浙江省宁波市2025届高三上学期11月一模仿真数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省宁波市2025届高三上学期11月一模数学仿真试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣2x≥0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{2} C．{﹣1，0，2} D．{0，1，2}【答案】C【解析】由x2﹣2x≥0，得x≤0或x≥2，所以B＝{x|x≤0或x≥2}，因为A＝{﹣1，0，1，2}，所以A∩B＝{﹣1，0，2}．故选：C．2．已知复数z=ai+2i1+i(a∈R)A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】B【解析】∵z=ai+2i1+i=ai+2i(1-i)(1+i)(1-i)=ai+i+1=1+(a+1)i是实数，∴3．已知平面向量a→，b→满足(3a→-2bA．92 B．152 C．7 D【答案】C【解析】∵平面向量a→，b→满足∴15a→2-7a∴15-1-2|b→|4．已知A（﹣2，0），B（4，0），在直线l：4x+3y+m＝0上存在点P，使PA⊥PB，则m的最大值是（）A．9 B．11 C．15 D．19【答案】B【解析】∵A（﹣2，0），B（4，0），∴以AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+y2＝9，∵在直线l：4x+3y+m＝0上存在点P，使PA⊥PB，∴直线l与圆有公共点，∴圆心到直线的距离小于等于半径，即d=|4+m|42+32≤3故m的最大值为11．故选：B．5．（1﹣x2）（1+x）5的展开式中x4的系数为（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10【答案】A【解析】（1+x）5的展开式通项为Tr+1=C5rxr，r则（1﹣x2）（1+x）5的展开式中x4项为C5所以（1﹣x2）（1+x）5的展开式中x4的系数为C54-6．袋子中有n个太小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16A．518 B．49 C．59 【答案】C【解析】袋子中有n个太小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，摸出的2个球都是红球的概率为16，则4解得n＝9或n＝﹣8（舍），则两次摸到的球颜色不相同的概率为：P=59×7．若a=2A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】B【解析】令f(x)=lnxx，则当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，e）上单调递减；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）在（e，+∞）上单调递增，∵a=2，∴lna=12ln2=ln44=f(4)∴f（e）＞f（4），即lnb＞lna，故b＞a，∵b=e1e故c=36＞3，即c＞b，综上所述a＜b＜8．假设变量x与变量Y的n对观测数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），两个变量满足一元线性回归模型Y=bx+e，E(e)=0，D(e)=σ2．要利用成对样本数据求参数b的最小二乘估计A．b̂=n∑i=1xiyin∑i=1C．b̂=n∑i=1xiyin【答案】A【解析】因为Q(a=b上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为b̂=i=1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（）A．若随机变量X服从正态分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝0.2B．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 C．若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为ŷ=0.3x-m，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m【答案】ACD【解析】对于选项A：若随机变量X服从正态分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，则P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣0.5＝0.2，故选项A正确；对于选项B：已知一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22，该组数据共有10个数，因为10×60%＝6，所以第60百分位数为14+162=15，故选项对于选项C：若线性相关系数|r|越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C正确；对于选项D：已知线性回归方程为ŷ因为样本点的中心为（m，2.8），所以2.8＝0.3m﹣m，解得m＝﹣4，故选项D正确．故选：ACD．10．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x），且f'（x）＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），x1＜x2，则（）A．x2是函数y＝f（x）的一个极大值点 B．f（x1）＜f（x2） C．函数y＝f（x）在x=x1+2xD．f(【答案】AB【解析】令f'（x）＞0，解得x1＜x＜x2，令f'（x）＜0，解得x＞x2或x＜x1，则f（x）在（x1，x2）上单调递增，在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上单调递减，故x2是函数y＝f（x）的一个极大值点，f（x1）＜f（x2），A、B正确；∵x1＜x1+2x23＜x2，则f又∵x1＜x1+x211．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，动点P在C上，若定点M(2，3)满足|MF|＝2|A．C的准线方程为x＝﹣2 B．△PMF周长的最小值为5 C．四边形OPMF可能是平行四边形 D．FM→⋅【答案】BD【解析】抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（p2，0），准线方程为x=定点M(2，3)满足|MF|＝2|OF|，可得(2-p2故C的准线方程为x＝﹣1，故A错误；设P（m，n），P在准线上的射影H，可得|PM|+|PF|＝|PH|+|PM|≥|MH|＝2+1＝3，当P，M，H共线时，△PMF周长取得最小值为3+|MF|＝3+2＝5，故B正确；若四边形OPMF是平行四边形，可得PM∥OF，PM＝OF，即有n=3n2=4m，解得P（34，3），|PM|＝2-3设P（m，n），可得n2＝4m，FM→•OP→=（1，3）•（m，n）＝m+3n=n24+3n=14（n+23）2﹣3，当n＝﹣故选：BD．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知sin(3x-π3)-2sinxcos(2x-【答案】-7【解析】sin(3x-则sin(3x-则cos(2x+π故答案为：-713．已知f(x)=2x+a2x为奇函数，g(x)=lo【答案】-【解析】由f(x)=2x+a2x为奇函数，可得f（0∴a＝﹣1，∵g(x)=log∴g（﹣x）＝g（x），∴log2整理可得，2bx＝2x，∴b＝1，∴f（ab）＝f（﹣1）=故答案为：-314．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（1，﹣1），点P为圆（x﹣4）2+y2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则S1S2的最小值是【答案】2-【解析】S△OAPS△OBP显然，当OP与圆C：（x﹣4）2+y2＝4相切时，比值最小．在Rt△OPC中，OC＝4，CP＝2，∴∠COP＝30°，结合A，B两点坐标，易知∠AOP＝15°，∠BOP＝75°，∴sin∠AOPsin∠BOP=sin15°sin75°＝tan15°＝2-四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin2A+sin2C＝sin2B+sinAsinC．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为3，求a+c的最小值，并判断此时△ABC的形状．解：（1）由正弦定理得a2+c2＝b2+ac，又由余弦定理得cosB=a因为B是三角形内角，所以B=π（2）由三角形面积公式得：S△ABC=12acsinB=因为a+c≥2ac=4，当且仅当a＝所以a+c的最小值为4，此时△ABC为等边三角形．16．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SA⊥底面ABCD，E为SB的中点，且SA＝AB＝BC＝1，AD=1（1）求证：AE⊥平面SBC；（2）求四棱锥S﹣ABCD体积；（3）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值．（1）证明：∵SA⊥平面ABCD，∴平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，CB⊥AB，CB⊥平面SAB，又AE⊂平面SAB，∴AE⊥BC，∵AS＝AB，E为SB中点，∴AE⊥SB，SB∩BC＝B．∴AE⊥平面SBC．（2）解：VS-ABCD（3）解：以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线为坐标轴建立如图所示平面直角坐标系，得A(0，设平面SDC的法向量为n→则n→⋅SC→=0n→⋅SD→=0∴n→=(2，-1，1)，平面SAB的法向量为AD→∴cos，令平面SAB和平面SCD所成的二面角为θ，∴cosθ=617．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，且点M到抛物线的准线距离的最小值为2．（1）求抛物线C的方程；（2）设抛物线在A，B两点的切线相交于点Q，求点Q的横坐标．解：（1）由题知直线l的斜率不为0，设直线l：联立x=my+p得y2﹣2pmy﹣p2＝0，则Δ＝4p2m2+4p2＞0，y1由抛物线的定义，知点M到抛物线准线的距离d=1所以当m＝0时，dmin＝p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．（2）由题易知抛物线在A，B两点处的切线与坐标轴不垂直，设在点A（x1，y1）处的切线方程为l1：x﹣x1＝n（y﹣y1），即x＝ny+x1﹣ny1，联立x=ny+x得y2﹣4ny﹣4x1+4ny1＝0，则Δ＝16n2+16x1﹣16ny1＝0，即4n解得n=y所以l1即y=2(x-同理可得抛物线在点B（x2，y2）处的切线方程为l2设Q（x0，y0），由y=2(x+得x0由（1）知y1所以x0＝﹣1，所以点Q的横坐标为﹣1．18．已知函数f(x)=x-12ax（Ⅰ）求f（x）在x＝0处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＝0时，证明：f（x）＞x﹣ex﹣1．（Ⅰ）解：f'因为f'（0）＝0，f（0）＝0，所以f（x）在x＝0处的切线方程为y＝0．（Ⅱ）解：f'（i）当a＝0时，f'(x)=xx+1≥0在[0，+∞）恒成立，所以f（x所以f（x）在[0，+∞）的最小值为f（0）＝0，不符合题意（舍）．（ⅱ）当0＜a＜1时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1-aa；令f'（x所以f（x）在(0，1-aa又f（0）＝0，所以存在x∈(0，1-aa)，使得（iii）当a≥1时，f'（x）≤0在[0，+∞）恒成立，所以f（x）在[0，+∞）单调递减，则f（x）在[0，+∞）的最大值为f（0）＝0，符合题意．综上所述，实数a的取值范围为[1，+∞）．（Ⅲ）证明：当a＝0时，要证f（x）＝x﹣ln（x+1）＞x﹣ex﹣1，需证g（x）＝ex﹣1﹣ln（x+1）＞0，g'(x)=ex-1-又g'（0）＝e﹣1﹣1＜0，g'所以，存在x0∈（0，1），使得g'（x0）＝0，即ex故当x∈（﹣1，x0）时，g'（x0）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g'（x0）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（﹣1，+∞）的最小值为g(x由ex0-1=1x0+1，得﹣ln（x所以g(x)≥故当a＝0时，f（x）＞x﹣ex﹣1得证．19．把一个无穷数列{an}从第2项起，每一项减去它的前一项，得到一个新数列，此数列叫做原数列{an}的1阶差数列．对1阶差数列作同样的处理得到的数列叫做原数列{an}的2阶差数列，如此类推，可得到原数列{an}的K阶差数列．如果一个数列{an}的K阶差数列是由一个非零常数D组成的常数数列，则称这个数列{an}为K阶等差数列，非零常数D叫做数列{an}的K阶公差．例如，原数列：14，24，34，44，54，64，74，…1阶差数列：15，65，175，369，671，1105，…2阶差数列：50，110，194，302，434，…3阶差数列：60，84，108，132，…4阶差数列：24，24，24，…所以原数列为4阶等差数列，24为该数列的4阶公差．已知数列{an}是2阶等差数列，2阶公差为1，且a1＝1，a2＝2．（1）已知数列{bn}是数列{an}的1阶差数列，求数列{bn}的通项；（2）求数列{an}的通项公式；（3）数列{cn}的前n项和为Sn，c1＝1，cn=1an-1(n≥2)，证明：（1）解：根据题意，数列{an}是2阶等差数列，2阶公差为1，而数列{bn}是数列{an}的1阶差数列，则数列{bn}是公差为1的等差数列，又由a1＝1，a2＝2，