湖北省部分重点中学2025届高三上学期12月联合测评数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分重点中学2025届高三上学期12月联合测评数学试题考试时间：2024年12月12日15：00-17：00试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，则，又，则.故选：C.2.已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由可得，，故对应的点为，位于第四象限.故选：D3.已知变量x和变量y一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（）A. B.-2 C. D.【答案】B【解析】∵，∴增加两个样本点后的平均数为；∵，∴，∴增加两个样本点后y的平均数为，∴，解得，∴新的经验回归方程为，则当时，，∴样本点的残差为故选：B.4.若正整数a，b满足等式，且，则（）A.1 B.2 C.2022 D.2023【答案】D【解析】∵，∴.故选：D5.已知，均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵，则，∴，同向，但当时不满足，因此充分性不成立.∵，∴，即，即，从而，同向，，由此可知必要性成立.故“”是“”的必要不充分条件，故选：C.6.已知等比数列满足，，记为其前项和，则（）A. B. C. D.7【答案】A【解析】设等比数列的公比为，，依题意，，，即，∴，，解得或，∴，，或，，，∴.故选：A7.已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知F1,0，直线的斜率不为0，设直线的方程为，Ax1,y1联立整理得，则，.∴.∵，∴四边形为平行四边形.∵点的横坐标为3，∴，解得.∴点到直线的距离为，∴平行四边形的面积为.故选：A.8.如图，在三棱锥中，，，E，F，G分别为，，上靠近点P的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥的四个面均相切，且小球同时还与平面相切，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，取中点，连接，.因为，所以，.∵，平面，平面，∴平面.作，垂足为H.∵平面，∴.又，平面，平面，∴平面.过点H作，垂足为，连接，因为平面，所以，又是平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以.易知平面平面，设小球半径为，∴，∴.根据题意，，∵，，∴，∴.由，得，∴，∴.∴.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，，则C.若且，则 D.若，则【答案】AD【解析】对于选项A，当时，.∵，当且仅当时，取等号，∴，故A正确.对于选项B，∵且，由糖水原理可知，故B错误；对于选项C，当时，结论不成立，故C错误；对于选项D，，即，故D正确.故选：AD.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.在区间上单调递增B.图象的一条对称轴方程为C.图象的一个对称中心为点D.在区间上的值域为【答案】ABC【解析】由图可知，，，又，解得，，，∴.对于选项A，当时，，∴在区间上单调递增，故正确；对于选项B，为其最小值，∴为图象的一条对称轴，故正确；对于选项C，，∴点为图象的一个对称中心，故正确；对于选项D，当时，，当即时，，当即时，，即在区间上的值域为，故错误.故选：ABC．11.甲同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径.若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径.下列说法正确的有（）A.若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能6次移动后回到点B.经过4次移动后仍在点的概率为C.若“一笔画”路径为完美路径，则5次移动后回到点有5条不同笔迹D.经过3次移动后，到达点的条件下经过点C的概率为【答案】BCD【解析】对于选项A，沿等路线即可，故A错误；对于选项B，若存在重复路线，两次移动回到点可以第一次移动到达点，，C，第三次移动再从这些移动方式中选，共有9种走法，另外可以先移动两次再原路返回，第一次移动可能到达点，，C，每个点在第二次移动时都有两种移动方式，故有6种方式；若不存在重复路线，经过点C由四条棱组成的闭合回路只有和两种，每条路都有两种经过方式，共有4种方式；所以概率为，故B正确；对于选项C，列举法：，，，，，故共有5条不同笔记，故C正确；对于选项D，先考虑重复路线：前两条路线重复，第一次移动到达点，，C共３条路径；后两条路径重复（即第一次移动到点）同理有３条路径，其中重复，故共只有5条路径；再考虑不重复路径：只有，1条路径，∴三次移动后到达点A有6条路径.记事件：从点出发，三次移动后到达点；事件C：从点出发，三次移动时经过点C，故，，故，故D确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设F为双曲线C：的左焦点，，分别为双曲线C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为2，且满足，则双曲线C的焦距为_______.【答案】8【解析】根据点F到其中一条渐近线的距离为2，可得，且满足.又，∴，∴，故，∴，∴焦距为.故答案为：.13.某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是________.【答案】【解析】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为，即1件产品的质量指标位于区间的概率为，∴，故故答案为：14.已知函数（其中，且）为其定义域上的单调函数，则实数的取值范围为_________.【答案】【解析】，记，在定义域上单调，可得hx必为单调函数.若hx单调递增，则恒成立，即，∴.又函数在时值趋近于0，不满足.若hx单调递减，则恒成立，即，即，∴，设，，则，当时，不成立；当时，，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴，即，∴，即，解得.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）判断的形状；（2）设，且D是边的中点，求当最大时的面积.解:（1）由二倍角公式得，∴，整理得，即.∵，∴，即，即为等腰三角形.（2）由（1）及题设，有，∴，而为三角形内角，∴，当且仅当时，等号成立.即的最大值为，此时由，而，故，故，可得为直角三角形且，又由（1）可得为正三角形，∴的面积.16.在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，.（1）求证：平面平面；（2）平面于点，求二面角的余弦值.解:（1）证明：在和中，，，与互余，所以，即.又平面，平面，.又平面中，，平面，又平面，平面平面.（2），，两两互相垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.不妨设，则A0,0,0，，，，，.点在平面内，设，则，平面，，，，解得，，即，点到平面的距离，点到棱的距离，设二面角大小为，则，，即二面角的余弦值为.17.设函数.（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）判断并证明函数在区间上零点的个数.解：（1），且.当时，，，从而，即此时函数在区间上单调递增；当时，，，从而，即此时函数在区间上单调递减.∴综上所述，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（2），又，且函数在区间上单调递减，∴函数在区间上存在唯一的零点.当时，记，从而，且此时，，∴，在区间上单调递增.，，∴存在，使得且时，，即此时在区间上单调递减；时，，即此时在区间上单调递增.∴由，得，即函数在区间上无零点；而由，，即函数在区间上有唯一的零点.∴函数在区间上有2个零点.18.已知过，两点的动抛物线的准线始终与圆相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线E的一部分.（1）求曲线的标准方程；（2）已知点，，过点的动直线与曲线交于两点，设的外心为为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由.解：（1）由题意知抛物线的焦点P到两定点A，B的距离之和等于点A，B到抛物线的准线的距离之和，等于的中点O到准线的距离的2倍，即等于圆的半径的2倍，∴，∴点P在以A，B为焦点的椭圆E上，设椭圆E的标准方程为，则，，∴，，∴，∴曲线E的标准方程为.（2）设直线：，由∴.设，，则，，的中点坐标为，，的垂直平分线的斜率为.∴的垂直平分线方程为，即，由得，∴的垂直平分线方程为.同理的垂直平分线方程为.设点，则，是方程，即的两根，∴两式相除得，∴.∴，即直线与的斜率之积为定值.19.n为不小于3的正整数，对整数数列：，可以做以下三种变换：①将中的减1，加1，其余项不变，称此变换为对做变换；②取，将中的减2，，均加1，其余项不变，称此变换为对做变换；③将中的减1，加1，其余项不变，称此变换为对做变换.将数列做一次变换得到，将数列做一次变换得到……例如：时，对数列：0，-1，1，0依次做，变换，意义如下：先对做变换得到数列：0，0，-1，1，再对做变换得到数列：0，0，0，0.（1）时，给定数列：0，-1，1，0，0，求证：可以对做若干次变换得到数列0，0，0，0，0；（2）时，求证：对任意整数数列：，，，，，若，则可以对做若干次变换得到数列0，0，0，0，0；（3）若将变换①中的改为，将变换③中的改为，在时，求证：对任意整数数列：，若，且和均为偶数，则可以对整数数列做若干次变换得到数列.证明：（1）首先对给定数列，做变换，减，和均加，得到数列.再对该数列做变换，减，和均加，得到数列.然后对这个数列做变换，就得到了（2）首先，若对数列：依次做变换，得到的数列加1，减1，其余项不变；若对数列中：依次做变换，得到的数列中减1，加1，其余项不变.∴可以通过若干次变换使得相邻两数一个加1，另一个减1，∴可以通过若干次变换使得第