2025高考数学一轮复习-对点练55 探索性及折叠问题【含答案】

对点练55探索性及折叠问题【A级基础巩固】1.(2024·广州调研)如图(1)，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点.将△AEF沿EF翻折至△A1EF，得到四棱锥A1－EFCB，P为A1C的中点，如图(2).(1)求证：FP∥平面A1BE；(2)若平面A1EF⊥平面EFCB，求直线A1F与平面BFP所成的角的正弦值.2.(2024·河南名校联考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝eq\f(π,2)，BC＝CD＝2，AD＝eq\r(5)，DE⊥AB，垂足为点E.将△AED沿DE折起，使点A到点P的位置，且PE⊥EB，连接PB，PC，点M，N分别为PC，EB的中点，连接CN，ND，DM，MN.(1)求证：MN∥平面PED；(2)求二面角D－MN－C的正弦值.3.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝eq\r(5).(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求eq\f(AM,AP)的值；若不存在，说明理由.【B级能力提升】4.(2024·长沙模拟)如图所示，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点.(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的正弦值为eq\f(\r(15),5)？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由.对点练55探索性及折叠问题答案1．(1)证明如图，取A1B的中点Q，连接PQ，EQ，则有PQ∥BC，且PQ＝eq\f(1,2)BC.又EF∥BC，且EF＝eq\f(1,2)BC，所以PQ∥EF，且PQ＝EF，则四边形EFPQ为平行四边形，则FP∥EQ.又FP⊄平面A1BE，EQ⊂平面A1BE，所以FP∥平面A1BE.(2)解如图，取EF的中点O，BC的中点G，连接A1O，OG.由平面A1EF⊥平面EFCB，且交线为EF，A1O⊂平面A1EF，知A1O⊥平面EFCB，此时，OA1，OE，OG两两垂直，以O为坐标原点，OE，OG，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系，则A1(0，0，eq\r(3))，F(－1，0，0)，B(2，eq\r(3)，0)，C(－2，eq\r(3)，0)．由P为A1C的中点，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，则eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－1，0，－eq\r(3))，eq\o(FB,\s\up6(→))＝(3，eq\r(3)，0)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2))).设平面BFP的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(FP,\s\up6(→))＝0，,n·\o(FB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)y＋\f(\r(3),2)z＝0，,3x＋\r(3)y＝0.))令x＝1，则y＝－eq\r(3)，z＝eq\r(3)，故n＝(1，－eq\r(3)，eq\r(3))．设直线A1F与平面BFP所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈eq\o(A1F,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|n·\o(A1F,\s\up6(→))|,|n||\o(A1F,\s\up6(→))|)＝eq\f(|－1－3|,\r(7)×\r(4))＝eq\f(2\r(7),7).故直线A1F与平面BFP所成的角的正弦值为eq\f(2\r(7),7).2．(1)证明如图，取PB的中点Q，连接MQ，NQ.因为AB∥CD，∠ABC＝eq\f(π,2)，DE⊥BE，所以四边形BCDE为正方形．因为点M，N，Q分别为PC，BE，PB的中点，所以MQ∥BC∥ED，NQ∥PE.又DE，PE⊂平面PED，MQ，NQ⊄平面PED，所以MQ∥平面PED，NQ∥平面PED.因为MQ∩NQ＝Q，MQ，NQ⊂平面MNQ，所以平面MNQ∥平面PED.因为MN⊂平面MNQ，所以MN∥平面PED.(2)解由题意知PE⊥EB，PE⊥ED，DE⊥EB.因为AD＝eq\r(5)，DE＝BC＝2，所以AE＝eq\r(AD2－DE2)＝1，即PE＝1.以E为坐标原点，EB，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系，则D(0，2，0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，N(1，0，0)，C(2，2，0)，则eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2)))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝(1，－2，0)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1，\f(1,2)))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝(－1，－2，0)．设平面DMN的法向量为m＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(DM,\s\up6(→))＝0，,m·\o(DN,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋\f(1,2)z＝0，,x－2y＝0.))令x＝2，得y＝1，z＝－2，所以m＝(2，1，－2)．设平面CMN的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(CN,\s\up6(→))＝0，,n·\o(CM,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x1－2y1＝0，,－x1－y1＋\f(1,2)z1＝0.))令y1＝－1，则x1＝2，z1＝2，所以n＝(2，－1，2)．所以cos〈n，m〉＝eq\f(n·m,|n||m|)＝eq\f(4－1－4,\r(9)×\r(9))＝－eq\f(1,9)，所以二面角D－MN－C的正弦值为eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,9)))\s\up12(2))＝eq\f(4\r(5),9).3．(1)证明∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB.(2)解取AD中点O，连接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.又∵PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD.∵CO⊂平面ABCD，∴PO⊥CO.∵AC＝CD，∴CO⊥AD.以O为原点建立如图所示空间直角坐标系，易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0)．则eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0，－1，－1)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(2，0，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2，－1，0)．设n＝(x0，y0，1)为平面PDC的一个法向量，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(PD,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PC,\s\up6(→))＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－y0－1＝0，,2x0－1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝－1，,x0＝\f(1,2)，))即n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，1)).设PB与平面PCD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，eq\o(PB,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n·\o(PB,\s\up6(→)),|n||\o(PB,\s\up6(→))|)))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1－1)),\r(\f(1,4)＋1＋1)×\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为eq\f(\r(3),3).(3)解假设存在，设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0，1]使得eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AP,\s\up6(→))，因此点M(0，1－λ，λ)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(－1，－λ，λ)．∵BM⊄平面PCD，要使BM∥平面PCD，当且仅当eq\o(BM,\s\up6(→))·n＝0，即(－1，－λ，λ)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1，1))＝0，解得λ＝eq\f(1,4)，∴在棱PA上存在点M，使得BM∥平面PCD，此时eq\f(AM,AP)＝eq\f(1,4).4．(1)证明∵△ABC是正三角形，E为AC的中点，∴BE⊥AC.又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE.∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC.∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC.(2)解存在．由(1)及已知得PA⊥BE，PA⊥AC，∵点E，F分别为AC，PC的中点，∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC.又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直．以E为坐标原点，以EB，EC，EF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，－2，0)，P(0，－2，2)，B(2eq\r(3)，0，0)，C(0，2，0)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)，－2，2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)，2，0)．设eq\o(BG,\s\up6(→))＝λeq\o(BP,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)λ，－2λ，2λ)，λ∈[0，1]，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)(1－λ)，2(1－λ)，2λ)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)，2，0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0，4，－2)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\o(PC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2\r(3)x＋2y＝0，,4y－2z＝0，))令x＝1，则y＝eq\r(3)，z＝2eq\r(3)，∴n＝(1，eq\r(3)，2eq\r(3))．由已知得eq\f(\r(15),5)＝eq\f(|\o(AG,\s\up6(→))·n|,|\o(AG,\s\up6(→))||n|)，即eq\f(\r(15),5)＝eq\f(4\r(3),4\r(16（1－λ）2＋4λ2))，解得λ＝eq\f(1,2)或λ＝eq\f(11,10)(舍去)，故λ＝eq\f(1,2)，∴存在满足条件的点G，点G为PB的中点．多选题加练(七)立体几何与空间向量1．ACD[由面面垂直的性质定理可知A正确；对于B，若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m，或者l，m异面，故B错误；对于C，若m⊂α，l⊥α，则l⊥m，故充分性成立，但是l⊥m，m⊂α，不能得到l⊥α，故C正确；对于D，若m⊂α，l⊄α，l∥α，不能得到l∥m，因为l，m有可能异面，但是l∥m，m⊂α，l⊄α，则l∥α，故D正确．]2．BD[因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1D,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1C1,\s\up6(→))－eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故A不正确，B正确；如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC，故向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq\o(AV,\s\up6(→))，向量eq\o(AD,\s\up6(→))在向量eq\o(AC,\s\up6(→))上的投影向量为eq\o(AW,\s\up6(→))，由题意易得eq\f(AV,AB)＝eq\f(1,3)，eq\f(AW,AC)＝eq\f(2,3)，故eq\o(AV,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，C不正确；eq\o(AW,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，D正确．]3．BC[连接AC，BD，交于点O，连接OC1，因为O1为四边形A1B1C1D1的中心，所以AO1∥OC1，又OC1⊂平面BDC1，AO1⊄平面BDC1，所以AO1∥平面BDC1，因为三棱锥Q－PBD的体积等于三棱锥P－QBD的体积，且为定值，所以AO1∥平面QBD，所以平面QBD与平面BDC1为同一平面，所以Q为CD1与DC1的交点，所以DQ＝QC1，故A错误，B正确；因为正方体的棱长为2，所以O1Q＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故C正确，D错误．]4．BD[A中，设下面的圆锥的母线长为l，则l＝eq\r(32＋62)＝3eq\r(5)cm，故下面圆锥的侧面积为S＝πrl＝3×3eq\r(5)π＝9eq\r(5)πcm2，故沙漏的侧面积为2S＝18eq\r(5)πcm2，故A错误；B中，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高的eq\f(2,3)，所以细沙形成的圆锥底面半径为eq\f(2,3)×3＝2cm，高为6×eq\f(2,3)＝4cm，故底面积为π·22＝4πcm2，所以沙漏中的细沙体积为eq\f(1,3)×4π×4＝eq\f(16π,3)cm3，B正确；C中，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为eq\f(16π,3)cm3，其中此锥体的底面积为π·32＝9π，故高度为eq\f(3×\f(16π,3),9π)＝eq\f(16,9)≈1.8cm，C错误；D中，eq\f(16π,3)÷0.02≈eq\f(16×3.14,3×0.02)≈837秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D正确．]5．BD[对于A，当N为C1M的中点时，取BC的中点P，连接PN，AP，易知PN∥CC1，CC1⊥平面ABC，则PN⊥平面ABC，故∠PAN为直线AN与平面ABC所成的角，则tan∠PAN＝eq\f(PN,AP)＝eq\f(\f(1,2)（MB＋CC1）,\f(\r(11),2))＝eq\f(1＋3,\r(11))＝eq\f(4,\r(11))，故A错误；对于B，当MN＝2NC1时，延长B1N交CC1于点Q，此时eq\f(C1Q,B1M)＝eq\f(C1N,MN)＝eq\f(1,2)，所以C1Q＝1，CQ＝2，所以CQ＝B1M.又CQ∥B1M，所以四边形CQB1M是平行四边形，所以CM∥B1Q，即CM∥B1N.因为B1N⊄平面ACM，CM⊂平面ACM，所以B1N∥平面ACM，故B正确；对于C，当点N与M重合时，易知AN＝2，CN＝eq\r(2)，此时△ACN的周长为2＋eq\r(2)＋eq\r(3)，显然有2＋eq\r(2)＋eq\r(3)<3eq\r(3)，故C错误；对于D，取BC的中点P，连接AP，易知AP⊥平面BCC1B1，AP＝eq\f(\r(11),2)，若三棱锥N－AMC的体积为eq\f(\r(11),6)，即VN－AMC＝eq\f(\r(11),6)，所以eq\f(1,3)·S△CMN·AP＝eq\f(\r(11),6)，所以S△CMN＝1，因为S△CMC1＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)>S△CMN＝1，所以存在点N，使得三棱锥N－AMC的体积为eq\f(\r(11),6)，故D正确．]6．ACD[连接VP，BP，因为△ABC和△VAC为等边三角形，P为AC中点，所以AC⊥VP，AC⊥BP，因为VP∩BP＝P，VP，BP⊂平面VPB，所以AC⊥平面VPB，因为VB⊂平面VPB，所以VB⊥AC，故A正确；因为平面ABC⊥平面VAC，平面ABC∩平面VAC＝AC，VP⊥AC，VP⊂平面VAC，所以VP⊥平面ABC，以P为原点，分别以PA，PB，PV为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A(1，0，0)，V(0，0，eq\r(3))，B(0，eq\r(3)，0)，C(－1，0，0)，eq\o(VA,\s\up6(→))＝(1，0，－eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3)，0)，设VA与BC所成角为θ，所以cosθ＝eq\f(|\o(VA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→))|,|\o(VA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|－1|,2×2)＝eq\f(1,4)，故B错误；因为VP⊥平面ABC，BP⊂平面ABC，所以VP⊥BP，因为△ABC和△VAC的边长为2，所以VP＝BP＝eq\r(3)，在等腰直角△VPB中，VP＝BP＝eq\r(3)，所以点P到VB的距离为eq\r(3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),2)，故C正确；分别取△ABC和△VAC的外心O2，O1，再分别过O2，O1作平面ABC，平面VAC的垂线交于点O，所以O为三棱锥V－ABC的外接球球心，OO2＝O1P＝eq\f(1,3)VP＝eq\f(\r(3),3)，BO2＝eq\f(2,3)BP＝eq\f(2\r(3),3)，所以OB＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15),3)，三棱锥V－ABC的外接球的表面积为4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(20π,3)，故D正确．]7．ACD[以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立坐标系，如图所示，D(0，0，0)，E(1，2，1)，B(2，2，0)，G(2，1，2)，A(2，0，0)，F(0，1，1)，C1(0，2，2)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，2，1)，eq\o(BG,\s\up6(→))＝(0，－1，2)，∵eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(BG,\s\up6(→))＝1×0＋2×(－1)＋1×2＝0，∴eq\o(DE,\s\up6(→))⊥eq\o(BG,\s\up6(→))，故A正确；eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－2，0，2)，eq\o(BG,\s\up6(→))＝(0，－1，2)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－2，1，1)，设平面BC1G的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(BC1,\s\up6(→))·n＝0，,\o(BG,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x1＋2z1＝0，,－y1＋2z1＝0，))令z1＝1，则x1＝1，y1＝2，则n＝(1，2，1)，∵eq\o(AF,\s\up6(→))·n＝(－2)×1＋1×2＋1×1＝1≠0，∴AF与平面BC1G不平行，故B不正确；eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，2，0)，设直线AB与平面BC1G所成的角为α，则sinα＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|\o(AB,\s\up6(→))||n|)＝eq\f(4,2×\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(3),3)，故C正确；∵n＝eq\o(DE,\s\up6(→))，∴DE⊥平面BC1G，取X，T为A1D1，AA1的中点，如图所示，则WD1＝CV＝AU＝eq\f(1,2)，由几何关系可知，WX∥VU，WV∥TU，则WXTUV组成一个平面，由BG∥TU，BC1∥TX，TU，TX均在平面WXTUV内，则DE⊥平面WXTUV，即过点F且与直线DE垂直的平面α，截该正方体所得截面为如图所示的平面WXTUV，则截面WXTUV的周长为WX＋XT＋TU＋UV＋VW＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＋eq\r(1＋1)＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＋eq\r(22＋1)＋eq\r(22＋1)＝3eq\r(5)＋eq\r(2)，故D正确．]8．ACD[对于A，如图，过点O作OM∥BC，交劣弧eq\o(AC,\s\up8(︵))于点M，连接ON，由于N，O分别为SA，AB的中点，所以ON∥SB，又ON⊄平面SBC，OM⊄平面SBC，SB⊂平面SBC，BC⊂平面SBC，所以ON∥平面SBC，OM∥平面SBC，又OM∩ON＝O，所以平面OMN∥平面SBC.又MN⊂平面OMN，所以MN∥平面SBC，故A正确；对于B，假设圆O上存在点M使AM⊥平面SBC，SB⊂平面SBC，所以AM⊥SB.又因为SO⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，所以AM⊥SO，又SO∩SB＝S，所以AM⊥平面SOB，又AM⊥平面SBC，所以平面SOB∥平面SBC，而平面SOB∩平面SBC＝SB，故B错误；对于C，如图，已知SA＝5，圆锥SO的侧面积为S＝π×AO×SA＝15π，解得AO＝3，则SO＝4，由题意可知球心在SO上，记为O′，设其半径为R，由勾股定理得OA2＋OO′2＝O′A2，所以32＋(4－R)2＝R2，解得R＝eq\f(25,8)，所以圆锥SO的外接球表面积为4πR2＝eq\f(625π,16)，故C正确；对于D，设圆锥SO的内切球半径为r，则圆锥的轴截面SAB内切圆的半径为r，SA＝5，AO＝3，则SO＝4，如图，由等面积法知eq\f(1,2)·r·(6＋5＋5)＝eq\f(1,2)×6×4，r＝eq\f(3,2)，设半径为r＝eq\f(3,2)的球的内接正四面体棱长为a.如图，T为正四面体底面中心，K为正四面体外接球球心，PT＝eq\f(\r(3),3)a，LT＝eq\f(\r(6),3)a，则r2＝PT2＋(LT－r)2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)a－\f(3,2)))eq\s\up12(2)，解得a＝eq\r(6)，故D正确．]9．ACD[如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，A1(0，0，1)，B1(0，1，1)，C1(1，1，1)，D1(1，0，1)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，1，0)，xeq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，x)，yeq\o(AD,\s\up6(→))＝(y，0，0)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＝(y，1，x)，∴P(y，1，x)．对于A，当x＝1时，P(y，1，1)为线段B1C1上的点，将平面A1B1C1D1和平面BCC1B1展开为同一个平面如图，连接D1B，则D1P＋BP的最小值即为D1B＝eq\r(D1C2＋BC2)＝eq\r(5)，故A正确；对于B，当x＝y时，P(x，1，x)，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(－1，1，1)，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(x，1，x－1)，则eq\o(DB1,\s\up6(→))·eq\o(A1P,\s\up6(→))＝－x＋1＋x－1＝0，即DB1⊥A1P，即满足条件的P点有无数个，故B错误；对于C，当x＋y＝1时，y＝1－x，则P(1－x，1，x)，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq\o(A1P,\s\up6(→))＝(1－x，1，x－1)，|eq\o(A1P,\s\up6(→))|＝eq\r(3＋2x2－4x)，则eq\o(A1P,\s\up6(→))在eq\o(A1B1,\s\up6(→))上的投影长度为eq\f(|\o(A1P,\s\up6(→))·\o(A1B1,\s\up6(→))|,|\o(A1B1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,1)＝1，则点P到直线A1B1的距离d＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(A1P,\s\up6(→))|2－12))＝eq\r(2x2－4x＋2)；平面ABCD的一个法向量为eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0，0，1)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1－x，1，x)，则点P到平面ABCD的距离为eq\f(|\o(AA1,\s\up6(→))·\o(AP,\s\up6(→))|,|\o(AA1,\s\up6(→))|)＝x；当点P到直线A1B1的距离与到平面ABCD的距离相等时，eq\r(2x2－4x＋2)＝x⇒x2－4x＋2＝0，∵x∈[0，1]，∴方程有一个解x＝2－eq\r(2)，即y＝eq\r(2)－1，即仅存在一个点P满足条件，故C正确；对于D，当x2＋y2＝1时，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(y，1，x)，eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，－1，0)，∵cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(C1D1,\s\up6(→)),|\o(AP,\s\up6(→))||\o(C1D1,\s\up6(→))|)＝eq\f(－1,\r(y2＋1＋x2))＝－eq\f(\r(2),2)，故直线AP与C1D1所成角的大小eq\f(π,4)，为定值，故D正确．]10．ACD[对于A，当λ＝1，μ＝eq\f(1,2)时，点P为DD1的中点，所以AP＝eq\r(AD2＋DP2)＝eq\r(2)，CP＝eq\r(CD2＋DP2)＝eq\r(2)，AC＝eq\r(CD2＋AD2)＝eq\r(2)，所以△ACP为等边三角形，所以直线CP与AP所成角为60°，A正确；对于B，当λ＝1时，点P在DD1上，此时把正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的后面和右面展开，如图，AP＋PC1的最小值为AC1＝eq\r(AC2＋C1C2)＝2eq\r(2)，B错误；对于C，因为点P