陕西省榆林市府谷县部分校2024-2025学年高二上学期第二次月考质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省榆林市府谷县部分校2024-2025学年高二上学期第二次月考质量检测数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线和直线的位置关系为（）A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直【答案】B【解析】直线和直线的斜率分别为，因为，所以.故选：B.2.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程是，即.故选：A.3.已知椭圆两个焦点分别为，点是上一点，且，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即，又是椭圆上一点，所以，解得1，故椭圆的方程为，故选：C.4.直线被圆截得的弦长为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由题意得圆心到直线的距离为，故直线被圆截得的弦长为.故选：B.5.在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为.过点作于点，由定义可得PM=PF，所以，由图可得，当三点共线时，最小，此时.故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点的坐标为．故选：A.6.如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（）A. B. C.6 D.【答案】D【解析】以为基底，则，，，，.因为，所以，则，所以.故选：D7.已知点是圆上的动点，若为定值，则的最小值为（）A.4 B. C. D.【答案】D【解析】设，则，即，所以，因为为定值，所以，解得，此时，则，由圆，即，圆心为，半径为，显然点在圆内部，且，则的最小值为，所以的最小值为．故选：D.8.在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】在正三棱锥中，，又，，所以，所以，同理可得，，即两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得，如图，建立空间直角坐标系，则A1,0,0，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离，所以，故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】直线l过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，当直线l过原点时，它们在两坐标轴上的截距都为0，互为相反数，方程为，即；当直线l不过原点时，设其方程为，则，解得，直线的方程为，即，所以直线l的方程为或.故选：AD10.若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中错误的是（）A.若为双曲线，则或B.若为椭圆，则C.曲线可能是圆D.若为双曲线，则焦距为定值【答案】BD【解析】若为双曲线，则，故或，所以选项A正确；若为椭圆，则且，故且，所以选项B错误；若为圆，则，故，所以选项C正确；若为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，所以不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误.综上，选项BD错误，故选：BD.11.已知抛物线的焦点为，且三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（）A.点的坐标为B.若直线BC过点F，O为坐标原点，则C.若，则线段BC的中点到轴距离的最小值为D.若直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的方程为【答案】ABD【解析】对于A：因为在抛物线上，所以，解得，所以，故A正确；对于B：显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为，由得，所以，所以，所以，故B正确；对于C：因为，当且仅当B，C，F三点共线时，等号成立，所以，所以，即线段BC的中点到轴距离的最小值为，故C错误；对于D：直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即，又直线AB与圆相切，所以，整理得，即，同理可得，所以直线BC的方程为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若α//β，则__________.【答案】【解析】因为α//β，所以，则存在实数，使，即，解得，所以故答案为：13.若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______.【答案】【解析】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称，因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称，所以只需研究与圆只有一个交点即可，当与圆相切时，则，当与圆相交时（只有一个交点），则，综上可得的取值范围为.故答案为：14.已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于M，N两点.若，则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】设是椭圆的右焦点，连接，由对称性可知，则为平行四边形，则，即，因为，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以椭圆的离心率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，，.（1）求直线的方程及的面积；（2）求的外接圆的方程.解：（1）直线的方程为，即，因为，点到直线的距离为，所以的面积为.（2）设的外接圆的方程为，由题意，解得，所以的外接圆的方程为：.16.如图，四棱锥的侧面为正三角形，底面为梯形，，平面平面，已知，.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）取上的点，使，则，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）取中点，连，因，所以，因为为正三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，，以为坐标原点，分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，则，，，设为平面的法向量，则，可取，，故直线与平面所成角的正弦值为.17.如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时，（1）求C的方程;（2）以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由.解：（1）点的坐标是，当直线AB与y轴垂直时，点A，B的坐标分别是，，，解得，所以C的方程是（2）以AB为直径的圆不可能经过坐标原点O，理由如下：如图，直线AB的斜率显然存在，设其方程为，代入，消去y并整理得，设，，则因为，所以OA与OB不垂直.因此，以AB为直径的圆不可能经过坐标原点.18.如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起到位置，使得平面平面，如图2.（1）证明：平面BCD；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（1）在中，因为，由余弦定理，得，所以，所以，所以．如下图1所示：在中，作于点，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以，又平面BCD，所以平面BCD.（2）方法一：如下图2所示：存在点，当是的中点时，二面角的大小为.证明如下：由（1）知平面BDC，所以且，所以，又因为是的中点，所以，同理可得：，取BD的中点为O，DC的中点为，连接MO，EM，OE，因为，所以是二面角的平面角，又因为，所以．此时．方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如下图3所示的空间直角坐标系，则.假设点存在，设，则，设平面MBD的一个法向量为，则，取，可得，又平面CBD的一个法向量为，假设在线段上存在点，使得二面角的大小为，则，解得，所以点存在，且点是线段的中点，即.19.若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为．（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值．解：