山东省聊城市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量抽测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省聊城市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量抽测数学试题注意事项：1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡的相应位置上．2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，只将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.直线在x轴上的截距为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】令，解得，显然截距是.故选：B2.已知函数，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由题意，，故.故选：D3.已知数列满足，若，则（）．A.4 B.3 C. D.2【答案】B【解析】由可得，所以，则是公比为的等比数列，所以，所以.故选：B.4.已知直线，，若，则它们的倾斜角为（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】因为，所以且，所以.两直线的斜率为，所以倾斜角为.故选：C.5.在三棱锥中，，，分别为，，的中点，若，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】连结和，并交于点，点是和的中点，所以，以及，所以，即，所以，则.故选：D6.抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上一点反射后，反射光线必过抛物线的焦点.已知抛物线,一束平行于x轴的光线,从点射入，经过C上一点A反射后﹐再经C上另一点B反射后，沿直线出，则线段AB的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由抛物线的光学性质可知，直线过抛物线的焦点，因为，所以令中，则，即，所以直线的方程为：，即，将直线的方程代入中，得，所以，所以.故选：C.7.已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因为为正三角形，且均与圆相切，故，，由四边形内角和为可得.又圆，圆心为，半径为.故到直线的距离为.故，解得或（舍）.故选：C8.已知数列满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，当时，；当时，，所以.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A：由于是常数，常数的导数是，即，错误；对于B：，正确；对于C：，正确；对于D：，正确；故选：BCD10.若平面内的动点Px,y满足，则（）A.时，点的轨迹为圆B.时，点的轨迹为圆C.时，点的轨迹为椭圆D.时，点的轨迹为双曲线【答案】ABD【解析】对于选项A，当时，由，得到，其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确，对于选项B，当时，由，得到，整理得到，即，所以选项B正确，对于选项C，当时，由，得到，其表示动点到定点和的距离之和为，又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误，对于选项D，当时，由，得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为，又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线，故选：ABD.11.如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点，则（）A.平面B.平面C.平面平面D.直线与ED所成角的余弦值为【答案】AC【解析】因为三棱柱为直棱柱，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，设平面，，即，令，则，所以，设平面，，即，令，则，所以，对于A，，，平面，所以平面，故A正确；对于B，，因为，所以不垂直平面，故B错误；对于C，，所以平面平面，故C正确；对于D，，则，故直线与ED所成角的余弦值为，故D错误.故选：AC.12.已知双曲线的右焦点为，右顶点为A，离心率为e，直线轴，且与C的左、右两支分别交于P，Q两点，О为坐标原点，则下列命题正确的是（）A.若，则C的虚轴长为B.若，则C.若存在l使，则D.若存在l使，则【答案】BCD【解析】由题意可得，，对于A，若，则，则，，所以C的虚轴长为，故A错误；对于B，由A可知，双曲线，记双曲线的左焦点为，连接，则易知四边形为等腰梯形，所以，，故B正确；对于C，因为A为双曲线的右顶点，则Aa,0设，因直线轴，所以，因为，所以，，即，因为在C:x2a2所以，即，所以，，所以，故C正确；对于D，记与轴的交点为，因为直线轴，所以，若存在l使，则是等腰直角三角形，所以，所以，易知双曲线渐近线的斜率大于，所以，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在空间直角坐标系中,若点关于平面对称的点为,则点P的坐标为________.【答案】【解析】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，又，所以，解得，所以点P的坐标为.故答案为：.14.写出经过坐标原点，且被圆截得的弦长为的直线的方程__________.【答案】或【解析】由题意可知圆心，半径，显然横轴与圆相切，不妨设，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为或，所以的方程为：或.故答案为：或.15.已知椭圆的上顶点为A，过点A的直线与C交于另一点B，则的最大值为__________．【答案】【解析】设，则，，又，所以，当且仅当时，取得最大值.所以的最大值为.故答案为：.16.若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为__________．【答案】【解析】设直线切曲线于点，切曲线于点，由得，则直线的方程为，即；由可得，则直线的方程为，即，所以，，消去可得，即，可得，因此，直线的斜率为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等比数列中，，，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．解：（1）设等比数列an的公比为q因为，，成等差数列，所以，又，所以，解得或（舍），所以an的通项公式为．（2）由（1）得，，所以bn为等差数列，所以．所以bn前n项和．18.如图，在长方体中，，，M为的中点．（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，设，则，，，，，．因为，所以，即．（2）时，，由（1）知，，．设平面的法向量为n=x,y,z则，得，令，则，，所以为平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．19.已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M．（1）求面积；（2）证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程．解：（1）由题意知x轴平分，所以，设，则，解得，所以，所以，所以为直角三角形，因为，，所以．即的面积为3．（2）由（1）知，所以M为AB的中点，半径长为，所以圆M的方程为，半径．将圆N的方程化为标准方程，得，所以圆心，半径．所以．又，，所以，故圆N与圆M相交．因为，圆M的方程可化为，两方程作差，得．所以圆N与圆M公共弦所在直线的方程为．20.已知数列与等差数列满足，，数列的前n项和．（1）求的通项公式；（2）求的前n项和．解：（1）由题意知，时，，因为符合上式，所以，又，，所以，解得．因为bn是等差数列，所以公差，，所以bn的通项公式.（2）由（1）知，，所以．所以，①，②①－②得，所以，所以an的前n项和．21.图1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF组成的一个平面图形，其中，，，将直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分别沿AC，CB折起使得CD，CG重合，连接EF，如图2.（1）求图2中的点B到平面ACDE的距离；（2）证明图2中的A，B，F，E四点共面，并求平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值.解：（1）由题意可知，图2中，，又，平面BCDF，平面BCDF，所以平面BCDF，在平面BCDF内，过D作于点H，则，又，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，以C为原点，以CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，以过点C且与DH平行的直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，由题意可得，，，，，，，设平面ACDE的法向量为，则，得，令，则，，所以为平面ACDE的一个法向量，所以点B到平面ACDE的距离为，即点B到平面ACDE的距离为.（2）因为，所以图2中的A，B，F，E四点共面，由（1）知，，，所以，设平面ABFE的法向量为，则，得，令，则，，所以为平面ABFE的一个法向量，又是平面ACDE的一个法向量，所以，即平面ABFE与平面ACDE夹角的余弦值为.22.已知椭圆的左、右焦点分别为，F，其中在抛物线的准线l上，过F的动直线m