2023年普通高等学校招生全国统一考试·新课标Ⅱ卷

年普通高等学校招生全国统一考试·新课标Ⅱ卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A[因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A．]2．设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝()A．2 B．1C．23 D．－B[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B．所以a＝1，故选B．]3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有()A．C40045·C20015C．C40030·C20030D[由题意，初中部和高中部学生人数之比为400200＝21，所以抽取的60名学生中初中部应有60×23＝40(人)，高中部应有60×13＝20(人)，所以不同的抽样结果共有C400404．若f(x)＝(x＋a)ln2x-12x+1为偶函数，则A．－1 B．0C．12 D．B[法一：设g(x)＝ln2x-12x+1，易知g(x)的定义域为-∞，-12∪12，+∞，且g(－x)＝ln-2x-1-2x+1＝ln2x+12x-1＝－ln2x-12x+1＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(法二：因为f(x)＝(x＋a)ln2x-12x+1为偶函数，f(－1)＝(a－1)ln3，f(1)＝(a＋1)ln13＝－(a＋1)ln3，所以(a－1)ln3＝－(a＋1)ln3，解得a＝5．已知椭圆C：x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝(A．23 B．C．－23 D．－C[将直线y＝x＋m与椭圆联立得y=x+m，x23+y2=1，消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B点，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＞0，解得－2＜m＜2．易知F1(－2，0)，F2(2，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即-2+m2＝2×2+6．已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为()A．e2 B．eC．e-1 D．e-2C[因为函数f(x)＝aex－lnx，所以f′(x)＝aex－1x．因为函数f(x)＝aex－lnx在区间(1，2)单调递增，所以f′(x)≥0在(1，2)恒成立，即aex－1x≥0在(1，2)恒成立，易知a>0，则0<1a≤xex在(1，2)恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex．当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以1a≤e，即a≥1e＝e-17．已知α为锐角，cosα＝1+54，则sinα2＝A．3-58 BC．3-D[由题意，cosα＝1+54＝1－2sin2α2，得sin2α2＝3-58＝6-2516＝5-142，又α为锐角，所以sinα28．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝()A．120 B．85C．－85 D．－120C[法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则a11-q41-q=-5，a11-q61-q=21×a11-法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝54．当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝54时，结合S4＝－5得a11-q41-q=-5，a11-q21-q=54二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则()A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为43πC．AC＝22D．△PAC的面积为3AC[在△PAB中，由余弦定理得AB＝23．如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝3．对于A，该圆锥的体积V＝13πr2h＝π，故A选项正确；对于B，该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝23π，故B选项错误；对于C，取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P-AC-O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝AO2-OH2＝2，所以AC＝22，故C选项正确；对于D，PH＝2OH＝2，S△PAC＝12×AC×PH＝2，故D10．设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A．p＝2B．|MN|＝8C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形AC[由题意，易知直线y＝－3(x－1)过点(1，0)．对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，即p＝2，所以A选项正确对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<x2，联立方程得y=-3x-1y2=4x，消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝13，x2＝3．由抛物线的定义得，|MN|＝x1＋x2＋p＝对于C，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为53，-233，半径r＝12|MN|＝83＝53＋1，所以以对于D，由两点间距离公式可得|OM|＝133，|ON|＝21，又|MN|＝163，故D选项错误．综上，故选AC11．若函数f(x)＝alnx＋bx＋cx2(a≠0)既有极大值也有极小值，则A．bc＞0 B．ab＞0C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0BCD[因为函数f(x)＝alnx＋bx＋cx2(a≠0)，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax2-bx-2cx3，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x212．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)．()A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率ABD[由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β．对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，发1收1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，故A选项正确．对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B选项正确．对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为C32β1-β2+C33(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，故C不正确．对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率P1＝C32α1-α2+C33(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率P2＝1－α，当0<α<0.5时，P1－P2＝3α(1－α)2＋(1－α)3－(1－α)＝三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a，b满足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．3[由|a－b|＝3，得a2－2a·b＋b2＝3，即2a·b＝a2＋b2－3．由|a＋b|＝|2a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得，3a2－6a·b＝0，所以3a2－3(a2＋b2－3)＝0，所以b2＝3，所以|b|＝3．]14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．28[如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P-A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′-ABCD，且A′B′＝2，AB＝4．记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′-ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2．易知△PO′H′∽△POH，所以PO'PO＝O'H'OH，即3PO＝12，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝13×3×(22＋215．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值________2(2，－2，12，－12中任意一个均可)[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝21+m2，|AB|＝2R2-d2＝24-21+m22＝4m1+m2．由S△ABC＝85，得12×4m1+m2×21+m2＝85，16．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝12与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝π6，则f(π)＝－32[对比正弦函数y＝sinx的图象易知，点2π3，0为“五点(画图)法”中的第五点，所以2π3ω＋φ由题知|AB|＝xB－xA＝π6，又y＝12，则ωxA+φ=π6，ωx+即π6ω＝4π6，解得ω＝代入①，得φ＝－2π3，所以f(π)＝sin4π-2π3＝－sin2π3四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1．(1)若∠ADC＝π3，求tanB(2)若b2＋c2＝8，求b，c．解：(1)因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2×12×AD×DCsin∠ADC＝2×12×1×DC×32解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4．因为∠ADC＝π3，所以∠ADB＝2π在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝7．在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝3．在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝c2+a2-所以sinB＝1-cos2B所以tanB＝sinBcosB(2)因为D为BC的中点，所以BD＝DC．因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得AD2+得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝3，所以a＝23．在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝b2+c2-所以S△ABC＝12bcsin∠＝12bc＝12bc＝1＝3，解得bc＝4．则由bc=4b2+c2=8，18．(12分)已知{an}为等差数列，bn＝an-6，n为奇数2an，n为偶数．记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n(1)求{an}的通项公式；(2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn．解：(1)设等差数列{an}的公差为d．因为bn＝an所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6．因为S4＝32，T3＝16，所以4a整理，得2a1+3d所以{an}的通项公式为an＝2n＋3．(2)证明：由(1)知an＝2n＋3，所以Sn＝n5+2n+32＝nbn＝2n当n为奇数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝n+12-1+2n-3当n＞5时，Tn－Sn＝3n2+5n-102－(n2＋4n)＝所以Tn＞Sn．当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝n2-1+2n-52当n＞5时，Tn－Sn＝3n2+7n2－(n2＋4n)＝n所以Tn＞Sn．综上可知，当n＞5时，Tn＞Sn．19．(12分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值．解：(1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，设X为患病者的该指标，则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5．设Y为未患病者的该指标，则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%．(2)当95≤c≤100时，p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；当100＜c≤105时，p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98．综上所述，f(c)＝-0.008由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增，作出f(c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95，105]的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02．20．(12分)如图，三棱锥A-BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC的中点．(1)证明：BC⊥DA；(2)点F满足EF＝DA，求二面角D-AB-F的正弦值．解：(1)证明：如图，连接DE，AE，因为DC＝DB，且E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为∠ADB＝∠ADC＝60°，DA＝DA，DC＝DB，所以△ADB≌△ADC(SAS)．可得AC＝AB，故AE⊥BC．因为DE∩AE＝E，DE，AE⊂平面ADE，所以BC⊥平面ADE．又DA⊂平面ADE，所以BC⊥DA．(2)由(1)知，DE⊥BC，AE⊥BC．不妨设DA＝DB＝DC＝2，因为∠ADB＝∠ADC＝60°，所以AB＝AC＝2．由题可知△DBC为等腰直角三角形，故DE＝EB＝EC＝2．因为AE⊥BC，所以AE＝AB2-在△ADE中，AE2＋ED2＝AD2，所以AE⊥ED．以E为坐标原点，ED所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D(2，0，0)，B(0，2，0)，A(0，0，2)，DA＝(－2，0，2)，BA＝(0，－2，2设F(xF，yF，zF)，因为EF＝DA，所以(xF，yF，zF)＝(－2，0，2)，可得F(－2，0，2)．所以FA＝(2，0，0)．设平面DAB的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则DA·m=0BA·m=0，即-2x1+2z1=0-2y1+2z1=0设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则FA·n=0BA·n=0，即2x2=0-2y2+2z2=0，得x2＝0所以cos〈m，n〉＝m·nm·n记二面角D-AB-F的大小为θ，则sinθ＝1-cos2〈m，故二面角D-AB-F的正弦值为3321．(12分)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．解：(1)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)由题意可得c=25所以双曲线C的方程为x24－y2(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，则x1＝my1－4，x2＝my2－4．联立x=my-4x24-y216=1，得(4m2－因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0．由根与系数的关系得y1+y2=32m4m2-1y1y因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，所以A1(－2，0)，A2(2，0)．直线MA1的方程为y1x1+2＝yx+2，直线NA所以y1x1+2y2x2-2＝yx因为my1＝m＝-3＝－3，所以x-2x+2＝－3，解得x所以点P在定直线x＝－1上．22．(12分)(1)证明：当0＜x＜1时，x－x2＜sinx＜x；(2)已知函数f(x)＝cosax－ln(1－x2)，若x＝0是f(x)的极大值点，求a的取值范围．解：(1)证明：令h(x)＝x－x2－sinx，0＜x＜1，则h′(x)＝1－2x－cosx，令p(x)＝1－2x－cosx，则p′(x)＝－2＋sinx＜0，所以p(x)即h′(x)单调递减，又h′(0)＝0，所以当0＜x＜1时，h′(x)＜h′(0)＝0，h(x)单调递减，所以当0＜x＜1时，h(x)＜h(0)＝0，即x－x2＜sinx．令g(x)＝sinx－x，0＜x＜1，则g′(x)＝cosx－1≤0，所以g(x)单调递减，又g(0)＝0，所以当0＜x＜1时，g(x)＜g(0)＝0，即sinx＜x．综上，当0＜x＜1时，x－x2＜sinx＜x．(2)法一：由f(x)＝cosax－ln(1－x2)，得f′(x)＝－asinax＋2x1-x2(－1＜令t(x)＝－asinax＋2x1-x2(－1＜则t′(x)＝－a2cosax＋21+x21-x22(由x＝0是f(x)的极大值点，易得f′(0)＝0，t′(0)＜0，所以2－a2＜0，解得a＜－2或a＞2．所以a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．法二：因为