2024年高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象练习含解析新人教A版必修4

PAGE1-1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象1.要得到函数y=sin(4x-)的图象,只需将函数y=sin4x的图象(B)(A)向左平移个单位 (B)向右平移个单位(C)向左平移个单位 (D)向右平移个单位解析:y=sin4xy=sin4(x-),即y=sin(4x-),故选B.2.函数y=sin(2x-)在区间[-,π]上的简图是(A)解析:当x=0时,y=sin(-)=-<0,故可解除B,D.当x=时,y=sin(2×-)=sin0=0,解除C,故选A.3.将函数y=sinx的图象上全部的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(C)(A)y=sin(2x-) (B)y=sin(2x-)(C)y=sin(x-) (D)y=sin（x-）解析:将函数y=sinx的图象向右平移个单位长度得到函数y=sin(x-)的图象,然后将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得y=sin(x-)的图象,选C.4.函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,-<<)的部分图象如图所示,则的值为(A)(A)- (B)(C)- (D)解析:由题中图象知T==2(+)=π,所以ω=2,2×+=2kπ(k∈Z),又-<<,所以=-.故选A.5.将函数f(x)=sin(2x-)的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,则g(x)的一条对称轴方程可以为(A)(A)x= (B)x=(C)x= (D)x=解析:f(x)=sin(2x-)的图象向右平移个单位得g(x)=sin[2(x-)-]=sin(2x-π)=-sin2x,由2x=kπ+(k∈Z)得g(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z)取k=1,得x=,故选A.6.下列函数中,周期为π,且在[,]上为减函数的是(A)(A)y=sin(2x+) (B)y=cos(2x+)(C)y=sin(x+) (D)y=cos(x+)解析:选项C,D的周期为2π,所以解除;当x∈[,]时,2x+∈[π,π],y=sin[2x+]为减函数,y=cos(2x+)为增函数,选项B错误,A正确.故选A.7.要得到函数y=cosx的图象,只需将函数y=sin(2x+)的图象上全部的点的(C)(A)横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平行移动个单位(B)横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平行移动个单位(C)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位(D)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位解析:将函数y=sin(2x+)图象上全部的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得函数y=sin(x+)的图象;再向左平行移动个单位后便得y=sin(x++)=cosx的图象.故选C.8.设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于(C)(A) (B)3 (C)6 (D)9解析:由题=k·,k∈Z,所以ω=6k,令k=1可得ω最小值为6.故选C.9.简谐振动y=sin(4x+)的频率和相位分别是.

解析:最小正周期是T==,相位是4x+,频率f==.答案:,4x+10.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0,0<<)的部分图象如图所示,则=.

解析:由题中图象可知,T=4×(-)=π,所以ω==2,因为(,0)是下降零点,所以2×+=π+2kπ,k∈Z,所以=+2kπ,k∈Z,又因为0<<,所以k=0时,=.答案:11.已知f(x)=2sin(ωx+){ω>0,||≤}在[0,]上单调,且f()=0,f()=2,则f(0)=.

解析:由题意知·=-,所以ω=.由f()=0,得2sin(+)=0.又因为||≤,所以=-.f(0)=2sin=-1.答案:-112.某同学利用描点法画函数y=Asin(ωx+){其中0<A≤2,0<ω<2,-<<}的图象,列出的部分数据如表:x01234y101-1-2经检查,发觉表格中恰有一组数据计算错误,请你依据上述信息推断函数y=Asin(ωx+)的解析式应是.

解析:在平面直角坐标系中描出这五个点,如图所示.依据函数图象的大致走势,可知点(1,0)不符合题意;又因为0<A≤2,函数图象过(4,-2),所以A=2,因为函数图象过(0,1),所以2sin=1,又因为-<<,所以=,由(0,1),(2,1)关于直线x=1对称,知x=1时函数取得最大值2,因此函数的最小正周期为6.所以ω=.答案:y=2sin(x+)13.如图为函数y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象,试求出y的解析式.解:从题图中可知,五个关键点分别为(-1,0),(x1,2),(3,0),(x2,-2),(7,0).因为最大值为2,最小值为-2,又A>0,所以A=2.又因为两个相邻的平衡点(图象与x轴的交点)P,Q相差半个周期,所以=3-(-1)=4,T=8,又ω>0,ω===.所以y=2sin(x+).最高点的横坐标x==1.将最高点(1,2)代入上式,得2=2sin(+),即sin(+)=1,取=.所以y=2sin(x+).14.已知函数y=3sin(x-).(1)用“五点法”画函数的图象;(2)说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的;(3)求此函数的周期、振幅、初相.解:(1)列表x-0π2πxy030-30描点:在直角坐标系中描出点(,0),(,3),(,0),(,-3),(,0),连线:将所得五点用光滑的曲线连接起来,得到所求函数一个周期内的图象,如图所示,再将这部分图象向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度,得函数y=3sin(x-)的图象.(2)法一①把y=sinx图象上全部的点向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)的图象;②把y=sin(x-)图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;③将y=sin(x-)图象上全部点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin(x-)的图象.法二①把y=sinx图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象;②把y=sinx图象上全部的点向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)=sin(x-)的图象;③将y=sin(x-)的图象上全部点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin(x-)的图象.(3)周期T===4π,振幅A=3,初相是-.15.已知函数f(x)=sin(2x+)+.(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间;(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心;(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合.解:(1)函数f(x)的振幅为,最小正周期T==π,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)令2x+=kπ+(k∈Z),则x=+(k∈Z),所以对称轴方程为x=+(k∈Z);令2x+=kπ(k∈Z),则x=-(k∈Z),所以对称中心为(-,)(k∈Z).(3)sin(2x+)=-1,即2x+=-+2kπ(k∈Z),x=-+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值为,此时x的取值集合是{x|x=-+kπ,k∈Z}.16.如图所示,点A(x1,2),B(x2,-2)是函数f(x)=2sin(ωx+){ω>0,0≤≤}的图象上两点,其中A,B两点之间的距离为5,那么f(-1)等于(A)(A)-1 (B)-2(C)1 (D)以上答案均不正确解析:|AB|==5,所以(x1-x2)2+16=25,得(x1-x2)2=9,故|x1-x2|=3,即=|x1-x2|=3,则T=6,因为T==6,所以ω=,则f(x)=2sin(x+),由f(0)=1,得2sin=1,即sin=,因为0≤≤,所以=,即f(x)=2sin(x+),则f(-1)=2sin(-+)=2sin(-)=2×(-)=-1.故选A.17.将函数y=sin2x的图象向右平移(0<<)个单位后得到函数g(x)的图象,若对满意|f(x1)-g(x2)|=2成立的x1,x2,均有|x1-x2|min=,则等于(D)(A) (B) (C) (D)解析:向右平移个单位后,得到g(x)=sin(2x-2),又因为|f(x1)-g(x2)|=2,所以不妨设2x1=+2kπ,k∈Z,2x2-2=-+2mπ,m∈Z,所以x1-x2=-+(k-m)π,又因为|x1-x2|min=,所以-=⇒=.故选D.18.函数y=Asin(ωx+){x∈R,A>0,ω>0,<}的图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为M{,3},N{,-3},则此函数的解析式为,单调递增区间为.

解析:由题意知=π-π=,且A=3,所以T=π.所以ω==2.所以y=3sin(2x+).把x=π,y=3代入上式,得3=3sin(π+).所以π+=+2kπ,k∈Z,解得=-+2kπ,k∈Z.又<,所以=-.所以函数解析式是y=3sin(2x-).由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.答案:y=3sin(2x-)[kπ-,kπ+],k∈Z19.已知方程2sin(2x+)-1=a,x∈[-,]有两个解,则a的取值范围为.

解:由题意2sin(2x+)=a+1,令y1=2sin(2x+),y2=a+1,用五点作图法作出函数y1=2sin(2x+)在[-,]上的图象如图.明显要使y2=a+1与图象有两个交点,只需-2<a+1<0或a+1=2,即-3<a<-1或a=1.答案:(-3,-1)∪{1}20.函数f(x)=Asin(ωx+){A>0,ω>0,||<}的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数F(x)=3[f(x-)]2+mf(x-)+2在区间[0,]上有四个不同零点,求实数m的取值范围.解:(1)依据f(x)=Asin(ωx+)的部分图象知,A=1,=-=,所以T=π,所以ω==2.2×+=+2kπ