中考数学专项复习：解直角三角形（解析版）

专题18解直角三角形（10个高频考点）（举一反三）

【考点1锐角三角函数的定义】.................................................................1

【考点2锐角三角函数的增减性】..............................................................5

【考点3同角三角函数的关系】.................................................................7

【考点4互余两角三角函数的关系】............................................................9

【考点5特殊角的三角函数】..................................................................13

【考点6解直角三角形】......................................................................16

【考点7解直角三角形的应用之仰角俯角问题】.................................................24

【考点8解直角三角形的应用之方位角问题】...................................................29

【考点9解直角三角形的应用之坡度坡比问题】.................................................35

【考点10解直角三角形应用之其他问题】.......................................................40

..%1'"一•

»加芦->工二

【要点1锐角三角函数】

在及AABC中，NC=90°,则NA的三角函数为

定义表达式取值范围关系

正弦..ZA的对边.Aa0<sinA<l

sinA=-------------smA=—

斜边c（/A为锐角）sinA=cosB

余弦,的邻边0<cosA<lcosA=sinB

cosA=------------cosA,=—b

斜边c（/A为锐角）sin2A+cos2A=1

正切.ZA的对边tanA>0“1

tanA=------人、।tanA=—tanA=------

/A的邻边b（ZA为锐角）tan5

【考点1锐角三角函数的定义】

【例1】（2022•湖北荆州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A,8分别在x轴负半轴和y轴正

半轴上,点C在08上,OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OPIIAB交AC的延长线于P.若则tan/。4P

的值是（）

【答案】C

【分析】由P（l,l）可知，0P与无轴的夹角为45。，又因为。PIIAB,则A。48为等腰直角形，设OC=x,0B=2x,

用勾股定理求其他线段进而求解.

【详解】EIP点坐标为（1,1）,

则。尸与x轴正方向的夹角为45。，

又自。P||AB,

贝崛瓦1。=45。，AOZB为等腰直角形，

S\OA=OB,

设OC=x,则OB=2OC=2x,

贝1|02=04=3尤，

EltanN04P=-=—=

OA3x3

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标

推出特殊角是解题的关键.

【变式1-1］（2022・上海・上海市进才中学校考一模）在RtA4BC中，ZC=90°,AB=5,AC=4.下列四

个选项，正确的是（）

3444

A.tanB=-B.sinB=-C.sinB=-D.cosB=-

4355

【答案】C

【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可.

【详解】解：如图,

90°,AB=5,AC=4

酬艮据勾股定理得：BC=7AB2—心=V根-42=3,

Ar4.AC4BC3

WanB=—smB=—cosB=—

BC3AB5AB5

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

【变式1-2]（2022•山东滨州•阳信县实验中学校考模拟预测）如图所示，已知。。是△ABC的外接圆，4）

，若ZO=3,AC=2,贝Ijcos。的值为（）

V5

C.匹D.-

2323

【答案】B

【分析】由直径所对圆周角为直角，得出：“昨9。。，再由勾股定理求得CD的长，由cos。，即可求

得结果.

【详解】解：•••4。是。。的直径,

Z.ACD=90°,

AD=3,AC=2,

团CO=V5,

„CDV5

团cos。n=—=—

AD3

故选：B.

【点睛】本题考查了圆中直径所对的圆周角是直角，勾股定理，灵活运用这些知识求锐角三角函数是关键.

【变式1-3]（2022・四川宜宾・统考中考真题）如图，在矩形纸片A3CD中，AB=5,BC=3,将△8C0沿

折叠到△BED位置，DE交AB于点、F,则cos/ADR的值为（）

DC

A'-----zX----------^B

F\/

E

A.—B.—C.—D.—

17151715

【答案】c

【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，禾辨"AAS"证明A4FD三AEFB,得出4F=EF,DF=BF,设AF=

EF=x,贝/F=5-x,根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求

出结果即可.

【详解】解：国四边形A5C。为矩形，

0CD=AB=5,AB=BC=3,乙4=NC=90°,

根据折叠可知，BE=BC=3,DE=DE=5,NE=NC=90。，

24=NE=90°

El在EL4FZ)和ELEFB中，/.AFD=/.EFB,

、4。=BE=3

^AFD=l^EFB(AAS),

EL4F=EF,DF=BF,

设4F=EF=x,贝!JBF=5-%,

在RtABEF中，BF2=EF2+BE2,

即(5—万＞=/+32,

解得：%=I，则DF=BF=5—1=y,

OCOSZTIOF=丝=2=竺，故C正确.

DF—17

5

故选：c.

【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据

题意证明A4FDmAEFB,是解题的关键.

【考点2锐角三角函数的增减性】

【例2】（2022•上海静安・统考一模）如果0。<NA<45。，那么sinA与cosA的差（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

【答案】B

【分析】cos4=sin（90。-乙4）,再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可.

【详解】0COS71=sin（90°-乙4）,正弦函数随着角的增大而增大，

回当0°<A4<45°时，45°<90°-ZX<90°,

sinX<COST1=sin（90°—zX）,即sinA—cos4<0,

故选B.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦函数值随着角的增大而增大.

【变式2-1］（2022,上海•校考模拟预测）如果锐角A的度数是25。，那么下列结论中正确的是（）

A.0<sinX<-B.0<cosTl<—

22

C.一<tanX<1D.1<cot4<遮

3

【答案】A

【分析】根据"正弦值随着角度的增大而增大"解答即可.

【详解】解：00°<25°<300

00<sin25°<-

2

00<sinX<

2

故选A.

【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90。间变化时，①正弦值随着角度的增大（或

减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的

增大（或减小）而增大（或减小）.

【变式2-2］（2022•甘肃张掖•统考模拟预测）若（T<a<90。，则下列说法不正确的是（）

A.sina随a的增大而增大B.cosa随a的减小而减小C.tana随a的增大而增大

D.0<sincr<l

【答案】B

【分析】如图，作半径为1的O0,CDCD,EF均为直径,10C,4GJ.OC,4,B都在O。上，利用

锐角三角函数的定义分析可得答案.

【详解】解：如图，作半径为1的。O,CD1EF,CD,EF均为直径，BH1OC,AG10C,

4B都在。。上，

0A=OB=1,

DZJAC'

由sin/B。"=—sin乙40G="=4G,

OBOA

显然，LBOHC乙AOG,而

所以当0。<a<90。时，sina随a的增大而增大，故A正确；

同理可得：

当0。<a<90。时，cosa随a的减小而增大，故B错误；

当0。<。<90。时，tana随a的增大而增大，故C正确；

当a=^40G,当点4逐渐向F移动，边4G逐渐接近。4,

sina=smZ-AOG=丝逐渐接近1.

0A

当0。<戊<90。时,0<sina<l,故D正确;

故选B.

【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是

解题的关键.

【变式2-3］（2022,浙江宁波•校联考一模）sin70。，cos70。，tan70。的大小关系是（）

A.tan70"<cos70°<sin70°B.cos70°<tan70"<sin70"

C.sin700<cos70°<tan70°D.cos70°<sin70°<tan70°

【答案】D

【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70。和cos70。都小于1,tan70。大于1,故tan70。最大;只需

比较sin70。和cos70。，又cos7(r=sin20。，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较.

【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin70yLeos70°<l,tan70°>l.

又cos70°=sin20°,正弦值随着角的增大而增大，0sin7O°>cos7O°=sin2O°.

故选D.

【考点3同角三角函数的关系】

【例3】(2022春,湖南邵阳•九年级邵阳市第二中学校考自主招生)已知机为实数，且sina,cosa是关于x

的方程4/-6久+1=0的两根，则sin’a+cos4a的值为()

A.-B.-C.-D.1

848

【答案】c

1

sina-cosa=-

【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得到｛3再将原式变形为sin4a+8s4a=

sina+cosa=—

4

(sin2a+cos2a)2-2sin2a-cos2a,再根据二倍角公式进行化简求值即可.

【详解】sina,cosa是关于x的方程4——血％+1=o的两根

1

sina-cosa=-

由一元二次方程根与系数的关系，可得｛tn

sincr+cosa=—

4

•••sin%+cos%=(sin2er+cos2a产_2sin2a-cos2a

=(sin2a+cos2a)2—2(sina•cosa)2

=l-2x(i)2=l-i=-

88

故选：c.

【点睛】本题属于初升高题目，考查了二倍角公式的运用，一元二次方程根与系数的关系，即如果方程a%2+

bx+c=0(a丰0)的两个实数根是勺,%2，那么+亚=-%久1久2=也就是说，对于任何一个有实数根

的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数

项除以二次项系数所得的商.

【变式3-1](2022•陕西西安•交大附中分校校考模拟预测)在RtAABC中，0C=9O°,若sinA=|,则cosA

=()

【答案】C

【分析】根据siMA+cos2A=1,进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：siMA+cos2A=1,

团cos2/=

99

LAV5

团cosZ=一，

3

故选c.

【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系.解题的关键在于熟练掌握siMA+cos2A=1.

【变式3-2】（2。22・陕西西安・交大附中分校校考模拟预测）已知tana=5,则就*

【答案】

17

【分析】由于tana=3吧=5,贝！Jsina=5cosa,然后把sina=5cosa代入；■“：—一：中利用分式的性质计

cosa2sinza+cosza

算即可.

【详解】解：「tana=2竺=5,

cosa

・•・sina=5cosa,

3sinacosa_15cos2a_15cos2a_5

2sin2a+cos2a50cos2a+cos2a51cos2a17'

故答案是：*

22

【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：解题的关键是掌握平方关系：sin/l+cos?l=l;正余弦与正

切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=吗或sinA=tanA,

C0Si4

cosA.

【变式3-3］（2022•湖北•校联考一模）已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式:回asinJ+bcos。-c=

0；团acosB-bsin。+d=0（其中。为任意锐角），贝!Ja、b、c、d之间的关系式是：

【答案】a2+b2=c2+d2

【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用siMe+cos2e=L即可找到这四个数的关系.

【详解】由①得asine+bcos。二c,

两边平方，a2sin20+b2cos20+2absinOcos0=c2（3）,

由②得acos0-bsin6=-d,

两边平方，a2cos20+b2sin20-2absin0cos0=d2(4),

③+④得a?(siMe+cos?。)+b2(sin20+cos2O)=c2+d2,

0a2+b2=c2+d2.

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，Sin2e+bcos2e=l的应用是解题的关键，属于基础

题.

【考点4互余两角三角函数的关系】

【例4】（2022•福建南平•统考二模）如图，将矩形ABC。放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在

平行线上，已知相邻平行线间的距离为1,若乙DCE=/3,则矩形A8C。的周长可表示为（）

A

CE

【答案】B

【分析】构造直角三角形，运用三角函数的定义求得线段和CD的表达式，进而求得矩形的周长.

【详解】解：如图，过。作次唱CE于点R过2作8G0CE于点G,

A

0ZOFC=90°,乙DCE=6,DF=2,

(3DC=黑=三，

sm万sin夕

团矩形ABCD,

团4BCO=90°,

^BCG+^DCF=90°,

团乙BGC=90°,

⑦乙GBC+乙BCG=90°,

⑦LBCG+乙DCF=90°,

国乙DCF=Z.GBC=B，

^BGC=90°,（GBC=0,BG=5,

©BC=M=岛,

团DC=黑=

smpsinp

团矩形ABCD的周长为2（BC+DC）=2（高+扁）

故选：B.

【点睛】本题考查了三角函数的定义，构造直角三角形，运用三角函数的定义求相应线段的表达式是解题

关键.

【变式4-1］（2022•安徽宣城•校联考一模）在RtA43C中，0C=9O°,下列式子不一定成立的是（）

A.sinA=sin8B.cosA=sinB

C.sinA=cosBD.sin（A+3）=sinC

【答案】A

【分析】根据锐角三角函数的定义依次分析各项即可.

【详解】如图，

B

a

C

A.团sinA=2,sinB=-,团当awb时，sinA^sinB,符合题意;

CC

B.团COSA=2,sinB=-,回cosA=sin3,不符合题意；

CC

C.0sinA=-,cosB=~,团sinA=cos3,不符合题意；

CC

D.00A+0B=0C,Esin(A+B)=sinC,不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，在直角三角

形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

【变式4-2］（2022•湖北武汉•统考三模）如图，在AABC中，tan0BAC-tan0ABC=l,0。经过A、B两点，分

若DE=10,AB=24,则回。的半径为（

B.8V3

C.13D后

【答案】C

【分析】连接BO并延长，交圆。于点G,连接AG,AE,根据直径所对的圆周角是直角可得回GAB=90。，从

而证出I3G+EIGBA=9O。，然后根据圆的内接四边形的性质可得EIAECWG,根据锐角三角函数的性质可得EIABC

为直角三角形，回C=90。，然后根据圆周角定理证出AG可得AG=DE=10,最后根据勾股定理求出直径

即可求出结论.

【详解】解：连接BO并延长，交圆。于点G,连接AG,AE

00G+0GBA=9O0

El四边形AEBG是圆。的内接四边形

00AEC=0G

00AEC+0GBA=9O°

团tan回BAOtan国ABC==1,

H3ABC为直角三角形，0C=9O°

EBAEC+回EAC=90°

00GBA=0EAC

0AG=ETE

0AG=DE=1O

在RtBAGB中

BG=y/AG2+AB2=26

000的半径B0=|BG=13

故选c.

【点睛】此题考查的是圆周角定理及推论、圆的内接四边形的性质、锐角三角函数的性质和勾股定理，掌

握圆周角定理及推论、圆的内接四边形的性质、锐角三角函数的性质和勾股定理是解决此题的关键.

【变式4-3](2022•山东荷泽・中考真题)如图，E1ABC与I3AEU都是等腰三角形，且AB=AC=5,A'B^A^S,

若配+配'=90°,贝IjlBABC与回A'B'C'的面积比为()

A.25：9B.5：3C.泥：MD.5巡：3M

【答案】A

【详解】试题分析：过A作ADI3BC于D,过A‘作A'D'IBB'C'于D',EBABC与EIABC都是等腰三角形，00B=0C,

配'=%'，BC=2BD,B'C'=2B'D',EIAD=AB»sinB,A'D'=A'B'・sinB',BC=2BD=2AB・cosB,B'C'=2B'D'=2A'B'・cosB',

EEB+E1B'=9C)°,回sinB=cosB',sinB'=cosB,EISABAc:=|AD»BC=|AB»sinB»2AB»cosB=25sinB»cosB,

,,,,,,,,,,,,

SAA'B-c-=|AD*BC=|AB»cosB»2AB»sinB=9sinB»cosB,0SABAC：SANBC=25：9.故选A.

考点：互余两角三角函数的关系.

【要点2特殊角的三角函数值】

三角函数30°45°60°

J_V2V3

sincr~2~2

V2

cosaV3

F~2

V3

tan。1V3

亍

【考点5特殊角的三角函数】

【例5】（2022・山东济宁•校考二模）如图，在正方形ABC%中，AB=6,48与直线1所夹锐角为60。，延

长CB1交直线/于点为,作正方形力IBIC/2，延长6殳交直线/于点4，作正方形2c2B3,延长C2B3交直

线/于点43，作正方形3c3/…，依次规律，则线段4202142022=（）

/与2\019/后\2020//'20212022

A.2X(rB.2X(号C.2x(f)D.2X

【答案】C

【分析】利用特殊角的三角函数值分别求出4/1、人2殳、&丛，以此类推找到规律求出力2022^022,最后

根据Rt△4202142022殳022中匕”2021殳02242022=9。°,^-^2022-^2021^2022=3。°,即可求解.

【详解】解：回与直线/所夹锐角为60。，且4员4名是正方形/Be/的一个顶角，

团NB1A4]=180°-60°-90°=30°,

又团4ZBi/i=90°,

团在Rt△ABrAr中,A1B1=ABrxtan乙的/当，

回正方形/Be/的边长48=V3,

回A/i=ABrxtan/-A1AB1=V3xy,

同理可求得：A2B2=V3xg),A3B3=V3x(日),

202220212021

以此类推可知:A2022B2022=V3x(^)=V3xx(f)=(y).

团Rt△402M2022B2022中乙42021殳0224022=9°。，^-^2022^2021^2022=30。，

^2021-^2022=2X2O22^2O22=2X（石）'故C正确•

故选：C.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、含特殊角的锐角三角函数等知识，含30。的直角三角形的性质.利

用从特殊到一般寻找规律是解题的关键.

【变式5-1]（2022•山东日照•统考中考真题）在实数VLx0（"0）,cos30。，遮中，有理数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据零指数幕，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答.

【详解】解：在实数VLx°（*0）=1,cos30°=y,遮=2中，有理数是遮=2,

所以，有理数的个数是2,

故选：B.

【点睛】本题考查了零指数累，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键.

【变式5-2]（2022•福建泉州,统考二模）如图，在菱形ABC。中，AC=CD,则cosB的值为（）

【答案】D

【分析】证明是等边三角形，得出ae=60。，由特殊角的三角函数值，即可得出结论.

【详解】解：回四边形48CO是菱形，

^\AB=BC=CD,

^AC=CD,

^1AB=BC=AC,

团弘15。是等边三角形，

团团3=60°,

l?]cosB=cos600=-,

2

故选：D.

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握菱形的性质

是解题的关键.

【变式5-3］（2022•陕西渭南•统考二模）如图，在0ABe中，0ABe=45。，点H是高和BE的交点，0CAD

=30。，8=4,则线段8反的长度为（）

A.6B.4V3C.8D.4V6

【答案】C

【分析】结合题意，根据直角三角形两锐角互余、三角函数、分式方程的性质，得4）=4四，再根据等腰

三角形和三角函数的性质分析，即可得到答案.

【详解】根据题意，得N4DC=乙BEC=90°

0ZCXD+A.ACD=乙CBE+A.ACD=90°

0ZCBF=ACAD=30°

EICD=4

4V3

^tan^CAD=—

AD3

BAD=4V3

经检验，4）=4旧是2=?的解

团朋3c=45°,回CAO=30°,

^ABE=Z.ABC-乙CBE=15°

^BAE=90°-AABE=75°

^BAD=^LBAE-/LCAD=45°

团4B/O=Z.ABE=45°

团BD=AD=4V3

BD4V3V3

^IcosZ.CBE=—=——

BHBH2

回BH=8

经检验，8”=8是券=手的解

BH2

故选：c.

【点睛】本题考查了三角函数、分式方程、等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角

函数的性质，从而完成求解.

【例6】(2022•江苏南通•统考中考真题)如图，点。是正方形48CD的中心，4BRt△BEF中，4BEF=

BE,BF分别交A。,CD于点G,M,连接。E,OM,EM.^BG=DF.tan^ABG=贝的

周长为___________

【答案】3+3追

【分析】连接8。，则80过正方形4BCD的中心点O,作FH0CQ于点”，解直角三角形可得BG=2小,

AG=%8,然后证明△ABGEIAHF'D(AAS),DH=AG=^AB=^CD,BC=HF,进而可证ABCMSAFHM

(AAS),得到Affl=MC=(C£>,BM=FM,然后根据等腰三角形三线合一求出则

=BM=2后再根据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出。〃、和OE即可解决问

题.

【详解】解：如图，连接3。，则8。过正方形力BCD的中心点O,作PH0CO于点

^\AB—3A/2,tanZ-ABG=

团tan/ABG=-=-

AB3

[?L4G=|AB=V2,

^\BG=yjAG2+AB2=2V5,

加BEF=90°,她Z)C=90°,

加EGO+团EZ)G=90°,^EDG+WDF=90°,

^1EGD=^HDF

^\AGB=^\EGD,

^\AGB=^\HDF,

'乙4=乙DHF=90°

在aABG和△〃尸。中，乙AGB=LHDF,

^BG=DF

^ABG^AHFD(AAS),

^AG=DH,AB=HF,

团在正方形ABC。中，AB=BC=CD=ADf回。=90。，

11

^\DH=AG=-AB=-CDBC=HF,

33f

(Z.C=Z.FHM=90°

在△BCM和中，^BMC=/-FMH,

BC=FH

团△BCMUAFHM(AAS),

^\MH=MC=-CD,BM=FM,

3

⑦DH=MH,

0FH0CZ),

^\DF=FM,

^1BG=DF=FM=BM=2V5,

回3尸=4而，

团M是5尸中点，O是瓦)中点，△BE尸是直角三角形,

SOM=-DF=V5,EM=-BF=275,

22

SBD=y/2AB=6,△BED是直角三角形,

^EO=-BD=3,

2

0AOEM的周长=EO+OM+EM=3+V^+2西=3+3小,

故答案为：3+3西.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角

形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，综合性较强，能够作出合适的辅助

线，构造出全等三角形是解题的关键.

【变式6-1］（2022•浙江嘉兴•统考中考真题）如图，在AABC中，0ABe=90。，0A=6O。，直尺的一边与BC

重合，另一边分别交AB,AC于点。，E.点、B,C,D,E处的读数分别为15,12,0,1,则直尺宽2。的

长为.

【答案】詈

【分析】先求解AB=百,4。=手，再利用线段的和差可得答案.

【详解】解：由题意可得：DE=1,DC=15-12=3,

•・•ZX=60°,Z.ABC=90。,

BC3pz

•••AABD=------=-p=\3,

tan60°V3

同rzzq工理用：A八D=--D-E---=-1^=—y/3

tan60°V33

.：BD=AB-AD=^-^=^

故答案为：竽

【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握"利用锐角的正切求解三角形的边长"

是解本题的关键.

【变式6-2](2022•西藏•统考中考真题)如图，已知BC为回。的直径，点。为CE的中点，过点。作。G0CE,

交的延长线于点A,连接8。，交CE于点?

(1)求证：AD是回。的切线；

(2)若EF=3,CF=5,tan0GDB=2,求AC的长.

【答案】⑴见解析

(2)AC=y

【分析】(1)连接OD,BE,根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等"及等腰三角形的性质得到NODB=乙EBD,

进而得到OD〃BE,根据圆周角定理结合题意推出4D10D,即可判定AO是回。的切线；

(2)根据平行线的性质得到aBFEWGDB,fflA=0ECB,解直角三角形求出OC,的长，根据线段的和差

求解即可.

(1)

证明：如图，连接。。，BE,

回点£)为CE的中点,

回⑦=片力，

回0。回CE,回CBD=®EBD,

团03=00,

^\ODB=^CBD,

^1ODB=^EBD,

中0D“BE,

团5c为团。的直径，

如。防=90°,

团CE08E,

^AD//CE,OD^CE,

胤4。回。。，

回0。是团。的半径，

0AD是回。的切线；

(2)

解：SDG//CE,

SSBFE=SGDB,EL4=H£CB,

团tan回G£)8=2,

回tan回BFE=2,

在R/ABE尸中，EF=3,tanHBF£=—,

EF

[3BE=6,

0EF=3,CF=5,

^1CE=EF+CF=8,

HBC=VCE2+BE2=10,

0OD=OC=5,

在RMCE中，sin0ECB=—=—=-,

BC105

3

团sinA=sin回ECB=g,

在RdA。。中，sinA=—=OD=5,

0A5

25

团04=艺，

3

^AC=OA-OC=—.

3

【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行线的性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直

角三角形等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键.

【变式6-3]（2022•辽宁抚顺•统考中考真题）在AaBC中，/.BAC=9G°,ABAC,线段AB绕点A逆时针

旋转至4D（2D不与4C重合），旋转角记为a,AD4C的平分线力E与射线BD相交于点E,连接EC.

图①图②备用图

（1）如图①，当a=20。时，乙4EB的度数是；

（2汝口图②，当0。<££<90。时，求证：BD+2CE=

（3）当0。<a<180°,AE=2CE时,请直接写出黑的值.

【答案】（1）45°

⑵见解析

⑶2a+2或2/-2

【分析】（1）根据旋转的性质可知力B=4D,当a=20。时可根据等腰三角形的性质计算N4DB的角度，再

由NB4C=90°,4E是的平分线可知NZME=35°,由三角形外角的性质，通过N4EB=乙ADB-ADAE

即可得出答案；

（2）延长D8至1JF,使BF=CE,连接力尸，先证明AaCE=AACE,可推导N0E4=/.CEA,Z.ADE=/.ACE,

乙DE=CE,再由已知条件及等腰三角形的性质推导NDE4=NCE4=45。，然后证明△4BF三△4CE,推导

Z.FAE=90°,在RtAAFE中，由三角函数可计算EF=鱼4m即可证明BD+2CE=企4邑

（3）分两种情况讨论：①当0。<。<90。时，借助（2）可知BD=（2&一2）CE,再求詈的值即可；②当

90°<a<180。时，在线段8。上取点R使得BF=CE,结合（2）中AADE=^ACE,可知DE=CE、乙ADE

/LACE,易证明AABF三AaCE,可推导NB4F=NC4E、AE=AF,AEAF=90°,^AEF=/LAFE=45°,

在RtAAFE中，由三角函数可计算EF=迎人员即可推导BD=(2/+2)CE,再求黑的值即可.

ED

【详解】(1)解：由旋转可知，AB-AD,当a=20。时，

—可T知/rrNZABnOn=Z.A/iDnBn=-1-8-0-°---0-=--1-8-0-°---2-0-°=80°,

22

^BAC=90°,4E是乙ZX4C的平分线，

^DAE=ABAC-==35°,

22

回乙4EB=Z.ADB-Z.DAE=80°-35°=45°.

故答案为：45°；

(2)证明：延长08到尸，使=连接/工

^\AB—AC,AD—ABi

团4。=AC,

团/E平分乙。/。，

回匕DAE=Z.CAE,

团4E=AE,

[SAADE=△A^CE,

^\Z-DEA=Z.CEA,Z.ADE=Z-ACE,乙DE=CE,

团48=AD,

回匕ABD=Z-ADB,

团匕ADE+乙ADB=180°,

^ACE+4ABD=180°,

^BAC=90°,

⑦乙BEC=360°-{Z.ACE+/.ABD}-Z.BAC=360°-180°-90°=90°,

^DEA=A.CEA

EINDEA=ACEA=工x90°=45°,

2

^AABF+乙ABD=180°,/-ACE+匕ABD=180°,

^ABF=Z.ACE,

团48=AC,BF=CE,

0AABF=△ACE,

团/F=AE,Z.AFB=AAEC=45°,

^FAE=180°-Z,AFB一4DEA=180°-45°-45°=90°,

在R%ME中，Z.FAE=90°,

Ap

^CQSZ-AEF=—,

^EF=BF+BD+DE=CE+BD+CE=BD+2CE,

^\BD+2CE=y/2AE；

(3)①当0。＜仇＜90。时，由(2)可知，

DE=CE,BD+2CE=近AE,

回BD=V2AE-2CE,

当4E=2CE时，可知8。=V2X2CE-2CE=(2A/2-2)CE,

^BD(2V2-2)CE(2V2-2)CE、伉

□—=----------------=-----------------=ZVZ—oZ;

EDEDCE

②当90。Wa＜180。时，如下图，在线段2。上取点R使得BF=CE,

由(2)可知，XADEmXACE,

⑦DE=CE,Z,ADE=Z.ACE,

团AB=AC,

^Z.ABF=Z.ADE,

团乙4BF=Z.ACE,

^BF=CE,

ABF三△ACE(SZS),

^\Z-BAF=Z-CAE,AE=AF,

国乙EAF=Z.CAF+^CAE=Z.CAF+Z.BAF=乙BAC=90°,

"EF="FE=三竺=45。,

在Rt△AFE中，COS/.AEF=—

EF

AE

团EF=」£=y[2AE,

COSZ.AEFcos45°

^BDBF+EF+DECE+立AE+CE=y[2AE+2CE,

当4E=2CE时，可知BD=V2X2CF+2CE=(2&+2)CE,

(2V2+2)CE_(2V2+2)CE

=2V2+2.

EDCE

综上所述，当0°<a<1800,2E=2CE时，处=2迎+2或皿=2鱼一2.

EDED

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数解直角三

角形的知识，解题关键是熟练掌握相关性质，并通过作辅助线构建全等三角形.

【考点7解直角三角形的应用之仰角俯角问题】

【例7】（2022•山东聊城•统考中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有

一棵唐代古槐，称为"宋塔唐槐"（如图①）.数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当

无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面”点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔的顶

端A和古槐的顶端C的俯角分别为26.6。和76。（点3,H,。三点在同一直线上）.已知塔高为39米,

塔基8与树底。的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin26.6°«0.45,

cos26.6°«0.89,tan26.6°~0.50,sin76°~0.97,cos76°~0.24,tan76°~4.01)

【答案】古槐的高度约为13米

【分析】过点人作人顺现/于跖过点C作CN3E8于N,在RA4ME中，根据锐角三角函数求出4