上海市闵行区2025届高三上学期学业质量调研数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市闵行区2025届高三上学期学业质量调研数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.设集合，，则______．【答案】【解析】因为，，所以.故答案为：2.不等式的解集为______．【答案】【解析】不等式等价于，解得，所以不等式的解集为.故答案为：3.直线的倾斜角为______．【答案】【解析】设直线的倾斜角为．由直线化为，故，又，故，故答案为．4.已知正实数、满足，则的最小值为______．【答案】2【解析】正实数、满足，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2.故答案为：25.已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为______．【答案】【解析】因为圆锥的高为8，底面半径为，所以圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积.故答案为：.6.的二项展开式中，项的系数为______．【答案】28【解析】在的二项展开式中，含的项为，所以项的系数为28.故答案为：287.已知函数为奇函数，则______.【答案】【解析】因为函数为奇函数，当时，所以.故答案为：8.从10名数学老师中选出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为______．【答案】144【解析】依题意，安排老师甲有种，从除甲外的9名老师中任选2人并安排值班有种.所以不同的值班安排方法种数为（种）.故答案为：1449.已知（i为虚数单位，为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为______．【答案】6【解析】依题意，，，则，因此，，所以的值中不同虚数有：，共6个.故答案为：610.已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则______．【答案】【解析】椭圆，则、，设Ax0,y0即，又，解得，不妨取，则的方程为，由，解得或，所以，所以，，所以.故答案为：.11.如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为______平方米．（结果保留整数）【答案】137【解析】设游乐区所在的三角形为，在线段上，在线段上，如图所示，当分别于圆弧相切时，取得最大值，由对称性，只讨论，设与圆弧相切于点，连接，设，因为≌，≌，则，，因为，所以，，，，所以，因为，所以，令，则，则，当且仅当，即时等号成立，所以平方米，即该游乐区面积的最大值为137平方米．故答案为：137.12.已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为，所以，，因为，所以，所以，即，，所以，当且仅当时，成立，所以，必要条件：，解得；若，即时，必然成立；若，因，，不妨设，则，，且，所以，，所以①，②，①②两式联立得，即，所以，又，所以，，当时，，不符合条件；当时，，则，此时；当时，，则或，此时或，因为，所以；综上，或，所以的取值范围是.故答案为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（）．A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交，反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线，所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件.故选：A14.下列函数中，在区间上是严格减函数的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，函数在上是严格增函数，A不是；对于B，函数在上是严格减函数，B是；对于C，函数在上是严格增函数，C不是；对于D，当时，在上是严格增函数，D不是.故选：B.15.设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】对于A，若，，由，解得，显然，令方程的根为，，当时，，当时，，而当时，，当时，，取，则，A不是；对于B，当为第二象限时，，，取，，则，B不；对于C，当为第三象限时，，取，，，C不是；对于D，当为第四象限时，，，则，当为第四象限时，，D正确.故选：D16.已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题：①对于任意的，任意的，都有是严格增数列；②对于任意的，存在，使得是严格减数列．以下说法正确的为（）A.①真命题；②假命题 B.①假命题；②真命题C.①真命题；②真命题 D.①假命题；②假命题【答案】A【解析】对于①，时，，，时，；时，，也有，故①为真命题.对于②，时，，，当时，，，不严格递减；当时，，，不严格递减；当时，，若，则，同理当时，，则存在，使得，则，，不严格递减.综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题.故选：A.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.在直三棱柱中，，，，连接，、分别为和的中点．（1）证明：直线平面；（2）求二面角的大小．（1）证明：如图所示：连接，因为、分别为和中点，所以，又平面，平面，所以直线平面；（2）解：建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为m=x则，即，令，得，则，易知平面ABC的一个法向量为：，设二面角的大小为，则，二面角大小为.18.已知（1）若，求函数的值域；（2）若存在，使得，求实数的取值范围．解：（1）当时，函数，当时，，当且仅当时取等号，当时，在上单调递增，在上单调递减，，所以函数的值域是.（2）当时，，由，得，则，整理得，而，，因此，所以实数的取值范围.19.为了解某市高三学生的睡眠时长，从该市6.6万名高三学生中随机抽取600人，统计他们的日均睡眠时长及分布人数如下表所示：睡眠时长（小时）人数150270180注：睡眠时长在的为睡眠充足，在的为睡眠良好，在的为睡眠不足．（1）估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为多少？（2）估计该市高三学生日均睡眠时长；（3）若从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取4人做进一步访谈调查，求这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率．解：（1）由题知，随机抽取的600人中日均睡眠时长大于等于6小时的人数为（人），所以估计该市6.6万名高三学生中日均睡眠时长大于等于6小时的人数约为（万人）；（2）随机抽取的600人的日均睡眠时长为（小时），所以估计该市高三学生日均睡眠时长约为（小时）；（3）从这600名学生中利用分层抽样的方法抽取20人，抽样比例为，所以睡眠时长在抽取（人），睡眠时长在抽取（人），睡眠时长在抽取（人），则从这20人中随机抽取4人，这4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足学生的概率为.20.已知圆，双曲线，直线，其中．（1）当时，求双曲线的离心率；（2）若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点；（3）设与轴交于点，与圆交于点、，与双曲线的左右两支分别交于点、，四个点从左至右依次为、、、．当时，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（1）解：由题意，，所以，，因此，双曲线的离心率.（2）证明：由直线与圆相切，得，即，联立得，即，该一元二次方程的判别式，因此有两个不相等的实数根，且两根之积为，因此两根一正一负，即与双曲线的左右两支各有一个公共点.（3）解：设，联立，得，得，由可得.联立得，得且分别交于左右两支可得又，又、、、四个点在同一直线上，，，还可得，，即，化简后可得:，代入后化简可得:，解得，由，得.经检验，此时与两支分别有交点，为唯一满足条件的实数.21.设函数的定义域为，集合．若中有且仅有一个元素，则称为函数的一个“值”（1）设，求的值；（2）设，且，若的函数值中不存在值，求实数取值的集合；（3）已知定义域为的函数的图象是一条连续曲线，且函数的所有函数值均为值，若，证明：在上为严格增函数的一个充要条件是．（1）解：由题设知：有唯一解，即有唯一解，所以，解得：.所以的值为.（2）解：，当时，由可得：或，由可得：或，所以在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，当时，，且，，画简图如下：若的函数值中不存在值，则不存在唯一解，即，解得：；当时，，令，则，令，