辽宁省鞍山市普通高中2025届高三上学期第三次月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省鞍山市普通高中2025届高三上学期第三次月考数学试题时间：120分钟满分：150分命题范围：高考范围（除了概率与统计）第I卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，复数，则复数z的共轭复数为（）A.2 B.2 C.2 D.2【答案】A【解析】因为，所以，所以复数的共轭复数还是2.故选：A.2.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与直线平行，则，解得或，经检验或时两直线平行．故“”能得到“直线与直线平行”，但是“直线与直线平行”不能得到“”故选：A3.在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记m，＝n，则＝（）A3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n【答案】B【解析】因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2（－），所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故选B.4.设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为圆与轴交于，两点（在的上方），所以，，又因为过作圆的切线，所以切线的方程为，因为动点到的距离等于到的距离，所以动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，所以的轨迹方程为．故选：A.5.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即．对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为，且，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（）A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍【答案】B【解析】依题意，，则，所以第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.故选：B6.定义在上的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则函数（）.A.在区间上是增函数，在区间是减函数B.在区间上是增函数，在区间是增函数C.在区间上是减函数，在区间是减函数D.在区间上是减函数，在区间是增函数【答案】B【解析】，关于直线对称，在区间上是减函数，在区间上是增函数，又是偶函数，，，是周期为2的函数，在区间也是增函数.故选：B7.圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（）A. B.15cm C. D.20cm【答案】B【解析】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积.设玻璃球半径为，即圆柱形玻璃杯的底面半径为则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为所以，解得故选：B8.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，则，令，则在上恒成立，故在上单调递增，又，，由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得.故选：B二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列选项正确的有（）A.的最小正周期为 B.曲线关于点中心对称C.的最大值为 D.曲线关于直线对称【答案】ACD【解析】由题意，函数，对于A，由于的最小正周期，故正确；对于B，由于，故错误；对于C，由于，故正确；对于D，的对称轴为得，当时，，即关于直线对称，所以D正确.故选：ACD.10.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（）A.椭圆C的离心率为 B.的最大值为6C.的周长为10 D.存在点P，使得为等边三角形【答案】ABD【解析】由椭圆C：，可得，，则，对于选项A，椭圆C的离心率，故A正确；对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得，故B正确；对于选项C，的周长为，故C错误；对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确．故选：ABD11.函数满足，则正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】依题意，令函数，求导得，函数在R上递减，对于A，，，则，A正确；对于B，，，则，B错误；对于C，，，则，C正确；对于D，，，则，D错误.故选：AC第II卷（非选择题，共92分）三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列满足，，若，，则的值为______.【答案】或【解析】因为，，所以数列为等比数列，设其公比为q.由，，得，，所以.当时，，则；当时，，则.综上，的值为或.故答案为：或13.若a，b，c，d为实数，且，定义函数，现将的图像先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数的图像，则的解析式为______.【答案】【解析】由题意，，a，b，c，d为实数，且，在中，∵的图像先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到函数∴，∴的解析式为：.故答案为：.14.如图，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为_____．【答案】【解析】∵平面，∴平面．连接，如图所示，则是在平面上的射影，∴就是与平面所成的角．设，则，∵，∴，∵，是的中点，∴，∴，∵平面，平面，∴，∴，∴，∴与平面所成角的余弦值为四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且（1）求角B；（2）若的面积为，BC边上的高，求，的值．解：（1）因为，所以所以，即由余弦定理可得，因为，所以（2）由（1）知，，因为BC边上的高，所以，在中，由正弦定理可得，即.因为的面积为，所以，解得.在中,由余弦定理,得，则所以的值为，的值为.16.如图，在多面体中，，，垂直于底面，且满足，，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.解：（1）证明：由题意得，，，，，垂直于底面，，，，，可得，所以，故.由，，，，，得.又，由，得，所以，故.又，因此平面，因为平面，故.（2）如图，以的中点为坐标原点，分别以射线，为，轴的正半轴，过点作平行于且向上的射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意知各点坐标如下：，，，，，因此，，，.设平面的法向量，所以，即，则；同理可得，平面的一个法向量，，故二面角的余弦值为.17.已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，为的左顶点，且．（1）求的方程；（2）若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于点、．求证：点与点的横坐标之积为定值．解：（1）易知点、、，，，所以，，解得，，则，所以，双曲线的方程为.（2）证明：分以下两种情况讨论：①当直线轴时，直线的方程为，此时点、的横坐标之积为；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意可知直线不与双曲线的渐近线平行或重合，即，设点、，联立可得，则，可得，则，不妨点、分别为直线与直线、的交点，联立可得，联立可得，此时，.综上所述，点与点的横坐标之积为定值.18.已知函数，．（1）求曲线在处切线的斜率；（2）求函数的极大值；（3）设，当时，求函数的零点个数．并说明理由．解：（1）由，知，即切点求导，则切线的斜率所以曲线在处切线的斜率为.（2）函数的定义域为，求导，令，得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故当时，函数取得极大值所以函数的极大值为（3）函数，求导，当时，，故函数在上单调递增，又，，所以方程在有且仅有一个根，即函数在有一个零点.当时，讨论函数的零点个数，即讨论方程的根的个数，即讨论方程的根的个数，即讨论函数与的交点个数，求导，令，得或当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；又，，又，所以函数与没有交点，即函数在上无零点.综上可知，当时，求函数的零点个数为个.19.对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.（1）若数列具有性质，求数列的前项和；（2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；（3