江西省萍乡市萍乡中学大联考2025届高三上学期月考数学试题（五）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省萍乡市萍乡中学大联考2025届高三上学期月考数学试题（五）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为正数，则“”是“”的（）.A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当时，所以为增函数，所以，当时，当时，则，当0<a<1时，则，此时0<a<1；所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A.2.已知，则（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以.故选：D.3.斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这一数列以如下递推的方法定义：，，记此数列为，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，，，则.故选：C.4.双曲线（，）的左、右焦点分别为，.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图：由题可知，点必落在第四象限，，设，，，由，求得，因为，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，则由得，，由得，则，，，，由双曲线定义可得：，，，所以双曲线的方程为.故选：A5.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在堑堵中，平面，，，，以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、A1,0,0、，，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，所以，因此，直线与平面所成角的余弦值为．故选：A．6.已知函数的部分图象如下图所示，则可能的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，因为，所以，，，而，即，，所以在上并不单调递减，故A错误；对于B，因为，所以，，，显然，，所以上并不单调递增，故B错误；对于D，因为，所以，，显然，，所以在上并不单调递减，故D错误；对于C，因为定义域为，当时，，由复合函数的单调性易知在上单调递增；当时，，在上单调递增且，在上单调递减，当时，当时，符合题意，结合前面ABD的分析，可知只有C中解析式符合题意，故C正确.故选：C.7.已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最大值，阴影部分面积.故选：C.8.若曲线在与处的切线互相垂直，且交点在直线上，则的值可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，故,易知切线斜率存在．因曲线在与处的切线互相垂直，则．因,不妨设，，则，，此时,．如图，设，，，则是以为直角顶点的等腰直角三角形（切线的斜率为1，切线的斜率为）．由图知，，易得．取，得．经检验,当时,无法使的值取到,和.故选:C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在某次英语四级考试中，若甲、乙、丙通过考试的概率分别为，且成等比数列，三人各自是否通过这次考试相互独立，则（）A.B.甲、乙都通过这次考试的概率为0.24C.甲、丙都不通过这次考试的概率为0.12D.乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为0.96【答案】BD【解析】因为，成等比数列，所以，解得，故A错误；所以甲、乙都通过这次考试的概率为，故B正确；所以甲、丙都不通过这次考试的概率为，故C错误；所以乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为，故D正确.故选：BD.10.已知函数的图象经过点，将的部分图象沿轴折成直二面角（如图所示），若，则（）A.B.C.将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象D.函数的单调递减区间为【答案】AB【解析】如图，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为.由题意可知平面平面，平面平面，又平面，则平面，平面，则，则，故，由，则的周期，A项，由图象可知，所以，由，解得；B项，由A项可知，.则，因为图象经过点，即，.，或.由函数图象可知，则，所以，故B正确；C项，由AB可知，，即将的图象向左平移2个单位即可得到函数的图象，，故C错误；D项，.由，解得，故函数的单调递减区间为，故D错误.故选：AB.11.“大鹏曲线”的方程为，其图像因为形似一只展翅高飞的大鹏而得名.直线与的交点可能个数的集合记为，下列选项正确的是（）A.该曲线关于轴对称B.C.D.“”的充要条件是“且”【答案】AC【解析】当时，曲线为双曲线，渐近线方程为，当时，曲线为椭圆，对于A，根据双曲线及椭圆的性质可得该曲线关于轴对称，故A正确；对于B，因为恒过点，当直线时，此时直线与渐近线平行，直线与的交点为1，当时，直线与的交点为1，当时，直线与的交点为2，故，故B错误，对于C，因为恒过点，联立与椭圆得，则，当时，此时，故直线与下半椭圆相切，结合图象可知：当直线时，直线与的交点为2，故时，直线与的交点为1，当时，直线与的交点为0，当或时，直线与的有1个交点，当时，直线与的交点为2，故，故C正确，对于D，取，，由C可知直线与的交点为1，故且不能得到，故D错误.故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，因为，所以，所以实数的取值范围为.故答案为：.13.这次月考五有8道单选题，你朋友童同学对其中5道题有思路，3道题完全没有思路，假设有思路的题能做对的概率为，没有思路的题仅随机猜，你恰好看到了她一道题的答案，这个答案是正确的概率为__________．【答案】【解析】设事件A表示“恰好看到这道题小张的答案是正确的”，设事件表示“恰好看到的这道题小张有思路”，则恰好看到了小张一道题的答案，这个答案是正确概率为，故答案为：14.已知，，则的最小值为________．【答案】【解析】由得，所以，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上；而对应的点，易知的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知动点到直线的距离是它到点距离的倍，记动点的轨迹为．（1）求的方程；（2）若点关于原点对称的点为，为上一点，且为直角三角形，求的面积．解：（1）设点的坐标为，因为动点到直线的距离是它到点距离的倍，所以，化简得，故的方程为．（2）设点的坐标为，已知为直角三角形．①若，此时，所以，所以的面积．②若，由①同理可得，的面积．③若，因，，所以，，所以，所以，即此时不符合题意.综上，的面积为．16.雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分.（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；（2）已知恰有甲､乙､丙､丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率是，若.①求和；②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.（1）解：设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，易知的所有可能取值为，则，，，故的分布列为012，则.（2）①解：由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，，则.②证明：由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，则，即，又，是以为首项，为公比的等比数列，则，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..17.如图，四棱锥中，，底面是个直角梯形，，，.（1）证明：；（2）从下面条件①､条件②､条件③三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.条件①：；条件②：；条件③：二面角的大小为.在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.）（1）证明：取的中点，连接、，因为，所以，又，所以，所以，即，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：因为，，又，所以，所以四边形为矩形，如图以为坐标原点，平面，建立空间直角坐标系，则A1,0,0，，，；若选条件①：，显然平面，设，则，DA=2,0,0，所以，与矛盾，故条件①不符合题意；若选条件②：，显然平面，设，则，解得，则，所以，，设，则设平面的法向量为，则，取，设直线与平面所成的角为，则，解得或（舍去），所以的值为；若选条件③：二面角的大小为.由（1）可知即为二面角的平面角，即，又，所以，则，，设，则设平面的法向量为，则，取，设直线与平面所成的角为，则，解得或（舍去），所以的值为.18.已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；（3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．解：（1）根据题意知，向量的相伴函数为当时，，又，则，所以，故.（2）因为整理得到，故函数的相伴特征向量，则与同向的单位向量为.（3）由题意得，，在中，，，因此，设外接圆半径为，根据正弦定理，，故，所以，，，代入可得，所以当时，取得最大值．19.设数列：．已知，定义数表，其中（1）若，写出；（2）若是不同的数列，求证：数表满足“”的充分必要条件为“”；（3）若数列与中的1共有个，求证：数表中1的个数不大于．（1）解：将代入计算可得．（2）证明：充分性：若，由于令，由此数列．由于．从而有，即充分性成立；必要性：若．