湖北省武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市新洲区部分学校2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，其焦点坐标为，故选：B2.已知数列是等差数列，是其前n项和，，则（）A.160 B.253 C.180 D.190【答案】B【解析】设数列的首项为，公差为，因为，所以，解得，所以，故选：B.3.如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】连接，.故选：A.4.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为直线的斜率，即，又，所以，故选：D5.已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1【答案】D【解析】设、，所以，运用点差法，所以直线斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.6.已知原点到直线距离为1，圆与直线相切，则满足条件的直线有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【解析】由已知，直线满足到原点的距离为，到点的距离为，满足条件的直线即为圆和圆的公切线，因为这两个圆有两条外公切线和一条内公切线.故选C.7.手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力．某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个正方体的组合体．其直观图如图所示，，，、、、分别是棱、、、的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在正方体中，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，因为，，则、、、，所以，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值是.故选：B.8.已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，，且在第一象限的交点为，满足（其中为原点）.设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，作，垂足为，根据椭圆与双曲线的定义可得，解得，，，，设点，则在中，即点的横坐标为，即，，由勾股定理可得，整理得，即，，当且仅当时等号成立，.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题正确是（）A.方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率B.过双曲线焦点的最短弦长为C.若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则D.已知，，则在方向上的投影向量为【答案】AD【解析】选项A：由解得两根为和，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，A说法正确；选项B：设双曲线方程为，当过双曲线焦点的直线与实轴垂直时，令，则，此时弦长为，若，则有，此时最短弦长不为，B说法错误；选项C：因为，所以直线在平面内或，C说法错误；选项D：由题意可知在方向上的投影向量为，D说法正确；故选：AD10.已知等差数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（）A.是递减数列 B.C.使时的最小值是21 D.最小时，【答案】BCD【解析】已知等差数列的前项和为，，，所以，所以，所以，即是递增数列，故A错误；而，所以，故B正确；又，若，则，所以使时的最小值是21，故C正确；，又，所以最小时，，故D正确.故选：BCD.11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，“它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）A.曲线围成的图形有6条对称轴B.曲线围成的图形的周长是C.曲线上的任意两点间的距离不超过5D.若是曲线上任意一点，的最小值是【答案】BD【解析】当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，当时，曲线的方程可化为，所以曲线的图象如图所示，对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A错误；对于B：曲线由4个半圆组成，其周长为，故B正确；对于C：由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C错误；对于D：到直线的距离，而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，故的最小值为，故D正确；故选：BD12.如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（）A.与所成角为B.平面截正方体所得截面的面积为C.平面D.若，则三棱锥的体积最大值是【答案】BCD【解析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，，对A选项，，则直线与所成角为，故A错误；对B选项，由平面在两平行平面上的交线互相平行，取的中点的中点，的中点，连接，延长一定与交于一点，所以四点共面，同理可证四点共面，则过点作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，则正六边形的面积为，故B正确.由正方体，可得，∵分别为的中点，∴，∴平面平面，∴平面，故C正确；如图，面，又面，故，同理，又，根据题意可得，设，又，∴，整理得，∴在正方形面内(包括边界)，是以为圆心，半径的圆上的点，令，可得，∴当为圆与线段的交点时，到底面的距离最大，最大距离为，∴三棱锥的体积最大值是，故D正确.故选:BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，最上面3节的容积共3升，最下面3节的容积共6升，则第5节的容积为__________升．【答案】【解析】设竹节自上而下分别为，等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以.故答案为：.14.已知直线互相垂直，则的值为______.【答案】.【解析】因为直线互相垂直，则有，即，进一步化简得，解得或，故答案是0或2.15.已知点是抛物线上一动点,则的最小值为_________．【答案】7【解析】由题意可知抛物线的焦点为，准线为，因为点是抛物线上一动点，设，，则由两点间距离公式可得表示，又根据抛物线的定义可知等于点到准线的距离，即，当且仅当三点共线时，最小，即最小值为点到准线的距离，故答案为：16.如图,在棱长为3的正方体中,在线段上,且是侧面上一点，且平面，则线段的最大值为__________.【答案】【解析】如图，在线段上取一点，使得，在线段上取一点，使得，连接，因为，所以，又，所以，因为平面平面，所以平面，同理，因为平面平面，所以平面，又，所以平面平面，因此，在线段上.因为，所以线段的最大值为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解答下列问题：（1）求过点，且与直线平行的直线方程；（2）求过点，，三点的圆的标准方程．解：（1）设与直线平行的直线为，将代入得，解得，故所求直线方程为.（2）设圆的方程为，，由题意可得，即，解得，，，则圆的方程为，即．18.设为数列的前n项和，且（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式．解：（1）由题意，数列满足，可得，则，所以，又由，所以，所以数列表示首项为，公差为的等差数列.（2）由数列表示首项为，公差为的等差数列，可得，所以，当时，可得，因为，可得，不适合上式，所以数列的通项公式为．19.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的右顶点为,过作直线与椭圆交于另一点,且,求直线l的方程．解：（1）由题可知，其中，所以,又点在椭圆上，所以，即，解得，所以椭圆E的方程为．（2）由椭圆的方程，得，所以，设，其中，因为，所以，又点在椭圆上，所以，联立方程组，得，解得或（舍），当时，，即或．所以当的坐标为时，直线的方程为；当的坐标为时，直线的方程为．综上，直线的方程为或.20.已知圆.（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程；解：（1）圆，圆心，半径当直线的斜率不存在时，的方程为：，此时圆心到直线的距离，则相交弦长为，符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为：，即此时圆心到直线的距离，则相交弦长为，解得：所以此时直线的方程为：，即.综上，直线的方程为或（2）在圆外，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，则圆心到直线的距离，所以弦长，所以，当时最大，即，即，解得或，的最大值为1，所以直线的方程为：或21.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：AE⊥PB；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．解：（1）连接BD，设AE的中点为O，∵AB∥CE，AB＝CECD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE为等边三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，折叠后，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（2）在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴（，0，），（，，0），设平面PCE的一个法向量为（x，y，z），则，即，令x得（，﹣1，1），又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，设二面角A﹣EP﹣C为α，则|cosα|＝|cos|，由图可知二面角A﹣EP﹣C为钝角，所以cosα．22.已知双曲线方程为，，为双曲线的左、有焦点，离心率为2，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作斜率不为0的直线交双曲线于两点；则在轴上是否存在