中考数学专项复习：转化的数学思想在压轴题中的应用（解析版）

专题18转化的数学思想在压轴题中的应用

羁型概述

转化思想在数学压轴题中应用比较广泛，例如在几何压轴题中，多应用转化思想，具体表现为利用平移、

旋转、翻折、全等等图形变换或者等量变换将未知的问题转化为己知问题，将复杂的问题转化为简单的问

题。

真题精析

例孽1

(2022•山东烟台•统考中考真题)

C

图1图2图3

(1)【问题呈现】如图1,△/48C和八4。£都是等边三角形，连接8。，CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,和都是等腰直角三角形，UBC=AADE=90°.连接3D,CE.请直接

写出总的值.

AD3

(3)【拓展提升】如图3,A42C和AIDE都是直角三角形，AABC=AADE=90°,且石;“连接2

BCDE

，CE.

①求黑的值;

②延长CE交AD于点尸,交42于点G.求sin/AFC的值.

(1)证明△B4D三△C4E,从而得出结论;

(2)证明进而得出结果；

(3)①先证明A43CsAA»E,再证得△C4Es2\34D,进而得出结果；

②在①的基础上得出进而乙BFC=Z5NC,进一步得出结果.

［答案与解析1

【答案】(1)见解析

⑵字

⑶①|；@|

【详解】(1)证明：•••A/15C和A4OE都是等边三角形,

..AD=AE,AB=AC,ZJ)AE=ABAC=60°,

••ZJ)AE-£BAE=£BAC-乙BAE,

:ABADdCAE(S4S),

•••BD=CE；

(2)解：・・・A46C和A4OE都是等腰直角三角形,

••Z-DAE-乙BAE=4AC-Z-BAE,

••ABAD=ACAE,

:ABADFCAE,

,BDAB16

"cF-^c-72-V；

/、&力尸x45AD3

(3)解：®—=—=-,ZABC=AADE=9O°,

ACDE4

：・AABC〜AADE,

ABAD3

••Z-BAC—Z-DAE9==-f

ACAE5

:•乙CAE=1Z~BAD,

:ACAE〜ABAD,

.BD_4D_3

②由①得：ACAEFBAD,

••Z^/L(JE=Z^4LBDf

,•乙4GC=LBGF,

••Z-BFC=Z-BAC9

BC4

.,.smZ.BFC=-----=—.

AC5

皿与他

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的

关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形.

（2022•山东潍坊•中考真题）【情境再现】

甲、乙两个含45。角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足。处，将甲绕点。顺

时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接/G,88,如图③所

示，AB交HO于E,/C交OG于尸,通过证明4OBE咨4OAF,可得OE=O尸.

请你证明:

图⑥

【迁移应用】

延长G/分别交所在直线于点尸，D,如图④，猜想并证明。G与的位置关系.

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30。角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接如图⑥

所示，其他条件不变，请你猜想并证明/G与8H的数量关系.

证明VBO〃=V/OG,即可得出结论；通过/8〃0=//G0,可以求出/DG〃+/B〃O+/O〃G=90。，得

出结论/G_L5H；证明VBOT/SV/OG,得出些=0=且，得出结论；

BHOB3

［答案与解析】

【答案】证明见解析；垂直；BH=^3AG

【详解】证明：.•・/5=/C,/0,3C,

OA=OB,ZAOB=90°,

•・•/BOH+ZAOH=90°,ZAOG+ZAOH=90°,

丁./BOH=ZAOG,

OH=OG9

AMBOH2JAOG,

AG—BH；

迁移应用：DG±BH9

证明：・•・VBOHNV/OG,

・•.ZBHO=ZAGO,

ZDGH+ZAGO=45°9

・•・/DGH+/BHO=45。,

•・,NO〃G=45。，

/.ZDGH+ZBHO+ZOHG=90°,

ZHDG=90°,

「•DGLBH；

拓展延伸：BHMAG,

证明：在此△408中，tan30°=—,

OB3

在RMHOG中,tan3(F=^=立，

OH3

,OAOG

''OB~~OH9

由上一问题可知，ZBOH=ZAOG,

X/BOHsV/OG,

.AGOA

BH=6AG.

总结与点拨

本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、

等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质.

(2022•广西贵港•中考真题)已知：点C,力均在直线/的上方，/C与2。都是直线/的垂线段，且2。在

NC的右侧，BD=2AC,4D与8C相交于点。

图1图2图3

(1)如图1,若连接C。，则△BCD的形状为，F的值为；

AD

(2)若将BD沿直线/平移，并以4D为一边在直线/的上方作等边V4DE.

①如图2,当/E与NC重合时，连接OE,若4c=万,求的长；

②如图3,当乙408=60。时，连接EC并延长交直线/于点尸，连接。尸.求证：OFLAB.

型辐

(1)过点C作。Z15。于//,可得四边形N5HC是矩形，即可求得进而可判断四。)的形状，AC

、5。都垂直于/,可得A40csABO。，根据三角形相似的性质即可求解.

(2)①过点E作斯工于点H,AC,5。均是直线/的垂线段，可得4C//BD,根据等边三角形的性质

可得ABAD=30°,再利用勾股定理即可求解.

②连接C。，根据/C//AD,得/C8D=4C3=60。，即是等边三角形，把△48。旋转得

AJ7AC)1

/ECD=/ABD=9G0,根据30。角所对的直角边等于斜边的一般得到二7二不二彳，则可得

ABAD3

△AOFSAADB,根据三角形相似的性质即可求证结论.

［答案与解析】

【答案】(1)等腰三角形，I

(2)①。E=2近；②见解析

【详解】(1)解：过点C作。7130于〃，如图所示:

"AC1.1,DBLl,CH1.BD,

.'.ACAB=AABD=/.CHB=90°,

••・四边形N5HC是矩形，

..AC=BH,

义:BD=2AC,

..AC=BH=DH,S.CHLBD,

ABCD的形状为等腰三角形,

-AC,5。都垂直于/,

.-.AC//BD,

..AAOC^ABOD,

AOACACI，即。0=2/0,

DO~DB~2AC

.AO_40_AO_

\4D~AO+DO-7AO-3

故答案为：等腰三角形，

(2)①过点E作跖工于点"，如图所示:

E

图2

•AC,均是直线/的垂线段，

.-.AC//BD,

・・・V4Z)E是等边三角形，且/£与4。重合，

：.Z-EAD=60°f

^.ZADB=ZEAD=60°9

・・・Z.BAD=30°,

:•在Rt^ADB中,AD=2BD,AB=6BD,

3

又・・・8。=2力C,AC=2f

••AD=6,AB=3A/3，

・•・AH=DH=—AD=3,AE=6

2

在Rt-4EH中,EH=>jAE2-AH2=762-32=373，

又由(1)知

AD3

.-.AO=-AD=2,贝!]OH=1,

3

:.在Rt/XEOH中,由勾股定理得：OE=JEH?+OH°=2行•

②连接C。，如图3所示：

B

图3

•:ACIIBD,

.-.ZCBD=ZACB=60°,

・・•由（1）知△BCZ）是等腰三角形，

・・.△BQ）是等边三角形，

又・・・V4DE是等边三角形，

:6ABD绕点刀顺时针旋转60°后与&ECD重合，

:・/ECD=/ABD=9。。,

又・・・/BCD=ZACB=60°,

・・・ZACF=/FCB=ZFBC=30°,

:.FC=FB=2AF,

AFAO

••茄一万一

又/OAF=/DAB,

・••△AOFSAADB,

："AFO=/ABD=9。。,

:.OFLAB.

总结与点拨

本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用,

熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键.

精啕融K题

1.（2022・山东济宁•校考二模）如图1,正方形48CD对角线NC、BD交于点、O,E、尸分别为正方形

ABCD边AB、4D上的点，EFJ.AC交于点M,且=N为BF中点、.

ME

FM

图1图2备用图

(1)请直接写出ON与。M的数量关系

(2)若将△/£尸绕点A旋转到图2所示位置时，(1)中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说

明理由；

(3)若48=8,E为4B中点、,△/环绕点A旋转过程中，直接写出点〃■与点C的最大距离.

【答案】⑴。初=收。可

(2)成立，证明见解析

(3)472

【思路分析】⑴如图1,连接ACV,由正方形的性质可知，。是3。的中点，AB=AD,NBAD=90。,

由=可知M为E尸的中点，△，昉是等腰直角三角形，则尸，由N为3尸中点，可知ACV■和

ON分别为△AEF和V3Z)厂的中位线，根据中位线的性质可得/MNO=90。，MN=ON,在放AMON中，

由勾股定理可求得OM=42ON;

(2)如图2,连接连接BE、DF交于点、H,

证明△可尸之△A4E(SAS),贝!],DF=BEZADF=ZABE,在△BDH中,由三角形内角和求得

ZBHD=90°,则8E_LDF,MV和CW分别为△8£万和VaD尸的中位线，根据中位线的性质可得

NMNO=90°,MN=ON,在R〃MCW中，由勾股定理可求得(W=0ON;

(3)由题意知，AE=^AB=4,/〃=/Esin45。=2收，可知初在以A为圆心，2a为半径的圆上运动

,如图3,由题意知，当C、A、”三点共线时，CN取最大与最小值，根据二者的差为。N的直径计算

求解即可.

【详解】(1)解：OM=41ON.

如图1,连接MN,

图1

由正方形的性质得，。是8。的中点，AB=AD,ABAD=90°,

•:ME=MF,

.••初为E尸的中点，且跖1/C,

/\AEF是等腰直角三角形,

AE=AF,BE=DF,

•：N为BF中点、,

MN和ON分别为4BEF和7BDF的中位线，

.-.MN//AB,ON//AD,MN=-BE,CN-CF,

22

:.NMNO=90°,MN=ON,

在Rt^MON中，由勾股定理得(W=y/MN2+ON2=42ON，

OM=>f2ON-

(2)解：成立.

证明如下：如图2,连接MN,连接BE、DF交于点H,

由（1）知4E=4F,ZEAF=90°,

由正方形的性质得N3=4D,ZBAD=9Q°,ZABD=ZADB=45°,

vZDAF=ZDAE+NEAF,NBAE=ABAD+NDAE,

•••ZDAF=NBAE,

在△£>/尸和中

AF=AE

■；<NDAF=NBAE,

AD=AB

/\DAF^Z\BAE(SAS),

.■■DF=BE,ZADF=AABE,

/BHD=180°-(ZABD-ZABE)-(ZADB+ZADF)=90°,

■.BEIDF,

•••川为E尸的中点，N为3尸中点，

•••MN和ON分别为ABEF和YBDF的中位线,

：.MN//BE,CN//CF.MN=-BE,CN=-CF,

22

:"MNO=90°,MN=ON,

在Rt4MoN中，由勾股定理得OM=y/MN2+ON2=41ON，

OM=y/2ON.

(3)解：由题意知，AE=；AB=4,/〃=/Esin45°=2亚,

・•・M在以A为圆心，2近为半径的圆上运动，如图3,

图3

由题意知，当C、A、”三点共线时，CN取最大与最小值，且最大与最小的差为。/的直径4行,

.•・点〃与点C的最大距离和最小距离的差为4行.

故答案为：4A/2

2.(2022•湖北省直辖县级单位•校考一模)如图1,在RtZ\4BC中，ZACB=90°,过点/作直线血W,使

ZCAB=ZCAM,过点B作BNLMN千点、N,过点C作CM于点

(1)猜想44cM与/8/N的数量关系，并说明理由；

(2)求证：AB=AN+2AM；

3

(3)如图2,连接NC交于点G,若CG=NG,CM=6,求4。的长.

【答案】"BAN=2/ACM,理由见解析

(2)证明见解析

...6^/30

⑶丁

【思路分析】(1)根据直角三角形两锐角互余得到/C/M=90。-//CM,再由平角的定义得到

2ZCAM+ZBAN=18O°,由此即可推出结论；

(2)如图所示，过点C作于。，证明会△◎£>,AD=AM,CM=CD,再证明

4C、B、N四点共圆，得到/48C=N/NC,进而证明△CWV四△CDB,得到=由此即可证

明结论；

(3)如图所示，过点N作于E,过点C作C7/18N于〃，则四边形CM出是矩形，得到

NH=CM=6,再由全等三角形的性质和三线合一定理得到，BN=2NH=12,证明△CDGs^NEG,推

出NE=8,利用勾股定理求出3E=4石，证明求出力5=迎叵,4"二竺如，进而求出

55

AM=庄,贝必。=北庐石"=毡。

55

【详解】(1)解：ZBAN=2ZACM,理由如下；

-CMLMN,即//=90。，

.-.ZACM+ZCAM=90°,

.-.ZCAM=90°-ZACM

•・•/CAB=ZCAM,/CAB+ZCAM+ZBAN=180。，

.•・2ZCAM+ZBAN=180°,

・•.180°-2ZACM+ZBAN=180。，

・•.ZBAN=2ZACM；

(2)证明：如图所示，过点。作8,4B于Z),

・・・NM=NCDA=90。,

又/CAD=/CAM,CA=CA,

ACAM^△CAD(AAS),

/.AD=AM,CM=CD,

-BNIMN,

:・NBNA=NACB=90。,

・・・4C,B、N四点共圆，

・・・/ABC=/ANC,

又•:/CMN=Z.CDB=90°,CM=CD,

・•.△CW之△CQB(AAS),

：.BD=MN,

：.AB=AD+BD=AM+MN=AM+AM+AN=2AM+AN；

(3)解：如图所示，过点、N作NELAB于E,过点。作SJ_3N于X,则四边形是矩形,

:.NH=CM=6,

•・♦ACMN乌ACDB,

:,CN=CB,

：.BN=2NH=\2,

vCDLAB,NELAB,

/.CD//NE,

：・ACDGs&NEG,

,NE_NG

,~CD~~CG，

3

•・•CG=—NG,

4

.NE_4

••一j

CD3

又・：CD=CM=6,

.'.NE=8,

•••BE=^BN2-NE2=475，

vZNEB=ZANB,/NBE=/ABN,

・•・AABNsANBE,

ABANBNABAN12

•==RnJ==-

"NBNEBE'1284遥

36石24也

55

AB-AN6#>

25

AC=NAM、CM?=.

N

3.（2021•北京•一模）在正方形N8CD中，点£在射线上（不与点8、C重合）,连接08,DE,将

DE绕点E逆时针旋转90°得到EF,连接BF.

⑴如图1,点E在2C边上.

①依题意补全图1;

②若48=6,EC-2,求B/7的长；

(2)如图2,点E在8C边的延长线上，用等式表示线段AD,BE,B尸之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴①见解析；②BF=2®

⑵BF+BD=,证明见解析

【思路分析】(1)①根据题意作图即可；

②过点尸作交CB的延长线于〃，证明△DEC/得到EC=FH=2,CD=BC=EH=6

,则〃S=EC=2,在中，利用勾股定理即可求解；

(2)过点尸作万H_LC5,交C5的延长线于“，证明ADEC2AEPH得到EC=FH,CD=BC=EH,则

HB=EC=HF,△OCS和都是等腰直角三角形，由此利用勾股定理求解即可.

【详解】(1)①如图所示，即为所求；

②如图所示，过点尸作尸HLC8,交CB的延长线于兄

•・•四边形/BCD是正方形，

・・.CD=AB=6,ZC=90°,

•；/DEF=NC=90。,

/.ZDEC+ZFEH=90°,/DEC+/EDC=90。,

：,NFEH=NEDC,

在△DEC和AEFH中,

ZH=ZC=90°

</FEH=/EDC,

EF=DE

:.△DEgXEFH,

EC=FH=2,CD=BC=EH=6,

；,HB=EC=2,

・•・在Rt△尸皿中，BF=^FH2+BH2=V22+22=2V2-

(2)结论：BF+BD=6BE,理由如下：

过点尸作方交的延长线于4，

•・•四边形43C。是正方形，

；,CD=AB,/DCE=90。，

•・•/DEF=ZDCE=90°,

:"DEC+NFEH=90°,ZDEC+ZEDC=90°,

ZFEH=ZEDC,

在AOEC和△EFH中，

ZFHE=ZDCE=90°

<NFEH=乙EDC,

EF=DE

:•△DEgXEFH,

：.EC=FH,CD=BC=EH,

HB=EC=HF,

.­.LDCB和ABHF都是等腰直角三角形，

BD=yjBC2+CD2=4i.BC=41EH，BF=NBH°+HF”=42BH，

-：EH+BH=BE,

■-BF+BD=y/2BE.

4.(2021・安徽•统考三模)已知：在A£/G中，NEFG=90。，EF=FG,且点E,尸分别在矩形/BCD的

边48,4D上.

(1)如图1,当点G在CD上时，求证：AAEF咨ADFG；

(2)如图2,若尸是2。的中点，尸G与CD相交于点N,连接EN,求证：EN=AE+DN；

(3)如图3,若AE=AD,EG,FG分别交CD于点〃，N,求证：MG2=MN-MD

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

(3)详见解析

【思路分析】（1）先用同角的余角相等，判断出乙4M=厂G,即可得出结论；

⑵先判断出名得出48=ON,FH=FN,进而判断出£〃=£N,即可得出结论；

（3）先判断出/尸=PG,PF=AE,进而判断出尸G=BD,得出/MDG=45。，进而得出/FG£=/GDI/

,判断出△MGNs^MDG,即可得出结论.

【详解】（1）证明：二•四边形/BCD是矩形，

.\ZA=ZD=90°f

ZAEF+ZAFE=90°f

•・•ZEFG=90°,

:.AAFE+ZDFG=9Q°f

/.ZAEF=ZDFG,

•・•EF=FG,

在△4EF和△£>四G中，

AFAE=ZGDF

<ZAEF=ZDFG

EF=FG

•.△4£尸也△。尸G（AAS）；

（2）证明：如图2,延长NF,E4相交于”,

图2

ZAFH=ZDFN,

由⑴知，ZEAF=ZD=90°,

ZHAF=ZD=90°,

,・,点厂是/。的中点,

AF=DF,

在A4HF和4DNF中,

ZHFA=ZNFD

<AF=DF

ZHAF=ZNDF

:AAHF知DNF(ASA),

:.AH=DN,FH=FN,

QDEFN=90°,

:.EH=EN,

•・•EH=AE+AH=AE+DN,

：.EN=AE+DN；

(3)证明：如图3,过点G作交/。的延长线于尸,

N尸=90°,

同⑴的方法得，△/防丝△。尸G(AAS),

:.AF=PG,PF=AE,

•・•AE=AD,

/.PF=AD,

AF=PD,

PG=PD,

•・•ZP=90°,

ZPDG=45°,

ZMDG=45°,

在Rt/\EFG中，EF=FG,

NFGE=45°,

ZFGE=ZGDM,

ZGMN=ZDMG,

“MGNSAMDG,

,MGMN

"DM-MG，

:.MG2=MN-MD.

5.（2022•江苏扬州•校考三模）在矩形ABC。中，AB=6,BC=S,

G

B

【问题发现】

(1)如图1,E为边DC上的一个点，连接BE,过点C作BE的垂线交/。于点尸，试猜想BE与CF的数量关系

并说明理由.

【类比探究】

(2)如图2,G为边48上的一个点，£为边延长线上的一个点，连接GE交于点〃，过点C作GE的垂

线交/。于点尸，试猜想GE与CF的数量关系并说明理由.

【拓展延伸】

(3)如图3,点£从点3出发沿射线8c运动，连接/E,过点3作/E的垂线交射线CD于点尸，过点£作的

平行线，过点尸作3c的平行线，两平行线交于点连接。在点E的运动的路程中，线段的长度

是否存在最小值？若存在，求出线段。〃长度的最小值；若不存在，请说明理由.

4

【答案】⑴BE二CF,理由见解析

4

(2)GE=-CF,理由见解析

⑶存在，长度的最小值为3.6

【思路分析】(1)证明ABCESACC甲，即可得解；

(2)过点G作。。的垂线交CD于点证明AGMESAQ)尸，即可得解；

(3)过点”作印于点K,连接HC,/C,则四边形产CKH是矩形，证明4Ms△瓦(，得出

器=密=黑=3,根据NHKC=NABC=90。,可得AABCSACKH,得出“在HC上运动，当

HKBCFC4

3

时，DH最小,进而求得sin/DC"=',根据xsin，即可求解.

4

【详解】(1)解：BE=-CF,理由如下：

•・•四边形/3CQ为矩形，

/BCD=ZCDA=90°,CD=AB=S,

ZBCF+ZDCF=90°,

-BELCF,

ZBCF+ZEBC=90°,

・•./DCF=/EBC,

/.ABCES£DF,

BE_BC_8_4

''CF~~CD~~6~3,

4

：.BE=-CF；

3

4

(2)解：GE=-CFf理由如下：

过点G作。。的垂线交CO于点Af,如图所示：

则四边形5CGW为矩形,

.・.GM=BC=8,

•・•GMLCD,

:.ZEGM+ZE=90°,

-CFLGE,

ZE+ZECF=90°,

.・.ZEGM=ZECF,

-ZGME=ZCDF=90°f

,,SGMES£DF,

GE_GM_8_4

,'CF~~CD~6~3f

4

；.GE=-CF-

3

(3)存在，理由如下，

如图，过点H作HKLBC于点K,连接〃C,4C,则四边形尸CK8是矩形,

图3

-BE//FH,FH//BE

・•・四边形BEHF是平行四边形,

：.FH=BE=CK,

•・,/ABE=/FCB=9。。，BF1AE,

ZFBC+ZAEB=ZFBC+ZBFC=90°,

・•・AAEBs^BFC,

BEAB_3

FC-5C-4

,:FH=BE=CK,

CK_FHBE_3

X^HKC=ZABC=90°,

AABCSKKH,

ZHCK=ZCAB,

•••〃在上运动，

当。〃_L”C时，最小,

•••ZHCK=ZCAB,

ZCHK=NACB,

■：FC//HK,

NCHK=NFCH,

•；AB=6、BC=8,

.-.AC=10,

・3

/.sinZ.ACB=sinZ.CHK=sin/DCH=—,

318

工当DHLHC时,DH=DCxsinZDCH=6x-=—=3.6,

即。H长度的最小值为3.6.

6.（2022・山东济南•模拟）如图1,己知A8为。。的直径，点C为蕊的中点，点。在前上，连接8。、

CD、BC、

⑴求证：AC+ZCBD=ZCBA；

（2）如图2,过点。作。。的垂线，分别与4D,AB,。。相交于点RG、H,求证：AF=BD；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接BF,若BF=BC,ACEF的面积等于3,求尸G的长.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶厂G崂

【思路分析】（1）连接NC,由7^=前，推出NC2/=NC48=NC4O+NO48,由丽=丽,

BD=BD，推出ZDC8=ZCU3,NCBD=NCAD,推出ZDCB+NC5。=NCAD+ZD/8=NCAB=NC5/

(2)只要证明A/CF之ABCD,即可推出/尸=AD；

(3)由A/CK丝ACEW,推出/K=CM,由空△BCD,推出CP=CD,△4FK是等腰直角三角

形，推出4K=FK=RW=CN,在RS4KC中，tanZCAK=——=3,作EN1CH于N,在RMNCE中，

AK