山东省淄博市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省淄博市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A.0 B.C. D.不存在【答案】C【解析】因为直线与轴垂直，因此直线的倾斜角是．故选：C．2.抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】抛物线方程化为，所以抛物线的准线方程为.故选：B3.直线过点且与直线垂直，则的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为，则直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故选：.4.甲乙两人参加面试答辩，假设甲乙面试互不影响，且他们面试通过的概率分别为，，则两人中至少有一人通过的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，两人中至少有一人通过的概率为.故选：A5.直线与轴，轴分别交于点，以线段为直径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题：法一：根据圆直径式方程可以得到：以线段AB为直径的圆的方程为，即，故选：B.法二：AB中点为(2,1)，故以线段AB为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为，所以圆的方程为，展开化简得：，故选：B.6.如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为分别为的中点，所以.因为为的重心，所以，所以.故选：B.7.已知正方体，若是棱的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令正方体的棱长为2，连接，则，四边形是正方体对角面，则四边形是矩形，即，因此是异面直线和所成的角，在等腰中，，所以异面直线和夹角的余弦值为.故选：D8.双曲线C：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点.若，且，则直线与的斜率之积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合双曲线定义可知，且，不妨设，则，，，.在中，，由余弦定理得，即，即，解得.在中，由余弦定理得，即，即，结合，即得，故得，即.又可设，则，而，故，故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（）A. B.抛物线的准线为直线C. D.的面积为【答案】AD【解析】抛物线的准线为直线，过点向准线作垂线垂足为，由抛物线的定义知，解得，则抛物线的方程为，准线为直线，A正确，B错误；将代入抛物线方程，解得，C错误；焦点，点，即，则，D正确.故选：AD10.若，，，则下列说法正确的是（）A. B.事件与相互独立C.事件与不互斥 D.【答案】BC【解析】对于A，由，得，A错误；对于B，由，，，得，事件与相互独立，B正确；对于C，由，得事件与可以同时发生，则事件与不互斥，C正确；对于D，，D错误.故选：BC11.点在圆上，点在圆上，则（）A.的最小值为3 B.的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为 D.两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】ABC【解析】圆的圆心坐标，半径圆，即的圆心坐标，半径∴圆心距又在圆上，在圆上则的最小值为，最大值为．故A、B正确；两圆圆心所在的直线斜率为，C正确；圆心距大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，D错误.故答案为：ABC12.已知正方体的棱长为1，点P满足，，，（P，B，D，四点不重合），则下列说法正确的是（）A.当时，的最小值是1B.当，时，∥平面C.当，时，平面平面D.当，时，直线与平面所成角的正切值的最大值为【答案】BCD【解析】对于选项A：当时，即，则，可得，则，可知点在平面内，设点到平面的距离为，可知，由可得，解得，所以的最小值是，故A错误；对于选项B：当，时，则，可得，则，由正方体的性质可知：∥，且，则为平行四边形，可得∥，且，即，则，可知点在直线上，直线即为直线，且∥，平面，平面，所以∥平面，即∥平面，故B正确；对于选项C：当，时，则，取中点，可得，可知点即为点，因为平面，平面，则，设，连接，可知，，平面，所以平面，且平面，可得，同理可得：，且，平面，所以平面，又因为分别为的中点，则∥，可得平面，且平面，所以平面平面，故C正确；对于选项D：当，时，则，可知点在平面内，因为平面∥平面，则直线与平面所成角即为直线与平面所成的角，因为平面，则直线与平面所成的角为，可得，又因为，即，则，可得，当且仅当，即时，等号成立，可知的最小值为，则的最大值，所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故D正确；故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.从2至6的5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为__________.【答案】【解析】从2至6的5个整数中随机取2个不同数的试验的样本空间为：（交换数字位置算一种情况），共10个样本点，所取2个数互质的事件，共6个样本点，所以这2个数互质的概率为.故答案为：14.经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为__________.【答案】【解析】，解得，故交点坐标为，因为直线的一个方向向量，所以直线方程为，即.故答案为：15.为矩形所在平面外一点，平面，若已知，，，则点到的距离为__．【答案】【解析】方法一矩形中，，，，过作，交于，连结，平面，平面，，又，，平面，∵平面，，即是点到的距离，，，，点到的距离为．方法二∵平面，平面，∴，∵,∴三线两两垂直，∴以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，点到的距离为故答案为：16.已知，分别为椭圆的左、右焦点,以为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线相切.P为椭圆上一点,I为的内心,且，则的值为______．【答案】【解析】设，，为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为，根据题意可知，解得设的内接圆半径为r，则，，故，化简可得，即，解得故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设.（1）试用表示向量；（2）若，求的长.解：（1），又，，，∴．（2）因为，．，．，，，．18.已知圆的圆心在直线上，与直线相切于点.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于，两点，若的面积为，求该直线的方程.解：（1）依题意，过点且垂直于直线的直线方程为，则圆的圆心在直线上，由，解得，即点，因此圆的半径，所以圆的标准方程为.（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则点到直线的距离，，于是的面积，解得或，所以直线的方程为或，即或.19.已知椭圆，一组平行直线的斜率是.（1）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上；（2）这组直线中经过椭圆上焦点的直线与椭圆交于两点，求.解：（1）设这组平行直线的方程为，则，消去y得，由，得，设交点坐标为，则，因此这组平行直线与椭圆交点的中点坐标为，显然点始终在直线上，所以这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.（2）椭圆的焦点坐标为，由对称性，不妨取焦点，直线，设，由（1）知，，所以.20.某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者,则考试“通过".并给予录取.甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的.（1）甲､乙两人谁获得录取的可能性大？请说明理由：（2）求甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率.解：（1）记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件，则由题意得，笔试和面试是否“通过”是独立，所以,,因为，即，所以甲获得录取的可能性大（2）记“甲､乙两人中至少有一人获得录取”为事件，则由题意得所以甲､乙两人中至少有一人获得录取的概率为.21.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面夹角的大小；（3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值.解：（1）设，连结，，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，则，，于是为平行四边形，则，又平面，平面，所以平面.（2）由平面平面，，平面平面，平面，得平面，又，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立如空间直角坐标系，，则，，，设平面的法向量为，则，令，得，由，得平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，则，解得，所以平面与平面夹角的大小为.（3）由（2）知，，则，，设，则，，于是，由，得，即，因此，又，所以，即的最大值为.22.已知双曲线（，）的离心率为2，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）点，在双曲线上，且，，为垂足.证明：①直线过定点；②存在定点，使得为定值.解：（1）由双曲线离心率为2，得，则