辽宁省名校联盟2025届高三上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联盟2025届高三上学期12月月考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则的值是（）A.4 B.5 C.7 D.9【答案】A【解析】由以及可得；即，所以，解得.故选：A2.对于非零向量是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，反之不能推出所以是必要不充分条件.故选：B.3.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由得：；对于A，，，，A错误；对于B，（当且仅当时取等号），又，，B正确；对于C，，，即，C错误；对于D，，，，D错误.故选：B.4.已知等差数列的公差为，若成等比数列，则等于（）A. B.2 C.0或 D.0或2【答案】C【解析】成等比数列，则有，等差数列的公差为，所以，得，解得或.故选：C.5.函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，当时，，，与图象矛盾，故A错误；对于B，当时，，则，与图象矛盾，故B错误；对于C，当时，，无意义，故C错误；对于D，因，则，由知函数为偶函数，图象关于轴对称；且当时，，无意义；当时，，即函数在上单调递减，故在上单调递增，该图象均符合，即D正确.故选：D.6.已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.，则三条交线的交点个数为0或1【答案】D【解析】对于A，若，则也可能为，即A错误；对于B，若，则也可能是异面直线，即B错误；对于C，若，也可以是，即C错误；对于D，当分别为三棱柱的三个侧面时，此时两两平行，交点为0；当分别为正方体共顶点的三个侧面时，此时交于同一点，交点为1；即可得D正确.故选：D7.已知椭圆上一点到左焦点的距离为为坐标原点，若点满足，则（）A.6 B.4 C. D.2【答案】B【解析】设椭圆右焦点为，连接，取的中点为，如下图所示：由椭圆定义可知，又，可得；易知，所以，又因为为的中点，所以，且，可得.故选：B8.已知函数，且，则（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】因为，其定义域为，则，故有，又，则，因为，所以，即+，因为，所以.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，下列选项能正确表示数列的公式有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】对A，当为奇数时，，不符合数列，故A错误；对B，由，可得，由可得，故，由，可知当为奇数时，；由，可知当为偶数时，.故该递推公式符合数列，故B正确；对C，当时，，不符合数列，故C错误；对D，当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列的通项公式，故D正确.故选：BD.10.已知函数，下列说法正确有（）A.对，函数B.若函数与的图象关于直线对称，则C.对，函数D.若，则【答案】ABD【解析】A选项：设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，即，A选项正确；B选项：与的图象关于直线对称的图象的对应的函数是，即，则，B选项正确；C选项：若，函数在上是增函数，且，C选项错误；D选项：，又，所以，即，D选项正确；故选：ABD.11.如图，曲线称为“双纽线”，其对称中心在坐标原点，且上的点满足到点和的距离之积为定值，则（）A.若，点在曲线上B.若，曲线的方程为C.若，曲线上点的纵坐标的最大值为1D.若点在上，则【答案】ACD【解析】由图可知，原点在曲线上，则.选项A，若，则，，由图可设曲线与x轴正半轴相交于，则由可得，解得，故A正确；选项B，若，则，设曲线C上任一点坐标为，则，两边平方得，即，所以，即，故B错误；选项C，若，则，设曲线C上任一点坐标为，则，同理化简得，得，由方程有解可得，所以，则，又令，解得，即当时，，故C正确；选项D，由，设曲线C上任一点坐标为，则，同理化简可得，由图可知，所以，即若点在C上，恒有成立，故D正确．故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为___________．【答案】【解析】由题意知，，又为纯虚数，所以，解得.故答案为：-113.《九章算术》第五章“商功”问题十七：今有羡除〖备注〗，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？大意是：今有墓道（如图②，平面平面），下宽（长）6尺，上宽（长）1丈（1丈尺），深（与距离）3尺，末端宽（长）8尺，无深，长（与距离）7尺.它体积是__________立方尺.〖备注〗羡除：墓道，此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为三角形的五面体.【答案】84【解析】如图，连接FC，FB，所求体积为四棱锥和三棱锥体积之和，故答案为：84.14.表示函数当自变量时的最大值，表示函数当自变量时的最小值，已知函数，则=_________.【答案】【解析】由题意得，所以，由于当时，的最小值为，当时，，故，故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数，其中.（1）若曲线在点处与轴相切，求的值；（2）若3是函数的极小值点，求的值.解：（1）因为的定义域为，所以，因为曲线在点处与轴相切，所以，所以，则，解得：.（2）因为的定义域为，所以，若，则，令，可得：或，令，可得：，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以在处取的极小值，所以；若，则，令，可得：，令，可得：，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取的极小值，所以，不符合题意；若，则在上单调递增，无极小值，综上：.16.如图，在四边形中，，且，.（1）求面积；（2）若，求的长.解：（1）∵，∴.设，则.由得，，∴，即，整理得，∵，∴，故，，即，∴，即，∴，，∴的面积为.（2）由（1）得，，.∵，∴.中，由余弦定理得，即，解得或.17.已知椭圆的长轴长是，为右顶点，，，，是椭圆上异于顶点的任意四个点，当直线经过原点时，直线和的斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）当直线和的斜率之积为定值时，直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.解：（1）由已知，即，所依椭圆方程为，当直线过原点时，设，则，所以，所以，又，所以，，所以，则，所以椭圆方程为；（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为，点，（），则，，且，即，所以，解得，即此时直线方程为；②当直线斜率存在时，由题可设直线方程为，舍Mx1,y1联立直线与椭圆方程得，则，即，且，，又，，则，即，即，化简可得，解得或，当时，直线方程为y=kx-2k当时，直线方程为，过定点；综上所述直线恒过定点.18.如图，在四棱台中，平面平面.（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的正弦值；（3）求点关于平面的对称点到平面的距离.（1）证明：连接，因为，，所以，所以四点在同一平面上，又因为平面，平面平面，所以，可得四边形为平行四边形，所以；（2）解：因为，，，，所以四边形是等腰梯形，做交与点，可得，所以，且，以点为原点，所在的直线分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，设向量为平面的一个法向量，则，即，令，得，所以，设向量为平面的一个法向量，则，即，令，得，所以，，设平面与平面所成角的为，所以；（3）解：由（2）建立的空间直角坐标系，得，，，，设为平面的一个法向量，则，即，令，得，所以，则点到平面的距离为，设，则，因为与共线，，可得，，所以点到平面的距离为，解得，或（舍去），此时，，所以点到平面的距离.19.如图，