湖南省浏阳市校联盟2025届高三上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省浏阳市校联盟2025届高三上学期12月联考数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由得，解得，即，，所以.故选：C.2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因为，所以，即复数在复平面内对应的点为，因此在第二象限.故选：B.3.在平行四边形中，点为线段的中点，点在线段上，且满足，记，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意：.故选：B4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，得，所以.故选：D.5.在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】圆的圆心为1,0半径，圆心到直线的距离，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D6.已知三棱锥侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，其中，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，由余弦定理得，，则，截球所得的圆的圆心为的中点，半径，由于三棱锥的侧棱长相等，所以共线，且，.设球的半径为，由得：.球的表面积．故选：A．7.若定义在上的函数满足是奇函数，，则（）A.0 B.1 C.2024 D.2025【答案】A【解析】由fx+2+fx又是奇函数，所以函数的图象关于对称，即，因为，令x=2可得令得：，所以，故.故选：A.8.是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，由得，当时，由，可知不是方程的解；当时，，，令，则，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减.且，当；当；如图，作出函数的大致图象，要使方程在上至少有3个不同的解，则函数与直线有三个不同的交点.故结合图形可知，综上所述，实数的取值范围是.故选：B.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A：易知，即，可得A错误；对于B：由对数运算法则计算可得，即B正确；对于C：易知，所以，当且仅当时，即时等号成立，即C正确；对于D：易知，当且仅当，且时，方程无解，故D错误.故选：BC10.已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（）A.函数为偶函数B.当时，的值域为C.将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象D.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称【答案】ACD【解析】由题意的最小正周期为，得：，对于恒成立，则，图象关于直线对称，代入，得到，由于，取，则，所以为偶函数，当时，，所以，所以的值域为，故B错误；将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（）A.存在点Q，使B，N，P，Q四点共面B.存在点Q，使平面BMNC.过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为D.点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为【答案】BCD【解析】选项A，连接，，，正方体中易知，P，N分别是，中点，则，所以，即四点共面，当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，但Q是线段上的动点（不包含端点），故A错误；选项B，如图，取中点为，连接，，，因为M，N分别是，中点，则与平行且相等，故四边形是平行四边形，所以，又是中点，所以，所以，平面，平面，所以平面，B正确；选项C，如图，在平面上作⊥于K，过K作⊥交BC或者于T，因为平面⊥平面，交线为，平面，所以⊥平面，又平面，所以⊥，因为，平面，所以平面QKT，平面QKT截正方体截面为平行四边形，当T与点C重合时，面积最大，此时，，面积为，当Q与点无限接近时，面积接近于0，过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为，C正确；选项D，取的中点，连接，则，则平面，取的中点，以为圆心，为半径作圆，交，于X，Y，则点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧，此时满足直线PH与直线AD夹角为，如图，，故，所以点H的轨迹长度为，D正确.故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知为等差数列的前项和，且，则__________.【答案】【解析】，故.故答案为：.13.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________.【答案】【解析】由题意可得，设直线与曲线的切点为，则又切点在曲线上，所以，联立解得，即.，设直线与曲线切点为，所以，又，联立两式，解得.故答案为：214.已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线，若的交点在上（均在轴上方），且，则的离心率为__________.【答案】【解析】设，由题意可知，如图所示：则直线的斜率，可知的方程为，同理可得：的方程为，联立方程，解得，即，因为在上，可知关于轴对称，且，可得，又因为，联立，解得或（舍去）故，所以椭圆的离心率为.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在锐角中，角的对边分别为，已知（1）求角；（2）若，求面积的取值范围.解：（1）由正弦定理得：，即，，，，又；（2）由正弦定理得：,,，在锐角中：，解得：，，,，则16.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，平面平面.（1）若分别为的中点，求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：设的中点为，连接，为中点，，又平面平面，平面；为中点，，平面平面，平面；又，且平面，平面平面，平面，故平面.（2）解：设的中中点为的中点为，连接，，且，平面又平面平面，且平面平面，平面，又底面为等腰梯形，，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：则：设平面与平面的一个法向量分别为即：，可取，即：，可取，记平面与平面的夹角为，∴cos17.已知函数，其中.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求证：.（1）解：函数定义域为，令f'x>0得：令f'x函数的增区间为，减区间为.（2）证明：要证，即证：令设，则在R上单调递减，且当时，hx>0；当x∈0,+∞故函数在上单调递增，在0,+∞上单调递减函数在处取得极大值也是最大值.则，即证.18.已知椭圆C:x2a2（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且为椭圆的左顶点，若的面积为，求的值.解：（1）椭圆的离心率为，且过点，，联立解得：.椭圆的标准方程为：.（2）解：由（1）知：，记Mx当直线的斜率为0时，三点共线，不合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，联立：，.，.，即，整理得：，令，即，解得：（舍）或，即，.由知：且，当时，满足：，联立解得：，当时，满足：，联立解得：，综上，的取值为或.19.给定数列，若对任意且是中的项，则称为“数列”；若对任意且是中的项，则称为“数列”.（1）设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）设数列既是等比数列又是“数列”，且，求公比的所有可能取值；（3）设等差数列的前项和为，对任意是数列中的项，求证：数列是“