山东省济南市济南中学2021-2022学年九年级上学期数学期中考试卷(含答案解析)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页山东省济南市济南中学2021-2022学年九年级上学期数学期中考试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．的值是（）A． B． C． D．2．若反比例函数y＝的图象经过点A（2，m），则m的值（）A．2 B． C．﹣ D．﹣23．如图是一段空心的钢管，则它的主视图是（）A． B． C． D．4．在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个5．如图，两条直线被第三条平行所截，，，，则的长为（）A． B． C． D．6．函数与（）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A． B． C． D．7．已知：如图，，以O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点的坐标为（）A． B．或 C． D．或8．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④，其中单独能够判定的个数为（）A． B． C． D．9．已知点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的关系是（）A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y110．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（）A． B． C． D．11．如图，反比例函数的图象与矩形ABCO的边AB、BC相交于E、F两点，点A、C在坐标轴上．若，则四边形OEBF的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，在轴正半轴上依次截取，过点、、、……分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、…、，连接、、…，，过点、、…、分别向、、…、作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（）.A． B． C． D．二、填空题13．两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为_____．14．若，则__________．15．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成．利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA＝3OD，OB＝3OC)，然后张开两脚，这时CD＝2，则AB＝_____．16．如果反比例函数y＝的图象经过点，那么直线y＝kx一定经过点（2，____）．17．如图，双曲线经过矩形OABC的顶点，双曲线交，于点，，且与矩形的对角线交于点，连接.若，则的面积为__________.18．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的序号______．三、解答题19．计算：(1)(2)20．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：（1）求BD的长度；（2）求DE的长度．21．如图，是的边上的一点，，，．求证：．22．如图，在中，于点，，，，求：的长为多少？的值？23．进入移动支付时代后，购物方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．为了更好的满足顾客的支付需求，一商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：(1)求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整；(2)若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有______人会选择“刷脸或现金”这种支付方式；(3)若甲、乙两人在购物时，选择“刷脸或现金”、“刷卡”、“支付宝”、“微信”（分别用A、B、C、D表示）付款的可能性相同．请通过列表或画树形图的方法，求两人在购物时，用同一种付款方式的概率．24．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒时，解答下列问题：(1)直接写出点B的坐标；用含x的代数式表示ON，OM的长度；(2)在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使得以O、M、N为顶点的三角形与△OAB相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．25．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气体体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示．P1.522.534…V644838.43224…（1）写出符合表格数据的P关于V的函数表达式；（2）当气球的体积为20立方米时，气球内气体的气压P为多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数表达式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？26．如图1，在中，，，，点D、E分别是边、的中点，连接．将绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为．(1)问题发现①当时，________；②当时，______．(2)拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)问题解决绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长________．27．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且．(1)求k的值并直接写出点B的坐标；(2)点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求的最小值；(3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【解析】【分析】由题意利用特殊角的三角函数的值，求出结果即可．【详解】解：，故选C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的值，熟记各特殊角的三角函数的值是解题的关键．2．B【解析】【分析】将点A坐标代入解析式可求m的值．【详解】∵反比例函数y的图象经过点A（2，m），∴1=2m，∴m．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标满足图象的解析式是解答本题的关键．3．B【解析】【分析】根据主视图的画法解答即可.【详解】A.不是三视图,故本选项错误;B是主视图,故本选项正确;C.不是三视图,故本选项错误;D.是俯视图，故本选项错误故选:B.【点睛】本题考查了由三视图判断几何体,解题的关键是根据主视图的画法判断.4．B【解析】【分析】设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．【详解】解：设红球有x个，根据题意得：＝，解得：x≈6，经检验：x＝6是分式方程的解，即红球有6个，故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．5．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例得到，将数据代入即可求出答案．【详解】解：，，，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．6．B【解析】【分析】分k＞0和k＜0两种情况讨论，然后根据一次函数和反比例函数所经过的象限逐一判断即可．【详解】当k＞0时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限，无符合的图象；当k＜0时，一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合此种条件的图象只有B选项，故选：B．【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键．7．D【解析】【分析】将点E（-4，2）的坐标同时乘以或-即可求得点E′的坐标【详解】根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（-4，2）的坐标同时乘以或-，所以点E′的坐标为（-2，1）或（2，-1）．故选D．【点睛】本题考查了位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．8．B【解析】【分析】由已知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答.【详解】解：：①∵，∠A为公共角，∴；②∵，∠A为公共角，∴；③虽然，但∠A不是已知的比例线段的夹角，所以两个三角形不相似；④∵，∴，又∵∠A为公共角，∴．综上，单独能够判定的个数有3个，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.9．D【解析】【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解：∵在反比例函数y＝中，k＝1＞0，∴此函数图象在一、三象限，∵﹣2＜﹣1＜0，∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，∴y1＜y2＜0，∵3＞0，∴C（3，y3）点在第一象限，∴y3＞0，∴y1，y2，y3的大小关系为y3＞y2＞y1．故选：D．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．10．B【解析】【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．【详解】解：∵四边形EFGH是正方形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴．设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，∴解得：x=20所以，AN=20．故选：B．【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．11．B【解析】【分析】如图，连接OB．想办法证明S△OBE=S△OBF=1即可解决问题；【详解】解：如图，连接OB．∵BE=2AE，∴S△OBE=2S△OAE，∵E、F在上，四边形AOCB是矩形，∴S△AEO=S△OCF=，S△OBC=S△OBA，∴S△OBE=S△OBF=2S△OAE=1，∴S四边形OFBE=2．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上的点的特征，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．B【解析】【分析】由可设点的坐标为（1，），点的坐标为（1，），点的坐标为（1，）…点的坐标为（1，），把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出的值，再由三角形的面积公式可以得出…的值，即可得出答案.【详解】∵∴设（1，），（1，），（1，）…（1，）∵、、、…、在反比例函数的图像上∴∴∴∵∴…∴因此答案选择B.【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.13．4∶9【解析】【分析】根据相似三角形的性质可直接进行求解．【详解】解：由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得：两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为4∶9；故答案为4∶9．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．14．【解析】【详解】解：设故答案为15．6【解析】【分析】首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】∵OA＝3OD，OB＝3CO，∴OA：OD＝BO：CO＝3：1，∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴，∴AB＝3CD，∵CD＝2，∴AB＝6，故答案为6．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题．16．【解析】【分析】将点()代入反比例函数中，求得，进而可求出直线解析式为，将代入直线解析式，即可求出其纵坐标．【详解】反比例函数图像经过点()，，，直线的解析式为：，当时，，直线一定经过点()，故答案为：．【点睛】本意考查了反比例函数图像上点的坐标特征和性质，反比例函数的图像上的点的横纵坐标乘积为常数k，同时也考查了一次函数图像上点的坐标特征．17．.【解析】【分析】设，根据题意，，，即可得出，，解得，由，，求得、，然后根据三角形面积公式得到进行求解即可.【详解】设，∵，∴，，∴，∵双曲线经过矩形的顶点，∴，∴，∵双曲线经过点，∴∴双曲线，∴，，∴，，∴，故答案为.【点睛】本题考查了反比例系数的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键．18．①②③④【解析】【分析】根据正方形的性质及各角之间的关系可证明①；由勾股定理及相似三角形的判定可证明②；由各角之间的关系及垂直的性质可证明③；由相似三角形的判定及性质可证明④．【详解】解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴，，∴，∴，故①正确；∵，，∴，∵，∴，∴，故②正确；∴，延长DG交AC于点N，∵，，∴，∴，故③正确；∵，，∴，∴，∴，∴，故④正确；综上可得：①②③④正确，故答案为：①②③④．【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．19．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据化简绝对值，计算负整数指数幂，以及特殊角的三角形函数值进行计算求解即可．(1)解：；(2)解：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，化简绝对值，负整数指数幂、实数的混合运算，正确的计算以及牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．20．（1）2；（2）6【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果；（2）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果．【详解】解：（1）∵AE=2CE，∴，∵DE∥BC，∴，∵AB=6，∴BD=2；（2）∵EF∥AB，∴，∵BC=9，∴BF=6，又∵DE∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF=6．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例；掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意线段的对应关系．21．见解析．【解析】【分析】根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论．【详解】证明：，，．，，，而，．【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，熟练其证明方法是解决本题的关键．22．；．【解析】【分析】（1）根据在△ABC中，CD⊥AB于D点，AB=22，CD=8，tanA=，可以求得AD的长，从而可以求得BD的长；（2）由（1）中BD的长和题目中CD的长可以求得BC的长，从而可以求得sinB的值．【详解】∵在中，于点，，，，∴，解得，，∴；由知，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23．(1)240人，作图见解析(2)300(3)作图见解析，两人在购物时，用同一种付款方式的概率为【解析】【分析】（1）由选择“支付宝”支付的人数除以所占百分比求出本次调查参与的人数，即可解决问题．（2）由某假期该商场进行购物支付的总人数乘以选择“刷脸或现金”这种支付方式的人数所占的比例即可．（3）画树状图，共有16种等可能的结果，甲、乙两人恰好选择同一种支付方式的结有4种，再由概率公式求解即可．(1)解：本次调查参与的人数为：60÷25％＝240（人），则用“银行卡”支付的人数为：240-60-40-60＝80（人），将条形统计图补充完整如下：(2)解：（人）即若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有300人会选择“刷脸或现金”这种支付方式．(3)解：画树状图如图：共有16种等可能的结果，甲、乙两人恰好选择同一种支付方式的结果有4种，甲、乙两人恰好选择同一种支付方式的概率为．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图，理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．24．(1)B(4，3)；ON=2x，OM=4-x(2)存在，x=或x=【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算AB=，根据坐标的定义，写出点B的坐标；利用路程等于速度乘以时间，计算即可．（2）解答时，分MN∥AB时，三角形相似和MN与AB不平行时，三角形相似两种情形求解．(1)∵，，∠OAB=90°∴AB==3，∴点B(4，3)；∵动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿OB向终点B移动，∴ON=2x，MA=x，∴OM=4-x．(2)存在，x=或x=，理由如下：当MN∥AB时，∴△OMN∽△OAB，∴，∴，解得x=，当MN与AB不平行时，∴△OMN∽△OBA，∴，∴，解得x=，故当x=或x=时，以O、M、N为顶点的三角形与△OAB相似．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形相似的判定和性质，分类思想，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．25．（1）p＝；（2）4.8千帕；（3）气球的体积至少为立方米．【解析】【分析】（1）设p与V的函数的解析式为p=，利用待定系数法即可求函数解析式；（2）把v=20代入p=可得p=4.8；（3）把p=144代入p=得，V=．可知当气球内的气压＞144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积至少为立方米．【详解】解：（1）设p与V的函数的解析式为p＝，把点A（1.5，64）代入，解得k＝96．∴这个函数的解析式为p＝；故答案为p＝；（2）把v＝20代入p＝得：p＝4.8，当气球的体积为20立方米时，气球内的气压是4.8千帕；（3）把p＝144代入p＝得，V＝，故p≤144时，v≥，答：气球的体积至少为立方米．故答案为（1）p＝；（2）4.8千帕；（3）气球的体积至少为立方米．【点睛】本题考查反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．26．(1)，(2)当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，证明见解析(3)BD的长为或【解析】【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据＝，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据＝＝，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．(1)解：①当α＝0°时，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝＝＝2，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝AC＝，BD＝BC＝1，∴＝．②如图1中，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵＝，∴＝＝．故答案为：①，②．(2)解：如图2，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化