江苏省无锡市三校联谊2025届高三上学期12月联合调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省无锡市三校联谊2025届高三上学期12月联合调研数学试题（时间：120分钟满分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“为实数”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设，若“，互为共轭复数”，则，故，故“为实数”成立，若“为实数”，取，则为实数成立，但，不互为共轭复数，故“，互为共轭复数”是“为实数”的充分不必要条件，故选：A.2.已知集合，且，则集合可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，A中集合不合题意，B中集合为或，也不合题意，C中集合为，不合题意，D中集合为，满足题意．故选：D．3.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，即.已知，即，将代入可得：，即，解得.所以.根据，可得：.故选：B.4.已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，且在上的投影向量为，所以，所以，故选：A.5.已知是各项均为正数的等差数列，为其前n项和，且，则当取最大值时，（）A.10 B.20 C.25 D.50【答案】D【解析】∵，∴，由已知，得，∴，当且仅当时等号成立．此时数列为常数列5，所以，故选：D6.若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（）A.2 B.0或 C.0或2 D.【答案】B【解析】设直线与曲线的切点为，由，则，则，即切点为，所以直线为，又直线与圆都相切，则有，解得或．故选：B7.已知椭圆，为椭圆上任意一点，过点分别作与直线和平行的直线，分别交、交于、两点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设过点分别与直线、平行的直线为、，如图：设、、Px0,y0，则，显然四边形为平行四边形，故的中点与的中点重合，则，即，又因为椭圆上任意一点，所以，即，即，而，所以当时，.故选：A.8.已知某正三棱柱的外接球的表面积为，则该正三棱柱的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设外接球的半径为，则，解得.设正三棱柱的底面三角形的边长为，则该三角形的外接圆的半径为，故三棱柱的高为，所以该正三棱柱的体积，由，解得，令，则，∴函数在上单调递增，在单调递减，所以函数在时取得最大值，因为，所以该正三棱柱的体积的最大值为.故选：C二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知数列的前项和为，，，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】因为，，所以，，，，故A正确，B错误；所以数列是以为周期的周期数列，则，故C正确；，故D错误.故选：AC10.关于函数，下列说法正确的是（）A.有两个极值点 B.的图象关于对称C.有三个零点 D.是的一个零点【答案】ACD【解析】对于B选项，函数的定义域为，，所以，，故函数的图象关于对称，故B错误；对于函数，求导可得：，对于ACD选项，令，解得，可得下表：极大值极小值则，，所以，函数有两个极值点，故A正确，作出函数图象如下图所示：由图可知，函数有三个零点，故C正确，，故D正确.故选：ACD.11.在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（）A.开口向上的抛物线的方程为B.C.直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D.阴影区域面积不大于【答案】BCD【解析】对于A，由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为,将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A错误；对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，由图象的对称性，可得、，故，即B正确；对于C，设直线与抛物线相切，联立可得，由可得，且方程即为，解得，，此时，切点坐标为，设直线与抛物线相切，联立可得，由可得，此时方程即为，解得，，此时，切点坐标为2,1，两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线垂直，故当、时，取最大值，且其最大值为，C对；对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.如图，对函数求导得，则抛物线在点处的切线斜率为，所以，抛物线在点处的切线方程为，即，该切线交轴于点，所以，半个花瓣的面积必小于，故原图中的阴影部分面积必小于，故D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是__________．【答案】2【解析】为偶函数，所以，，得，，当x∈0,π时，，在区间内仅有两个零点，所以，解得：，所以.故答案为：213.已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】因为、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于A，B两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点B，得，设，则，在中，由勾股定理得，解得，则，在中，由勾股定理得，化简得，，所以的离心率.故答案为：14.在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是__________.【答案】【解析】由，则由正弦定理可得，，所以或，而，且，即，所以，且，即，，令，则，所以，当时，，则在上递增；当时，，则在上递减；所以.故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.设数列是首项为的等比数列，已知、、成等差数列，数列满足.（1）求数列和的通项公式；（2）记和分别为数列和的前项和，试比较与的大小.解：（1）因为是首项为的等比数列且、、成等差数列，设的公比为，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）由（1）可得.数列的前项和，①则.②由①②得，即.由，可得.16.如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且，交于点，点的坐标为，（1）求的值．（2）若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积.解：（1）设Ax因为交于点，点的坐标为，所以直线的方程为，联立，消去可得，，则，因为，所以，即，即，解得，（2）设线段的中点为，由（1）知，所以，所以，即，联立，消去可得，，设，则，所以，又点到直线的距离为，所以的面积为.17.已知三棱锥中，平面平面，平面．（1）求证：（2）若二面角的正弦值为，且，，求．（1）证明：过作于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又平面，平面，所以，因为平面，且所以平面，平面，因此．（2）解：方法一：过作于，连接，则平面，所以，所以即为二面角的平面角，所以，，又有（1）可得，设，则，所以，所以，从而；方法二：同方法一得，，设，则，所以，解得，从而；方法三：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，记二面角为，设，由法一可知，，，，设面的法向量为，则，即，令，得，又面的法向量为，记二面角为，则，所以，解得，则，所以.方法四：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，设，有，，设面的法向量为，有，即，令，得，又面的法向量为，记二面角为，则，则，所以，解得，又，即，所以，则.18.在中，角、、的对边是、、，已知，为常数．（1）若，，求面积的最大值；（2）若，，求的值．解：（1）方法一：当时，，由余弦定理得，所以，，设，则，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.方法二：时，，即以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，则、，设，由得，化简得，即的轨迹方程为，所以面积的最大值为.（2）方法一：由及正弦定理可知，由及，得，整理可得，解得或（舍），故.方法二：不妨设，则.由可得，所以，解得，所以，因此.方法三：不妨设，则，即，.以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，显然有、，所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆（除去长轴端点），设椭圆方程为，则，，，故椭圆方程为，即点在椭圆上.设，其中，则，，，，因为，，，，由可得，化简即得，从而.故，从而.19.已知直线与轴交于点，与曲线交于两点（其中在第一象限，在第二象限）．（1）若，试比较与的大小；（2）①若点恰好为的中点，证明：；②设，若，证明．（1）解：由，得到，设，，当时，，函数单调递减，当