陕西省西安市区县联考2023-2024学年高二上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省西安市区县联考2023-2024学年高二上学期期末数学试题一、选择题：1.若A，B，当取最小值时，x的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为A，B，所以，则，当时，取最小值，故选：C2.如图，在平行六面体中，若，则有序实数组（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得,结合可得，故，故选：C3.已知空间中三个点组成一个三角形，分别在线段上取三点，当周长最小时，直线与直线的交点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图所示：先固定D不动，分别作D关于和的对称点，连接，设分别与和交于点，利用几何关系可知与的交点即为三角形的垂心，从而，即，不妨设垂心，坐标原点为，则，所以有，即垂心的坐标满足,又四点共面，从而由四点共面的充要条件可知，，从而，结合，解得.故选：B.4.已知直线和直线,下列说法不正确的是（）A.始终过定点 B.若，则或C.若，则或2 D.当时，始终不过第三象限【答案】B【解析】，，，即始终过定点，故A正确.若，当则与重合，故B错误.或，故C正确.当时，直线始终过点，斜率负，不会过第三象限，故D正确.故选：B.5.已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】圆，圆心为，半径，圆心到直线的距离为，直线和圆相离，故圆上的点到直线的距离的最小值为.故选：B6.过圆上的动点作圆的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设圆的动点为，过作圆的切线，切点分别为，则过的圆是以直径的圆，该圆的方程为：.由可得的直线方程为：.原点到直线的距离为，故圆不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为，故选：A.7.已知椭圆，则下列关于椭圆的说法正确的是（）A.离心率为 B.焦点为C.长轴长为4 D.椭圆上的点的横坐标取值范围为【答案】C【解析】由椭圆方程，可知，，所以，所以，故A错误；由方程可知，焦点在x轴上，故焦点坐标为，故B错误；长轴长为，故C正确；因焦点在x轴上，所以椭圆上的点的横坐标的取值范围是，即为，故D错误.故选：C.8.意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》中,记载有数列,.若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前100项和为（）A.100 B.99 C.67 D.66【答案】C【解析】因为数列中的奇数除以2所得的余数都是1，偶数除以2所得的余数都是0，因为，且，所以为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，，所以，，，，，，，，，，，，所以数列周期数列，周期为3，所以数列的前100项和为：.故选：C.9.设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不是充分也不是必要条件【答案】A【解析】数列中，对任意，，则，所以数列为递增数列，充分性成立；当数列为递增数列时，，即，所以，，如数列不满足题意，必要性不成立；所以“对任意，”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.故选：A10.已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】C【解析】因为所以因为在上是单调减函数所以即所以当时，恒成立当时，令，可知双刀函数，在上为增函数，所以即所以选C11.若函数，则（）A.函数只有极大值没有极小值 B.函数只有最大值没有最小值C.函数只有极小值没有极大值 D.函数只有最小值没有最大值【答案】CD【解析】，单调递增，由，则.∴函数有唯一极小值，即最小值，没有极大值、最大值.故选：CD.12.设点在曲线上,点在曲线上,则的最小值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】∵函数与函数互为反函数，∴函数与函数的图象关于直线对称，∴的最小值是点到直线的最短距离的2倍，设曲线上斜率为1的切线为，∵，由得，即切点为（，2），∴，∴切线到直线的距离，∴两点间的最短距离为2=．故选:B．二、填空题13.在四棱锥中,面,四边形为直角梯形,,，，则平面与平面夹角的余弦值为______，异面直线与的距离为______．【答案】；【解析】第一空，∵⊥面，，面，∴，．又∵，∴，∴，，两两垂直．∴以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，，，，设，分别为平面与平面的法向量，则，即，令，取，，即，令，取，则，设平面与平面的夹角为θ，则，∴平面与平面夹角的余弦值为．第二空，如图，取中点M，连接，，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∵面，面，∴面，∴与的距离为到面的距离，即点C到面的距离．设点C到面的距离为h，，，由，得，解得，∴异面直线与的距离为．故答案为：，.14.圆的圆心到直线的距离______.【答案】3【解析】由已知可得圆的标准方程为，圆心为，所以圆心到直线的距离，故答案为：3.15.已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为__________．【答案】【解析】根据题意可得抛物线与圆都关于轴对称，且圆的圆心坐标为，半径为.因为，圆下方与轴交点坐标为，取线段中点，中点，可得，连接，画出示意图如上图所示.因为、分别为和的中点，所以，，所以，又因为，，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当、、三点共线时取到等号，此时点为线段与圆的交点.所以的最小值即为的最小值.因为N为抛物线上的任意一点，设，，因为，则，当时，，即的最小值为.故答案为：.16.定义在R上偶函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为____.【答案】【解析】令，则，所以在R上递减，又，则，即，所以是以4为周期的周期函数，又，则，所以，则，所以不等式的解集为，故答案为：三、解答题：17.如图，三棱柱的侧棱底面，，E是棱上的动点，F是的中点，，，．（1）当是棱的中点时，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．解：（1）取的中点，连接、．、分别是、的中点，且，在三棱柱中，且，为的中点，则且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（2）以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则、、，，设，平面的一个法向量为，则，由，得，令，可得，易得平面的一个法向量为，二面角的余弦值为，即整理得，，解得.因此，在棱上存在点，使得二面角的余弦值是，此时．18.已知圆心为的圆经过点，.（1）求圆的标准方程；（2）已知在圆C外，求的取值范围.解：（1）因为，，成等差数列，所以①，又因为，，成等差数列，所以，得②，由①②得，．所以，.（2），...令，则，则