中考数学专项复习：解直角三角形（一）（锐角三角函数）

第7讲解直角三角形（一）（锐角三角函数）（精练）

A基础训练B能力提升

A基础训练

一、单选题

1.（2022秋•江苏淮安•九年级校考期中）如图，在RtZ\4BC中，ZC=90°,8c=12,AC=5,贝!|sin/的

【答案】B

【详解】解：4B=>jAC2+BC2=V52+122=13，

,,,.,BC12

则sinA=---=——,

AB13

故选：B.

2.（2022秋•内蒙古鄂尔多斯•九年级统考期末）如图，在4x4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为

格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（）

A.2B.技

CD

5-I-T

【答案】A

【详解】由图可知，

AB=A/32+42=5，

/C=五+4?=2石，

SC=V12+22=&，

.**BC2+AC2=AB2,

DBC是直角三角形，44c8=90。,

tanZABC=—=茎=2

BCV5

故选：A

3.（2022秋•辽宁大连•九年级校考期末）在Rtz\4BC中，ZC=90°,乙4=60。，则cos/的值为（）.

A1R&NA/3

2323

【答案】A

【详解】解：RtZXNBC中，ZC=90°,N/=60。，

cosA-cos60°=—,

2

故选：A

4.（2022•浙江•九年级专题练习）sin30。的值是（）

A.|B.—C.1D.V3

222

【答案】A

【详解】解:sin300=1,

故选：A.

4

5.（2022秋・浙江金华•九年级校考阶段练习）如图，在RtZXNBC中，ZC=90°,N2=10,cos8=m，则

的长为（）

【答案】A

【详解】解：在RtZk/BC中,

cBC4

・cosB=----=—,AB=10,

AB5

BC=8,

故选：A.

6.（2022秋•湖南株洲•九年级校联考期末）已知在“8C中，/A、/8都是锐角，siiU--+cosS--=0,

22

则/C的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

（6丫

【详解】解：〈siM------+cosB——=0,

22

.•./4=60。，/5=600,

/C=180°—/A—/B=60°,

故选：C.

7.（2022秋•山东济南•九年级统考期末）如图，点/（2,加）在双曲线y=V（左wo,左是常数）位于第一象

限的图象上，481x轴，3为垂足，tan05=2,则左的值是（）

【答案】D

【详解】解：：点/（2,〃。在双曲线了=勺（左二0,左是常数）位于第一象限的图象上，轴,

OB=2,AB=m,

〈tanZAOB=2,

.ABm

••——z,

OB2

m=4,

.•.点42,4),

把42,4)代入y=&得:

4吾，解得」:8.

故选：D

8.（2022秋•河北邯郸•九年级邯郸市第二十三中学校考期末）如图，在2U3C中，ACIBC,AABC=30°,

/C=l,点。是C8延长线上的一点，且BO=BN,贝iJtanNO/C的值为（）

A.V3B.2A/3C.3+6D.2+G

【答案】D

【详解】解：VAC1BC,ZABC=30°,ZC=1,

AB=2AC=2,

•*-BC=4AB2-AC2=V3，

BD=BA,

：.BD=2,

/.CD=DB+BC=2+也，

：.tanZD/C=q^=2+G.

AC

故选：D

9.（2022秋・河南新乡•九年级统考期中）下列计算错误的是（）

A.sin60°-sin30°=sin30°B.sin245°+cos245°=1

sin60°

C.tan60=------D.tan300-tan60°=1

cos60°

【答案】A

【详解】解：A.sin60。-sin30。=更二而sin3（T=:，因此选项A符合题意;

22

B.sin2450+cos2450=）2+（y）2=1=1，因此选项B不符合题意；

旦

C.垩/=，=g=tan60。，因此选项C不符合题意；

cos601

2

D.tan30°.tan60°=—x^=1,因此选项D不符合题意;

故选：A.

10.（2022春•全国•九年级专题练习）如图，矩形/8CG中，AB=\,BC=3,将矩形4BCG绕点C顺时针

旋转90度得矩形CDE尸，连接NE交FC于点贝UtanNE/G为（）

CD

【答案】c

【详解】解：•・•△尸瓦

.FM_EF\

一而一而一§'

33

由图中可得77G=2,那么AfG=2x1=5,

则tanZEAG==--?3=—.

AG22

故选C.

二、填空题

11.（2022秋•河南郑州,九年级校考期末）若疝“X+15。）=",则锐角x=1

【答案】45

【详解】解：：sin60。=且

x+15°=60°,

故答案为：45.

12.（2022秋•安徽•九年级统考期末）计算：2sin3（T+l=

【答案】2

【详解】解：原式=2x；+l=l+l=2.

故答案为：2.

13.（2022秋•江苏淮安•九年级校考期中）sin40°cos50°（填＞、（或=）.

【答案】=

【详解】解：：sin40°=cos（90°-40°）=cos50°,

/.sin40°=cos50°,

故答案为：=.

14.（2022秋•河南南阳•九年级统考期末）如图，点P为矩形48co的对角线/C上一动点，点E为5c的

中点，连接尸E,PB,若43=4,BC=4^3＞则尸£+尸8的最小值为.

【详解】解：如图，作点8关于NC的对称点3',交/C于点尸，连接5'E交NC于点尸，则尸£+尸3的最

小值为的长度，

在RtZUBC中，48=4,BC=4jj,

...„DABA/3

••tanACB==—,

BC3

・•・ZACB=30°,

由对称的性质可知，B'B=2BF,BfBLAC,

：.BF=-BC=2^>,Z.CBF=60°,

2

；•B'B=2BF=4百，

,/BE=BF,ZCBF=60°,

ABEF是等边三角形,

：.BE=BF=B'F,

防'是直角三角形，

B'E=ylB'B2-BE2=一（26『=6,

；.尸£+尸8的最小值为6,

故答案为：6.

三、解答题

15.（2022秋・山东济宁•九年级校考阶段练习）计算：sin260°+tan45°-cos60°.

【答案】

4

【详解】解：sin260°+tan45°-cos60°

=—3I—1

42

_5

~4

16.（2022秋•山东泰安•九年级统考期末）计算：tan300'Sin3°O+V2.sin45°--cos60°.

tan450-cot6002

【答案】

4

・、*即、即tan30°-sin30°式Voi

【详解】解：-------------I-V2-sm7145——cos6<0no

tan45°-cot6002

V31

_5

-4,

17.（2022秋•河南南阳•九年级统考期末）如图，在中，ZC=90°,的垂直平分线与BC,AB

4

的交点分别为。，E.若4D=10,sinZADC=~,求4C的长和tanB的值.

【答案】/C=8,tan3=L

2

4

【详解】解：•・•在RtZ^/BC中，ZC=90°,AD=10fsinZADC=-

.AC_4

•・布一不

：.AC=Sf

在RtZ\/C。中，CD=ylAD2-AC2=6，

DE是AB的垂直平分线，

：.DA=DB=10,

：.BC=BD+DC=10+6=16,

.」4c81

,.tanB==——=—.

BC162

Bi

18.(2022秋•河北廊坊•九年级校考期末)如图，在中，4D是边8C上的高，sinC='，tanB=—,

22

AD=2.

(1)求cosN84D的值;

⑵求“SC的面积.

【答案】⑴孚

(2)6

AT)1

【详解】(1)解：•.,在RtA48Z>中，tan5=——=-,AD=2,

BD2

BD=4.

AB=yjAL^+BD2=2石，

•/…一⑪一也

••cos/BAD-——;

AB5

（2）解：*.*sinC=----，

2

・•・ZC=45°.

4D

*.*tanC=-----=19AD=2,

CD

：.CD=2,

：.BC=BD+CD=6,

=/xADxBC=6.

19.（2022秋•湖南郴州•九年级校考期末）如图，在中，点、D,E分别是边5C和ZC上的点,

DA1AB,AADB=/DEC.

⑴求证：AAEDS^ADC；

Ap1

（2）^AE=2,——=—,ZB=30°,求皮）的长.

AC2

【答案】⑴见解析

⑵ao=46

【详解】（1）证明：:NBDE=NC+2DEC,

又ZBDE=ZADB+ZADE,NADB=ZDEC,

/.ZC=ZADE,

又：ZCAD=ADAE,

二AAED^AADC；

(2)解：由(1)知△/£Z>S4/£)C,

.AE_AD

即AD2=AE-AC,

AD~AC

-=-,AE=2,

EC2

:・AC=6,

AD2=AE-AC,

AD=2V3,

在△ABD中，DALAB,ZB=30°,

；sm2嗡

2V3

BD==4A/3•

sin30°

B能力提升

20.（2022秋•浙江金华•九年级校考期中）如图，在平行四边形/BCD中，对角线ZC/。交于点。，AB=6,

AD=10,AC=8.

⑴求/氏4C的度数；

(2)设乙4&)=a,求sina的值.

【答案】⑴90。；

⑵独1.

13

【详解】(1)・・•平行四边形48co中，48=6,40=10,4。=8,

BC=10,

BC2=102=AB2+AC2=62+82=102,

：.ZBAC=90°.

(2),・•平行四边形48co中，AB=6,AD=10,4C=8,

/.BC=10,AO=4

,：ZBAC=90°.

•*-OB=^62+42=2V13

..OA42V13

••sinct-----——f=

OB2V1313

21.（2022春・广西钦州•八年级阶段练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因.交警部门在近年来事故多

发的危险路段设立了固定测速点.观测点设在到公路/的距离为100m的尸处.这时，一辆轿车由西向东匀

速驶来，测得此车从A处行驶到8处所用的时间为3s,并测得N/OP=90。，ZAPO=60°,Z£PO=45°,

试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？(6"732)

【答案】是

【详解】解：此车超过了80km/h的限制速度，

理由：在中，ZAPO=60°,P0=100m,

../O=OPtan6()o=1006(m)，

在RMBO尸中，ZBPO=45°,

S(9=OP-tan45o=100(m),

=-80=100。-100。73.2(m),

732

-----=24.4m/s=87.84km/h>80km/h,

3

「•此车超过了80km/h的限制速度.

22.(2022•辽宁盘锦•校考一模)如图1,图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介

绍，获得了如下信息：滑杆。口箱长5C、拉杆45的长度都相等，即点5、户在线段4c

上，点。在QE上，支杆=30。加，CE：CD=1：3,ZZ>CF=45°,ZCDF=30°.请根据以上信息，解

决下列问题；参考数据：V2=1.41,V3=l.73,76=2.45.

ECD

图2

⑴求NC的长度(结果保留根号)；

(2)求拉杆端点/到水平滑杆ED的距离(结果保留到1c加).

【答案】⑴(40+406"

(2)77cm

【详解】(1)解：过F作FHLDE于H

ZFHC=ZFHD=90°

VZFDC=30°,DF=30cm

1/T

/.FH=sz7?30°-DF=-DF=15,DH=cos30°DF=^-DF=15逝

ZFCH=45°

：.CH=FH=\5

CD=CH+DH=15+15也

'：CE：CD=1：3

：.DE=-CD=20+20s/3

3

AB=BC=DE=20+20A/3

AC=2AB=(40+4073jew?

(2)解：过A作/G_L£D交E。的延长线于G

：.ZACG=45°,AC=40+40^3cm

5

二AG=sin45°-AC=—AC=2陋+20/6

2

,•*V2®1,