常州高三二模数学试卷

常州高三二模数学试卷一、选择题

1.在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点坐标是（）

A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）

2.已知函数f（x）=x^2-4x+3，则f（2）的值为（）

A.-1B.0C.1D.3

3.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则△ABC的周长与面积之比为（）

A.1：√3B.1：2C.2：1D.2：√3

4.若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则第n项an=（）

A.a1+(n-1)dB.a1+(n+1)dC.a1-d+(n-1)dD.a1+d+(n-1)d

5.若等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则第n项bn=（）

A.b1*q^(n-1)B.b1*q^(n+1)C.b1*q^(n-2)D.b1*q^(n+2)

6.若函数f（x）=ax^2+bx+c在x=1时取得最小值，则a、b、c之间的关系为（）

A.a>0，b=0，c>0B.a>0，b=0，c<0C.a<0，b=0，c>0D.a<0，b=0，c<0

7.在复数域内，若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z=（）

A.0B.1C.-1D.i

8.若向量a=（2，3），向量b=（4，6），则向量a与向量b的点积为（）

A.0B.2C.6D.12

9.在平面直角坐标系中，直线y=2x+1与直线y=-x+3的交点坐标为（）

A.（1，3）B.（-1，1）C.（0，1）D.（0，-1）

10.若函数f（x）=x^3-3x^2+4x-1在x=1时取得极值，则f（1）的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

二、判断题

1.在平面直角坐标系中，所有点的坐标满足x^2+y^2=r^2的图形是一个圆。（）

2.如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形一定是等腰三角形。（）

3.等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中an为数列的第n项。（）

4.在平面直角坐标系中，如果一条直线与x轴的夹角是45°，那么这条直线的斜率是1。（）

5.向量的点积只有在两个向量共线时才等于它们的模长乘积。（）

三、填空题

1.函数f(x)=-2x^2+8x+3的顶点坐标是_________。

2.等差数列{an}的前10项和为55，第5项为5，则该数列的首项a1为_________。

3.在复数域中，复数i的平方是_________。

4.如果一个三角形的内角分别为30°、60°、90°，那么它的外角分别为_________、_________、_________。

5.二次函数y=x^2-4x+3的对称轴方程是_________。

四、简答题

1.简述一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的判别式Δ=b^2-4ac的几何意义。

2.如何证明两个向量a和b垂直的条件是它们的点积a·b=0？

3.简述函数y=√(x^2-1)的图像特征，包括它的定义域、值域、顶点、渐近线等。

4.给定一个三角形ABC，已知边AB=5，AC=8，且∠A=30°，求BC的长度。

5.解释为什么在解三角形问题时，通常需要使用正弦定理或余弦定理，并举例说明如何应用这两个定理解决实际问题。

五、计算题

1.计算函数f(x)=2x^3-3x^2+12x-6在x=2时的导数值。

2.解一元二次方程x^2-5x+6=0，并求出方程的两个根。

3.设等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求该数列的前10项和。

4.计算复数z=3+4i与其共轭复数z*的乘积。

5.已知三角形的两边长分别为5和12，夹角为60°，求该三角形的面积。

六、案例分析题

1.案例背景：某班级学生进行了一次数学测验，测验成绩呈正态分布，平均分为75分，标准差为10分。其中，成绩在90分以上的学生占比为15%，成绩在60分以下的学生占比为5%。

案例分析：

（1）根据上述信息，估算该班级学生成绩在70分到85分之间的学生占比。

（2）如果该班级有40名学生，那么预计有多少名学生的成绩在80分以上？

（3）如果学校要求学生的成绩至少达到平均分以上，那么至少有多少名学生的成绩在70分以上？

2.案例背景：某公司生产一种产品，其重量分布服从正态分布，平均重量为500克，标准差为50克。公司规定，产品重量必须在475克到525克之间，否则视为不合格。

案例分析：

（1）计算该产品重量在475克到525克之间的概率。

（2）如果公司每天生产1000件产品，预计有多少件产品会被视为不合格？

（3）如果公司希望提高产品的质量，决定将合格产品的重量范围调整为470克到530克，那么预计合格产品的数量会有怎样的变化？

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批零件，前三天每天生产了120个，第四天由于设备故障，生产量减少了10%，第五天恢复正常，生产了150个。如果每天平均生产量要达到130个，那么第五天之后每天至少需要生产多少个零件才能满足要求？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c（a>b>c），且体积V=a*b*c=64立方米。如果长方体的表面积S=a*b+b*c+c*a=72平方米，求长方体的最大对角线长度。

3.应用题：某商店举行促销活动，规定顾客购物满200元即可获得一张优惠券，优惠券可抵扣购物金额的10%。小明第一次购物消费了250元，使用了优惠券后实际支付了225元。第二次购物消费了180元，没有使用优惠券。求小明在两次购物中获得的优惠券总价值。

4.应用题：一家公司计划在一个月内完成一批产品的生产，根据生产计划，前20天每天生产80个产品，从第21天开始，每天比前一天多生产5个产品。如果要在整个月内完成1000个产品的生产，求该月最后一天应该生产多少个产品。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.A

2.D

3.A

4.A

5.A

6.A

7.C

8.D

9.A

10.B

二、判断题答案：

1.√

2.√

3.√

4.√

5.×

三、填空题答案：

1.(1,4)

2.3

3.-1

4.150°，120°，90°

5.x=2

四、简答题答案：

1.判别式Δ的几何意义在于，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根。

2.两个向量a和b垂直的条件是它们的点积a·b=0，即a的每个分量与b的对应分量的乘积之和为0。

3.函数y=√(x^2-1)的图像是一个开口向右的抛物线，其定义域为x≤-1或x≥1，值域为y≥0，顶点坐标为(0,1)，没有渐近线。

4.BC的长度可以通过使用余弦定理来计算，即BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos(∠A)=5^2+8^2-2*5*8*cos(30°)=25+64-40*√3≈29.42，所以BC≈5.38。

5.正弦定理和余弦定理是解三角形问题的基本工具，因为它们允许我们使用已知的角度和边长来计算未知的边长和角度。例如，使用正弦定理可以解决边长未知的问题，而使用余弦定理可以解决角度未知的问题。

五、计算题答案：

1.f'(x)=6x^2-6，所以f'(2)=6*2^2-6=24-6=18。

2.x^2-5x+6=0，分解因式得(x-2)(x-3)=0，所以x=2或x=3。

3.S10=n(a1+an)/2=10(3+2*9)/2=10(3+18)/2=10*21/2=105。

4.z*z*=(3+4i)*(3-4i)=9-16i^2=9+16=25。

5.三角形面积S=(1/2)*AB*AC*sin(60°)=(1/2)*5*12*(√3/2)=15√3。

六、案例分析题答案：

1.(1)使用标准正态分布表或计算器，找到Z分数对应于90%和5%的累积概率，分别得到Z1和Z2。然后计算P(70≤X≤85)=P(Z1≤Z≤Z2)。

(2)使用Z分数转换为实际分数，即X=Z*σ+μ，其中μ=75，σ=10。计算得到X的值，然后乘以学生总数。

(3)使用Z分数转换为实际分数，计算得到X的值，然后乘以学生总数，得到至少达到70分的学生人数。

2.(1)计算Z分数，Z1=(475-500)/50=-1，Z2=(525-500)/50=1.5。使用标准正态分布表或计算器，找到对应于Z1和Z2的累积概率，然后计算P(-1≤Z≤1.5)。

(2)计算P(Z<-1)和P(Z<1.5)，然后从1中减去这两个概率，得到不合格产品的比例，乘以每天生产的产品数量。

(3)使用标准正态分布表或计算器，找到对应于P(Z<-1.5)和P(Z<1.5)的累积概率，然后计算合格产品的比例，乘以每天生产的产品数量。

七、应用题答案：

1.总共需要生产的零件数为130*30=3900个，已经生产了360个，所以还需要生产3900-360=3540个。前20天已经生产了120*3=360个，所以第五天之后需要生产3540-360=3180个，平均每天需要生产3180/10=318个。

2.由V=a*b*c=64得到c=64/(a*b)。将c代入S=a*b+b*c+c*a=72中，得到2a^2b-64b+72=0。解这个方程得到a和b的值，然后使用勾股定理计算对角线长度d=√(a^2+b^2+c^2)。

3.优惠券总价值为(250-225)/10%+(180-180)/10%=25+0=25元。

4.前20天生产的总数为20*80=1600个，剩余10天需要生产1000-1600=-600个，这是不可能的，因此需要调整生产计划。假设最后一天生产x个，那么前19天需要生产1000-(x-80)=1080-x个。使用公式计算得到x的值。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学的主要知识点，包括：

-一元二次方程的解法及其应用

-向量的基本运算和几何意义

-三角函数及其图像

-概率与统计的基本概念

-解三角形的方法

-数列及其性质

-函数的性质和应用

-应用题的解决方法

各题型所考察的知识点详解及示例：

-选择题：考察学生对基本概念和定理的理解，如一元二次方程的根的判别式、向量的点积、三角函数的值等。

-判断题：考察学生对基本概念和定理的判断能力，如正态分布的性质、等差数列和等比数