浙江省湖州市2023-2024学年高三年级上册数学期末试卷

浙江省湖州市2023-2024学年高三上学期数学期末试卷

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={%|—1<x<4},B={久|x<3},则4UB=（）

A.{%|-1<%<3}B.{%|-1<%<4]

C.{x|%<4}D.{x\x<3}

2.已知复数z满足（z—l）i=4+3i（i为虚数单位），则z+N=（）

A.8B.6C.-6D.-8

3.已知向量而=（遍，1）,AC=（2V3,一2）,则布在左上的投影向量是（）

4.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,31,37,m,42,49;乙组：24,n,33,44,48,52,若

这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则6+n=（）

A.60B.65C.70D.71

TT

5.已知7T）,且3cos2a—sina=2,则（）

A.cos（jr-a）=IB.tanfji-a）=

C.s讥g一/）二字D.cos（^—a）=

6.记是数列{册}的前71项和，设甲：为等差数列；设乙：Sn=仆产）,则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

7.在正四棱锥P—ABCD中，底面力BCD的边长为2,APAC为正三角形，点M,N分别在PB,PD上,且PM=

2MB,PN=2ND,若过点A,M,N的截面交PC于点Q,则四棱锥P-AMQN的体积是（）

ABC2>/6D

—―~9~~9~

8.已知函数/(%)=g(%)=a%2,若总存在两条不同的直线与函数y=/(%),y=g(%)图象均相切，则

实数。的取值范围是()

ee17

A.(“+oo)B.(29+°°)C.(—,+oo)D.(—,+co)

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个

是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分.

9.下列结论中正确的是()

A.在2X2列联表中，若每个数据a,b,c,d均变为原来的2倍，则/的值不变位2=

2

(a+6)(cld)(a?c)Q+d)'其机=a+b+c+d>)

B.已知随机变量f服从正态分布N(3,4),若f=2?7+3,则£)(?7)=1

C.在一组样本数据的散点图中，若所有样本点(阳，%)(i=l,2,,九)都在直线y=0.9x+1上，则这

组样本数据的样本相关系数为0.9

D.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M表示为“第1枚为正面“，事件N表示为“两枚结果相同”，则事件

M,N是相互独立事件

10.已知正数a,6满足a(a+b)=l,下列结论中正确的是()

A.。2+/的最小值为2鱼—2B.2a+b的最小值为2

C.打牺最小值为苧D.迎一海的最大值为1

11.纯音的数学模型是函数y=As讥at,但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称

为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为，的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分

之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2人3f,4/■等.这些音叫谐音，因

为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是y=sinx+^sin2x+^sin3x+….记

/n(x)=sinx+-^sin2x+^sin3xH-----1--sinnxi则下列结论中正确的是()

A.%=7T为7*2(%)的一条对称轴B.八色)的周期为2兀

C.%。)的最大值为警+*D.九(X)关于点(兀，0)中心对称

12.已知。为坐标原点，点4(—2,-1)在抛物线C：/=—2py上，过点B(0,1)的直线交C于P,Q两点，则

下列结论中正确的是()

A.C的准线方程为y=lB.直线AB与C相切

C.丽•丽为定值3D.\BP\■\BQ\>\BA\2

三'填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知(久-多(1-无)4的展开式中含/项的系数为8,则实数a=.

14.已知圆C的圆心在直线y=x+1上且与y轴相切.请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方

程：.

15.已知一个圆台的上、下底面半径为a,b(a<b),若球。与该圆台的上、下底面及侧面均相切，且球。与该圆

台体积比为息则齐.

16.已知双曲线*£=l(a>0,b>0)的左右顶点分别为B,点C满足前=4画4>1),点P为双曲线

右支上任意一点(异于点B),以4c为直径的圆交直线AP于点M,直线BP与直线CM交于点N.若N点的横坐标

等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是.

四'解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.

17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=sinBsinC=,sinAsin^B—C)+

sinBsin(C—A)=sinC(sinB—sinC).

(1)求角A的大小；

(2)求△ABC的面积.

18.已知数列｛a"的前n•项和为Sn，数列｛%｝为等差数列，且满足的,=-1,a2+b3=0,Sn=2an+bn(nG

N*).

(1)求数列｛%｝和｛"｝的通项公式；

n

(2)若数列｛%｝满足q=必,且c2n=c2n-i+hi，c2n+1=c2n+dn(WN*),求数列｛4｝的前2c项和七。

19.如图，在多面体4BCDEF中,四边形ABCD为平行四边形，且BC==1,BD1CD.DE1平面

1

ABCD,且OE=WBF=V5,DE||BF.点H,G分别为线段DC,EF上的动点，满足DH=EG=4(0<4<2).

(1)证明：直线GH||平面BCF；

(2)是否存在；I,使得直线GH与平面4EF所成角的正弦值为照？请说明理由.

20.杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的

国际综合性体育赛事2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，

主播为当晚7点前登录该直播间的前N名观众设置了两轮“庆亚运、送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统

独立、随机地从这N名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这N名观众始

终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为X(幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都

被抽中，但只记为1人).

(1)已知小杭是这前N名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为|,求N的值；

(2)当P(X=20)取到最大值时，求N的值.

21.已知椭圆C：今+/=l(a>b>0)过点4(-3,0),且离心率为孚.过点B(,,0)的直线交C于P,Q两点

(异于点A).直线4P,AQ分别交直线久+2y-9=0于M,N两点.

(1)求证：直线ZP与直线ZQ的斜率之积为定值;

(2)求AAMN面积的最小值.

22.已知函数/(%)=Inax+(ax—a—l)ex-1—ax(a>0).

(1)是否存在实数a,使得函数〃久)在定义域内单调递增；

(2)若函数/(%)存在极大值M,极小值N,证明：M+N<-4.(其中e=2.71828是自然对数的底数)

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：因为集合4={%|-1<%<4},B={%|%<3},则4UB={久|%W4}.

故答案为：C.

【分析】本题主要考查并集的运算，根据已知的集合A和集合B在根据并集的计算即可求解.

2.【答案】A

2

【解析】【解答】解：根据：(z-l)i=4+3i,可解得：2=早=竺学=4—43,根据共辗复数的定义

可得：2=4+4i,贝lz+£=8.

故答案为：A.

【分析】本题主要考查复数的计算及共轨复数的概念，根据题意可得：z=4—4i,再根据共朝复数的概念求

得力进而得到答案.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：因为荏=(点，1),AC=(2V3,—2),则薪・£?=bx2b+1X(—2)=4,AC

J（2⑹2+々/=%

TT—>

AB-ACAC1/V31\

故荏在刀上的投影向量是丁丁xra=4AC=d，-2）-

故答案为：A.

【分析】本题主要考查向量的数量积计算、模长公式、及投影向量公式，根据已知条件，得到薪.几及|盛

再结合投影向量公式进行求解即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：根据题意可得甲组、乙组数据均为6个，又6X30%=1.8,得到第30百分位数为第二

个数，故n=31,又6x50%=3,

得到第50百分位数是第三个和4个数据的平均数，即：37+m=33+44^解得：m=则血+n=71.

故答案为：D.

【分析】本题主要考查百分位数的定义，利用百分位数的定义进行求解即可.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：根据二倍角公式：cos2a=1—2sin2a/可得：3cos2a—sina=3x(1—2sin2a)—

sina=2,

解得：sina=—或者sina=',又得,TT),则sina=J,

Z3乙3

对于A选项：COS(TC—a)=—cosa=—V1—sin2a=—，故A选项错误；

对于B选项：tcm(7r—a)=—tana=—列竺=_(+/2/2\l_?，故g选项正确；

COSGC13\3jIJT

对于C选项：sing—a)=cosa=—2,，，故C选项错误；对于D选项：cosg—a)=sina=:,

故答案为：B.

【分析】本题主要考查三角函数的倍角公式、诱导公式、同角三角函数的关系，根据题意结合二倍角公式及

角a的范围可得sina的值，再根据诱导公式、同角三角函数的关系即可求解.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：若也3为等差数列，则数列｛a九｝的前n项和%=四产，如果数列也九｝的前n项和

c_n(a1+a„)

%-2，

则当n23,且九CN*时，即=Sn—Sn_i=出要D_(〃T)()+味i)=%+n吁广1)味i,

所以a1+(n—2)on—(n—l)Qn_1—0/(T)

即a1+(n—3)cin_1—(ji-2)Gn_2=0,(2),

故①-②得：an+斯-2=2的i_i，即an-an_i=即-1-与-2，故数列｛%i｝为等差数列综上所述：甲是乙

的充要条件.

故答案为：C.

【分析】本题主要考查数列的求和公式及an=Sn-S-i，根据等差数列的求和公式即可甲是乙的充分条件,

再利用an=Sn-Sn_i，及已知条件可得到：册-册-1=与-1-%i-2，从而判定必要性，即可得到答案.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：如图：

连结BD,交AC于O,连结AQ,交PO于G,:PM=2MB,PN=2ND,.'.MN//BD,且PG=2GO,根

据正四棱锥的性质可得：P01AC,故点G为APAC的重心，；.Q为AC的中点，

•..△PAC为正三角形PQJ.AC,又四棱锥P—ABCD为正四棱锥，...BD1AC,PO1BD,且ACCPO=。，

：.BD1平面PAC,

又PCu平面PAC,故PC1BD,,:MN[IBD,:•PC1MN,且尸。1AC,ACCMN=G,故PC1平面

AMQN,

...在正四棱锥P—力BCD中，AB=2,：.AC=BD=则皿=|8。=竽，AQ=^-AC=V6,PQ=

^AC=五,

故四棱锥P—AMQN的体积是Vp_4MQN=gs四边形4MQNxPQ=^x&x显x考？xV2=

故答案为：D.

【分析】本题主要考查正四棱锥的结构特征、体积公式、线面垂直的判定、三角形的重心的判定及性质，连

结BD,交AC于0,连结AQ,交PO于G,根据题意可得：G为APAC的重心，则Q为AC的中点，进而得

到：PQ1AC,PC1MN,从而可证明PC1平面AMQN,然后再根据棱锥的体积公式进行计算即可求解.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：由题意可得aH0,设函数/(x)=e*T,g(久)=a/的切点坐标分别为：[广e^T),

[2，谒)，

xrX1-1

对两个函数分别求导可得：f(%)-e~,g\x)=2ax,则公切线的斜率为：e=2ax2>可得：久2=

~^a~'

则公切线的方程为：=ex1-i(x_Xi),又公切线必然经过点(%2,a成)，

贝1Jax：_蜻「1=靖1-1(％2—把亚=e乙,代入可得：a)-eX1~1=eX1~1---，化简

可得：2=为"

令t=%—1,则白=摄，因为总存在两条不同的直线与函数y=/(久)，y=g(x)图象均相切，

则方程白=2，有两个不相同的实根，设以久)=*,则，(乃=*,

令八'(x)=0,可得x=l,则当x<l时，h(x)>0,当％>1时/I'O)<0,故/i(x)在(一8,i)上单调递增，在

(1,+8)上单调递减，

故八(久)<八(1)=:,且当X趋近于一8时，八(%)也趋近于一8,又X趋近于+8时，/l(x)也趋近于+8,

作出的图像如下图,

根据八（久）的图像可得：方程看=有两个不相同的实根，贝心〈会<白解得。f，故实数a的取值范围

为：C，+8）.

故答案为：A.

【分析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性求函数的极值，由题意可得a70,设函

数fW，9。）的切点坐标分别为：同，的-i）,[2,a慰），通过导数的几何意义及公切线的性质可求得：

根据题意可得：*=茅4,令t=/-L方程2=掾，有两个不相同的实根，构造新函数依）=*,利

用导数判定其单调性后，作出其图像，结合图像即可求解.

【解析】【解答】解：对于A选项：在2X2列联表中，若每个数据a,b,c,d均变为原来的2倍,

则_2n(4ad—4hc)2_2n(ad—bc>)2

2为原来的两倍，故A选项正确;

、X~(2a+2b)(2c+2d)(2a+2c)(2b+2d)—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

对于B选项：随机变量f服从正态分布N（3,4），则。（f）=4,又f=2〃+3,则0（比）==1,故B

4

选项正确;

对于C选项：若所有样本点（X”%）（i=l,2,,n）都在直线y=0.9%+1上，则这组样本数据的样本

相关系数为1,则C选项错误;

对于D选项：分别抛掷2枚相同的硬币，事件M表示为“第1枚为正面”，则P（M）=；，事件N表示为“两枚结

果相同”，

则尸（N）=^=；，则有P（MN）=P（M）P（N），事件M,N是相互独立事件，故D选项正确.

故答案为：BD.

【分析】本题主要考查独立性实验、正态分布、相关系数等基础知识，根据％2的计算公式即可判定A选项，

由正态分布和方差的性质即可判定B选项，根据相关系数的定义即可判定C选项，由相互独立事件的定义即

可判定D选项.

【解析】【解答】解：根据：a（a+b）=l,可得:a+b=」，即—%对于A选项：a2+b2=a2+

aa

(：—aj=2a2+a—222J2a2)a—2=2遮一2,当且仅当2a2=今，即。2=芋，时取等号，故A选项

正确；

对于B选项：2a+b=(a+b)+a=1+a22xa=2,当且仅当a=，，,即a=1，时取等号，但是此

时：=--a=0与b为正数相矛盾，故B选项错误；

ba,

对于C选项：'+、=,+J温=口)。3'令/(a)=a—则/(Q)=1—3Q2,a>0,时，令f(a)=1—

对于D选项：VH—VF=—J，—CL,令九(a)=y/a——a(0<a<1)^则%(a)=2VS+

2(1+，)JI二>仇

故/i(a)在(0,1］上单调递增，则/1(a)«/(I)=L又a=1,时取等号，但是此时：b=1—a=0,与b为正

数相矛盾，故D选项错误.

故答案为：AC.

【分析】本题主要考查基本不等式的运用、利用导数求最值，对已知条件进行变形可得：b^--a,带入AB

a

选项的整式中，通过基本不等式即可判定AB选项，再将b=」—以带入C选项可得：4+/=工，令

aa。a—a^

/(a)=a-标，通过求导后判定其单调性即可求解，D选项参照C选项的方法即可求解.

1L【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：根据题意可得：/2(x)=sinx+^sin2x,对于A选项：

则々(一%+2TT)=sin(—x+27ra)+；si;i2(—%+2TT)=—sinx—^sin2x=-f2(%)/所以介―％+2")W

--2(%)

则％=兀不是介以)的一条对称轴，对于B选项：/2(x+2TT)=sin(%+2兀仇)++2兀)=sinx+

^sin2x=/2(x)/

则打。)的周期为2"，故B选项正确；

对于C选项：f3(%)=sinx+^sin2x+^sin3x,

/

贝!Jf3(x)=cos%+cos2x+cos3x=cos%+cos2x+cos(2x+x)=cosx+cos2x+cos2xcosx—sin2xsinx=

cosx+cos2x+cos2xcosx—2sin2xcosx=cosx(l—2sin2%)+cos2x+cos2xcosx=cos2x+2cos2xcosx=

cos2x(l+2cosx),

又因为外。+2TT)=sin((x+2TT))+^sin2(＜2x+2TT)+^sin3(2x+2TT)=f3(%)/故/3(E)的周期为2兀，

故只需考虑为3在［o,27Tl上的最大值即可，令八(久)＞0,可解得：0＜尤＜称，或等＜x(苧，或者苧＜

x＜竽，或者等＜久＜2兀，

令/'3(久)＜。，得：*＜久＜与，或者竽＜久＜苧，或者萼＜久〈冬，

故匕⑺在(0,勺和(竽,竽)和(竽,均和(竿，2兀)上单调递增，在(3竽)和(竽，沿和(等竽)上单

调递减，

v田%c_^1,1A/2_12V2r/3TT\_1.272

又因力.3(4)=丁+Ia+wxXZ2=2+I丁，.3(彳)=2+丁，

外(竽”—苧，/(2")=0,则/⑴的最大值为孥+称，即C选项正确；

对于D选项：7n(%)=sinx+^sin2x+^sin3x+—F.sizm%,

贝%(—%+2TT)=sin(—x+2TT)+*sin2(-x+2TT)+/s讥3(—%+2TT)+—h^sinn(—x+2TT)=—sinx—

111

■^sin2x--5sin3x------sinnx9

23n

即7n(%)+fn(-％+2TT)=0,则7n(%)关于点(7T,0)中心对称,故D选项正确.

故答案为：BCD.

【分析】本题主要考查三角函数的综合运用，根据题意可得：打(一支+2兀)。-打(%)，即可判定A选项；根

据题/2。+2兀)=/2(%)，即可判定B选项，结合三角函数的恒等变换，利用导数研究函数的单调性即可判定

C选项；根据题意可得：fn(X)+/n(f+2兀)=。，即可判定D选项.

【解析】【解答】解：因为点4(—2,—1)在抛物线C：久2=_2py上，所以(―2)2=—2pX(―1),解得：p=

2,

则抛物线：C的准线方程为y=l,故A选项正确；

设直线AB的方程为：y=kx+b,将点2(-2,—1),点B(0,1)代入直线的方程可得：「2卜：，：一1，解

得:仁=：，

3=1

则直线AB的方程：y=x+lr联立直线AB和抛物线C的方程可得：产2=-"，消去可得：%2+4x+

'(y=x+1

4=0,

则4=非—4ac=42—4x4x1=0,故直线ZB与C相切，贝UB选项正确；

对于C选项：当过点B(0,1)的直线斜率不存在时，直线与抛y轴重合，此时直线与物线只有一个交点，不符

合题意，当直线存在时，可设过点B(0,1)的直线方程为：y=kx-X,联立直线和抛物线C的方程可得：

卜万，消去y可得：x2+4kx—4=0,△=b2—4czc=(4/c)2—4x1x(—4)=16k2+16>0,

设P,Q两点的坐标分别为［i，yj,鼠，丫2)，则由韦达定理可得：+%2=—4k,刈冷二—4,

则丫1%=(一?)(一?)=(等j=(D=L故而.OQ=久2+y/z=—4+1=-3,故C选项错误；

22

对于D选项：由C选项可得：\BP\=71+fc|%il，\BQ\=Vl+/c|x2b

2222

顺BP|•|BQ|=(1+k)\X1xz\=4(1+/c),\BA\=J(一2—09+(—1—1尸=4,则BP|•|BQ|>\BA\,

故D选项正确.

故答案为：ABD.

【分析】本题主要考查抛物线的标准方程及基本性质、直线与抛物线的综合问题，将点A的坐标代入抛物线

的方程，即可求出p的值，在根据抛物线的准线方程即可求解判定A选项；利用待定系数法求出直线AB的

方程，联立直线AB的方程及抛物线的方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后利用判别式即可判定B

选项，对于C选项，设出过点B的直线方程再联立抛物线方程，消去y得到关系x的一元二次方程，设

P,Q两点的坐标分别为11，%)，［2,丫2)，由韦达定理得到y.2的值即可判定C选项；再利用C的

的条件结合距离公式即可判定D选项.

13.【答案】3

【解析】【解答】因为(1—%)4的展开式的通项公式为(―1)7笈"，

则展开式中含/项的系数为(—1)1以-a(—l)3(4=8

解得a=3

故答案为：3

【分析】根据题意得到(1-支产的展开式的通项公式，再由条件列出方程即可得到结果.

14.【答案】(X+1)2+y2=1(答案不唯一)

【解析】【解答】解：因为圆C的圆心在直线y=%+1,可设圆C的圆心坐标为(a,a+1),又圆C与y轴

相切，则半径r=|a|,

故圆C的方程为：Q—a)2+(y—a—=a2,令a=-l,可得满足上述条件的一个圆的方程为：(久+1产+

y2—1,

故答案为：(%+I)2+y2=1(答案不唯一).

【分析】本题主要考查圆的标准方程，根据题意设出圆心坐标，再根据与y轴相切得出半径，即可写出圆的

方程，然后再赋值即可求解.

15.【答案】1

【解析】【解答】解：根据题意作出圆台的轴截面，如图所示:

E为切点，DF为圆柱的高，根据切线长定理可得：DE=a,AE=b,DE则圆台的母线：AD=AE+DE=

a+b,AF=2b~2a=b-a,所以圆台的高：DF=>/AD2-AF2=J（a+-产一（b—a）2=2而，则球O的

半径r==4ab,

又因为球。与该圆台体积比为%则瓢严_，化简可得：3a2-10油+3b2=0,方

13na2+ftb+nabx2jab15

程两边同时除以必，

可得：3偿f-101+3=0,解得：£=聂3（舍去）.

\bJbb3

故答案为：I

【分析】本题主要考查圆台及其内切球的性质、圆台、秋的体积公式，根据题意作出圆台的轴截面，然后根

据题意可求得圆台的母线长，进而可求得圆台的高，再根据球与圆台的体积之比即可求解.

16.【答案】V2

【解析】【解答】解：如图所示：

因为点C满足方=4荏（4>1）,则点A、B、C三点共线，故可设点C的坐标为k，0）（t>a）,

由题意可得：A（^—a,0）,B（a,0）,则|AC|=a+3则可设月），P（%2，外），故膜P=久普.，

k_巧_2yl

2

又以AC为直径的圆交直线4P于点M,所以AMICM,即AP1NC,故X与=一1，所以:

t-CL

久2+a一匹'

又因为P,B,N三点共线，故kpB=kBN，即券=舍=誓,故缶、表=或x衿=L即

2

光二1

%与-02'

22

X2y2

又点P在双曲线马-4=l(a>0,>O所以--

)±-2--2=

ba力

所以双曲线的盾心率e=£=

a

故答案为：V2.

【分析】本题主要考查双曲线的离心率、共线向量、圆的几何性质、直线垂直斜率的关系，设点C的坐标为

(a0)(t>a),在结合题意可设yj,P(%2，丫2)，在根据题意可得k/pkcN=-1，再根据kpB=

岫N，进一步求出关系式，进而可求得丫2,%2的关系，再根据点P在双曲线上得出a,b,C的关系，即可求解.

17.【答案】(1)解：sinA(sinBcosC-cosBsinC)+sinB(sinCcosA-cosCsinA)=sinCsinB—sin2C

由正弦定理可得：abcosC-accosB+bccosA-abcosC=be—c2,

bccosA—accosB=be—c2,

由余弦定理：bc-b2+^-a2-ac-a2+f-b2=be-c2

化简得：b2+c2—a2=be

所以+，4T.

(2)解：由正弦定理：品=岛=薪=2,

所以be=4sinBsinC=3

则S=^besinA=称x*=

ZZZ4

【解析】【分析】本题主要考查正弦定理、余弦定理得运用.

(1)根据正弦定理结合已知等式可得：bccosA-accosB=be-c2,再根据余弦定理进一步化简可得：三边

a,b,c的关系，再运用余弦定理即可求解；

(2)根据已知条件结合(1)可得：bc=4sinBsinC=3,再运用三角形的面积公式即可求解.

18.【答案】(1)解：令n=1,则Si=2al+br=cz1；得比=1,

令n=2>则S2=2a2+历=a1+a2,又a2+加=0,所以历—=—1=—d,

即d=1.所以bn=n,

由Sn=2an+n得，Sn—=2an_r+n-1.两式相减得斯=2tzn_1-1,

—

即时1=2(an_i—1),

且%—1=—2,所以®n—l｝是首项为-2,公比为2的等比数列，

所以斯一1=一2"，因此^=—2.+1

n

(2)解：由C2n=c2n-i+",c2n+1=c2n+an可得C2ri+i=C2n-1-2+2

cc21

C2n-1—2n-3~1+2,C2n-3=2n-5-2n+2,…C3=C1—2+2-

累加可得C2n-i=-2"+2n+1,

((

T2n=C1+C3+C5H----HC2n-1)+C2+C4+c6H----Fc2n)

c

=(i+C3+C5+—Fc2n-i)+(Ci+1+c3+1+c5+1+—Fc2n-i+1)

-2(q+C3+c5H----Fc2n_i)+n,

而q+C3+C5+…+C2n-i=-(2〔+2?+…+2n)+(3+5+…+27i+1)

=2—2n+1+n2+2n,

因此72n=4-2n+2+2n2+5n

【解析】【分析】本题主要考查等式数列的基本性质、数列前前n项和为S.通项公式的an的关系及分组求和的

运用.

(1)根据已知条件，通过对n进行赋值可求得比=1及d,从而可得数列｛0｝的通项公式，进而得到5.=

20n+n,再根据an=Sn-Sn_i(n>2)进行求解即可；

(2)结合(1)和题意可得：C2.+1=C2nt-2n+2,然后运用累加法可求得数列｛4｝的通项公式，根据数

列｛%｝的通项公式知道其由等比数列和等差数列两部分组成，然后分组运用等比数列和等差数列的求和公式进

行求和即可.

19.【答案】(1)解：过点G作的垂线，交于点Q,

贝|JGQ||BF.连接QH,贝且由。4=4,

所以。H=20Q,QH||BC,又因为QHCABCF,

BCUXBCF,所以，QH||平面BCF

且GQII平面BCF,GQCQH=Q

所以平面GQH||平面BCF,

又因为HGuHQG,

所以HGII平面BCF

(2)解：如图：以点D为原点，分别以DC,DB,DE方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

~Z、

则C（2,0,0）,B（0,L0）,4（—2,L0）,F（0,1,2遮），E（0,0,呵,贝必E=（2,-1,遮），

点=（0,LV3）,设平面AEF的法向量为通=（%2,y2，Z2）

（—y+V3Z=0

则由A__E,•而=0,E—F,•族__,=0,2X2",922,解得雨=（遮，5—i）

y2+V3Z2=0

&+月

所以sin。=|cos（nJ,~GH）\=\

V7j2A2+3A+3

解得4=1.

【解析】【分析】本题主要考查线面平行的判定、运用向量解决直线与平面所成角的问题.

(1)过点G作BC的垂线，交BD于点Q,根据线段成比例及线面平行的判定定理可证得QHII平面BCF,再根据

面面平行的判定得到平面GQH||平面BCF,根据面面平行的性质即可求证；

(2)以点D为原点，分别以DC,DB,DE方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设平面AEF的法向量为

雨=(久2，y2>Z2)，写出相关点坐标，设平面4EF的法向量为元=(久2，y2>Z2)，求得道=(遍，V3,—

1),然后利用公式：sine=|cos〈R,涌〉|进行求解即可.

20.【答案】(1)解：记“小杭被抽中”为事件4"小杭第i次被抽中”为事件4(i=1,2).

P(4)=PGM2)+P(AM+2(△).=舟+得,9)X2=1

解得N=45

1O51O

CCC

15N15

15-

45

157

LrN(N-14)

(N+1)(N-19)

N—15

所以N=22时P(X=20)取最大值.

【解析】【分析】本题主要考查相互独立事件的概率公式及概率运用.

⑴记“小杭被抽中”为事件4"小杭第i次被抽中”为事件4(i=1，2),根据题意可得：A=&&+公瓦+

A；A2,然后根据相互独立事件概率公式可得关于N的等式，解出N进行求解即可；

1O

C

-1515记知=廿,然后解不等式符“，求出N的取值范

(2)根据题意可得：P(X=20)啃

围即可求解.

(cV6a=3

21.【答案】⑴解：由题意得广矛解得

b=W

、。二3

所以椭圆C的方程为普+[=

设PQi，%),Q(X2,y2),直线2P,AQ的斜率分别为七，k2,

汽2+3y2—9

设直线PQ为X=ty+1与椭圆联立，3,

2x=ty+

(3t

"2+3M+3ty之一°力力=一三

+D)y+Sty彳—Uj271'

(当力=一彳有

前=一

沙T9

tyi+jty2+l吗。2+别%+丫2)+警

代入可得心•七=-/所以直线力P与AQ的斜率之积为定值J

11