重庆市某中学2024-2025学年高三年级上册11月阶段性检测（二）数学试题

重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高三上学期11月

阶段性检测（二）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={x|k）g2（x+l）<2},^={X2X2-5X-3<0），则43=（）

B{x|-l<x<3}

D.UH}

2.命题p:叫―O，使得皿=1则命题的否定为（

「兀兀］/市sinxw1「兀兀］/击sinxw1

AA.G一一，一，使0°B.y——，使

0L22JXGL22_

c.3x04-^-1，使S尿。"D.VxJ-黄—］，使sin-1

2222

3.记S“为等比数歹U{%}的前〃项和.已矢口4=8,〃4=—1，则Sg=（）

8585r255八255

AA.——D.--------C.D.-----------

16161616

试卷第11页，共33页

c.D.

22P

5.已知椭圆0:餐+%=1（°>6>0）,耳F2分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一

点，且附|=2熙|，若/可尸工=60°，则椭圆离心率为（)

A-1B.-C.2D.

23

贝Ucos(2e一弓

6.已知cos()

610

4

A.B.2C.--D.

55

7.过点P（°，-3）作圆2—+阳2-12》-加=0（加€1<）的两条切线，切点分别为48两点，则

cosAAPB=()

2

A.-1B.D.-

999

8.已知正三棱锥的高为h,且各顶点都在同一球面上.若该球的体积为必兀，则三棱

3

锥体积的最大值是（)

B.64百128石D.2566

A.挈c

272727

二、多选题

试卷第21页，共33页

9.己知正方体，则（）

A.直线&B与BA所成的角为60°B.直线/同与BXD所成的角为45°

C.直线4c与平面BCQ所成的角为90。D.直线BD、与平面ABCD所成的

角为45。

10.已知函数〃x）=/sin（ox+p）>0,0>0,闸<］］的部分图象如图所示，下列说法正

B.函数“X）的图象关于％=11对称

12

C.函数/（X）在,，口上的值域为上百，石］

_62_

D.要得到函数g（x）="cos（s+夕）的图象，只需将函数〃x）的图象向左平移;个单

位

11.己知函数〃x）=xe'+alnx+ax有零点，则。可以取到的整数值有（）

A.-5B.-3C.-1D.2

三、填空题

试卷第31页，共33页

12.已知复数z=3+'侬的共辗复数为z，则团=—

2-i

13.已知菱形的边长为2,且//2C=60。，若点p满足加=2质+茄

则PCBP=—

a、bc(a=ab+ca+b+c=

14.若实数互不相等，且满足\b=bc+a，则—

c=ac+b

四、解答题

15.在v45c中,a，b'c分别为A,B9c的对边，已知

,厂,>3”=46=6

bcosAAcosC+acosBDcosC=—c,且,♦

4

(1)求VZac的面积；

(2)。为线段上一点，且满足3丽=皮，求40的长度.

16.记S"为数列｛见｝的前n项和.已知s“=〃%+2〃(〃一1)

⑴证明：｛%｝是等差数列；

⑵若心为4和4的等比中项，求S,的最大值・

17.已知三棱锥p_ABC'平面PAC±平面

ABCJb2DCPA=PC=AC=2AB=BC=6-

试卷第41页，共33页

p

⑴求证：ACLPB；

(2)求直线与平面p/R所成角的正弦值；

rAJj

⑶求点p到平面/AC的距离.

FADU

22K

18.已知双曲线G：二.4=1(〃>01>0)的一条渐近线的斜率为I，双曲线

C,:--^=1的一条渐近线的斜率为质，周共21=1,且C|的一个焦点到其渐近线距离为2.

282

⑴求G的方程；

(2)若G上任意一点A关于直线y=X的对称点为A',过H分别作C,的两条渐近线的平行线,

与G分别交于尸。求证：|©斗,。|为定值.

19.对于一个函数/(x)和一个点”(。㈤，令s(x)=(x-a『+(〃x)-6)2,若s(x)在x=x()

时取得最小值的点，则称(%,/(%))是初的"/■最近点”.

⑴对于函数〃x)=；xe(O,+s),求证：对于点M(°，°),存在点尸，使得点尸是”的"

一最近点”；

试卷第51页，共33页

⑵对于函数〃x)=lnx,xe(0,+oo),M(0,l)，请判断是否存在一个点尸，使它是"的“/

最近点”，若存在，求出/(x)在点尸处的切线方程；若不存在，请说明理由•

(3)已知函数〃x)(xeR)可导，函数g(x)>0在xeR上恒成立，对于点

+若对任意实数，，均存在点P同时为点M

与点加；的最近点”，说明的单调性-

试卷第61页，共33页

参考答案:

题号12345678910

答案CBAADDABACACD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】先分别求解集合A和集合E，再找出它们的公共部分.

AD

【详解】由log2(x+1)<2=log24可得巳+1>0且x+l<4,

解x+l>0得x>—1；解x+l<4得x<3，

所以集合/={x|—l<x<3}.

先对2*—5%—3因式分解，得至U(2x+l)(x-3)<0.

解得-;WxW3.所以集合2="|-：4工43}.

集合/={刘-1。<3},集合:{x|_g-V3}.

那么/cB={x|-；Vx<3}.

故选：C.

2.B

【分析】由存在量词命题的否定可得答案.

【详解】命题p:居e-p-,使得SinXo=1的否定为：

j「兀兀］吊sinxwl

Vxe——，使•

_22_

故选：B

3.A

答案第11页，共22页

【分析】由等比数列通项公式求出公比，再由求和公式得解.

【详解】由等比数列｛%｝可知，%=%/=8/=一1，

解得q=-;，

“1(]-q885

所以§8=

i—q316

2

故选：A

4.A

【分析】由函数奇偶性，零点，及正负性可得答案.

【详解】注意到函数定义域为（一叫0）,（0+8）,

=0，则/（X）为奇函数，故BD错误;

〃1）=°/、Ini

又注意到，/[]=2<0,则A正确，C错误.

故选：A

5.D

【分析】设「与卜、，后由题及余弦定理可得怩月|=瓜，即可得答案.

【详解】设熙|=X，则陷|=2x，因4尸6=60。，由余弦定理:

|月《「=|P£『+|尸片「一户£卜户闻=工2+4/_2/=3/n阳与卜瓜，

则2。=户耳|+|尸耳|=3x,|可用=2c=V§x,则._c_2c_岳_6.

a2（73x3

答案第21页，共22页

故选：D

6.D

【分析】由诱导公式及二倍角公式即可求解.

故选：D.

7.A

【分析】分析可知加=2,再根据切线性质可得cos44PC=COS/BPC=2,结合倍角公式

3

运算求解.

【详解】由题意可知机=2，圆2x2+2必_12X-2=0可化为（尤-3>+/=10，

答案第31页，共22页

可得|CP|=3行,|/尸|==2&，则cosZApc=cos/BPC=莘=2,

3V23

所以cosZAPB=2cos2ZAPC-1=2x/2）-i=-l-

UJ9

故选：A.

8.B

【分析】由外接球的体积得出球半径，再由正三棱锥得出体积，利用导数求最值即可.

【详解】如图，设〃为底面三角形的中心，尸”为三棱锥的高，设为〃，

由题意得，喂=：兀*=券，解得火=2

该三棱锥为正三棱锥，改上义皂BC，

32

BC=®^4-(A-2)2=V3-^-h2+4hVP-ABC=(•£,BC2，=冷(-铝+4h)

（0</z<4））

令/e）=一/+4/（0<%<4）,（小）=一3/+8〃，

由/'（〃）=°,可得〃=§或〃=°（舍去），

3

当xe叫时，川）当日川时，，㈤<°，

答案第41页，共22页

"㈤在(o，T单调递增，在加单调递减，

/e)皿=/(扪箸，：.％=笫~，

故选：B

9.AC

【分析】对于A,B,利用向量法，设出正方体棱长，建立空间直角坐标系，求出两直线

对应的向量，根据向量的夹角公式cosO=1互求出向量夹角，再根据异面直线所成角与

\d\\b\

向量夹角的关系得到结果.对于C,D,先求出平面的法向量，再根据直线的方向向量与法

向量的夹角，结合直线与平面所成角和它们夹角的关系求出结果.

【详解】设正方体棱长为1，以。为原点，分别以〃所在直线为x/，z轴，

建立空间直角坐标系.则4(1,0,1)，2(1,1,0)，5,(1,1,1)-0,(0,0,1)-

所以语=(1,1,0)-(1,0,1)=(0,1,-1)>丽=(0,0,1)-(1,1,1)=(-1,-1,0)-

设直线48与42所成的角为0,根据向量的夹角公式cos0=44生.

|/阳卬

222

先计算港•^51'=ox(_i)+ix(-i)+(_i)xo=_r।~^B|=7o+i+(-i)=V2)

mi=7(-1)2+(-i)2+o2=V2-

则cose=厂==-1,因为异面直线所成角的范围是(0,刍，所以直线48与4”所成的

V2xV222

角为6=60。.故A正确.

由前面建立的坐标系可知/(1,0,0),4(i,o,i)-4(1,1/)，r>(o,o,o).

答案第51页，共22页

所以怒=(1,0,1)-(1,0,0)=(0,0,1))而=(0,0,0)-(1,1,1)=(-1,-1-I)-

设直线44与8Q所成的角为“，根据向量的夹角公式cosa=马亚--

14M耳D|

先计算怒.丽=0x(一l)+0x(-l)+lx(_l)=-l，|怒|=1，

1^5|=7(-1)2+(-1)2+(-1)2=73-

则cosa=」-=-"，因为异面直线所成角的范围是(03]，所以直线"“与片"所成的

1x632

角不是45。•故B错误.

由前面建立的坐标系可知4(1,0,1),C(0,l,0),8(1,1,0)，£>(0,0,0)-C,(0,l,l)-

所以前=(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1)-

设平面BCQ的法向量为五=(x,%z)，因为西=(0,1,1)-(1,1,0)=(-1,0,1)，

^5=(0,0,0)-(1,1,0)=(-i-i,o)-

元•西=0J-x+z=0X=\歹=-1z=lA=(1,-1,1)

由,一八，即j-x-歹=0，令，则,，所以,

设直线4c与平面BCQ所成的角为£,贝I]sin°=生团.

14cl网

先计算而•万=-lxl+lx(-l)+(-l)xl=-3'14c|=7(-1)2+12+(-1)2=)

|//|=712+(-1)2+12=73-

答案第61页，共22页

则sin/?=:5i,所以直线4c与平面8CQ所成的角为夕=90°.故c正确.

岛G

由前面建立的坐标系可知3(1,1,0)，2(0,0,1)•所以西=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)•

平面ABCD的法向量为斤=(°,o,1).

设直线8'与平面'88所成的角为7,则sinyJ空仄L

|町|年|

先计算西仄=1，|西|=,(7)2+(_1)2+F=百,|£|=1-

则siny=」-=立，所以直线BDl与平面ABCD所成的角不是45°.故D错误.

M3

【分析】根据函数图象求函数的解析式，即可得到选项A正确；利用/可

知选项B错误；根据xw可得2寸+^2^4^——，结合函数的单调性可知选项C正

_62」3L33.

确；利用函数图象平移的原则可知选项D正确.

【详解】设函数的最小正周期为丁，由图可知，乃,I=l-X=l,故7=1.

43124

答案第71页，共22页

...7=至，...。=2兀

CO

•..函数图象最高点为（',2],•••/IK

2sinl—+(/7I=2，

.JlJl-,,1/7T_7

••—(p=—F2左，左£Z,故^(p——F2左7，左£Z,

623

,•*1^1<.\(p=—,选项A正确.

23

兀117C71

由A可得/(x)=2sin2兀工+—,f2sin----+—lw±2,

363

故直线x=U不是函数/（X）的对称轴，选项B错误.

12

111□-+c兀2兀4兀,sin(2而+/

当X£—阿，Z71X+—GGl££

6233322

[段+9卜卜—/],故函数在11上的值域为卜

2sin，选项C正确.

由题意得，g（无）=2cos2x+—，

I3j

将函数/（X）的图象向左平移;个单位后的函数表达式为

x+_y选项D正确.

故选：ACD.

11.ABD

答案第81页，共22页

【分析】利用函数零点的意义可得xe，+aln(xe，)=O,换元构造并分离参数构造函数

g«)=宁，利用导数求出其值域即可得解.

x

【详解】函数/(x)=xe+a\nx+ax定义域为(0,+oo),

由/(%)有零点，得方程+«ln(xex)=0有正数解，

令xe,=/>°,即f+aln/=°有正数解，显然"“。，方程化为_'=叱

at

令函数g«)=皿1>0,求导得g'(/)=匚U,

tt

当0<£<e时，g'«)>o，当£>e时，g(t)<0，

函数g⑺在(°，e)上单调递增，在(e，+8)上单调递减，g⑴皿=g(e)=J.,

e

当X从大于0的方向趋近于。时，g⑺的值趋近于负无穷大，

当时，g(0>0-ff时，g(t)fO，

因此-1<0或0<-3L

aae

解得aW-e或a>0,所以。可以取到的整数值有-5,-3,2.

故答案为：ABD

【点睛】思路点睛：涉及含参方程有解的问题，分离参数构造函数，转化为求函数的值域

求解.

12.杷f

［分析］根据共轨复数的性质及模的定义与性质运算得解.

答案第91页，共22页

3+i2025|3+i胃」3+i|=而

【详解】|z|=|z|==w

2-i|2-i|V5-V5

故答案为：72

13-4

【分析】根据平面向量的线性运算及平面向量数量积运算的定义及性质计算得解.

【详解】PC-5P=(5C-SP)|(SC+&4)=^SC一沁押）|回+可

=—(4-2x2-cos600-2x

9V

4

3,

故答案为：

3

14.3

【分析】根据等式的性质，变形化简得解.

【详解】由原方程组可得：

®a+b+c=ab+be+ac+a+b+c,ab+be+ac=0f

®ac=abc+c2,ba=abc+a2be=abc+b2f贝1J〃+/+'=一3。6。，

③Q(1-b)=c,6(l-c)=ac[\-a)=b

所以Q6C(1_6)(1_C)(1_Q)=abc,(\-b)(\-c)(\-a)=1，

l-(a+6+c)+(ac+bc+ab^-abc=l,a+6+c=-abc'

答案第101页，共22页

④(a+6+c)~={-abc^,a1+b2+c2+2(a6+ac+6c)=(-a6c)~

即-3abc=(aZ?c)-,abc=—3a+b+c=?>'

故答案为：3

15.⑴35

(2)3痣

【分析】(1)由题意可知，通过公式化简所给条件求出cosC=3，再求,"Be即可；

4

(2)由余弦定理求出°=4,再通过题意得出而=L％+之方，两边同时平方计算即可.

44

、、3

【详解】(1);bcos/cosC+acosBcosC=—。，

4

乙，「3bcosA+acosB=c

:.^bcosA+acosB)cosC=~c9乂，

33________R

即ccosC=1C，cosC=-,.-,sinC=Vl-cos2C=->

444

]1x/7

二.SA期c~~absinC——x4x6x4—3-x/v，

3•c=4

(2)c2=a2+b2-2abcosC=42+62-2x4x6x—=16,,

4

'：a=cA=C3

，，二.cos/=cos。=一,

4

■■^BD=DC,-.AD=ABBD=AB-BC=AB-(AC-AB}=-AC-AB,

++4+4、f4+4

答案第111页，共22页

.》=［挥+萍）=5k+*在+川2

1右23391o

=——x6+—x6x4x—+—x42=18,

168416

|ZD|=3V2-

16.(1)证明见解析

⑵112

【分析】(1)根据S2%的关系，可证明数列为等差数列；

(2)分析等差数列项的符号的变化，可得出所有非负项和最大.

【详解】(1)Sn=nan+2n(n-l),

=(»-l)a„_i+2(«-l)(n-2),n>2'

an=Sn-S„_!=nan+2«(«-l)-(n-l)a„_1-2(n-l)(w-2)，

化I、旬得：(〃_])/_(〃+4(n-l)=0，

Q72>2，:.an-%=-4>

是以公差为-4的等差数列.

(2)由⑴得4=q+5d=q-20，

问理04=。1-12,a7=t/j—24'

由题意其=0仍，即(q-20)2=(%_12乂％-24)，

解得％=28，

/.an=4+(〃—l)d=-4〃+32，

答案第121页，共22页

:当〃V8时，＞0-当«＞8时，＜0，

17.(1)证明见解析

(2)叵

7

⑶运

31

【分析】(1)通过证明/C,平面。2P可证明结论；

⑵如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案;

(3)由⑵求出平面.的法向量，然后由空间向量知识可得答案

【详解】(1)如图，取/c中点0，连接OB,OP-

AB=BC=V2,AC=2AB2+BC~=AC2■

.n/BC为等腰直角三角形，。为中点.

:.ACLOBPA=PC,。为中点，ACLOP.

■：OB,。尸匚平面「。2，OBcOP=O,ACLOB4clOP，

:.AC±面OBP.-.-尸8u面OBP,,-.AClPB

答案第131页，共22页

p

（2）...平面为C,平面NBC,平面为Cc平面/8C=/c，0P±AC

:.OP1面ABC,:.,0P1OBOBOCOP两两垂直

如图，以。为原点，砺为x轴正向，区为V轴正向，方为z轴正向

建立空间直角坐标系，则。（。，0,0），/（O,TO）2（1,0,0）P仅,0,6）c（o,i,o）.

.•.ZB=（1,1,0）,ZP^（0,1,V3）PC=（0,l,-V3）ftP=（0,0,V3）-

■-PD=2DC,.-.PD=-PC=[o,-,-^]^OD=OP+PD=[^-^—■

PAB

令平面的法向量为

n•AP=y+A/3Z=0

则直线与平面所成角的正弦值sinafcos（丽，码=昌二=/一=£

1"K同产7

答案第141页，共22页

(3)由(2),在=0,1,0),通=0三,£AP=(0,l,V3)-

令平面28。的法向量为』=(XQ“Z|)，

m•AB=石+必=0m=(V3,-V3,5)

则,可取

m-AD=^yl+^-zl=Q

PABD

AP-m\4A/3_4>/93

则点到平面的距离d=|同国一31

18.⑴一一片=1

4

(2)证明见解析

【分析】(1)由题意，求出凡6即可得出双曲线方程；

(2)设/(%,”)，得出H，写出平行渐近线的直线方程，联立双曲线方程得出P,。坐标,

计算|0尸卜|/@即可得证.

答案第151页，共22页

【详解】（1）由题意得左=±幺k2=±-,

1a22

,.•同,网|=1.•.6=2”

...G的焦点到渐近线的距离为2,

/.b=2,.\Q=1,b=2,c=yj'5'

2

双曲线方程为——2L=i.

4

令4（加,〃），由题息加），

•••/在G上m2*_]得（加+2〃）（加—2〃）=8

‘-！"一万一'

即2〃一加二--——-——-

（加+2〃）

f

则过A与其中一条斜率为2的渐近线平行的直线l：y-m=2（x-ny

y-m=2（X-H）4x2+=4

联立”2,可得一」

2y

Xr...........-1

4

即（4x+加-2〃）（2〃-勿）=4,解得/=1+2”-加

2n-m4

答案第161页，共22页

即马=£一半，同理可得电=£+督，

:.\A'P\\A'Q\=s/5\xA,-xp\-45\xA.-xQ^=5+整

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

⑴设直线方程，设交点坐标为&,%),(,%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X(或y)的一元二次方程，注意A的判断;

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为再+七、七/(或%+%、乂%)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

19.(1)证明见解析

(2)存在,切线为x—y-1=0

(3)y(x)在R上单调递增

【分析】(1)由基本不等式及新定义求证即可；

(2)根据导数求出s(x)在尤=1时有最小值，可得产点，再求切线方程即可；

m=t判

(3)由新定义及函数的导数先求出函数极小值点,再由此得出(«