主题内容是一个有机的整体，具有高度的一致性。二、锚定核心概念，统领数与运算一致性的教学“数与运算”的核心是计数单位，计数单位应作为核心概念在相关的运算教学中发挥统领作用，以促进学生对数的运算本质上一致性的理解。下面以《异分母分数加减法》的教学为例做具体阐释。教学《异分母分数加减法》时，教师可以设计几道计算题，如51+73，0.34-0.12，[15]+[35]，引导学生经历如下探究过程：①说一说每个式子中的数字1和3分别表示什么；②算一算这些题目；③想一想它们在计算上有哪些共同点。这3道题分别指向整数、小数、同分母分数三种类型的加减法，通过说一说和算一算，学生可以发现：在51+73中，数字1和3的计数单位都是“一”，相同计数单位的个数可以直接相加，和为4个一，数字5和7与此情况相同；在0.34-0.12中，数字3和1都在十分位上，可以直接相减，其他相同数位上的数字与此情况相同；在[15]+[35]中，1和3分别表示两个加数中[15]这个计数单位的个数，因为计数单位相同，所以可以直接相加得到4个[15]，即和为[45]。基于此，学生不难发现这三种类型加减法运算的共同点——相同计数单位的个数相加减。通过这些题目，学生能够切实感知计数单位在加减运算中的核心地位，理解整数、分数、小数的加减运算都要在相同计数单位下进行，初步体会到整数、小数、分数加减运算的一致性。接下来教学例题[16]+[14]，教师可以先放手让学生基于已有的运算经验自主尝试计算，然后出示如下几种典型计算方法（包括正确的和错误的），引导学生通过对比分析掌握异分母分数加减法的算理和算法，加深对数的运算一致性的理解。方法一：[16]+[14]=[1+16+4]=[210]=[15]方法二：[16]≈0.17，[14]=0.25，[16]+[14]=0.42方法三：[16]+[14]=[424]+[624]=[1024]=[512]方法四：[16]+[14]=[212]+[312]=[512]通过初步检验，学生可以发现：方法一得出的和是[15]，它小于其中一个加数[14]，显然是错误的。通过观察方法一，学生会发现：这种算法错在没有把两个分数的计数单位统一后相加，而是直接用分子加分子得出和的分子，直接用分母加分母得出和的分母。分析方法二时，学生可以在教师的引导下总结得出：这种算法运用了转化的思想方法，把分数加法转化为学过的小数加法计算，计算过程做到了把相同计数单位的个数合起来，但是其中一个加数取了近似数，导致最后的计算结果不是准确数，所以不能算作正确。同时，教师要指出，如果把算式中的[16]改为一个可以化成有限小数的分数，如[15]，这种方法也是可取的。对于方法三和方法四，学生可以通过交流得出这两种算法都运用了转化的思想方法，结果都是正确的，其共同点是先统一计数单位，即先把异分母分数加法转化为同分母分数加法，再把相同计数单位的个数合起来得出结果，只不过方法四选择用[112]作为计数单位，其计算结果无需化简，与方法三相比更简洁一些。类似的，在《小数加减法》的教学中，教师可以分组呈现“25+135，0.25+1.35”“32+165，3.2+1.65”“320-165，3.2-1.65”“400-165，4-1.65”等题目，引导学生经历“尝试计算—对比辨析—明确算理—归纳算法”的学习过程，通过对比分析明确整数加减运算与小数加减运算的一致性：小数加减运算中的小数点对齐与整数加减运算中的相同数位对齐都是为了保证相同数位上的数字相加减，也就是保证相同计数单位的个数相加减。在计数单位这个核心概念的统领下，整数、小数、分数的乘法运算也具有一致性——都是计数单位相乘得到积的计数单位，计数单位的数量相乘得到积的计数单位的数量。例如：60×700=（10×100）×（6×7）；0.6×0.07=（0.1×0.01）×（6×7）；[67]×[78]=（[17]×[18]）×（6×7）。统一计数单位后，整数、小数、分数的除法运算也具有一致性——都是用计数单位的数量相除。例如：90÷20=（9×10）÷（2×10）=9÷2；9÷0.2=（90×0.1）÷（2×0.1）=90÷2；[59]÷[12]=（10×[118]）÷（9×[118]）=10÷9总之，锚定计数单位这个核心概念进行对比教学，有助于学生借助转化的思想方法深入体会整数、小数、分数四则运算的一致性，而不只是机械记忆和积累碎片化的运算知识与技能。三、融通算理算法，强化数与运算一致性的认知除法是在学生不同程度地学习了加法、减法和乘法的基础上分阶段教学的，它既是相同数连减的简便运算，又是乘法的逆运算，其试商与调商过程不断地用到乘法。除法相关知识的教学能有效促进学生深入理解数的运算一致性，增强运算能力和推理意识。下面以小数除法的起始课《除数是整数的小数除法》例1教学为例展开分析。在学习《除数是整数的小数除法》之前，学生已经学习了整数除法，掌握了其算法模型“一商、二乘、三减”。教学《除数是整数的小数除法》例1时，教师可以引导学生在理解算理的基础上，先按照整数除法的算法模型自主探究这类小数除法的算法，然后通过对比，发现整数除法与除数是整数的小数除法本质上都是不断细分计数单位且分完为止，以深化学生对除法运算一致性的理解。具体来说，教师可以先出示热身题224÷4，让学生回顾整数除法的计算方法。算法是程序性知识，学生能够比较容易地归纳出“一商、二乘、三减”的整数除法算法模型。接着，教师可以改编教材例1“4周跑步22.4千米，平均每周应跑多少千米”的情境，呈现“买4本同样的书一共用22.4元，每本书多少钱”的问题。这样改编有利于启发学生通过实物操作体会不断细分计数单位的过程，或者将“22.4元”转化为“224角”后探究计算结果，因为元、角之间的进率是10，与整数、小数相邻计数单位之间的进率相同，这种转化不仅能为计算提供方便，还能从不同视角体现整数除法与小数除法的联系。在学生列出算式22.4÷4后，教师可以为学生提供小棒、方格图等自主探究材料，并给出如下探究支架：①估一估，每本书的价格可能在哪两个整数之间；②算一算，运用已有的知识尝试列竖式计算这道题；③说一说，这道题与整数除法224÷4在计算上有哪些异同点。估一估旨在增强学生的估算意识；算一算旨在锻炼学生迁移运用已有知识解决新问题的能力，并渗透转化思想；说一说旨在引导学生在操作小棒、细分方格图表征除的过程的基础上，对比两个竖式的异同点（如图1所示）。通过自主探究、小组交流，学生可以总结：22.4÷4的计算方法是先分22个一，商是5个一，就把5写在商的个位上，剩下的2个一与4个十分之一合起来得到24个十分之一，接着把它平均分成4份，每份是6个十分之一，就把6写在商的十分位上；224÷4的计算方法是先分22个十，再分24个一，这样就分完了。通过对比分析，学生可以发现两道题的算理完全一致，不同点在于具体算法，即计算除数是整数的小数除法时，被除数的整数部分除完以后，要在商的个位后面点上小数点，再按照整数除法的计算方法接着除。最后，学生在教师的点拨下可以归纳出计算除数是整数的小数除法的关键点：按照整数除法的计算方法计算；注意商的小数点要