湖南省九校联盟2025届高三上学期第一次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省九校联盟2025届高三上学期第一次联考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，，所以或，所以，故选：D.2.若（为虚数单位），则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，即，其虚部为，故选：B3.圆的圆心到直线的距离为（）A. B.3 C.2 D.【答案】A【解析】化圆的方程为标准方程得，则该圆圆心到直线的距离为.故选：A4.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，得大轮每分钟转圈数为，因此大轮每秒钟转的弧度数为，所以大轮每秒转过的弧长是.故选：D5.已知平面向量满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】计算可得，由，两边平方化简，得，将代入，可得在上的投影向量为.故选：B.6.甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲､乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局，故概率为.故选：C7.已知正项数列的前项和为，且，则（）A.4049 B.4047 C.2025 D.2024【答案】A【解析】当时，，即，由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，即，则，当时，；所以.故选：A.8.已知函数，若实数满足，则的最大值为（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，，所以，所以的图像关于点0,1对称，又因为，其中，当且仅当时等号成立，而，所以f'x>0，所以在R上单调递增则由，可得，记，则，可得，当且仅当时取等号，故的最大值为.故选：B二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的是（）A.一组数据的第70百分位数为13B.若样本数据的方差为2，那么数据的方差为1C.已知随机事件和互斥，且.则D.已知随机变量服从正态分布，若，则【答案】AC【解析】A选项，数据从小到大排列为，由，故第5个数作为第70百分位数，即A正确；B选项，样本数据的方差为2，则数据的方差为，所以B选项错；C选项，因为和互斥，则，可得，所以，C正确；D选项，因为关于对称，所以错误.故选：AC10.已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.函数在区间单调递增D.当时，函数有8个零点【答案】ACD【解析】对于选项A，由图知，，得到，则，选项A正确；对于选项B，，又因为，所以，故选项B错误；对于选项C，当时，，单调递增，所以选项C正确；对于选项D，，整理得，，令，得观察图象知，和在上共8个交点，所以Fx在上共有8个零点，故选项D正确.故选：ACD11.已知矩形中，，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成一个几何体，则（）A.该几何体的体积为B.将该几何体放入一个球内，当球的半径最小时，球的表面积为C.将该几何体削成一个球，则球的半径的最大值为D.将该几何体削成以为轴的圆柱，则圆柱的最大体积为【答案】BCD【解析】如图1，以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，则所求几何体体积故A错误；该几何体可以放入的最小的球是以为直径的球，该球的表面积为，故B正确；C选项中削成的最大的球的轴截面如图2，设球的半径为，则，中，，解得（舍）或，故C正确；D选项中，轴截面图如图3，设，则圆柱的体积为，故时，体积有最大值，故D正确.故选：BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知满足，则__________.【答案】【解析】，.故答案为：.13.已知分别为双曲线右支与渐近线上的动点，为左焦点，则的最小值为__________.【答案】4【解析】设双曲线的右焦点为，渐近线为，则，，当且仅当三点共线时，，的最小值为垂直于渐近线时，所以的最小值为.故答案为：4.14.从中任意选取四元数组，满足，则这样的四元数组的个数为__________.（用数字作答）【答案】70【解析】由题意得，将连同右边的3个空位捆绑，连同右边的4个空位捆绑，连同右边的5个空位捆绑，分别看作一个元素，还剩个元素.四元数组的个数相当于从8个元素中选取4个，故这样的四元数组的个数是.故答案为：70四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在中，分别为角的对边，.（1）求的值；（2）若的周长为，求的面积.解：（1）由正弦定理得，，，，，又.由得，，所以.（2），由正弦定理，得，令，则，则，解得，的面积.16.如图，在四面体中，平面为的重心，点在线段上，.（1）证明：；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）证明：如图，连接并延长交于，连接.为的重心，，又.平面，又，且平面，平面，又平面，.（2）如图，以为轴，为轴，轴建立空间直角坐标系，，.设平面的一个法向量为，则取，则，设平面的一个法向量为，则取，则，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.已知函数（）.（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，证明：.解：（1），①当时，当时，时，，所以的递增区间是，递减区间为；②当时，当时，时，，所以的递增区间是，递减区间为；③当时，的递增区间是，无减区间；④当时，当时，时，，所以的递增区间是，递减区间为.综上，当时，的递增区间是（），递减区间为；当时，的递增区间是，递减区间为；当时，的递增区间是，无减区间；当时，的递增区间是，递减区间为.（2）证明：当时，，由题意可得，只需证明，方法一：令，则，令，易知在上单调递增，，故存在，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，故时，取得唯一的极小值，也是最小值.，所以，即当时，.方法二：不等式等价于，只需证，令，所以，当时，单调递减，时，单调递增，所以，即，当且仅当时取得等号，令代替得到，函数在上单调递增，且，故存在，使得，所以，当且仅当时取得等号，所以，即当时，.18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为，左､右焦点分别为，过作直线与椭圆交于两点，且的周长为.设的中点为为坐标原点，直线与直线相交于点.（1）求椭圆的标准方程.（2）是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.（3）求的正弦值的最大值.解：（1）由题意，故椭圆的标准方程为.（2）显然的斜率不为0，设的方程为，联立，得，，，，直线的方程为，从而，，若为等腰三角形，则，又，存在直线使得为等腰三角形，此时的方程为或.（3）由（2）知，，，同理，当且仅当时取等号，最大值时，取最大值，最大值时有，，即的正弦值的最大值为.19.若项数为的有穷数列满足：，且对任意的或是数列中的项，则称数列具有性质.（1）判断数列，，，与数列，，，是否具有性质，并说明理由；（2）设数列具有性质，是中的任意一项，证明：一定是中的项；（3）若数列具有性质，证明：当时，数列是等比数列.解：（1）数列，，，，则，，，，，，，所以数列，，，具有性质；数列，，，，，，都不是数列里的项，所以数列，，，不具有性质.（2）证明：由数列具有性质，由，可得，即不是数列中项，所以为数列中的