浙教版八年级数学专项复习：定义与命题、证明（解析版）

第02讲定义与命题证明

产知识点梳理

一、定义、命题、基本事实与定理

1.定义

一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.

2.命题

一般地，判断某一件事情的句子叫命题.正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假

命题.

命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.

通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，”那

么“后面的部分是结论.

要点：

命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系.当证

明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以.

3.基本事实

人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.

4.定理

用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.

要点：

满足以下两个条件的真命题称为定理：

(1)其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.

(2)其又可作为判断其它命题真假的依据.

二、证明

1.证明

从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)，一步一步推得结

论成立，这样的推理过程叫做证明.

2.证明表述格式

证明几何命题时，表述格式一般如下：

(1)按题意画出图形；

(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结

论；

(3)在“证明”中写出推理过程.

要点：

在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常

要画出虚线.

三、三角形外角的性质

三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和。

.下列语句中，不是命题的是()

A.两点确定一条直线B.垂线段最短

C.同位角相等D.作/A的平分线

【答案】D

【解析】

判断一件事情的语句叫命题，以此进行判断.

A.两点确定一条直线，是一个真命题；

B.垂线段最短，是一个真命题；

C.同位角相等，是一个假命题；

D.作NA的平分线，没有判断的意义，不是命题.

故选D.

【点睛】

本题考核知识点：命题.解题关键点：理解命题的意义.

、1例2.下列命题是假命题的是（）

A.和为180。的两个角互补

B.在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

D.两条直线被第三条直线所截，同位角相等

【答案】D

【解析】

根据互补的定义，平行线的判定与基本事实，进行判断.

A、和为180。的两个角互补，是真命题；

B、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；

C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；

D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题.

故选D.

【点睛】

本题考查真假命题的判断，熟练掌握平行线的判定与基本事实是解题的关键.

1例3.命题：①对顶角相等；②平面内垂直于同一条直线的两直线平行；③同位角相

等④相等的角是对顶角；其中假命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

利用对顶角的性质、平行线的性质分别进行判断后即可确定正确的选项.

①对顶角相等，正确，是真命题；

②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题；

③同位角相等，错误，是假命题；

④相等的角是对顶角，错误，是假命题,

故选：B.

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质等基础知识,

难度较小.

立例4

.把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（）

A.如果两个角互余，那么这两个角相等B.如果两个角相等.那么这两个角互为余角

C.如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等D.如果两个角互余，那么这两个角的余

角相等

【答案】C

【解析】

根据任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论,

从而得出答案.

解：命题“等角的余角相等”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角的余角相等”.

故命题”等角的余角相等，，写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角

的余角相等.

故选择：C.

【点睛】

此题考查了命题与定理，解答此题的关键是找出原命题的题设和结论，此题比较简单.

N2,N3中是，A6C外角的是（)

A.Zl.Z2B.Z2,Z3C.Zl.Z3D.Zl.N2,Z3

【答案】C

【解析】

根据三角形的一条边的延长线于另一边的夹角叫做这个三角形的外角判断.

属于ABC外角的有Nl、Z3.

故选C.

【点睛】

本题考查了三角形的外角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.

、j例6.如图，在AABC中，ZB=60°,ZA=80°,延长至点。，则NACD的

大小为（）

【答案】A

【解析】

根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算.

由三角形的外角性质可知，ZACD=ZB+ZA=140°,

故选：A.

【点睛】

此题考查三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题

的关键.

、：例7.如图，直线AB〃CD,NA=70。，NC=40。，则NE等于。

A.30°B.40°

C.60°D.70°

【答案】A

VAB//CD,ZA=70°,

：.Z1=ZA=7O°,

VZ1=ZC+ZE,ZC=40°,

ZE=Z1-ZC=70°-40°=30°.

故选A.

.下列句子：①爸爸你去哪儿呢?②舌尖上的中国；③中国好声音是选秀节目;

④邱波是喀山世锦赛十米跳台的冠军；⑤你不是调皮捣蛋的坏孩子；⑥奔跑吧兄弟!是命题

的有（只填序号）.

【答案】③④⑤

【解析】

直接根据命题的定义进行判断.

①是疑问句，没有判断；②没有对事情作出判断；⑥是祈使句，不含判断的意思；只有③④⑤

是对某一件事情作出判断的语句.

故答案为：③④⑤.

【点睛】

本题考查命题的判断，熟练掌握命题是对一件事情作出判断的语句是解题的关键.

：例9.请写出命题，，互为相反数的两个数和为零，，的逆命题：

【答案】和为零的两个数是互为相反数.

【解析】

两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个

命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

逆命题是:和是0的两个数互为相反数；

故答案为和是0的两个数互为相反数.

【点睛】

本题主要考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,

而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题

称为另一个命题的逆命题，难度适中.

例10.把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果...那么…”的形式是

,这个命题是（填嗔”或“假”）命题

【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角真

【解析】

找出命题中的题设与结论即可得，根据直角三角形的性质即可得判断真假.

命题“直角三角形的两个锐角互为余角”中的题设是三角形是直角三角形，结论是它的两个锐

角互为余角，

则改写成：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角，

由直角三角形的性质得：这个命题是真命题，

故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角；真.

【点睛】

本题考查了命题、直角三角形的性质，掌握理解命题的概念是解题关键.

士蹑踪就线

一曲舞厮

1.下列句子中，属于命题的是（）

A.直线和CD垂直吗？B.过线段的中点C作的垂线

C.同旁内角不互补，两直线不平行D.已知片=1,求。的值

【答案】C

【分析】对一件事情作出判断的语句叫做命题，根据定义判断即可.

【解析】解：A.是问句，不是命题，故该选项不符合题意，

B.是作图，没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，

C.对一件事情作出判断，是命题，故该选项符合题意，

D.没有对一件事情作出判断，不是命题，故该选项不符合题意，，

故选：C.

【点睛】此题考查了命题的定义，熟记定义是解题的关键.对一件事情作出判断的语句叫做

命题，注意，假命题也是命题.

2.下列说法是真命题的有（）

①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若。〃6,b//c,则。〃c.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据平行线的性质与判定以及垂线的定义逐一判断即可.

【解析】解：①两直线平行，同位角相等，是假命题；

②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题；

③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；

④若bPc,则"Pc是真命题；

真命题只有1个，

故选A.

【点睛】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，熟知相关知识

是解题的关键.

3.说明“若〃那，则同>叶'是假命题的反例可以是（）

A.a=6,b=5B.a=—5,b=-6

C.a=-6,b=5D.a=6,b=-5

【答案】B

【分析】反例就是要符合命题的题设，不符合命题的结论的例子.

【解析】当。=-5,b=-6时，a>b,但I。|<|61.

故选：B.

【点睛】本题考查了命题与定理，理解反例的概念是解题的关键.

4.能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（）

A.Zl=91°,Z2=50°B.Z1=89°,Z2=1°

C.Zl=120°,Z2=40°D,Zl=102°,Z2=2°

【答案】D

【分析】分别计算出各选项角的度数，进而可得出结论.

【解析】解：A、91。-50。=41。是锐角，不符合题意；

B、89。与1。是两个锐角，不符合题意；

C、120。-40。=80。是锐角，不符合题意；

D、102。-2。=100。是钝角，符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知反例的定义是解题的关键.要指出一个命题是假命

题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的

例子叫做反例.

5.如图，NBCD为ABC的外角，ZA=64°,ZBCD=142°,那么（）

【答案】C

【分析】根据外角的性质进行求解即可.

【解析】解：：ZA=64°,ZBCD=142°,

ZB=ZBCD-ZA=78°；

故选C.

【点睛】本题考查三角形的外角.熟练掌握三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和,

是解题的关键.

6.如图，直线机〃〃，—A的两边分别与直线加，”相交.若NA=60。，Nl=140。，则N2

的度数是（）

A.140°B.120°C.100°D.80°

【答案】D

【分析】利用三角形外角的性质与平行线的性质求解.

【解析】解：如图所示.

ZA=60°,Zl=140°,

Z3=Z1-ZA=8O°,

又，m//n,

：-Z2=Z3=80°.

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关

键.

7.如图，点。在ABC的边的延长线上，且OE〃3C,若NA=32。，ZD=58°,则NC

的度数是（）

【答案】B

【分析】根据平行线的性质求出〃火C,根据三角形外角性质得出即可.

【解析】解：：ND=58。，

ZDBC=58°,

•/NA=32。，

ZC=58°-32°=26°,

故选：B.

【点睛】此题考查三角形外角性质和平行线的性质，能熟练地运用性质进行推理是解此题的

关键.

8.如图，N1,N2,N3的大小关系正确的是（）

3

A.Z1=Z2+Z3B.2Z2=Z1+Z3C.Z3>Z2>Z1D.Z1>Z2>Z3

【答案】D

【分析】根据三角形的外角的性质进行解题.

【解析】由三角形的外角大于与它不相邻的每一个内角，可得Nl、N2、N3的大小关系为:

Z1>Z2>Z3.

故选D.

【点睛】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键.

9.如图，已知AB〃£>E,ZB=130°,ZD=110°,则/C的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等，得出皿G=NCDE=110。，再利

用三角形外角的性质即可求出答案.

【解析】如图所示，延长AB,8交于点E

VAB//DE,ZCDE=U0°,

：.Z.DFG=ZCDE=110°,

ZBFC=180°-ZDFG=70°,

ZABC=130°,

：.ZC=ZABC-ZBFC=60°.

故选：B.

【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，牢固掌握以上知识点是做出本题

的关键.

10.如图，ABC中，AD」BC交BC于点、D,AE平分/BAC交BC于点E,点尸为8C的

延长线上一点，/GLAE交AD的延长线于点G,AC的延长线交FG于点打，连接3G,

下列结论：

@ZDEA^ZAGH；

②NDAE=；(NABD-ZACE)；

③ZAGH=NBAE+NACB；

④S^AEB''S^AEC=AB:AC.

其中正确结论的个数是()

G

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】如图，①根据直角三角形的性质即可得到/DK4=NAG//；②根据角平分线的定义

^ZEAC=^-ZBAC,由三角形的内角和定理得/ZME=90。-NA£D,变形可得结论；③根

2

据三角形的内角和和外角的性质即刻得到ZAGH=ZBAE+ZACB；④根据三角形的面积公式

即可得到SA^EB:5AAEC=AB:CA.

®-AD±BC,FG±AE,

:.ZADE=ZAMF=90°,

ZDEA+ZDAE=ZAGH+Z.GAM=90°,

:.ZDEA=ZAGH,故①正确；

②。AE平分NA4C交8C于E,

ZEAC=-ZBAC,

2

ZDAE=90°-ZAED,

=90°-(ZACE+ZEAC),

=90°-(NACE+1ABAC),

=1(180°-2ZACE-ABAC),

=1(ZABD-ZACE),

故②正确；

®-NDAE=NF,ZFDG=ZFME=90°,

:.ZAGH=ZMEF,

ZMEF=ZCAE+ZACB,

ZAGH=ZCAE+ZACB,

ZAGH=ZBAE+ZACB,故③正确；

AE平分NBAC交BC于E,

•••点E到AB和AC的距离相等，

S/WEB-SAAEC=AB.AC,故④正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角

的性质，正确的识别图形是解题的关键.

二、填空题

11.下列语句：

①整数一定是有理数；

②画直线A&

③直角都相等；

④如果x=-l,那么x+l>0；

⑤我下次考试能得满分吗？

其中是命题的是.(填序号)

【答案】①③④

【分析】根据命题的定义：判断一件事情的句子逐一判断即可.

【解析】解：①整数一定是有理数，是命题；②画直线A3,不是命题；③直角都相等，是

命题；④如果尸-1,那么尤+1>0,是命题；⑤我下次考试能得满分吗？不是命题.

综上，是命题的是：①③④.

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查的是命题的定义，属于基础概念题型，熟知命题的定义、熟练掌握基本知

识是解题的关键.

12.将命题“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么...的形式.

【答案】如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角形

【分析】判断语句中的条件和结论，将条件放在如果后面，将结论放在那么后面即可.

【解析】题中“有一个内角是直角的三角形”是条件，“直角三角形”是结论，所以命题“有一

个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么...的形式为：如果一个三角形有一

个内角是直角，那么这个三角形是直角三角.

故答案为：如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角形.

【点睛】本题主要考查命题的改写，正确找出条件和结论是解决本题的关键.

13.判断命题“若"=4,则。=2”是假命题，需要举出的反例是.

【答案】当。=一2时，满足〃=4,但是2

【分析】根据举反例的要求举出满足题设，但是不满足结论的例子即可.

【解析】解：,当。=一2时，满足°2=4,但是“力2,

，“若6=4,则。=2”是假命题的反例为：当。=一2时，满足〃=4,但是。22,

故答案为：当。=-2时，满足"=4,但是

【点睛】本题主要考查了乘方、命题以及证明，熟知举反例的要求举出满足题设，但是不满

足结论的例子是解题的关键.

14.指出下列命题的题设和结论：

(1)“平行于同一直线的两条直线互相平行”命题的题设、结论.题设是：，结论是：

(2)“两个负数的和是负数”命题的题设、结论.题设是：,结论是：.

(3)“相交的两条直线一定不平行”命题的题设、结论.题设是：,结论是：.

(4)“任意两个偶数之差是偶数”命题的题设、结论.题设是：,结论是：.

【答案】两条直线平行于同一条直线这两条直线互相平行有两个负数

它们的和是负数两条直线相交它们一定不平行有任意两个偶数它们

的差是偶数

【分析】对每一个命题，根据命题的结构，写出题设、结论即可求解.

【解析】解：(1)“平行于同一直线的两条直线互相平行”可以改写成“如果两条直线平行于

同一条直线，那么这两条直线互相平行”.

题设是：两条直线平行于同一条直线，结论是：这两条直线互相平行；

(2)“两个负数的和是负数”可以改写成“如果有两个负数，那么它们的和是负数”.

题设是：有两个负数，结论是：它们的和是负数；

(3)“相交的两条直线一定不平行”可以改写成“如果两条直线相交，那么它们一定不平行”.

题设是：两条直线相交，结论是：它们一定不平行；

(4)“任意两个偶数之差是偶数”可以改写成“如果有任意两个偶数，那么它们的差是偶数”.

题设是：有任意两个偶数，结论是：它们的差是偶数

故答案为两条直线平行于同一条直线，这两条直线互相平行；有两个负数，它们的和是负数;

两条直线相交，它们一定不平行；有任意两个偶数，它们的差是偶数.

【点睛】本题考查了命题与定理，命题由题设和结论两部分组成，找题设和结论的关键是会

把命题写成“如果…那么…”的形式.

15.如图，在，ABC中，。是延长线上一点，ZB=50°,ZA=70°,则NACZ)=.

【答案】120。/120度

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解.

【解析】解：：ZB=50。，ZA=70°,

ZACD=ZB+ZA=50°+70°=120°,

故答案为：120。.

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它

不相邻的两个内角之和.

16.如图，己知在ABC中，8是边A3上的高线，CE平分NACD,交A3于点E,

ZACD=46°,则ZAEC的度数为°.

【分析】由垂直的定义得到NADC=90。，由角平分线的定义求得/ECD=23。，最后利用三

角形的外角性质即可求解.

【解析】解：是边上的高线，

ZADC=90°,

:CE平分/AC。，/ACD=46。，

NECD=-ZACD=23°,

2

ZAEC=90°+23°=113°,

故答案为：113.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟记各图形的性质

并准确识图是解题的关键.

17.将一把直尺与一块三角板如图放置，若4=130。，则N2的度数为.

【分析】由平行线的性质可得/3=/1=130。，再利用三角形的外角性质即可求解.

【解析】解：如图，

由题意得：ZE=90°,AB//CD,

：.N3=4=130。，

,//3是一ABE的外角，

Z2=Z3-ZE=130°-90°=40°.

【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质.解题的关键是熟记平行线的性质：两

直线平行，同位角相等.

18.已知:15C中，ZA=70°,BO是/A3C的角平分线，8是NACB的外角角平分线，

交点为。，则"=

【答案】35

【分析】由角平分线的定义可得“加/DCE3ACE'再由三角形的外角

性质可得NACE=NA+NABC,ZDCE^ZCBD+ZD,从而可求解.

【解析】解：；8。是NABC的角平分线，CZ)是NACB的外角角平分线,

ZCBD=-ZABC,ZDCE=-ZACE,

22

•/NACE是sABC的外角，NDCE是ABCD的外角，

ZACE=ZA+ZABC=70°+ZABC,ZDCE=ZCBD+ZD,

：.ZD=ZDCE-ZCBD

=-ZACE-ZCBD

2

=1(70°+ZABC)-ZCBD

=35°.

故答案为：35.

【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的

外角等于与其不相邻的两个内角之和.

二、解答题

19.写工下列命题的条件和结论.

(1)两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

(2)绝对值等于3的数是3；

(3)如果/OOE=2NEOH那么。尸是的平分线.

【答案】(1)条件：两条直线被第三条直线所截；结论：同旁内角互补

⑵条件：一个数的绝对值等于3；结论：这个数是3

(3)条件：ZDOE=2ZEOF；结论：OE是NZJOE的平分线

【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项;

命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论.

(1)解：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补的题设是两条直线被第三条直线所截,

结论是同旁内角互补；

(2)解：绝对值等于3的数是3的题设是一个数的绝对值等于3,结论是这个数是3；

(3)解：如果NOOE=2/EOR那么。歹是NOOE的平分线的题设是

结论是。尸是4DOE的平分线.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，写出一个命题的题设和结论常常改写成“如果...那

么...”的形式；熟练地掌握命题的组成是解题的关键.

20.把下列命题改成“如果...那么…”的形式.

⑴不相交的两条直线是平行线

(2)相等的两个角是对顶角

(3)经过一点有且只有一条垂线

(4)直角都相等.

【答案】(1)如果两条直线不相交，那么这两条直线平行

(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角

(3)如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直

(4)如果所有的角是直角，那么它们都相等

【分析】(1)根据命题及其组成即可写得；

(2)根据命题及其组成即可写得；

(3)根据命题及其组成即可写得；

(4)根据命题及其组成即可写得.

(1)解：不相交的两条直线是平行线，.••原命题的条件是：“两条直线不相交”，结论是：“这

两条直线平行”，，命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果...那么…”的形式为：“如果

两条直线不相交，那么这两条直线平行”；

(2)解：相等的两个角是对顶角，：原命题的条件是：“两个角相等“，结论是：“这两个角

是对顶角”，，命题“相等的两个角是对顶角”写成“如果...那么…”的形式为：“如果两个角相

等，那么这两个角是对顶角”；

(3)解：经过一点有且只有一条垂线，•••原命题的条件是：“经过一点”，结论是：“有且只

有一条垂线”，，命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如果…那么...”的形式为：“如果经

过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直”；

(4)解：直角都相等•原命题的条件是：“所有的直角”，结论是：“都相等”，命题“直

角都相等”写成“如果...那么…”的形式为：“如果所有的角是直角，那么它们都相等”.

【点睛】本题考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成，把命题写成“如果...，那

么...”的形式时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论.

21.如图，现有以下三个条件：①ABUCD,②/B=/C,③ZE=ZF.请你以其中两个作为

题设，另一个作为结论构造命题.

(1)你构造的是哪几个命题?

（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出

反例（证明其中的一个命题即可）.

【答案】（1）可构造如下几个命题：如果AB//CD,ZB=NC那么4如果

AB//CRN石=/尸，那么4=NC,如果NB=NC,ZE=//，那么AB//CD；（2）证明见

解析.

【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；

（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假.

【解析】解：（1）有：如果AB//8,N5=NC那么N£=NF；

如果AB//CD,ZE=ZF,那么N5=NC；

如果N3=NC,N£=NK那么AB//CD；

（2）如图：

VAB//CD,

・・・NB=NCDF,

VZB=ZC,

.\ZC=ZCDF,

・・・CE〃BF,

AZE=ZF,

・・・如果ABI/CD,ZB=ZC,那么ZE=/F为真命题;

VAB//CD,

.\ZB=ZCDF,

VZE=ZF,

・・・CE〃BF,

AZC=ZCDF,

AZB=ZC,

・・・如果A3//CD,NE=NR那么NB=NC为真命题;

VZE=ZF,

・・・CE〃BF,

.*.ZC=ZCDF,

*ZB=ZC,

NB=NCDF,

AABCD,

如果NB=NC,/石=//,那么45〃8为真命题.

【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的

命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理.

22.如图，现有以下3个论断：BD//EC；ND=NC；ZA=ZF.

（1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？

（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可；

（2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假.

【解析】解：（1）由3O//EC,ZD=ZC,得到NA="；

由ZA=ZF,得到/D=NC；

由ZA=NF,ZD=ZC,得到3D//EC；

故能组成3个命题.

（2）由BD//EC,ZD=ZC,得到NA=4,是真命题.理由如下：

BD!/EC,:.ZABD=ZC.

ZD=ZC,：.ZABD=ZD,

ACIIDF,:.ZA=ZF.

由BD//EC,ZA^ZF,得到/D=NC,是真命题.理由如下:

BD!/EC,:.ZABD=NC.

ZA=N产，AC//DF,

:.ND=ZABD,：.ND=NC.

由NA=NF,ZD=ZC,得到瓦）//EC,是真命题.理由如下:

VZA=ZF,AC//DF,:.ZD=ZABD.

/£>=",:.AABD=AC,

:.BDHEC.

【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平

行线的判定与性质是解题的关键.

23.填写推理的理由.

已知：如图，CDLAS于点D,于点E,Z1=Z2,DG交AC于点G,EF交BC

于点歹.求证：ZADG=ZB.

CDEF（）.

：.N2=N3（）.

VZ1=Z2（）,

Z1=Z3（）.

DGBC（）.

:.ZADG=NB（）.

【答案】（1）已知

（2）如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行

（3）两直线平行，同位角相等

（4）已知

（5）等量代换

（6）内错角相等，两直线平行

（6）两直线平行，同位角相等

【分析】根据已知条件，先判定CD所和0GBC,然后利用平行线的性质来求证.

【解析】CDLAB,EFLAB（已知），

：.CDEF（如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）.

：.N2=N3（两直线平行，同位角相等）.

•/Zl=Z2（已知），

/.Z1=Z3（等量代换）.

ADGBC（内错角相等，两直线平行）.

：.ZADG=AB（两直线平行，同位角相等）.

【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.

24.点。为AABC的边BC的延长线上的一点，。尸，AB于点E交AC于点£,ZA=35°,

ZD=40°,求NACD的度数.

【分析】根据三角形外角与内角的关系:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

及三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180。解答.

【解析】解：于点F,

/DFB=90°

在RfADFB中,/DFB=90°,

：.ZB+ZD=90°

VZ£)=40o,

NB=50。

■:ZACD是△DFB的外角,ZA=35°,

ZAC£)=ZB+ZA=50°+35°=85°

【点睛】此题考查三角形外角与内角的关系、三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形

外角与内角的关系及三角形内角和定理.

25.如图，在AABC中，NA=70。，ZACZ)=30°,C£)平分/AC2.求：

(1)/2。。的度数.

(2)/8的度数.

【答案】(l)ZBDC=100°

⑵/8=50°

【分析】(1)在AABC中，根据NA=70。，NAC£>=30。，由外角的性质=

代入即可求出.

(2)根据角平分线的定义求出NAC8,再利用三角形的内角和等于180。列式计算即可得解.

(1)在AABC中，/3£^=4+/48,又；/4=70。，ZAC£>=30°,

.•.ZBDC=70°+30°=100°.

(2)VZACD=30°,CD平分NAC-NACB=2x30°=60°在AABC中，

ZA=70°,ZACB=6Q°：.ZB=180o-70O-60o=50°

【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟

练掌握这些性质定理是解此题的关键.

26.如图所示，Zl+Z2=180°,/3=NB.

(1)4。与所平行吗？请说明理由；

(2)试判断与/C的大小关系，并说明理由.

【答案】(1)平行，见解析

(2)相等，见解析

【分析】(1)由己知条件和三角形外角性质推出NBOE+N3=180。，利用“同旁内角互补，

两直线平行”即可证明；

(2)利用(1)的结论，推出DE//BC,利用“两直线平行，同位角相等”可

得NAED=NC.

【解析】(1)证明：(1)平行；

'：Z1=ZFDE+Z3,Zl+Z2=180°,

Z2+ZFDE+/3=180°,

:/BDE=/2+/FDE,

N2£)E+/3=180°,

：.AD//EF；

(2)解：NAED=NC；理由如下：

'：AB//EF,

NADE=/3,

VZ3=ZB,

ZADE=ZB,

：.DE//BC,

：.NAED=NC.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质、三角形外角的性质等知识点，难度较小，要熟记平

行线的判定定理和性质.

27.如图，BP,CP分别平分NASD,NACD,它们交于点P,求证：ZP=^(ZA+ZD).

【答案】见解析

【分析】延长3尸交AC于点E,设NPBA=/PBD=x,ZPCA=ZPCD=y,利用三角形

外角的性质求出-3PC=x+/A+y,可得x+y=NBPC-NA,同理求出

2/BPC=NA+ND,进而可得结论.

【解析】证明：如图，延长第交AC于点E,

设/PBA=/PBD=x,/PCA=NPCD=y,

NBPC=^BEC+y=x+XA+y,

:.x+y=^BPC-XA,

同理可得"=x+y+ZBPC=2NBPC-ZA,

.,.2NBPC=NA+ND,

:.ZBPC=^(ZA+ZD)

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角的和差计算，熟知三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角和是解题的关键.

28.已知：如图1,点8在PQ上，ZABQ+ZCPQ=ZPCD.

⑴求证AB〃CD；

⑵如图2,BQ平分/ME,过点C作CFLBE于点孔

①补全图形；

②若NPCF=NDCF,设NABQ=x°,ZCPQ^y0,求x,y之间的数量关系.

【答案】（1）见解析

（2）①见解析；②y=3x-180

【分析】（1）过点P作PK〃钻，得ZABQ=/1,再根据/ABQ+NCPQ=/PCD,得出

PK//CD,即可解得.

（2）①根据题意补全图形即可.

②过点尸作RW77AB,得到N/LBE=NMAf,根据已知得NABE=2x。，再由垂直定理得

NCFB=90°,再由NBFM=ZAFB+N2=90°+N2,得至I]N2=2x°-90°,由（1）AB//CD,

可得/2+/3=180。，再根据三角形内角和定理得/2=（彳。+力，即可解答.

【解析】（1）过点P作尸K〃AB.

：.ZABQ=Z1,

•：ZABQ+ZCPQ=/PCD,

Z1+ZCPQ=ZPCD.即NCPK=NPCD,

：.PK//CD,

：.AB//CD.

（2）①补全图形；

②过点F作

:.ZABE=ZBFM,

〈BQ平分NABE,ZABQ=x0,

ZABE=2x°.

•；CF1BE,

：.NC必=90。，

ZBFM=ZAFB+Z2=90°+Z2,

・•・90°+Z2=2x°.

JZ2=2x°-90°f

由(1)知，AB//CD,

,/FM//AB,

：.FM//CD,

.•.Z2+Z3=180°,

ZPCF=Z3,ZPCF+Z3+Z4=360°,

/.Z3=180°-Z4,

・・・N1+NCPQ=N4,Nl=x。，ZCPQ=y°f

AZ3=180°-(x°+y°),

VZ2+Z3=180°,

・・.Z2=(x°+y°),

•・・Z2=2x°-90°,

y=3x-180.

【点睛】本题考查了平行线的判断与性质，角平分线的性质，垂直定理，三角形外角和定理,

熟练掌握作辅助线是解题的关键.

29.如图1,已知线段A3、。相交于点。，连接AC、BD,则我们把形如这样的图形称

为“8字型”.

BC

A

⑴求证：ZA+NC=N3+NO.

⑵如图2所示，Zl=130°,贝U/A+/3+NC+/D+/E+/F的度数为.

⑶如图3,若，。LB和N3DC的平分线AP和DP相交于点P,且与CD,AB分别相交于点

M,N.

①若ZB=100。，ZC=120°,求/尸的度数.

②若角平分线中角的关系改成=NCDP=—CDB”,试直接写出—P与

44

ZB,2C之间存在的数量关系，并证明理由.

【答案】(1)见解析

(2)260°

(3)①110。；®4ZP=ZS+3ZC,理由见解析

【分析】(1)根据三角形的内角和即可得到结论；

(2)利用(1)的结论，结合三角形外角的性质即可求解；

(3)①根据角平分线的定义得到NC4P=Zfl4P,NBDP=NCDP,再根据三角形内角和定

理得至|J/C4P+NC=NCDP+/P,ZBAP+ZP=ZBDP+ZB,两等式相减得到

ZC-ZP=ZP-ZB,BPZP=1(ZC+ZB),然后把NC=120。，N3=100。代入计算即可;

②与①的证明方法一样得到4/尸=ZB+3NC.

【解析】(1)证明：在图1中，有ZA+NC=18(r-ZAOC,ZB+ZD=1800-ZBOD,

'：ZAOC=ZBOD,

：.ZA+NC=NB+N。；

(2)解：如图2所示,

VZDME=ZA+ZE,N3=NDME+ND,

：.Z\+ZE+ZD=Z'i,

VZ2=Z3+ZF,Zl=130°,

Z3+ZF=Z2=Z1=13O°,

・•・ZA+ZE+ZD+ZF=130°,

,/ZB+ZC=Z1=13O°,

ZA+Z5+NC+ZD+ZE+N/=260°.

故答案为：260°.

(3)解①以M为交点“8字型”中，有NT+/CDP=，C+/C4P,

以N为交点“8字型”中，有4P+/BAP=4B+/BDP,

：.2ZP+ZBAP+NCDP=ZB+NC+NCAP+ZBDP,

,：AP,。尸分别平分/C4B和N5DC,

ZBAP=ZCAP,ZCDP=ZBDP,

:.2ZP=ZB+ZC,

VZB=100°,ZC=120°,

ZP=|(ZB+ZC)=110°；

(2)4ZP=ZB+3ZC,其理由是:

VZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,

44

33

・•・NBAP=-NCAB,NBDP=-NCDB,

44

以M为交点“8字型”中，有NP+/CD尸=/C+/C4P,

以N为交点“8字型”中，有/P+/BAP=/B+NBDP,

NC—NP=ZCDP-ZCAP=；(/CDB-ZCAB)

3

NP-NB=NBDP-ZBAP=-(NCDB-ZCAB)

：.3(/C-/尸)=ZP-ZB,

4NT=4+3NC.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180。，三角形外角的性质，角平

分线的定义.明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键.

［域真题演练:

----------------------lllllllllllllllllllilllllllllllillllllill------------------------

一、单选题

1.（2020.四川雅安・中考真题）下列四个选项中不是命题的是（）

A.对顶角相等

B.过直线外一点作直线的平行线

C.三角形任意两边之和大于第三边

D.如果a=6,a=c,那么＞=c

【答案】B

【分析】判断一件事情的语句，叫做命题.根据定义判断即可.

【解析】解:由题意可知，

A、对顶角相等，故选项是命题；

B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故