中考数学二轮培优复习专题31中考命题核心元素有关中点问题（原卷版）

专题31中考命题核心元素有关中点问题（原卷版）模块一典例剖析+针对训练模型一倍长中线【模型解读】当已知条件中出现三角形中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题．解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．基本图形：典例1（2022•南宁模拟）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，可根据SAS证明△ABD≌△ECD，则AB＝EC．【类比探究】如图②，在△DEF中，DE＝3，DF＝7，点G是EF的中点，求中线DG的取值范围；【拓展应用】如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点．若AE是∠BAD的平分线．试探究AB，AD，DC之间的等量关系，并证明你的结论．针对训练1．（2020•贵阳模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是（）A．16 B．163 C．8 D．83

模型二中位线【模型解读】当已知条件中同时出现两个及两个以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时，也常考虑构造中位线．基本图形：典例2如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN．针对训练1．（2022春•凤翔县期末）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（）A．8 B．10 C．5 D．42．如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．

模型三等腰三角形“三线合一”【模型解读】当出现等腰三角形时，常作底边的中线，可利用“三线合一”的性质解题．基本图形：典例3（高平市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，求DE的长．针对训练1．（2021秋•下城区期中）如图，在钝角△ABC中，AH⊥BC，垂足为点H，若AB+BH＝CH，∠ABH＝70°，则∠BAC＝，若将题目改为在锐角△ABC中，其它条件不变，则∠BAC＝．2．（2022秋•扬州期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC的中点，（1）求AD长；（2）若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，求证：DE＝DF．

3．（2011春•内江期末）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD＝30°，BD=CD=12AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝a，则BC＝；（2）如图2所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD＝5cm，∠B＝30°时，△ACD的周长＝．（3）如图3所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA＝．（4）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且∠CAD＝∠ABE，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，猜想PB与PQ的数量关系，并说明理由．

模型四直角三角形斜边中线【模型解读】当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后利用直角三角形斜边的中线性质解决问题．基本图形：典例4如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF、EG、DG．求证：（1）EG＝DG；（2）GF⊥DE．针对训练1．（2022秋•上城区期中）已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD．（2）若∠BAD＝45°，连接MB、MD，判断△MBD的形状，并说明理由．2．（2018秋•闵行区期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC上，AB=12DE，AD∥求证：∠CBA＝3∠CBE．模型五三角形边的垂直平分线【模型解读】当三角形某一边的垂线过该边的中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到BE＝CE，进而证明线段间的数量关系．基本图形：典例5（2019秋•姜堰区期中）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．（1）若AB＝10，求△CDE的周长；（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝．2．（2022秋•无棣县期中）如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝2，FG＝4，GC＝3，则△ABC的周长为．

模块二2023中考押题预测1．（2022秋•新吴区期中）如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝6．过C作∠BAC的角平分线的垂线，垂足为D，点E为DC边的中点连结BD，CD，则S△BEC的最大值为（）A．10 B．9.2 C．8 D．7.52．（2021春•青龙县期末）在△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝5，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为（）A．4 B．3.5 C．3 D．2.53．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与BC的垂直平分线DF交于点D，连接AD，CD，则∠ABC与∠ADC之间的数量关系为．4．（2020春•市南区期末）如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A＝63°，则∠D＝．5．如图，AD是△ABC的中线，AB＝AC＝13，BC＝10，求AD长．

6．（2021秋•东阳市校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长及斜边AB边上的高；（2）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（3）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．7．如图所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AC的中点为M，BD的中点为N，判断MN与BD之间的位置关系，并说明理由．8．（2022•茂南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，BE∥CD，CE∥AB．试判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．

9．（2019秋•洛阳期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，分别交BC于点D、E，已知△ADE的周长5cm．（1）求BC的长；（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为13cm，求OA的长．10．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M、N分别是AD，EF的中点．求证：MN⊥EF．

11．（2022•朝阳区校级一模）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过D点作DG∥AC交BC于G，进而解决了该问题．（不