江苏省无锡市澄宜六校2025届高三上学期12月阶段性联合测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省无锡市澄宜六校2025届高三上学期12月阶段性联合测试数学试题一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，则.故选：D.2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，所以，所以，可得，所以，则，因此，故选：B.3.“直线与圆相交”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线与圆相交，则圆心到直线的距离满足，故，由于能推出，当不能得到，故“直线与圆相交”是“”的充分不必要条件，故选：A4.已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】为单调递增的数列，故，解得，故选：C5.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以，则切点的横坐标，则，即.又，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为1.故选：D6.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据椭圆定义可得，又，故，因此，故，故，故选：D7.在等比数列中，，则能使不等式成立的最大正整数是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】∵在等比数列中，，∴公比，∴时，；时，.∵，∴，，，∴，又当时，，∴使不等式成立的的最大值为.故选：C8.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（）A.2 B.3 C. D.4【答案】B【解析】由于，，成等差数列，则，由正弦定理可得故,，由于，因此，故当且仅当，取等号，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知fx=Asinωx+φ（，，）的部分图象如图所示，则（A.B.的最小正周期为C.在内有3个极值点D.当时，与的图象有3个交点【答案】ABD【解析】由图可知，，周期，则，故AB正确；由，得，即，得，，即，，因为，所以，则；对于C，由，得，因为函数在上有2个极值点，则在内有2个极值点，故C错误；对于D，利用五点作图法画出函数y=fx与的图象，由图可知，当时，与的图象有3个交点，故D正确.故选：ABD.10.已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为奇函数，且，则（）A.关于直线对称 B.关于点对称C.的周期为4 D.【答案】BCD【解析】对于A，由f2x+1可得，故关于1,0对称，故A错误，对于B，由于gx+2为奇函数，故，故关于点2,0对称，B正确，对于C，由和gx=f'令，故，故，因此，结合关于1,0对称可得，故的周期为4，C正确，对于D，由于，故，且，由于，令，则，，故D正确，故选：BCD11.如图，在平行四边形中，，且，为的中线，将沿折起，使点到点的位置，连接、、，且，则（）A.平面B.与所成的角为C.与平面所成角的正切值是D.点到平面的距离为【答案】ACD【解析】对于A选项，在平行四边形中，，且，因为，则，且，则，因为为的中点，则，且，将沿折起，使点到点的位置，使得，翻折后，，所以，，所以，，且有，因此，，、平面，所以，平面，A对；对于BCD选项，因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，，，则，所以，与所成的角为，B错，，易知平面的一个法向量为，所以，，设直线与平面所成的角为，则，所以，，则，故直线与平面所成的角的正切值为，C对；设平面的法向量为，，，则，取，可得，，则点到平面的距离为，D对.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列的前项和为，若，则___________.【答案】【解析】设等比数列的公比为，若，则，不合乎题意，故，所以，，所以，，所以，，，，因此，.故答案为：.13.已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是_____.【答案】【解析】函数定义域为，且，因为函数有两个极值点、，则，可得，由题意可知，、为方程的两根，由韦达定理可得，所以，，解得，所以，，因此，实数的最小值为.故答案为：.14.已知向量，，，，则的取值范围是_________.【答案】【解析】如图，设，则，，由题意，设向量与夹角为，直线与轴正半轴夹角为，则，则，因为，，则，即，又，则.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，设数列的前项和，求证：.（1）解：数列的前项和为，对任意的，，当时，则有，可得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，可得，所以数列为等比数列，且其首项和公比都为，所以.（2）证明：由（1）可得，则，则，所以，所以.16.在锐角中，内角、、所对边分别为、、，且满足.（1）求角；（2）求的取值范围.解：（1）因为，由正弦定理可得，即，即，由余弦定理可得，因为，故.（2）由（1）得，所以，，因为为锐角三角形，则，即，解得，所以，，则，则，因为双勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，当或时，，所以，函数在上的值域为，因，则，故.因此，的取值范围为.17.已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，点M是椭圆C的上顶点，以点M为圆心且过F的圆恰好与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线与轴的交点分别是，求证：线段中点的横坐标为定值.（1）解：由题意可得，由于以点M为圆心且过F的圆恰好与直线相切，故，即，故，进而，故椭圆方程为（2）证明：由题意可知的斜率一定存在，设方程为，则，且，Δ=16k设Ax则，直线的方程为，令，则，故,故，则由于故，因此线段中点的横坐标为定值，18.如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，，，E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l.（1）证明：l∥平面PBC.（2）已知平面平面，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ，EF所成角为，且满足，求.（1）证明：因为分别为的中点，所以.又平面，平面，所以平面又平面，平面与底面的交线为，所以，，从而.而平面，平面，所以，平面.（2）解：取的中点记为，连接，因为是边长为2的正三角形，所以，所以，.又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，由（1）可知，在底面内过点作的平行线，即平面与底面的交线.由题意可得，即，取的中点记为，连接，则.因为，所以.以为坐标原点，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则A1,0,0，，，，，，设，则，，，设平面的一个法向量为n=x则，即，取，则，，即是平面的一个法向量，所以又直线与平面所成角为，于是.又，而异面直线所成角为，于是.假设存在点满足题设，则，即，所以.当时，，此时有；当时，，此时有.综上所述，这样的点存在，且有.19.定义运算：，已知函数.（1）若函数的最大值为0，求实数a的值；（2）证明：；（3）若函数存在两个极值点，证明：.（1）解：由题意知：，，①当时，，在单调递减，不存在最大值．②当时，由得，当