2023年高考数学一轮复习文档 学生用书 第12章

第十二章复数、推理与证明、算法

第一节数系的扩充与复数的引入

•最新考纲•

1.理解复数的基本概念.

2.理解复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示及其几何意义.

4.能进行复数代数形式的四则运算.

5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

・考向预测•

考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共靶复数、复数的模等)，复数相等的

充要条件，复数的代数形式的四则运算仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题.

学科素养：通过复数的概念、运算及其几何意义考查数学运笄的核心素养.

积累必备知识一基础落实赢得良好开端

一、必记3个知识点

1.复数的有关概念

(1)复数的概念

形如〃+砥a,的数叫做复数，其中小b分别是它的和.若

，则a+bi为实数，若,则a+bi为虚数，若,则a+历

为纯虚数.

(2)复数相等：a+/)i=c+6/iQ(a,b,c,d£R).

(3)共枕复数："+Ai与e-Ji共规o(a,b,c,d£R).

(4)复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.叫做实轴,

叫做虚轴.实轴上的点都表示:虚轴上的点都表示:各象限内的点都表示

复数集C和复平面内的组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面

内所有以为起点的向量组成的集合也是一一对应的.

(5)复数的模

向量02的模r叫做复数z=a+〃i的模，记作|z|或|a+历即|z|=|a+)i|=

2.复数的几何意义

3.复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设zi=a+0i,Z2=c+d\{c,b,c,d£R),则

①力口法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=•

②减法：zi-Z2=(a+〃i)一(c+di)=.

③乘法：zig=(a+加>(c+M)=.

④除法：*=』=(c+d*O).

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z］、Z2、Z3^C,有Z|+Z2=Z2+Z［,(Z1+Z2)

I23=21I(Z2IZ3)・

二、必明3个常用结论

2.-〃+ai=i(a+/):

14«^+|_|_^2_|_；4«+3\

3.i4n+,=i,i4n+2=-l,i4rt+3=-i,+=0>wGN

三、必练4类基础题

(一)判断正误

I.判断下列说法是否正御(请在括号中打“J”或“X”).

(1)方程f+x+l=O没有解.()

(2)复数z=a+〃i伍，5£R)中，虚部为〃i.()

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小,如4+3i>3+3i,3+4i>3+3i

等.()

(4)原点是实轴与虚轴的交点.()

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量

的模•()

(6)复数z=-l+2i的共轨复数对应点在第四象限.()

(二)教材改编

2.［选修2-2P心例题改编］已知z=(小+1)+(加一l)i在电平面内对应的点在第四象限，

则实数力的取值范围是()

A.(—1,1)B.(―1,3)

C.(1,+8)D.(-8,-1)

2+

3.［选修2-2-PU6复习参考题A组Tl(2)改编愎数z='%为虚数单位)的共规复

数是.

（三）易错易混

4.（对复敷的虚部认花不贵）已知复数zi满足（2—i）zi=6+2i,zi与Z2=〃J—2〃i（/〃，n€R）

互为共知复数，则即的虚部为，加+〃=.

5.（复数的几何意义出绪）如图所示，在复平面内，复数zi和Z2对应的点分别是A和3,

5

（四）走进高考

6.［2021•全国卷I］若z=l+i,则忆2—2才=（）

A.0B.1C.aD.2

提升关键能力一考点突破掌握类题通法

考点一复数的有关概念［基础性］

1.若复数z满足zi=3—5i,则z的虚部为（）

A.一3B.3C.5D.-5

1+

2.［2022•广东深圳市高三质量评估］若复数z=小一i为纯虚数，则实数a的值为

（）

A.-IB.-3C.0D.I

z-

3.已知z为复数，i为虚数单位.若复数"为纯虚数，则|z|=（）

A.2B.的C.1D.

反思感悟求解与复数概念相关问题的技巧

复数的分类、复数的相等、复数的模，共蛆及数的概念都与复数的实部与虚部有关，所

以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数格式，即a+）i（a,的形

式，再根据题意列方程（组）求解.

考点二复数的代数运算［基础性］

［例I］(1)［2021•北京卷］在复平面内，复数z满足(l—i)z=2,则z=()

A.2+iB.2-iC.LiD.1+i

(2)［2021•全国乙卷］设2(z+力+3(z—3=4+6i,则z=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.|-i

(3)(2021•全国甲卷］已知(1-ipz=3+2i,则z=()

A.-1-3iB.-1+

3

C.—、+iD.

听课笔记：

反思感悟复数代数形式运算问题的解题策略

复数的在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部

加减法相加减，虚部与虚部相加减)计算即可

复数的复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类

乘法同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可

复数的除法的关健是分子分母同乘以分母的共聊复数，解题中要注意把i的事

除法写成最简形式

【对点训练】

1+2>

1.设复数Z满足鼻=i,贝l」Z=()

S5.D

AA.IB.

C-55iD.-

2.若复数z满足z(l+2i)=(l+iF(i为虚数单位)，贝”z-4-i2O2,|=()

<场3

A.5B.5C.5D,1

3.［2022•浙江省舟山中学高三月考］若z=2+i,则|z|=

考点三复数的几何意义［基础性、应用性］

2-i

［例2］(1)复数1T在复平面内对应的点所在的象限为()

A.第一象限B.第二象限

C第三象限D.第四象限

吧

(2)［2022•开封市模拟考试|在复平面内,复数计对应的点位于直线y=x的左上方,

则实数a的取值范惘是()

A.(—8,0)B.(一8,1)

C.(0,+8)D.(1,+8)

听课笔记：

反思感悟复数几何意义及应用

(1)复数z、良平面上的点Z及向量而相互联系，即z=a+/?i(a,力£R)oZ(a,

〃)=O2=(a,b).

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何

联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

［提醒］|z|的几何意义：令z=x-iyi(x,y£R),则|z|=依T,由此可知表示复

数Z的点到原点的距离就是|Z|的几何意义；Z2|的几何意义是复平面内表示复数Z1,Z2的

两点之间的距离.

【对点训练】

2i

1.［2022•重庆市高三月考］在复平面内，复数.对应的点的坐标为()

A.(-l,1)B.(1,-1)

C.(~l»i)D.(i,-1)

2.［2022•合肥市教学质量检测］设复数z满足|z-l|=|z—i|(i为虚数单位)，z在复平面内

对应的点为(1,y),贝女)

A.>'=­A

B.y=x

C.(.Ll)2+(y—1)2=1

D.(x+l)2+()，+1尸1

第十二章复数、推理与证明、算法

第一节数系的扩充与复数的引入

积累必备知识

1.⑴实部虚部b=a5WO。=0且bWO(2)a=c且b=d(3)S=-d

(4)x轴y轴除去原点实数纯虚数实部不为0的虚数点原点

⑸JG+Y

3.(a+c)+(b+d)i(a—c)+(〃-d)i(ac-bd)+(ad+bc)\

二.、

1.答案：⑴x(2)X(3)X(4)X⑸J(6)X

2.解析：要使复数z对反的点在第四象限，应满足，解得一1<〃?<1.

答案：A

Z+(24^(1+^1+313

3.解析：因为z=L=&***=2=2Y所以，其共扼复数为

答案：z1

64-3葡一饲l(Hia

4.解析：由(2—i)zi=6+2i,得Zi='宜=B=2+2i,则Z2

=2—2i,则m=2,以=1,所以m+/i=3.

答案：23

3K-2-H)TI

_S-

5.解析：由题图得：zi=-2—i,Z2=i，所以

答案：一5Psi

6.解析：6z=l+i,.,.|z2-2z|=|(l+i)2-2(l+i)|=|2i-2i-2|=|-2|=2.

答案：D

提升关键能力

考点一

3-S

1.解析：由复数的运算法则，可得z=丁=记耳=-5—3i,所以复数z的

虚部为一3.

答案：A

1+（1呼7升小a-^一。

2.解析：化简原式可得：z=后一i="1-i=一而一.z为纯虚数

什]

时，"=0,a—a2-2Ko即a=-1.

答案：A

»+{^>

3.解析：设2=〃+加3,〃£R）,所以复数*=f

=

=币=因为复数计为纯虚数，所以〃+〃=],.所以团=

^+P=1.

答案：C

考点二

a第司第句

例।解析：⑴由题意可得：z=J=0市r=~=i+i.

(2)设2=〃+力i,则'=〃一历，则2(z+!)+3(Z—)=4a+6加=4+6i.

14a=4

所以，Mb=6,解得a=b=],因此,

z=I+i.

a+aG+砌-2-H3

(3)(1—i/z=-2iz=3+2i,z=一不=Ti==一1+

答案：(DD(2)C(3)B

对点训练

l+2a-14i(T珂ZF

■

1.解析：由'r=i得l+2z=i-iz,所以Z=

答案：C

aw♦+1

2.解析：由z(l+2i)=(l+i)2得复数z=l+2i-

♦-a4-14+a

T

514.j2021_S+i=

.,.|z+i2O2,|=7L腐①.

答案：D

3.解析：因为z=2+i,所以|z|=

2i2i2i2噂8

(2十2旬一一(5-«5代一

答案：讴管

考点三

2-i1-H

T,所以该复数对应的点为

例2解析：⑴

G+该点在第一象限.

EQT独

⑵因为1+0球一,复数I中对应的点在直线)，=X的左

上方，所以1—解得avO.故实数。的取值范围是(一8,0).

答案：(1)A(2)A

对点训练

里7计。21

1.解析：由匚=<1-W14<=~=-l+i,见复数二对应的点的坐标

是(一1，1).

答案：A

2.解析：z在复平面内对应的点为(%,y),则z=x+,i(x,y£R),又|z-l|=|z—i|,所

以(x—l)2+y2=f+G，—])2,所以),=x

答案：B

第二节合情推理与演绎推理

•最新考纲•

1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理.

2.体会合情推理在数学发现中的作用.

3.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绛推理的联系和差异，掌握演绎推理“三

段论”.能运用“三段论”进行一些简单推理.

•考向预测•

考情分析：以类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根

据几个人的不同说法作出推理判断进行命题.在高考中以填空题的形式进行考查，属于中、

高档题.

学科素养：通过合情推理与演绎推理的应用考查逻辑推理的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记3个知识点

1.推理

(1)定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.

(2)分类：推理

2.合情推理

归纳推理类比推理

由某类事物的部分对象具有某些特

征，推出该类事物的由两类对象具有某些类似特征和其

定义________________________的推中一类对象的____________,推出

理.，或者由个别事实概括出另一类对象也具有这些特征的推理

_的推理

由____到____、由____到____的推

特点由到的推理

理

3.演绎推理

（1）定义：从____________出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演

绎推理.

（2）特点：演绎推理是由—到—的推理.

（3）

'①大前提：已知的

，②小前提：所研究的特殊情况

、③结论：根据一般原理，对____________做出的判断

模式：三段论

二、必明2个常用结论

1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在土行归纳时，要先根据已知的

部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.

2.类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似对象之间的推理，其中一个对象具有

某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推

理过程，然后类比推导类比对象的性质.

三、必练2类基础题

（一）判断正误

I.判断下列说法是否正确（请在括号中打“J”或"X”）.

（1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.（）

（2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.（）

（3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.（）

（4）在演绎推理中，只要冬合演绎推理的形式，结论就一定正确.（）

（二）教材改编

2.［选修1-2R8练习Ti改编］已知数列｛诙｝中，“1=1,心2时,。”=加1+2〃-1,依

次计算他，的，W后，猜想”，的表达式是（）

A.诙=3〃-1B.a“=4〃-3

2

C.«d=wD.

3.［选修1一2・%4例4改编］类比平而内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的

性质，可得出空间内的下列结论（）

①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行：

③垂直于同一个平面的两个平面互相平行：

④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.

A.①®B.®@C.③④D.①④

提升关键能力一考点突破掌握类题通法

考点一类比推理［基感性、应用性］

1.我国古代数学名著《凡章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又害IJ,

以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如

在42+.2+折二中，“…,，代表无限次重复，但原式却是个定值-这可以通过方

程6G=1确定出来工=2,类似地不难得到1+'F等于（）

2.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用如图1所示的

三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布菜士•帕斯卡的著

作介绍「这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，

所以有些书上称这是“中国三角形"（Chineseiriangle）,17世纪德国数学家莱布尼茨发

现了“菜布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:

藻，其中〃是行数，r£N.诗类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式

是________

11

爹7

111

J6T

IAHI

1_L_L_L±

52030205

Ki6060iK

[]"i][

pl「0「I「I「1r*r「1「a-1「I「Q

J.lJJ.1JJdJ

图2

反思感悟（1）进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，

提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键.

（2）类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比：等差数列与等比数

列类比：数的运舞与向量的运算类比：圆锥曲线间的类比等.

考点二归纳推理［基础性］

角度1与数字有关的推理

［例1］有•个奇数组成的数阵排列如下:

1371321

591523•••

111725•••

1927••••••

29…•••♦♦♦

则第30行从左到右第3个数是

听课笔记：

角度2与不等式有关的推理

［例2］观察下列式子：Vixi<2,<

"VTX2+V2X3+5^5<4

2<8VT72+V2)n+^5c4+V4>F3<

25

L…，根据以上规律，第”(〃£N")个不等式是

听课笔记：

角度3与图形有关的推理

［例31分形几何学是数学家伯努瓦・曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学

学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图甲所示的分形

规律可得如图乙所示的一个树形图；记图乙中第〃行黑圈的个数为小，则(1)出=:

⑵2a“=•

第1行

第2行

第3行

图甲图乙

听课笔记:

反思感悟

1.归纳推理的常见类型及求解策略

（1）数的归纳，包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻

项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等.

（2）形的归纳，主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，解决的关键是抓住相邻国

形之间的关系.

2.运用归纳推理的思维步骤

通过观察特例发现某些相似性（特例的

共性或一般规律）

把这种相似性推广为一个明确表述的一

般命题（猜想）

检验，得结论一对所得的一般性命题进行检验

【对点训练】

1.观察下列不等式:

13

1+?<彳

1+?+?<

1+二+1

照此规律，第五个不等式为

三角锥垛

2.[2022•陕西咸阳模拟]古希腊华达司拉斯学派的“三角形数”是列点（或圆球）在等

距的排列下可以形成正三角形的数，如1,3,6,10,15,…，我国宋元时期数学家朱世杰

在《四元玉鉴》中所记载的“深积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的

三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，……）若一”落

一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为（）

A.66B.55C.45D.38

考点三演绎推理［应用性］

■+3

［例4］数列｛阳｝的前〃项和记为已知卬=1,an+i=用三段论

的形式证明：

(1)数列是等比数列；

(2)S”+l=4"n.

听课笔记：

反思感悟演绎推理的论证规则

(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，

应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例题中，等比数

列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写.

(2)在推理论证过程中，一些梢复杂一点的证明题常常要由几个二段论才能完成.

【对点训练】

［2021•八省市新高考适应性考试］关于x的方程f+at+b=0,有下列四个命题：

甲：x=\是该方程的根；

乙：x=3是该方程的根；

丙：该方程两根之和为2；

T：该方程两根异号.

如果只有一个假命题，则该命题是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

微专题39归纳推理中的核心素养逻辑推理

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包

括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的

推理，推理形式主要有演绎.

［例］［2019•全国卷H］在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.

甲：我的成绩比乙高.

乙：丙的成绩比我和甲的都高.

丙：我的成绩比乙高.

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有•个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次

序为()

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.曰、丙、乙

解析：三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，有以下三种情况：(1)若乙预测正确，

则丙预测也正确，不合题意；（2）若丙预测正确，甲、乙预测错误，即丙成绩比乙高，甲的

成绩比乙低，则丙的成绩比乙和甲都高，此时乙预测又正确，与假设矛质；（3）若甲预测正

确，乙、丙预测错误，可得甲成绩高于乙，乙成绩高于丙，符合题意，故选A.

答案：A

名师点评本题体现数学索养中的逻辑推理，表现为人们在数学活动中进行交流的基本

思维品质，处理此类问懑常采用辨证推理的思想.

［变式训练］［2022•河南部分重点高中联考］为培养学生分组合作能力，现将某班分成A,

8,C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同的组.某次数学建模考试中三人的成绩情况如下：

在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成

绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低顺序，则排序正确的是（）

A.乙、丙、甲B.丙、乙、甲

C.乙、甲、丙D.日、丙、乙

第二节合情推理与演绎推理

积累必备知识

1.（2）合情推理演绎推理

2.全部对象都具有这些特征一般结论某些已知特征部分整体个别一般

特殊特殊

3.（1）一般性的原理（2）一般特殊（3）一般原理特殊情况

■、

1.答案：（l）x（2）V⑶X（4）X

2.解析：由”|=1,〃“=a”-i+2〃-1,贝

42=ai+2X2—1=4；g="2+2X3—1=9；

“4=03+2X4—1=16,用以

答案：C

3.解析：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行，正确；②垂直于同一条直线的两

条直线不一定平行，也可能是相交直线、异面直线，故不正确；③垂直于同一个平面的两个

平面不一定平行，也可能是相交平面，如墙角，故不正确；④垂直于同一条直线的两个平面

互相平行，正确.

答案：D

提升关键能力

考点一

1辿

1.解析：令1+即1+”=X,即X2—X—1=0,解得x=2（

-A，

2舍去)，故i+'长z.故选C.

答案：c

二,而相邻两项之

2.解析：类比观察得，莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数

和是上一行的两者相拱之数,

所以类比式子=，有*=•

1

_3_+>

答案：0,4=

考点二

例1解析：观察每一行的第一个数，由归纳推理可得笫30行的第1个数是1+4+6

+8+10+…+60=2-1=929.又第〃行从左到右的第2个数比第1个数大2〃，

笫3个数比第2•个数大2〃I2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,笫3个

数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.

答案：1051

例2解析：根据所给不等式可得第〃个不等式是ym+Em+…+

7nx(n+l)<z(〃£N)

_______________炉

答案：VIX2+V2X3-1---JnX(n+l〕v2

例3解析：(1)根据题图甲所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，

1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，

记某行白圈x个，黑圈>个为(x,y),

则第一行记为(1,0),第二行记为(2,1),第三行记为(5,4),第四行记为(14,13),故

。4=13.

(2)前五行的黑圈数乘2,分别是0,2,8,26,80,即1—1,3-1,9-1,27-1,81

-1,

・•・第〃行的黑圈数的2倍为2an=y-'-l.

答案:(1)13(2)3”一1一1

对点训练

I.解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根

与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列.故第五个不等式为1+

<

工+・+】+工+工11

较安尹丞手尹不

答案：14+-<？7

2.解析：•••"三角形数”可写为1,3=1+2,6=1+243,10=1+2+3+4,15=1

+2+3+4+5,

・•.“三角形数”的通项公式为为=1+2+3+…+〃=2,

•・•三角锥垛有10层，，该堆垛第10层球的个数为mo=―S-=55.

答案：B

考点三

■4-a

例4证明：(l),.Z0+i=S"+|—S,”a“+i="Sn,

.•・(〃+2)S“=〃(S”LSJ,即nSn+i=2(n+l)Sn.

I士

・•・奇=2.*,

故总是以2为公比J为首项的等比数列.

(2)由(1)可知a+1=4・T(〃e2),

J・TW

••・£+i=4(〃+l>・T=4.ST=4小(〃22).

又〃2=3SI=3,S2=«I+«2=1+3=4=44i,

・•・对于任意正整数〃，都有S“+i=4a”.

对点训练

解析：结合选项可知，若甲、乙都是真的，那么为=1,X2=3,则丙和丁都错了，因此

假命题必是甲或乙，再结合丙和丁，若甲为真命题，乙为假命题，则另一个根也是1,故丁

不成立，若乙为真命题，甲为假命题，则另一个根是一1,丁也成立.因此甲是假命题.

答案：A

微专题39归纳推理中的核心素养

变式训练

解析：因为在8组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低，所

以甲、乙都不在8组，所以丙在8组.假设甲在4组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人

按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C殂，乙在A组，与题意矛盾，

所以排序正确的是乙、丙、甲.

答案：A

第三节直接证明和间接证明

•最新考纲•

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法：了解分析法和综合法的思考过

程、特点.

2.了解间接证明的一种基本方法一反证法：了解反证法的思考过程、特点.

•考向预测•

考情分析：直接证明与间接证明是高中数学的重要推理方法，它们仍是高考的考点，题

型将是选择或填空题.

学科素养：通过直接证明和间接证明的应用考查逻辑推理的核心素养.

积累必备知识一基础落实赢得良好开端

一、必记3个知识点

1.直接证明

内容综合法分析法

从待证结论出发，一步一步寻求结论成立

从已知条件出发，经过逐步的推理，最后

的充分条件,最后达到题设的已知条件或

定义达到待证结论的方法,是一种从—推导

已被证明的事实的方法，是一种从一

到一的思维方法

追溯到产生这一结果的—的思维方法

从“_”看“_"，逐步推向“未知”，

从“—”看“—”，逐步靠拢“—”，其

特点其逐步推理，实际上是要寻找它的一

逐步推理，实际上是要寻找它的一条件

条件

2.间接证明——反证法

要证明某一结论Q是止硝的，但不直接证明，而是先去（即Q的反面非Q

是正确的），经过正确的推理，最后得出________,因此说明非Q是的，从而断定

结论Q是的，这种证明方法叫做反证法.

3.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取（no^N）时命题成立.

（2）（归纳递推）假设，尸如仁小，左£旷）时命题成立，证明当________时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对都成立，上述证明方法

叫做数学归纳法.

二、必明2个常用结论

1.分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论

与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明：或两种方法交叉使用.

2.利用反证法证明的特点：要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用

假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.

三、必练2类基础题

（一）判断正误

1.判断下列说法是否正确（请在括号中打“J”或"X”）.

（1）综合法是直接证明，分析法是间接证明.（）

（2）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.（）

⑶反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.（）

（二）教材改编

2.［选修I-2P42练习T?改编］若P=Va+6+V»+7,Q=

Va+8+V»+则尸，。的大小关系是（）

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.不能确定

3.［选修1-2尸52T2改编］VS-2的与书的大小关系是.

提升关键能力一考点突破掌握类题通法

考点一综合法的应用［综合性］

I例IJ设b,c均为正数，且。证明：

1

（l）ab+bc+caW3；

⑵旨°仁］

听课笔记：

一题多变

（支问题）若例I条件不变，证明：/+/+，2

反思感悟综合法证题的思路与方法

分析题目的已知条件及巳知条件与

结论之间的联系，选择相关的定理、

公式等，确定恰当的解题方法

把已知条件转化成解题所需要的语

言，主要是文字、符号、图形三种

语言之间的转化

回顾解题过程，可对部分步碟进行

调整，并对一些语言进行适当的修

饰，反思总结解题方法的选取

【对点训练】

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己角Isin4sinB+sin8sinC+cos28

(1)求证:a,b,c成等差数列:

3

⑵若C=>求证：567=3/?.

考点二分析法的应用［综合性］

［例2］已知〃>0,证明:泊+-2.

听课笔记:

反思感悟分析法的证题思路

分析法的证题思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢''已知”或本

身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等.通常采用“欲证一只需证一已知”的格

式，在表达中要注意叙述形式的规范.

【对点训练】

设x21,yNL证明：x+y+=''+町.

考点三反证法的应用［综合性］

ill

［例3］已知非零实数44c构成公差不为0的等差数列，求证：‘‘；不可

能成等差数列.

听课笔记：

反思感悟反证法证明问题的一般步骤

(1)反设——假设命题的纣论不成立，即假设原结论的反面为其；

(2)归谬——把“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；

(3)存真——由矛盾结果断定反没错误，从而肯定原结论成立.

应用反证法时，当原命题的结论的反面有多种情况时，要对结论的反面的每一种情况都

进行讨论，从而达到否定结论的目的.

【对点训练】

设〃>0,力>0,且”+方=-、，证明：

⑴a+622；

(2)/+。<2与/>2+/?<2不可能同时成立.

考点四数学归纳法的应用［综合性］

角度1用数学归纳法证明不等式

■1,11］

~一+--三-

［例4］用数学归纳法证明：1+飞1+23+…+1a+n(,/GN*).

听课笔记：

反思感悟数学归纳法证明不等式的适用范围及关键

(1)适用范围：当遇到与正整数〃有关的不等式证明时，若用其他方法不易证，则可考

虑应用数学归纳法.

(2)关键：由〃=及时命题成立证〃=A+1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较

法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技

巧，使问题得以简化.

角度2归纳猜想——证明

［例5］设函数贝x)=ln(l+x),g(x)=4(x),x20,其中八x)是贝x)的导函数.

(1)令gG)=g(x)，g”+i(x)=g(g”(x)),"£N",求g£#)的表达式;

(2)若凡r)2ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.

听课笔记:

反思感悟归纳一猜想一证明问题的一般步骤

第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论：

第二步：脸证一般结论对第一个值〃o(/7()£N