重庆市某校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题（含答案解析）

重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.的相反数是（）.

A.—B.-C.—7D.7

77

2.下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）

3.二次函数尸加+及+。（。/0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）

C.b1—4ac<0D.c>0

4.将VA3C沿3C方向平移至AOEF,点A,B,。的对应点分别是O,E,F,使得

BC:EC=5:3f则VABC与△GEC的周长之比为（）

A.2:3B.2:5C.5:3D.3:5

5.中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用

组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场.现计划安排28场组内循环赛，共有几名选手

参加组内循环赛？设一共有x名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（）

A.x（x-l）=28B.x（x+l）=28

C.3工（彳+1）=28D.~x（^x-1）=28

6.估计（、后+6卜石的值应在（）

A.6和7之间B.7和8之间C.8和9之间D.9和10之间

7.南南用相同的小圆圈按照一定的规律摆成了“中”字，第①个图形中有10个小圆圈，第②

个图形中有16个小圆圈，第③个图形中有22个小圆圈，…，按照此规律排列下去，则第⑧

个图形中小圆圈的个数是（）

o

oo

ooo

ooooooooooooooo

oooooo

OOO

ooooooooO

OOO

oO

③

①②

A.42B.52C.46D.58

13

8.如图，AB是。。的直径，AE,CE、CB为。。的弦，AO=—,AE=12,贝!Jsin/3CE=

()

9.如图，在正方形ABC。中，。是对角线3。的中点，E为正方形内的一点，连接BE,CE,

使得CB=CE,延长BE与ZECD的角平分线交于点F.若NBEC=a,连接OF,则ZFOD

的度数为（）

试卷第2页，共8页

F

C.90°--6ZD.2a-45°

22

10.给定三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差（相同的两个代数式只作一次差）,

再将这些差的绝对值进行求和，这样的操作称为“绝佳操作”.例如：对于加，“，P作"绝

佳操作“，得到何一"+版-,+|〃-,.下列说法：

①对2,-4,5作“绝佳操作”的结果是18；

②对加，〃，P作“绝佳操作”的结果一共有8种；

③对2a2,6a-6,4a-2作“绝佳操作”的结果为28,贝!1。的值为或-1；

其中正确的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

11.计算：［31130。一1）。-2一|=.

12.正八边形每个外角的度数为一.

13.为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程.其中南南

和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课

程的概率为.

k

14.如图，点A在反比例函数丁='（左。0）图象上，过点A作AB1%轴于点3,连接Q4,

若的面积为2,贝蛛=.

15.若二次函数y=/-3x+2过点（m,3）,贝|代数式2根?一6,篦+2023=.

31-1

16.关于x的一元一次不等式组2至少有2个整数解，且关于V的分式方程

2（x+l）>-x+m

m—13

—--2---的解为非负整数，则符合条件的整数加的值之和为______.

y—22—y

17.如图，在矩形ABC。中，4）=4,点E为A8中点，将矩形沿着E尸所在的直线翻折至

矩形ABCD所在的平面，点3,C的对应点分别是3',C',3Z与CD交于点G,使得C「=Gr,

连接AB',B'F,AF,若那=亍，贝UG/=______;S.B，F=______.

GF5

18.一个四位数”各数位上的数字均不为0,若将河的千位数字和个位数字对调，百位数

字和十位数字对调，得到新的四位数N,则称N为河的“翻折数”，规定尸（加）=丝芳.例

如：1235的“翻折数”为5321,*1235）==596,则P（2678）=；若

Af=5001+200^+10(y+l)(M,、为整数，5<x<9,l<y<8),"的“翻折数”N能被17

整除，则的最大值为

三、解答题

19.计算：

(l)/?i(m+2n)-(m+M)2

20.为了全面了解学生对校史的掌握情况，公能学校开展了校史知识竞赛.现从七、八年级

的学生中各随机抽取20名学生的比赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析.所有

学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分为四组：A.90<^<100；B.80<^<90；

C.70Vx<80；D.60<x<70；）,下面给出了部分信息：

七年级20名学生的竞赛成绩为：

68,76,78,79,84,85,86,86,86,86,

试卷第4页，共8页

88,89,89,91,91,94,94,95,95,100.

八年级20名学生的竞赛成绩在B组的数据为：80,83,86,87,87,89,89.

七、八年级所抽学生的校史知识竞赛成绩统计表

年级七年级八年级

平均数8787

中位数87b

众数a92

八年级所抽学生的校

史知识竞赛成绩统计图

根据以上信息，解答下列问题：

⑴填空：a=；b=；m=；

(2)根据以上数据分析，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级学生对校史

的掌握情况更好？请说明理由(写出一条理由即可)；

(3)公能学校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加此次校史知识竞赛，请估计七、

八年级参加此次知识竞赛的成绩优秀(》＞90)的学生共有多少人？

21.在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究.他们发现，

如图所示的正方形分别取BC,CD的中点N,连接AM,DN交于点、E,过

B作A”的垂线，交40于点。，交AD于点P.则四边形是平行四边形.

(1)用尺规完成以下基本作图：过B作AM的垂线，交AM于点。，交于点P(只保留作

图痕迹).

(2)根据(1)中所作图形，智慧小组发现四边形3PZW是平行四边形成立，并给出了证明，

请补全证明过程.

证明：,四边形A2CZ）是正方形，AD=CD=3C,ZADC=ZC=90°,AD//BC.^：M,

N分别为BC,CO的中点，；.DM=gcD,CN=^BC,：.@,在AAD暇与AOCN中,

AD=CD

<ZADM=ZC

DM=CN

：.^ADM^DCN（SAS）.：.（2）.又：NCDN+ZADN=90°NOAM+ZADN=90°,

ZAED=90°,又ZAQP^ZAED=90°,：.（3）.XVDP//BN

...四边形BPDN是平行四边形.

进一步思考，智慧小组发现任取BC,C。的上点N,M（M不与C,。重合），DM=CN,

连接AAf,DN,过8作4欣的垂线，交AD于点尸，则四边形BPDN是⑷.

22.重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕.

⑴购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果

羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分别为多少元？

⑵国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了2加元，“开心果半角”单

价降低了m元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的

销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求加的值.

23.如图1,在菱形ABC。中，AB=5,BD=8,动点P从点A出发，沿着A-3-C的路线

运动，到达C点停止，过点P作PQ//BD交菱形的另一边于点。.设动点P行驶的路程为尤，

点P、。的距离为人

O\1234567891011*

图2

（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；

（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质；

试卷第6页，共8页

(3)函数％=/x+b与函数，只有一个交点，求b的取值范围.

24.如图，M为沙坪坝区物流中心，N,P,。为三个菜鸟驿站，N在M的正南方向4.3km

处，。在M的正东方向，尸在。的南偏西37。方向2.5km处，N在尸南偏西64。方

向.(sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,sin64°«0.90,cos64°«0.44,tan64°«2.05)

N

(1)求驿站P,驿站N之间的距离(结果精确到0.1km)；

(2)“双11”期间,派送员从沙坪坝区物流中心M出发，以30km/h的速度沿着M—N—P—Q的

路线派送快递到各个驿站，派送员途径N,尸两个驿站各停留6min存放快递，请计算说明

派送员能否在40min内到达驿站Q?

25.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-：x+l与抛物线y=ox2—x+3(aw0)交于A,

B两点，且点A在x轴上，直线与V轴交于点C.

图1备用图

⑴求抛物线的表达式；

(2)尸是直线A8上方抛物线上一点，过P作PQ〃、轴交直线48于点。，求PQ+咚的

最大值，并求此时点P的坐标；

(3)在(2)PQ+咚A。的最大值的条件下，连接将抛物线沿射线54方向平移，使得

点A在新抛物线的对称轴上，M是新抛物线上一动点，当=时，直接写出所

有符合条件的点"的坐标.

26.在VABC中，AC=BC,。为线段A8上一点，连接CD.

ADB

图1

⑴如图1,若/B=30。，AC^AD,过A作AELCD于0,交BC于E,CE=2,求线段BE

的长;

(2)如图2,过点B作BP,CD交CO延长线于点尸，以8C为斜边在VABC的右侧作等腰直

角三角形ABCG,过点G作G”〃AB,交DC的延长线于点H,HC=FB.猜想线段AD,

BD,CO的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,ZACB=60°,过A作AQLBC于。，作上4CB的角平分线交AQ于/,取CM

的中点N,连接QN.点K为直线BC上的动点，连接NK,将AQKN沿着NK所在直线翻

折至VABC所在平面得到AQ'KN,连接V。，取V。中点尸，连接CP.将gc。绕着点。

顺时针旋转至直线AB上方DR处，使得NBDR=ZACD.当CP取得最小值时，连接AP,PR,

AR,当△与廿以AP为腰的等腰三角形时，请直接写出丝的值.

试卷第8页，共8页

参考答案:

题号12345678910

答案BCACDDBCAB

1.B

【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不

同的两个数是互为相反数，0的相反数是0.

【详解】解：-!的相反数是《，

77

故选：B.

2.C

【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.根

据轴对称图形的定义逐项分析即可.

【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁

的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，

选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所

以是轴对称图形.

故选C.

3.A

【分析】本题考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与

系数的关系是解题的关键.

根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定a.b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△

的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定。的符号，即可得出答案.

【详解】解：A、：抛物线的开口向上，

a>0,故此选项符合题意；

B、：抛物线的对称轴在y轴右侧，

2a

丁a〉0,

故此选项不符合题意；

C、：抛物线与x轴的两个交点，

A=/?2-4«C>0,故此选项不符合题意；

答案第1页，共27页

D、：抛物线与y轴的交点在负半轴上，

c<0,故此选项不符合题意；

故选：A.

4.C

【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角

形的判定与性质是解题的关键.

根据平移的性质得到AB〃GE,从而可得到△ABC-△GEC,利用相似三角形周长于相似

比可得答案.

【详解】解：:VABC沿BC方向平移至ADEF,

：.AB//DE,即AB〃GE,

ZA^ZEGC,ZB=/GEC,

：.ZXABC-Z^GEC,

VABC与AGEC的周长之比=BC:EC=5:3,

故选：C.

5.D

【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场

数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2.

设一共有x名选手参加组内循环赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛,

可以列出一个一元二次方程.

【详解】解：由题意可列方程为：；》（尤-1）=28,

故选：D.

6.D

【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的

运算法则.

先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算.

【详解】解：（岳+6卜百

=/乂6+&6

=5/45+3,

答案第2页，共27页

•/6<745<7

，9<745+3<10

故选：D.

7.B

【分析】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律,

难度不大.仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解.

【详解】第①个图形中一共有1x6+4=10个小圆圈，

第②个图形中一共有2x6+4=16个小圆圈，

第③个图形中一共有3x6+4=22个小圆圈，

.•.第〃个图形中一共有（6”+4）个小圆圈，

.,.第⑧个图形中小圆圈的个数是8x6+4=52,

故选：B.

8.C

【分析】本题考查了圆周角定理，求一个角的正弦值，勾股定理；根据是0。的直径,

得出NA£B=90。，再运用勾股定理算出BE=JAB2-AE。=5，再结合E2=E3，则

RFS

ZBCE=ZBAE,所以石，即可作答.

【详解】解：连接跖，如图：

NAEB=90。,

AO=-

29

：.AB=13,

在RtAABE中，BE=VAB2-AE2=5，

'•*EB=EB，

答案第3页，共27页

・•・ZBCE=ZBAE,

BF5

・・・sinZBCE=sinZBAE=——=—,

AB13

故选：C.

9.A

【分析】连接。尸，先证明•••△CEE之方(SAS),得到/CEF=/CDF,从而得

ZCDF=ZCEF=1800-af继而/哥D=90。，然后利用直角三角形的性质，得出。尸=05,

从而有NOFB=NOBF=a-45。,然后由三角形外角的性质可求解.

【详解】解：连接。尸，如图，

•・•正方形ABC。

：.BC=CD,ZCBD=ZCDB=45°,

■:CB=CE

：.CE=CD,ZCBE=ZBEC=a,

ZDBE=a-45°,

,/CF是NECD的角平分线

ZECF=ZDCF

•:CF=CF,ZECF=ZDCF,CE=CD,

：.△CEF^ACDF(SAS)

・•・/CEF=/CDF,

：.NCDF=NCEF=180。—a

ZBDF=ZCDF-ZCDB=180o-a-45°=135°-a

ZBDF+ZDBE=135°-a+a~45°=90°

・•・ZBFD=90°

TO是对角线5。的中点，

答案第4页，共27页

OF=OB

：.NOFB=NOBF=a—45。

：.ZFOD=ZOFB+ZOBF=a-45°+a-450=2a-90o

故选：A.

【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性

质，全等三角形的判定与性质，证明N班口=90。是解题的关键.

10.B

【分析】本题考查新定义和绝对值化简，解一元二次方程，理解万岁新定义是解题的关键,

注意分类讨论.

利用绝对值的性质进行逐个计算判断即可.

【详解】解：0|2-H）|+|2-5|+H-5|

=6+3+9

=18,故①正确；

②当〃,时，贝"|相一司+|相―/+|九一p|二m—〃+根_p+〃_p=2^_2p,

当机>九时，则|根一司+|相一夕|+|〃一P|二根_〃+根一P一〃+p=2m—2n,

当？2>〃z>夕时，贝U|相一司+|根一2|+|〃_〃|=_根+〃+机_p+〃_p=2〃-2p,

当〃>p>小时，则|根一司+|相一?|+»_〃|=—m+n—m+p+n—p=2n—2m

当夕>根>〃时，则++|〃一p|二w—〃一机+p-n+p=2p-2n

当p>几>加时，则|相一司+|根一P|+|〃_p|=—m-\-n—m+p—n+p=2p—2m

・・・对加，n,。作“绝佳操作”的结果一共有6种，故②错误；

③当2a之>6a—6>4a—2时，贝U|加之一（6Q—6）|十|2片—（4Q—2）|+|6Q—6—（4a—2）|=28,

化简得：/-2a-6=0，解得：a=1+币或a=1-币（舍去）；

当2a2>4a—2>6Q—6时，贝！J|2<22—（6tz—6）|+|2^2—（4tz—2）|+16<7—6—（4a—2）|=28,

化简得：〃2-3。-4=0，解得：a=4（舍去）或〃二一1；

当6a-6>2a2>4〃-2时，则出之—（6tz—6）|+^2a2—（4«—2）|+|6tz—6—（4a—2）|=28,

化简得：6a-8=28,解得：a=6（舍去）；

当6a—6>4a—2>2/时,则^2a2—（6〃一6）|十|2/—（4a—2）］+16〃一6—（4〃-2）=28,

化简得：＜22-3(2+10=0,

答案第5页，共27页

VA=（-3）2-4xlxl0=-31<0

，无解；

当4Q-2>2a2>6a-6时，则［勿?-（6Q-6）|+|2^2-（4a-2）］+16a-6-（4a-2）=28,

化简得：-a=8,解得：a=-8（舍去），

当4a-2>6a-6>2片时,贝112«2—（6tz—6）|+|2tz2-（4a-2）|+|6a-6-（4a-2）=28,

化简得：Ya+8=28,解得：a=-5（舍去），

综上，。的值为1+近或-1,故③错误；

・・・只有①正确，共1个，

故选：B.

11.-/0.5

2

【分析】本题主要考查实数混合运算，零指数幕，负整理指数幕，特殊角的三角函数，解题

的关键是掌握分负整数指数幕、零指数幕的规定，熟记特殊锐角的三角函数值.

【详解】解：（tan30。一1）°一2一

2

故答案为：—.

2

12.45°/45度

【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据任何一个多边形的外角和都是360。求

解即可.

【详解】解：因为任何一个多边形的外角和都是360。，

所以正八边形的每个外角的度数是：360。+8=45。.

故答案为：45°.

13.；

【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果",

答案第6页，共27页

再从中选出符合事件A或B的结果数目机，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概

率.画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果

数，然后根据概率公式求解.

【详解】解：用A、B、C、。分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊，

画树状图如图，

开始

共有16种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4,

41

所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：—=4，

164

14.4

【分析】本题考查反比例函数系数上的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴

作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于闷.本知识点是中考的重要考点，同学们应高度

关注.

根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的

三角形的面积是:阀=2,再根据反比例函数的图象位于第二象限即可求出左的值.

【详解】解：根据题意可知：S^AOB=^\k\=2,

又反比例函数的图象位于第一象限，k>0,

则左=4.

故答案为：4.

15.2025

【分析】本题考查的是抛物线的性质.掌握“点在抛物线上，则点的坐标满足函数解析式”

是解本题的关键.

由于抛物线经过点（〃?,3）,则济-3根=1,把2疗-6〃z+2023整理后整体代入即可.

【详解】•••二次函数y=f-3x+2过点（私3）,

m2—3m+2=3,

答案第7页，共27页

m2-3m=1,

...W-6m+2023=2（m2-3m）+2023=2x1+2023=2025.

故答案为：2025.

16.2

【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组,掌握相应的计算方法是关键.

先解不等式组，确定机的取值范围2<mW5,再把分式方程去分母转化为整式方程，解得

y=T，由分式方程有非负整数解，确定出质的值，即可解答.

【详解】解：2

2（x+l）>-x+m@

解①得：x<2,

解②得：x>^,

...不等式组至少有2个整数解，

.•.—VI,

3

解得：m<5；

y-22-y

去分母得：〃T=2y-4+3,

yn

解得：y=£,

•••分式方程的解为非负整数，且y*2

mBOMmr4的偶数，

又'/m<5

m=2,0

符合条件的整数机的值之和为2+0=2.

故答案为：2.

98

17.5—

5

【分析】过点G作GHLCR,则四边形5CHG是矩形，根据矩形的性质，结合折叠的性质

可得GH=gG=4,GF=GE,令GF=CF=5a,贝lj=CE=2«,CF=C'F=5a,可知

答案第8页，共27页

HF=C'F-C'H=3a,根据勾股定理即可求解，则3'G=2,BE=B'E=7,令AB'与CO交于点

0,过点夕作_LCD,则ZD=ZB'MO=90。，再证明，谡，△DOAs^MOB，,

9Q11

结合相似三角形的性质求得mAD=w,由S„=S^OF+SAB.OF=-OFAD+-OFB'M,

即可求解.

【详解】解：在矩形ABCQ中，AD=BC=4,AB=CD,ZB=C=ZD=90°,AB//CD,则

ZBEF=ZDFE,

由折叠可知，BE=BE,CF=CF，BC=B'C'=4,ZC=ZC=90°,ZEB'C=ZB=90°,

ZBEF=ZB'EF,则4环=。庄，

：.GF=GE,

过点6作切_1。尸，则四边形"CHG是矩形，

GH=B'C'=4,B'G=CH,

B，G2

*：——=-,CF=GF,令GF=CF=5a,贝！J&G=C7/=2^,CF=CF=5a,

GF5

HF=CF-CH=3a9

由勾股定理可得：GH2=GF2-HF2,即：4?=（5a）2—（3a）2,解得：a=\,

：.GF=5,

r

则？G=2,BE=BE=7f

令A9与CD交于点。，过点夕作？M_LCD,则”=*必9=90。，

•・•点£是的中点，

AE—BE=7,即AB=CD=14,

■:AB//CD,

,人,c八八一B'GB'O2

••/\BCGs/\R人E,---=-----=—,

GFOA5

.OGB'GOG2

••=",Rn=一,

AEB'E77

:.OG=2,

答案第9页，共27页

Z.OF=OG+GF=7,则OD=CD_OF_CF=2,

•.*ZDOA=ZMOB'

：.AZXMsAMOB',

:爷考=|,则陪叫,

：.s^=8+S,=-OF-AD+-OF-B'M=-X1X\4+-\=—,

△AorAAUOFFUrBO?F2I5/5

98

故答案为：5,—.

【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成

比例等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键.

18.1040757

【分析】根本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程的解，列代数式，本题是阅读

型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键.据尸（M）=丝芳代入求

解尸（2678）即可；首先表示出$和/的“翻折数”，然后求出3尤+15y+3的取值范围，进而分类

讨论求得x,y的值，然后代入爪”）=丝芳求解即可.

【详解】根据题意可得,

F（2678）=267=8762=104Q；

VM=5001+200x+10（y+l）（M,V为整数5VxV9,1<J<8）,

•••"的千位数字为6,百位数字为2%-10,十位数字为y+1,个位数字为1,

M的“翻折数”N为1000+100（y+l）+10（2x—10）+6

=20元+100y+1006

=17（x+5y+59）+3x+15y+3,

\'5<x<9,14y48,

33<3x+15y+3<150,

VM的“翻折数”N能被17整除，

3x+15y+3能被17整除,

V都是整数，

3x+15y+3是整数,

答案第10页，共27页

3x+15y+3=34,51,68,85,102,119,136,

.•.当3x+15y+3=34时，x,y无整数解，

Y-2IY—n

当3x+15y+3=51时，：(舍去)或.

l>=3[y=2

当3x+15y+3=68时，尤，V无整数解，

当3x+15y+3=85时，x,y无整数解，

[x=3]x=8

当3x+15y+3=102时，/(舍去)或,

[y=6[y=5

当3x+15y+3=119时，x,V无整数解，

当3x+15y+3=136时，尤，V无整数解，

62311326

,当时，M=5001+200x6+10x(2+1)=6231,N=1326'F(M)=+=687,

fx=8/、/、6661+1666

当1_5时'"=5001+200x8+10x(5+1)=6661,N=1666>F(M)==757>

...尸(川)的最大值为757,

故答案为：1040,757.

19.(l)-n2;

【分析】本题考查了整式的运算和分式的混合运算.解题的关键是掌握整式和分式混合运算

顺序和运算法则.

(1)利用完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并即可；

(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约

分得到最简结果即可.

【详解】(1)解：m(m+2n)-(m+n)2

=m2+2mn—(m1+2mn+n2)

=nr+2mn-m2—2rm—n2

=—H2；

4a2-1

(2)解:

/+3d

2〃+14/—1

-----；--2----

aa+3a

答案第11页，共27页

_2<a+la（a+3）

a（2A+1）（2<7—1）

_a+3

-2o-l-

20.（1）86；87；40

（2）八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由见解析

（3）415

【分析】（1）根据众数和中位数定义求a、b值，先求出B组人数占的百分比为35%,即可

由根％=1-10%-15%-35%求出机值；

（2）根据两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，可得出结论；

（3）用各年级的总人数乘以年级的优秀率，再相加，列式计算即可求解.

【详解】（1）解：在七年级20名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数。=86；

:八年级20名学生的竞赛成绩在B组的数据为：80,83,86,87,87,89,89.

7

•♦•8组人数占的百分比为：—X100%=35%,

20

组人数占的百分比为15%,。组人数占的百分比为10%,

组人数占的百分比为〃/=1-10%-15%-35%=40%,即m=40.

八年级20名学生的竞赛成绩的中位数在B组，

•••把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87,89,故中位

潞r八87+89

数八一--二87,

故答案为：86；87；40.

（2）解：八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由如下：

因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以得到八年级学生安全

知识竞赛成绩较好（答案不唯一）；

7

（3）解：500x^+600x40%

=175+240

=415（人），

答:估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（%>90）的学生人数大约是415人.

【点睛】本题考查众数，中位数，统计表，扇形统计图，用样本估计总体，掌握相关统计量

的意义以及计算方法是解答本题的关键.

答案第12页，共27页

21.(1)见解析

Q)DM=CN；ZDAM=ZCDN；BP//DN■,进一步思考：四边形是平行四边形

【分析】(1)利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可;

(2)先证明AADM丝ADCN(SAS),得到Z.DAM=NCDN.从而证得ZAQP=ZAED=90°,

即可得到3P〃ZW.又由正方形的性质得DP〃BN,即可得出结论；

进一步思考：证明AADM四△•DCN(SAS),得到/D4M=NCDN,再证明3尸〃DN,又由

正方形的性质得DPV,即可得出结论.

【详解】(1)解：如图所示，3尸就是所求作的经过点2垂直于4W于。，交AD于尸的直

线，

(2)证明：；四边形ABCD是正方形，

:.AD=CD=BC,ZADC=ZC=9Q°,AD//BC.

又,：M,N分别为BC,CD的中点，

：.DM=-CD,CN=-BC,

22

DM=CN,

AD^CD

在△ADM与ADCN中，＜NAOM=NC

DM=CN

：.△ADM当ADCN(SAS).

：.ZDAM=ZCDN.

又•/ZCDN+ZADN=90°,

ZDAM+ZADN=9Q°,

ZAED=90°,

答案第13页，共27页

又•:BP±AE,

：.ZAQP=ZAED=90°,

：.BP//DN.

又：DP〃BN

.••四边形BPDN是平行四边形.

进一步思考：如图，

,•,四边形ABCD是正方形，

:.AD=CD=BC,ZADC=ZC=9Q°,AD//BC.

在AADM与△DCV中，

AD=CD

<ZADM=ZC

DM=CN

：.AADM^ADCTV(SAS).

：.ZDAM=ZCDN.

又ZCDN+ZADN=90°,

ZDAM+ZADN=90°,

，ZAED=90°,

又；BPLAE,

：.ZAQP=ZAED^90°,

：.BP//DN.

又•:DP〃BN

四边形BPDN是平行四边形.

故答案为：平行四边形.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图一作垂线，平行

四边形的判定.熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键.

答案第14页，共27页

22.(1)“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元

(2)2

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确列出方程组或方程是解题

的关键.

(1)设“流沙羊角”的单价为x元，“开心果羊角”的单价为y元，根据购买1个“流沙羊角”

和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，列出

方程组，求解即可.

(2)根据销量等于销售额除以销售单价，以“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2

倍，列出分式方程求解即可.

【详解】(1)解：设“流沙羊角”的单价为尤元，“开心果羊角”的单价为y元，根据题意，得

(x+y=37

1%+2y=54，

x=20

解得:

y=17

答：“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元.

(2)解：根据题意，得

960750।

---------=--------xl.2,

20-2m17-m

解得：m=2,

经检验，m=2是方程的解且符合题意，

•1.7"的值为2.

—x(0<x<5)

23.(l)y=5；

--x+16(5<x<10)

(2)作图见解析，当0WXW5时，y随X的增大而增大；当5<xV10时，'随x的增大而减小；

(3)一5V6<0或6=£.

【分析】(1)分点P在上和点P在BC上两种情况讨论，利用相似三角形的判定及性质构

造等量关系，即可得到答案；

(2)根据(1)所得函数关系式，利用描点法画图，再写出该函数的性质即可；

(3)结合函数图象，将(5,8)、(0,0)和。0,0)代入％=3*+1),分别求出6的值，即可得出

答案第15页，共27页

b的取值范围.

【详解】（1）解：如图，点尸在ZB上时，04x45,

・.・PQ//BD,

^APQ^AABD,

・.・8

AB=5,

如图，点尸在5c上时,

・・•四边形ABC。是菱形,

・・・BC=AB=5,

：.PC=10-x,

当点P在5。上时，5<^<10,

PQ//BD,

・•・aCPQSKBD,

・・£=丝即吐

CBBD58

y=-|x+16,

8

-X（0<x<5）

5

综上可知，y关于尤的函数表达式为>=

8

——x+16（5<x<10）

[5

（2）解：由（1）所得关系式可知,

答案第16页，共27页

X05810

y083.20

函数图象如下:

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

性质：当0WXW5时，V随X的增大而增大；当5〈尤W10时，V随X的增大而减小；（答案

不唯一）

（3）解：如图，由图象可知，函数％=gx+b的图象在4和4之间时，与函数y只有一个交

点，

将（5,8）代入％=：x+b,得：8=1x5+b,

解得：6==,

2

将（0.0）代入yi=gx+b,得：b=0,

将（10,0）代入yi=gx+b,得：b=—5,

b的取值范围为一546＜。或匕=；■.

答案第17页，共27页

【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定及性质，求一次函数解析式，描点法画

函数图象，一次函数图象和性质，两直线交点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想

解决问题是关键.

24.(l)5.2km

(2)能，理由见解析

【分析】本题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直

角三角形的知识求解是解题的关键.

(1)过点P作PALMN于A,于3,先解RtZ\P3Q,求得依=2km,再证明

AM=PB=2km,从而得出4V=2.3km,然后解Rt/XPAN,即可求解.

(2)求出派送员所需总时间，再与40min比较即可得出答案.

【详解】(1)解：过点尸作24,肱V于A,PBLMQ于8,如图，

本艮据题意，得NBPQ=NPQD=37。,ZPNA=ZNPC=(A°,ACV=4.3km,PQ=2.5km,

在RtAPBQ中，•/cosZBPQ=瑞,

PB=PQ-cosZBPQ=2.5xcos37°«2.5x0.80=2(km),

VPAYMN,PBLMQ,ZNMQ=9Q°,

答案第18页，共27页

，四边形4WBP是矩形,

AM=PB=2km,

=AM=4.3-2=2.3(km),

AN

在.△制中,：3小4=而

,___AN2.32.3__\

・・PNT=--------=------b------«5.2(km),

cosZPNAcos64°0.4417

答：驿站P,驿站N之间的距离约为5.2km.

(2)解：：30km/h=0.5km/min，

（4.3+5.2+2.5）-0.5+6x2=36（min）,

36min<40min,

・・・派送员能在40min内到达驿站Q.

1

25.（1）y———x9—x+3

⑵+的最大值为4,P（-2,4）

⑶点”的坐标为（2,2）或［驾土心］

【分析】（1）先由一次函数解析式求出点A（2,0）,再把A（2,0）代入>=尔一了+3,求出a

值即可；

⑵延长尸Q交y轴于证明AOACSSAQ,得若=会，即兴=与，求得OQ=£AQ,

再设尸［x,——尤+3］，贝!J。［尤+,贝［］PQ=-gx+2,QD=-；x+l,所以

PQ+^-AQ=PQ+QD=PD=-^（x+2）i+4,利用二次函数最值即可求解.

（3）根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为y=V+x+l,再分两种情况：当点M

4

在直线A3上方时，当点M在直线A3下方时，分别求解即可.

【详解】（1）解：对于直线丫=一;尤+1,

令y=°,则一，x+l=0,解得：尤=2,

2

/.A(2,0),

把A（2,0）代入）一x+3,得0=4々一2+3,

答案第19页，共27页

解得：a=二,

4

，抛物线的表达式y=-；f-x+3.

4

(2)解：延长PQ交y轴于Q,

VA(2,0)

AC=y/l2+22

：PQ〃y轴，BPQD//OC,

，AOAC^ADAQ

・生=也即正.，

,,AQDQ'B|AQDQ'

DQ=^-AQ,

设p(x,-]x2-X+3],则。[,-]X+l),

PQ=——%2—x+3—1―1彳+[：=_1尤2_]X+2,QD=——x+1