中考数学八类最值问题（瓜豆隐圆胡不归阿氏圆将军饮马逆等线费马点构造二次函数求最值）-2025届中考数学复习

第第页2025届中考复习专题：八类最值问题汇总总览总览题型解读模块一：将军饮马等8类常见最值问题 2【题型1】两定一动型（线段和差最值问题） 8【题型2】双动点最值问题（两次对称） 14【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形） 19【题型4】垂线段最短 24【题型5】相对运动平移型将军饮马 28【题型6】化斜为直，斜大于直 36【题型7】构造二次函数模型求最值 41【题型8】通过瓜豆得出轨迹后将军饮马 46模块二：阿氏圆与胡不归最值问题 51【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 52【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 59模块三：阿氏圆与胡不归最值问题 64【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1） 66【题型2】两点在圆内：向外取点（系数大于1） 74【题型3】一内一外提系数 76【题型4】隐圆+阿氏圆 78模块四：线段拼接最值问题（逆等线模型） 85【题型1】平移，对称或构造平行四边形 86【题型2】构造SAS型全等拼接线段 91【题型3】加权逆等线 97【题型4】取到最小值时对其它量进行计算 107模块五：构造旋转相似求最值（瓜豆模型） 112【题型1】构造中位线 122【题型2】直线型轨迹（三种解题策略） 127【题型3】线段和 139【题型4】圆弧型轨迹 142【题型5】加权线段和 147【题型6】路径长度类问题 152【题型7】取到最值时求其它量 157模块六：费马点最值问题 163【题型1】普通费马点最值问题 173【题型2】加权费马点·单系数型 183【题型3】加权费马点·多系数型 186模块七：隐圆最值问题 198【题型1】定点定长得圆 203【题型2】直角的对边是直径 209【题型3】对角互补得圆 214【题型4】定弦定角得圆 220【题型5】四点共圆 225【题型6】相切时取到最值 227【题型7】定角定高面积最小、周长最小问题 231【题型8】米勒角（最大张角）模型 236模块八：二次函数中的最值问题 241一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问 241【题型1】铅垂高最值 252【题型2】构造二次函数模型求最值 256【题型3】几何构造求最值 263题型题型汇编知识梳理与常考题型模块一：将军饮马等8类常见最值问题一、单动点问题【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB 【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB' 【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、双动点问题（作两次对称）【问题5】在直线，上分别求点M，N，使△PMN周长最小问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''的长 【问题6】P，Q为定点，在直线，上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小问题解决：分别作点P，Q关于直线，的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ 【问题7】A，B分别为，上的定点，M，N分别为，上的动点，求最小值问题解决：分别作，关于，的对称点，，则，，即所求原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、动线段问题（造桥选址）【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求的最小值问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当共线有最小值原理：通过平移构造平行四边， 四、垂线段最短【问题10】在直线，上分别求点A，B，使PB＋AB最小问题解决：作关于的对称点，作于A，交于B，即所求原理：点到直线，垂线段最短，五、相对运动，平移型将军饮马【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 问题解决：相对运动或构造平行四边形策略一：相对运动思想过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨迹？ 问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．原理：由手拉手可知，故,故Q点轨迹为直线七、化斜为直，斜大于直【问题13】已知：是斜边上的高（1）求的最大值；（2）若，求的最大值 问题解决：取BC中点M，（1）则；（2）八、构造二次函数求最值这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．【问题14】正方形的边长为6，点在边上，且，是边上一动点，连接，过点作交边于点，设的长为，则线段长度的最大值为.问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到，进而根据相似比得到，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案【详解】易知，，，，∴，，∴，，在时有最大值，最大值为【题型1】两定一动型（线段和差最值问题）【例题1】透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？【答案】13【详解】∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3＋AE＝12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝13（cm）．【例题2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，根据轴对称确定最短路线得AC′与OB的交点即为所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，求出CC′，∠OCC′=60°，再求出CD、C′D，然后求出AD，再根据勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点C作C关于OB的对称点C′，连接AC′与OB相交，则AC′与OB的交点即所求的点P，PA+PC的最小值=AC′，过点C′作C′D⊥OA于D，∵点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°，∴∠OCC′=90°-30°=60°，OC=1，CC′=2×1×=1，∴CD=，C′D=，∵顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），∠OAB=90°，∴AC=3-1=2，∴AD=2+=，在Rt△AC′D中，由勾股定理得，AC′===【巩固练习1】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（

）A．160 B．150 C．140 D．130【答案】A【分析】作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，在根据勾股定理求出线段的长，即为PA+PB的最小值，延长AB交MN于点，此时，由三角形三边关系可知，故当点P运动到时最大，过点B作由勾股定理求出AB的长就是的最大值，代入计算即可得．【详解】解：如图所示，作点A关于直线MN的对称点，连接交直线MN于点P，则点P即为所求点，过点作直线，∵，，，∴，，，在中，根据勾股定理得，∴，即PA+PB的最小值是；如图所示，延长AB交MN于点，∵，，∴当点P运动到点时，最大，过点B作，则，∴，在中，根据勾股定理得，，∴，即，∴【巩固练习2】如图，在矩形中，，，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，点在直线上，从点出发向右运动，速度为每秒，相交于点，则的最小值为．

【答案】10【分析】过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，易知四边形、、为矩形，证明，由相似三角形的性质可得；设两点运动时间为，则，，易得，；作点关于直线的对称点，由轴对称的性质可得，故当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，由勾股定理求得的值，即可获得答案．【详解】解：如下图，过点作直线，分别交、于点，过点作直线，分别交、于点，

易知四边形、、为矩形，，∵四边形为矩形，∴，∴，，∴，∴，设两点运动时间为，则，，则有，即，∵，∴，，∵四边形为矩形，∴，作点关于直线的对称点，如图，则，，由轴对称的性质可得，当三点共线时，的值最小，即取最小值，此时，在中，，∴的最小值为【巩固练习3】探究式子的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取，作于．于，且，，点在上，设，则，于是，，，因此，可求得的最小值为，已知，则的最大值是．

【答案】【分析】作关于的对称点，连接交于，连接，利用勾股定理求的最小值即可；构造图形如图，过点作交于，求的最大值结合三角形的三边关系，根据矩形的性质，利用勾股定理进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，作关于的对称点，连接交于，连接，

，则，，此时的值最小为：，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，，，如图，，

，则，，的最大值为的长度，过点作交于，则四边形为矩形，，，，的最大值为【题型2】双动点最值问题（两次对称）【例题1】四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为。【答案】70【解答】解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝125°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝55°，∴∠AMN+∠ANM＝2×55°＝110°．∴∠MAN＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°【例题2】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的动点，当的周长最小时，°．【答案】100【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小．【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，由对称性知：，，，∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小；∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，即，故答案为：．【巩固练习1】如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为。【答案】6【解答】解：延长AD至A′，使AD＝DA′，延长AB至E′，使BE＝BE′，连接A′E′，交BC于M，交DC于N，此时AN＝A′N，EM＝E′M，四边形AEMN周长＝AN+MN+ME+AE＝A′E′+AE，根据两点之间线段最短，A′E′+AE就是四边形AEMN周长的最小值；∵AD＝2，AE＝BE＝1，∴A′D＝AD＝2，BE＝BE′＝1，∴AE′＝3，AA′＝4，∴A′E′＝＝5，∴四边形AEMN周长的最小值为5+1＝6．【巩固练习2】如图，在四边形中，，，，，、分别是边、上的动点，连接，，，则周长的最小值为．

【答案】【分析】如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，由对称的性质可得，，，，则，可知当四点共线时，的周长最小为，如图，过作的延长线于，由，可得，则，，，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，由，作关于对称的点，作关于对称的点，连接，与交点为，与交点为，连接，，

由对称的性质可得，，，，∴，∴当四点共线时，的周长最小为，如图，过作的延长线于，∵，∴，∴，，∴，由勾股定理得【巩固练习3】如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E、F分别是边上的点，连接，若，，，则周长的最小值是．

【答案】【分析】作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，则的周长，故当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，证明是等边三角形，得到；过D作交直线于P，由平行四边形的性质得到，，由含30度角的直角三角形的性质得到，则，，即可得到点P与点B重合，则，由此即可得到答案．【详解】解：作点O关于的对称点M，点O关于的对称点N，连接，由作图得：，，∴的周长，∴当四点共线时，即此时的周长最小，最小值为的长，∵，∴，∴是等边三角形，∴；过D作交直线于P，∵四边形是平行四边形，∴，，在中，，∴，∴，，∴，∴点P与点B重合，∴，∴∴的周长最小值为，

【题型3】动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）【例题1】如图，在平面直角坐标系中，已知，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持，线段在x轴上平移，当的值最小时，点C的坐标为．【答案】（-1，0）【分析】作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【例题2】如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为．【答案】．【详解】解：∵，，，，∴，，由平移的性质可知：,∴四边形的周长为；要使其周长最小，则应使的值最小；设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；∴，，将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，,∴，当B、E、三点共线时，的值最小，设直线的解析式为：，∴，当时，∴∴，将E点坐标代入解析式可得：，解得：，此时，此时四边形的周长为；当时，，，，，此时四边形的周长为：；∵，∴当时，其周长最小，所以抛物线向右平移了个单位，所以其解析式为：【巩固练习1】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为．【答案】【详解】解：如图所示，∵D（0，4），∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），∴ED=EH，将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EH=FG，∴FG=ED，∵B（-4，6），∴BD=，又∵EF＝3，∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，设直线BG的解析式为：∵B（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，当y=0时，，∴，∴故答案为：．【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为．【答案】【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，是等腰直角三角形，，，将直线：向上平移个单位长度得到直线，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，点，点，，折线的长的最小值为【题型4】垂线段最短【例题1】如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F别为射线OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________．MMFOAENP【答案】【解析】在ON上截取OG＝OF，连接EG，过点A作AH⊥ON于点H．MMFOAEGNPH∵OG＝OF，∠EOG＝∠EOF，OE＝OE，∴△OEG≌△OEF，∴EG＝EF，∴AE＋EF＝AE＋EG≥AH．∵∠MON＝45°，OA＝4，∴AH＝＝．【例题2】如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为．

【答案】【详解】解：如图，在上取一点，使，连接，作，

平分，，，∴，，，∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，，，即的最小值为【巩固练习1】如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为．【答案】

【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．【详解】解：∵，∴，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线，∵,∴,∴，∴，∴，∴则PQ的最小值为【巩固练习2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋NP的最小值为_________．MMDCBAPNE【答案】【解析】分别过点M，N作CD的垂线，垂足为M，N．MMDCBAPNGHE由题意，∠EMC＝∠D＝90°，MC＝DC＝2．∵NP∥EM，∴∠NPC＝∠EMC＝90°．∵∠ECM＝∠ECD，∴NP＝NH，∴MN＋NP＝MN＋NH≥MG．∵点E为AD的中点，∴tan∠ECD＝，∴由12345模型可知tan∠DCM＝，∴sin∠DCM＝，∴MG＝＝，∴MN＋NP的最小值为．【巩固练习3】如图，在矩形中，于点，，，、分别是、上的动点，则的最小值为．

【答案】【分析】根据矩形的性质和解直角三角形可得，利用勾股定理得到，可得，如图，延长至点，使，过点作于点，交于点，连接，可得点和点关于对称，根据垂线段最短可得的最小值为，然后在中，利用，即可得出答案．【详解】解：∵在矩形中，，，，∴，，，∵，，，∴，∴，∴，∴，解得：或（负值不符合题意，舍去），∴，∴，如图，延长至点，使，过点作于点，交于点，连接，∵，∴点和点关于对称，∴，，∴，∴，当点，，共线时，的最小值为，∵，，∴，∴，在中，，∴，故答案为：．

【题型5】相对运动平移型将军饮马【例题1】如图，在矩形中，，把边沿对角线平移，点分别对应点，的最小值为．

【答案】【分析】先证明四边形是平行四边形法一：过C作BD的平行线l，可以理解为点C相对线段AB是在直线l上运动，把B关于l对称得到点E，AE即所求法二：作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为，通过证明，可得，通过证明，可得，最后由勾股定理即可得到答案．法一简析【详解】法二：解：根据题意可得：，，四边形是平行四边形，，，如图所示，作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为，

，则，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为【例题2】如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN，连接AN，则AM＋AN的最小值是________．

【答案】3【详解】法一：相对于MN，A点在平行于BD的直线上运动法二：MN=AB=,那么根据题意当AM⊥MN时，AM+AN最短.∵∠CDB=（已求），DC∥AB∴∠MBA=∠CDB=∵AM⊥MN,MN∥AB∴∠MAB=∵AB=∴AM=1∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得则AM+AN=1+2=3∴当BN⊥CD时，AM+AN有最小值3【例题3】如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且．

将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，的最小值为______．【答案】，【分析】设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M右平移m个单位长度得到点，由平移的性质可知，，的值最小就是最小值，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．【详解】，，补充求解过程如下：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下：

由平移的性质可知，，∴的值最小就是最小值，显然点在直线上运用，作出点C关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接则此时取得最小值，即为的长度，

∵点C关于直线对称的对称的点是点，∴，∴，设直线的解析式是：将点，代入得：，解得：直线的解析式是：令，解得：，∴，∴平移的距离是又∵，∴平移前的抛物线的坐标是∴新抛物线的顶点坐标为即故答案是：，．【巩固练习1】如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是。【答案】【解答】如图所示，过P作x轴的平行线l，作点A关于l的对称点A'，连接A'P，则AP＝A'P，∴当A'，P，B在同一直线上时，AP+BP的最小值等于线段BA'的长，过A作AD⊥BC于D，∴AD∥y轴，∵A′A∥y轴，∴A′、A、D三点共线，∵等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AD＝BD＝1，P（0，3），∴A'D＝AA'+AD＝2×（3﹣1）+1＝5，∴Rt△BA'D中，BA'＝＝＝，∴PA+PB的最小值是．【巩固练习2】如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是。【答案】【解答】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，∴AC＝6，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AC＝3，∴BD＝＝18，∵ED＝OF，∴EF＝OD＝9，如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，连接CH交BD于E，当CHE三点贡共线时，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形FEHA是平行四边形，∴FA＝EH，∵EA＝EC，∴AF+AE＝EH+CE＝CH，∵菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH＝＝3，∴AE+AF的最小值3，∴△AEF的周长的最小值＝3+9【巩固练习3】如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为。【答案】【解答】解：连接AB″．∵AB＝B″C′，AB∥B″C′，∴四边形ABC′B″是平行四边形，∴AB″＝BC′，∴△BC′B″的周长＝BB″+BC′+B″C′＝AB″+BB″+2，∵AB″+BB″最小时，△BC′B″的周长最小，作点A关于直线B′B″的对称点T，连接BT交B′B″于B′″，连接AB″′，此时AB′″+BB′″的值最小，设AT交B′B″于E．则AE＝AB′•sin60°＝，∴AT＝2AE＝2，过点T作TP⊥AB交BA的延长线于P．则AP＝AT•coS30°＝3，PT＝AT＝，∴．∴BB″+BC′+B″C′的最小值为【题型6】化斜为直，斜大于直【例题1】如图，直线，分别为直线上的动点，连接，线段交直线于点．设直线与之间的距离为m，直线与之间的距离为n，若，，且，则m＋n的最大值为_____．【答案】延长AB，CG＝BD＝10，取CG中点M，BF≤BM＝5⇒m＋n≤【例题2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是．【答案】3【解析】简析1如图2，分别过点A、P作BD的垂线，垂足依次为E、G，则△AET∽△PGT，故＝，从而＝＝1＋＝1＋，又AE＝，要使最大，只要使PG最大，即点P到BD的距离最大；过点C作C⊥BD于点，交⊙C于另一点，易知即为PG的最大值，此时＝2C＝2AE，因此的最大值为3； 图2 图3简析2如图3，过点P作AD的平行线，交直线BD于点Q，则△ADT∽△PQT，故＝＝1＋＝1＋＝1＋．再作PG⊥BD于点G，易得PQ＝PG，从而＝1＋PG，要使最大，只要使PG最大，即点P到BD的距离最大，下略；简析3如图4，过点P作BD的平行线，交AD的延长线于点Q，则＝＝，要使最大，只要使AQ最大；向上平移BD，使其再次与⊙C相切，切点为，且交AD的延长线于点Q'，此时AQ'即为AQ的最大值；连接P'C并延长，交BD于点G'，再作DH⊥P'Q'于点H，可证DH＝P'G'＝2CG'＝，则DQ'＝DH＝6，故AQ'＝9，即AQ的最大值为9，的最大值为3； 图4 图5简析4如图5，连接PB、PD，同上可证＝1＋，要使最大，只需使最大；易证＝，且＝，故＝＝＝，即＝，要使最大，只需使S△PBD最大，即点P到BD的距离最大，下略．反思：这里提供的四种解法，都是借助相似或面积法转化目标线段比(即)．方法一最为直接，轻松转化为所谓“圆线距离”；方法二通过作“横平坚直辅助线”，构造相似，将“斜接段之比”(即)转化为“直线段之比”(即)，再借助“定角定比”，将“直距离”(即PQ)转化为“斜距离”(即PG)；方法三依然通过作平行线构造相似，将“斜线段之比”(即)转化为“直载段之比”(即)．再借助平移变换，找到相切位置即为所求最大位置；方法四则是将线段比转化为面积比，通过面积法解决问题．四种解法，各有千秋，殊途同归，并且有许多共通之处．【巩固练习1】如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为_________．AAFBDEC【答案】16－【解析】过点E作EH⊥BC于点H．AAFBHDEC∵等边△ABC的边长为4，∴∠B＝60°，AC＝4．由题意，EF＝AE．设CE＝2x，则EF＝AE＝4－2x，则EH＝．∵EF≥EH，∴4－2x≥，解得x≤8－，∴CE≤16－，∴CE的最大值为16－．【巩固练习2】如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段PQ长度的最小值为。【解答】显然AB//QC,所以PQ≥CD=【巩固练习3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是边AB上一动点，Q是边BC上一动点，且始终有∠CPQ＝90°，则线段CQ长的取值范围为.【答案】【解答】由解析提示可知：，解得：,所以【巩固练习4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC边上一动点，过点D作DE⊥BD交AB于点E．当点D从点A运动到点C时，AE的最大值为_________，点E运动的路径长为_________．CCDBEA【答案】，【解析】取BE的中点F，连接DF，过点F作FG⊥AC于点G．CCGDBEAF则DF≥FG，BE＝2DF．当DF⊥AC时DF最小，BE最小，AE最大．∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4．设DF＝x，则BF＝x，AF＝2x，AE＝x，AB＝3x＝4，∴x＝，∴AE＝，＝，∴AE的最大值为，点E运动的路径长为．【题型7】构造二次函数模型求最值【例题1】如图，点，，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转90°得到，连接．则的最小值是【答案】【分析】过点C作轴交x轴于D，设，利用一线三垂直模型证明推出，根据勾股定理表示出，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：如图1所示，过点C作轴交x轴于D，设，由旋转的性质可得，∴，∴，又∵，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴的最小值为18，∴的最小值是．【例题2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△ABC的面积是，△BDE面积的最大值为．【答案】10【分析】如图，过点作于，过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出，继而根据勾股定理求出，从而求得的长，然后证明，根据全等三角形的性质可得，设，则，继而根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求得答案．【详解】如图，过点作于，过点作于，过点作于，，，，，，，即，，在中，，，，四边形是正方形，，，，，又，，，设，则，，，的最大值为，故答案为，．【巩固练习1】如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为时，的面积最大．【答案】4【详解】解：根据题意得：，设，∵，∴，∵，∴，∵，∴当时，的面积最大【巩固练习2】如图，△ABC和△ABD是两个全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝eq\r(,3)，BC＝BD＝1．若P、Q分别是边AC、AD上的动点，且始终保持PC＝QA，连接PQ交AB于点M，则AM长度的最大值为_____________．AABDCQPM【答案】EQ\F(3,4)提示：分别过P、Q作AB的垂线，垂足分别为E、FAABDCQPMFE由已知条件得，∠CAB＝∠DAB＝30°，∠CAD＝60°设AP＝x，则AQ＝PC＝eq\r(,3)－x则S△PAQ＝EQ\F(1,2)AM·PE＋EQ\F(1,2)AM·QF＝EQ\F(1,4)AM·AP＋EQ\F(1,4)AM·AQ＝EQ\F(1,4)AM(AP＋AQ)＝EQ\F(1,4)AM(x＋eq\r(,3)－x)＝EQ\F(eq\r(,3),4)AM又S△PAQ＝EQ\F(1,2)AP·AQ·sin60°＝EQ\F(1,2)x(eq\r(,3)－x)·EQ\F(eq\r(,3),2)＝－EQ\F(eq\r(,3),4)(x2－eq\r(,3)x)∴EQ\F(eq\r(,3),4)AM＝－EQ\F(eq\r(,3),4)(x2－eq\r(,3)x)，∴AM＝－(x2－eq\r(,3)x)＝－(x－EQ\F(eq\r(,3),2))2＋EQ\F(3,4)∴当x＝EQ\F(eq\r(,3),2)时，AM的长取得最大值EQ\F(3,4)【巩固练习3】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P是对角线AC上一点，AP＝EQ\F(1,4)AC，过点P的直线分别交边AB、AD于点E、F，连接CE、CF，则四边形AECF的面积的最小值为___________．AADFCBEP【答案】6提示：作PG⊥AB于G，PH⊥AD于HADFCBEPGH由AP＝EQ\F(1,4)AC可得AG＝PH＝EQ\F(1,4)AB＝EQ\F(3,4)，AH＝PG＝EQ\F(1,4)AD＝1ADFCBEPGH设GE＝x，则AE＝x＋EQ\F(3,4)由△EGP∽△PHF，可得HF＝EQ\F(3,4x)，AF＝1＋EQ\F(3,4x)S△AEF＝EQ\F(1,2)AE·AF＝EQ\F(1,2)(x＋EQ\F(3,4))(1＋EQ\F(3,4x))＝EQ\F(1,2)(x＋EQ\F(9,16x)＋EQ\F(3,2))＝EQ\F(1,2)(eq\r(,x)－EQ\F(3,4eq\r(,x)))2＋EQ\F(3,2)∴△AEF的面积的最小值为EQ\F(3,2)∵AP＝EQ\F(1,4)AC，∴S四边形AECF＝4S△AEF∴四边形AECF的面积的最小值为6【巩固练习4】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，点D是AB边上的一个动点，连接CD，以CD为边向上作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值为___________．EEFBCDA【答案】EQ\F(3,2)提示：作CG⊥BA交BA的延长线于点G，作EH⊥BA交BA的延长线于点HEEFHBCDAGM则△CDG≌△DEH，∴DG＝EH∵∠BAC＝120°，∴∠CAG＝60°作AM⊥BC于M∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，BM＝EQ\F(1,2)BC＝2∴AM＝EQ\F(2eq\r(,3),3)，AB＝AC＝EQ\F(4eq\r(,3),3)，AG＝EQ\F(1,2)AC＝EQ\F(2eq\r(,3),3)，BG＝2eq\r(,3)∴S△BDE＝EQ\F(1,2)BD·EH＝EQ\F(1,2)(2eq\r(,3)－DG)·DG＝－EQ\F(1,2)DG2＋eq\r(,3)DG＝－EQ\F(1,2)(DG－eq\r(,3))2＋EQ\F(3,2)∴当DG＝eq\r(,3)时，△BDE的面积有最大值为EQ\F(3,2)【题型8】通过瓜豆得出轨迹后将军饮马【例题1】在中，斜边，，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为．【答案】【分析】如图，取AB的中点T，连接DT，CT，证明△DBT≌△EBC（SAS），推出DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB=DL，由DT+DB=DT+DL≥LT=，可得结论．【详解】解：如图，取AB的中点T，连接DT，CT，∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∵AT=TB，∴CT=AT=TB，∴△BCT是等边三角形，∴∠TBC=∠DBE=60°，∴∠DBT=∠EBC，在△DBT和△EBC中，∴△DBT≌△EBC（SAS），∴DT=CE，欲求BE+CE的最小值，只要求出DT+BD的最小值即可，作点B关于AC的对称点L，连接DL．AL，TL，则DB=DL，∵AC⊥BL，CL=CB，∴AL=AB，∵∠ABL=60°，∴△ABL是等边三角形，∵AT=TB=1，∴LT⊥AB，∴LT=BT=，∵DT+DB=DT+DL≥LT=，∴DT+DB的最小值为，∴BE+EC的最小值为．【例题2】如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是（

）

A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，首先证明，点B在直线上运动，作点O关于直线的对称点E，连接交于点T，当点B与T重合时，的值最小，再利用勾股定理进行求值即可．【详解】解：如图，在y轴的正半轴上截取，使得，连接、，且的延长线与x轴交于点M，∴、是等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∴，∴,∴点B在直线上运动，作点O关于直线的对称点E，与交于点F，连接、连接交于点T，当点B与T重合时，的值最小，∵,，∴，根据对称得：，，，∴，∴、∵，∴，∴的最小值为：，故选：B．

【巩固练习1】等边边长为6，是中点，在上运动，连接，在下方作等边，则周长的最小值为．【答案】【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小．【详解】解：如图，连接，、都是等边三角形，，，，，，，，如图，作点关于的对称点，连接，，则，，当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小，，．周长：．故答案为：．【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为．【答案】【分析】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．证明∠HTC＝45°，推出点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD．当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小．【详解】在BC上取一点H，使得BH＝BA，连接AH，HN．∵△ABH，△AMN都是等腰直角三角形，∴AH＝AB，AN＝AM，∠BAH＝∠MAN＝45°，∴＝，∠BAM＝∠HAN，∴△BAM∽△HAN，∴∠AHN＝∠B＝90°，∵∠AHB＝45°，∴∠NHC＝45°，∴点N的运动轨迹是射线HN，设射线HN交CD的延长线于T，作点D关于NH的对称点J，连接CJ交HT于O，连接OD．当点N与O重合时，OC+OD＝OC+OJ＝CJ，此时CN+DN的值最小，∵AB＝CD＝4，BH＝4，BC＝9，∴CH＝CT＝5，DT＝TJ＝1，∵∠CTH＝∠HTJ＝45°，∴∠CTJ＝90°，∴CJ＝＝＝模块二：阿氏圆与胡不归最值问题胡不归模型讲解如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记，即求BC＋kAC的最小值．构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC．将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小．【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线【例题1】如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为．【答案】【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间，由，推出，可得，推出当共线且和重合时，运动时间最短．【详解】如图，作于H，于，交AO于．∵运动时间，∵，，∴，∵，C（1，0），，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，，∴，∴，∵，设，则，则有：∴或（舍去），∴∴【例题2】如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．

（1）°；（2）的最小值为．【答案】2【分析】（1）由矩形的性质得到，又由得到是等边三角形，则，即可得到答案；（2）过点P作于点E，过点M作于点F，证明，进一求解即可得到答案．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：．（2）过点P作于点E，过点M作于点F，

在中，由（1）知：，∴，∴，在矩形中，，∵，∴，在中，，∴，∴的最小值为2【例题3】如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是．

【答案】【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴，，作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，此时，，∴有最小值，作轴于点P，

则，，∵，∴，∴，∴，即，∴，则，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，联立，，解得，即；过点D作轴于点G，

直线与x轴的交点为，则，∴，∴，∴，即的最小值是【巩固练习1】如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为．【答案】【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可．【详解】解：过作，菱形，，，，即为等边三角形，，在中，，，当、、三点共线时，取得最小值，，，，在中，，则的最小值为．故答案为：．【巩固练习2】如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为．

【答案】6【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形，∴∵是等边三角形的外接圆，其半径为4∴，，∴∴∵∴∴∵，∴∴∴的最小值为的长度∵是等边三角形，，∴∴的最小值为6【巩固练习3】如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为秒．【答案】【分析】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P，可得，利用角所对的直角边等于斜边的一半得到动点运动的时间为解题即可．【详解】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P，令，则，解得或，∴A，B两点坐标为，，∴，∵A，B两点关于对称，∴，∵顶点C到x轴的距离为，∴∴，∵都是的高，∴，由题意得动点运动的时间为，∵是等边三角形，，∴，∵作，∴，∴，显然在l上另取一点，连接，∵，∴当时，运动时间最短为，故答案为：．【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线【例题1】如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为．

【答案】/【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的的长度便可．【详解】解：∵四边形是矩形，，，∴，，，∴，在线段下方作，过点作于点，连接，

∴，∴，当、、三点共线时，的值最小，此时，∴，∴，，∴，∴的最小值为：，∴的最小值为【例题2】如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为3．【答案】3【解答】解：作，过点作于点，则此时最小，，，，，，，，，，解得：，．故答案为：3．【巩固练习1】如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则．【答案】【详解】解：作，过M作交于一点即为点P，∵，∴，∴，∴当时的值最小，∴在中，,故答案为；【巩固练习2】如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是A． B． C． D．8【答案】【解答】解：如图，以为斜边在下方作等腰，过作于，，，，，，，，的最小值为．故选：．【巩固练习3】如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为A． B． C． D．【答案】【解答】解：的度数为，，是直径，，，作，于，于，连接．，，在中，，，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，，，在中，，，，的最小值为，故选：．【巩固练习4】如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为.

【答案】【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．【详解】解：过点做，过点作于，过点作于点，∴，∴，∵两点之间线段最短，∴当共线时，的值最小，即的最小值为，【法一：正切和角公式】详情见本专辑1-3“12345模型”，故△AHC的三边之比为，则答案为【法二：常规法】∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，，∴，∴，故答案为．模块三：阿氏圆与胡不归最值问题阿氏圆模型讲解【模型来源】所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似．【模型建立】如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知R＝OB，连接PA、PB，则当“PA＋PB”的值最小时，P点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC＝R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB＝PC。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA＋PC”值最小。【题型1】两定点在圆外：向内取点（系数小于1）【例题1】如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，．求①；②；③；④的最小值．【解答】解：①取的中点，连结，，，，，，，，，，，当在上时，最小，最小值为的长，，的最小值为，②，的最小值为，③在取一点，使，，，，，，，当在上，，，的最小值为，④，的最小值为．【例题2】如图，正方形ABCD边长为2eq\r(2)，内切圆O上一动点P，连接AP、DP，则AP+eq\f(eq\r(2),2)PD的最小值为______．【答案】【例题3】如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为．【答案】【分析】连接，先利用勾股定理求得，，在上截取，过作于，于，求得，，，进而求得，证明求得，利用两点之间线段最短得到，当共线时取等号，即可求解．【详解】解：连接，∵为的直径，，∴，∵在中，，∴，，在上截取，过作于，于，连接、，∴四边形是矩形，，∴，，∴，在中，，∵，是公共角，∴，∴，则，∴，当共线时取等号，故的最小值为，故答案为：．【巩固练习1】如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．【答案】【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．【巩固练习2】如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为．【答案】【分析】连接，先利用勾股定理求得，，在上截取，过作于，于，求得，，，进而求得，证明求得，利用两点之间线段最短得到，当共线时取等号，即可求解．【详解】解：连接，∵为的直径，，∴，∵在中，，∴，，在上截取，过作于，于，连接、，∴四边形是矩形，，∴，，∴，在中，，∵，是公共角，∴，∴，则，∴，当共线时取等号，故的最小值为，故答案为：．【巩固练习3】如图，等边三角形ABC边长为4eq\r(3)，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接PB、PC，则BP＋eq\f(1,2)CP的最小值为______________．【答案】【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系中，M(6，3)，N(10，0)，A(5，0)，点P为以OA为半径的圆O上一动点，则PM＋eq\f(1,2)PN的最小值为_______________【答案】【巩固练习5】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

【答案】【分析】在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．【详解】如图，在上取点，使，连接，∵，∴，∵，、∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，∵，∴，∴的最小值为．

【题型2】两点在圆内：向外取点（系数大于1）【例题1】如图，∠AOB=90°，OA=OB=1，圆O的半径为eq\r(2)，P是圆O上一动点，PA+eq\r(2)PB的最小值为________．【答案】【巩固练习1】已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，2PA+PB的最小值为________．【答案】12【巩固练习2】如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为．【答案】【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断．【详解】解：延长到，使得，连接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值为【题型3】一内一外提系数【例题1】如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为．【解答】解：在上取点，使，，，，，，，在延长线上取，，则，又，，，，，当为和圆的交点时最小，即最小，且值为，，的最小值为，故答案为：．【巩固练习1】如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是，的最小值是【解答】解：(1)如图，连接，，交于点，连接，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，当、、在一条直线上时，，.(2)延长CD至点H，使CH=2CD显然，由（1）可知∴由勾股定理可得，，故.【题型4】隐圆+阿氏圆【例题1】如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E、F分别是上的两个动点，且，P是的中点，连接，若，则的最小值为．

【答案】【分析】在上取一点G，使得连接．根据菱形的性质可知，则，结合，可得，利用相似三角形的性质证得根据可知的长即为的最小值，利用勾股定理求出便可解决问题．【详解】解：如图，在上取一点G，使得，连接．

∵四边形为菱形，，∴，，∵，P是的中点，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴当点G、P、C在同一直线上时，取得最小值，此时【例题2】如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为．

【答案】【分析】由折叠的性质可得，点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，利用相似三角形的性质得到，从而得到，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可求解．【详解】解：由题意可得：∴点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，则

∵，∴又∵∴∴∴∴如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值

，∴的最小值为：【巩固练习1】如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为．【答案】【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，．，，，，，，，，，，，，，，，的最小值为【巩固练习2】如图，在平面直角坐标系中，、、、，是外部的第一象限内一动点，且，则的最小值是 ．【答案】【解答】解：如图，取一点，连接，，，、、，，，以为圆心为半径作，在优弧上取一点，连接，，，，，、、、四点共圆，，，，，，，，，，，，，，，的最小值是【巩固练习3】如图，在平面直角坐标系中，、、、，点P在第一象限，且，则的最小值为．

【答案】【分析】取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，利用两点之间的距离公式，即可求出的最小值，即可得．【详解】解：如图所示，取一点，以O为圆心，为半径作圆，与交于点F，连接，

∵、，，∴，，以O为圆心，为半径作，在优弧上取一点Q，连接，∵，，∴，∴A，P，B，Q四点共圆，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，过点F作于点G，∵，，∴∴点F的坐标为，∵，∴∵，即,∴的最小值是模块四：线段拼接最值问题（逆等线模型）一、什么是逆等线段。两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等,那么这两条始终相等的线段称为逆等线段。二、解题步骤:1.找三角形。找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形。(图中本身就有的三角形，不要添加辅助线以后构成的三角形)2.确定该三角形的不变量。在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不变。3.从另一逆等线段的定点引一条线。使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等线段的夹角等于第二步中那个不变的角。4.问题转化为将军饮马问题求最值。【模型解读】△ABC中，D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD和CE为逆等线，就是怎么别扭怎么来。一般情况下，题目中有两个没有首尾相连的线段相等，即两定两动，也归为逆等线问题。观察图形，我们很容易发现，AD和CE没有首尾相连，所以，一般通过平移或者作平行等方法构造全等三角形来实现线段转移，从而使逆等线段产生关系，最终解决问题。

这样解释很笼统很枯燥，我们以具体例题来描述如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC=8，AC=10，点D、E分别是AB、AC上的动点，且AD=CE，求CD+BE的最小值。分析思路：①AD在△ADC中，那么我们就以CD为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等。②即过点C作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）③构造出△ADC≌△CEF(SAS),证出EF=CD④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF即为所求此时，B、E、F三点共线，本题中，也可以利用三角形三边关系去求最值⑤求BF【题型1】平移，对称或构造平行四边形【例题1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是．【答案】10【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC是平行四边形，得出CE＝FG，得出当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出AG即可．【详解】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10【例题2】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC，分别交对角线AC，直线BC于点O，F，则在点E移动的过程中，AF＋FE＋EC的最小值为_________．AADBCFEO【答案】【解析】∵AB＝5，AD＝10，∴AC＝＝．∵EF⊥AC，∴由矩形内十字架模型可知，＝，∴＝，∴EF＝．以EF，EC为邻边作□EFGC，则EC＝FG，CG＝EF＝，AADBCFEOG∠ACG＝∠EOC＝90°．在Rt△ACG中，AG＝＝，∴AF＋FE＋EC＝AF＋FG＋FE≥AG＋FE＝，∴AF＋FE＋EC的最小值为．【巩固练习1】如图，在矩形ABCD中，，，点P在边AD上，点Q在边BC上，且，连接CP，QD，则的最小值为．【答案】13【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，CE，PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．【详解】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，ADBC，AD=BC，∵AP=CQ，∴AD-AP=BC-CQ，∴DP=QB，DPBQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PBDQ，PB=DQ，则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB=PE，∴PC+PB=PC+PE，连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，∵BE=2AB=12，BC=AD=5，∴CE==13．∴PC+PB的最小值为13【巩固练习2】如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为．

【答案】【分析】证得，作点关于的对称点，则，据此即可求解．【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接

由题意得：∵∴∴∵∴∴的最小值为【巩固练习3】如图，正方形的边长为2，是的中点，是上的动点，过点作分别交，于点，．（1）的长为；（2）的最小值为．【答案】【分析】(1)根据正方形的性质求得AB与BM，再由勾股定理求得AM；(2)过F作FG⊥AB于G，证明△ABM≌△FGE得AM=EF，再将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，当A、F、H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，由勾股定理求出此时的AH的值便可．【详解】解：(1)∵正方形ABCD的边长为2，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∵M是BC的中点，∴BM=BC=1，∴，故答案为：；(2)过F作FG⊥AB于G，则FG=BC=AB，∠ABM=∠FGE=90°，∵EF⊥AM，∴∠BAM+∠AEN=∠AEN+∠GFE=90°，∴∠BAM=∠GFE，∴△ABM≌△FGE(ASA)，∴AM=EF，将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF=MH，∠AMH=90°，EM=FH，当A、F、H三点共线时，EM+AF=FH+AF=AH的值最小，此时，∴EM+AF的最小值为【题型2】构造SAS型全等拼接线段【例题1】如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝3eq\r(,3)，点E、F分别是对角线AC和边CD上的动点，且AE＝CF，则BE＋BF的最小值是___________．DDABCEF【答案】3eq\r(,7)提示：作AG⊥AC且AG＝BC，连接BG、EGDDABCEFGH则△GAE≌△BCF，BF＝GEBE＋BF＝BE＋GE≥BG解△ABG得BG＝3eq\r(,7)，BE＋BF的最小值是3eq\r(,7)【例题2】如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为．【答案】【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解．【详解】如图，过点作，且，连接，如图1所示，，又，，，，当三点共线时，取得最小值，此时如图2所示，在等腰直角三角形中，，，，，，，，，，设，，，，，，，，即取得最小值时，CM的长为，故答案为：．【巩固练习1】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，D、E分别是AC、AB上的动点，且AD＝BE，F是BC的中点，则BD＋EF的最小值为___________．AABCDEF【答案】eq\r(,13)提示：作BG∥AC且BG＝AB，连接GE，作GH⊥BC于HAABCDEFGH则∠GBH＝∠C＝30°，GH＝1，HB＝eq\r(,3)BF＝eq\r(,3)，HF＝2eq\r(,3)，GF＝eq\r(,13)△ABD≌△BGE（SAS），BD＝GEBD＋EF＝GE＋EF≥GF＝eq\r(,13)，最小值为eq\r(,13)【巩固练习2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为边BC上一点，AE＝AD，M、N分别为线段AE、BE上的动点，且AM＝EN，连接DM、DN，则DM＋DN的最小值为___________．AABCDNEM【答案】4eq\r(,2)提示：连接ANAABCDNEMA′由题意，AD＝AE，∠DAM＝∠AEN＝30°，AM＝EN∴△ADM≌△EAN，∴DM＝AN延长AB至点A'，使A'B＝AB，连接A'N、A'D则AN＝A'N，∴DM＋DN＝AN＋DN＝A'N＋DN≥A'D当A'、N、D三点共线时DM＋DN的值最小此时A'N＝DN，∴AN＝EQ\F(1,2)A'D＝DN∴点N在线段AD的垂直平分线上∴BN＝EQ\F(1,2)BC＝2，∴AN＝eq\r(,2)AB＝2eq\r(,2)∴DM＋DN≥A'D＝2AN＝4eq\r(,2)即DM＋DN的最小值为4eq\r(,2)【巩固练习3】如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE＋AF的最小值为___________．AADBCEF【答案】2eq\r(,2)提示：作BG⊥AB且BG＝AB，连接AG、EGAADBCEFG则AD＝BG，∠ADF＝∠GBE＝30°又∵DF＝BE，∴△ADF≌△GBE，∴AF＝EG∴AE＋AF＝AE＋EG≥AG＝eq\r(,2)AB＝2eq\r(,2)即AE＋AF的最小值为2eq\r(,2)【巩固练习4】如图，在平面直角坐标系中，等腰三个顶点在坐标轴上，，点D，E分别为上的两个动点，且．当的值最小时，则点D的坐标为．【答案】/【分析】如图：过点C作使，连接；证可得，；将最小值可转化成最小值，则当A、D、B在同一直线上时，最小