直线与方程讲义-2025届高三数学一轮复习

第10章解析几何

模块1直线与方程

§第1节直线的方程

一、内容提要

1.直线的倾斜角与斜率

①倾斜角：直线朝上的方向与X轴正向形成的夹角，叫做直线的倾斜角；当直线与无轴平行或重

合时，规定直线的倾斜角为0。,所以直线倾斜角。的取值范围为0°<a<180°.

②直线的斜率k与倾斜角a的关系：k=tana,当a=90。时，称直线的斜率不存在.

③两点连线斜率公式：设人（久1，丫1）田（久2、2）,%17%2,则直线八8的斜率k=2左.

④斜率与方向向量的关系：当直线/的斜率为k时，/的一个方向向量为m=（l，k）;当直线/的

斜率不存在时，/的一个方向向量为m=（0,1）;若已知直线/的一个方向向量为m=（x，y）,则当

xWO时，其斜率k=Z当x=0时，其斜率不存在.

X

⑤计算两直线的夹角余弦：设直线。的一个方向向量为m,直线。的一个方向向量为n,0与b的

夹角为0，贝!Icos0=|cos〈m，n）|=兽累.

2.直线的方程:

名称条件方程形式表示范围

点斜式斜率k,点P（xo,y。）y-yd=k(x-xo)不含斜率不存在的直线

斜截式斜率k,y轴上的截距by=kx+b不含斜率不存在的直线

倒斜率m（mW或m=0）,x轴上的截距t

横截式x=my+t不含斜率为0的直线

业=1不与坐标轴垂直且不过原

截距式x轴、y轴上的截距a、bab

点的直线

y-yi_x-x!

两点式A(xj,y),B(X2,Y2)不与坐标轴垂直的直线

tY2-Y1x2-xt

一般式A,B不同时为0Ax+By+C=O所有直线

3.直线L：Aix+Biy+Ci=O和必A?x+Bzy+C?=0的平行与垂直：

①当卬出时，A1B2=A2B1,但需注意，当两直线重合时也满足此式，故应检验是否重合.特

别地，当两直线斜率存在时，若它们的斜率分别为k],k2,则两直线平行时有ki=k2.

②41GA'AZ+B/2=0,此式包括两直线斜率都存在且乘积为-1的一般情况，和一条直线斜

率为0,另一条直线斜率不存在的特殊情况.注：当两直线斜率都存在时，211%=嚷1<2=-

1.

4.若直线方程只含1个参数，则该直线很可能过定点.例如，直线/的方程为x-my+1-m

=0,则可变形为x+1-m（y+1）=0,无论m如何变化，点A（-1，-1）始终满足该方程，所以

直线/过定点A.

二、考点题型

类型I：直线的倾斜角与斜率

【例1】直线/经过点(0,2)和(3,-1),则直线/的倾斜角a为.

【变式1】已知直线/经过A(2V2x，-2),B(0，x2)两点，其中x20,则直线/的倾斜角a

的取值范围是()

A出用理,n)D

・A)

【变式2】设A(2,3),B(-3,6),直线/过点M(-l,-1)且与线段AB相交，则/的斜率k的取值

范围是()

A.(-8,—u用，+oo)B卜美C.(-8,—U+8)D

卜兄］

【反思】①若题目与/有关的条件改为/的方程为X-my+l-m=o,还会做吗？根据内容提要第4

点，直线/隐藏了过定点(-1,-1)这一条件，接下来的过程和本题相同；②当直线/从4绕定点

旋转到胡寸，若旋转过程中经过了竖直线，则斜率的变化范围取两者之外；若没有经过竖直线,

则取两者之间.

类型n：斜率的几何意义的运用

【例2】已知点A(-l-V3--1),B(3,0),若点M(x,y)在线段AB上，则詈(xA—1)的取

值范围是()

A.(-oo--l]u[V3<+oo)B.C.[-1-V3]D.

【反思】根据两点连线的斜率公式k=g所展现的形式，解析几何中涉及关于X,y的一次

X2-X1

分式结构，都可以尝试运用斜率的几何意义来分析问题.

【变式】已知实数X,y满足X2+y2=4(y>0),则若的取值范围是.

类型皿：用方向向量解决夹角问题

【例3】已知正三角形某内角的平分线所在直线的斜率为学，写出该内角的两边中，其中一边所

在直线的斜率.

【反思】涉及直线与直线的夹角问题，常考虑用直线的方向向量来处理.

类型IV：求直线的方程

【例4】直线/过点(1,1),倾斜角为。，且sina=等,则直线I的方程为.

［例5］已知AABC中，已知B(2,1),C(-2,3),则边BC的中垂线I的方程为.

【例6】直线/过点(1,2),且在两坐标轴上截距相等，则直线/的方程为.

类型V：直线的平行与垂直

u,

【例7］设直线k：(a+l)x+a2y—3=(J,%：2x+ay-2a-1=。，则“a=0”是l1//l2)的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【例8】设直线(a+2)x+(l-a)y-3=0,以(aT)x+(2a+3)y+2=0,则"a=1"是2_1占'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式】若直线x-my+1=0过定点A,Z2：mx+y-m+3=0过定点B,乙与&交于点P,则|

PA|2+|PB|2=

【反思】当两直线都含参时，应通过分析系数来判断两直线是否隐藏了垂直、平行这些特殊的位

置关系.

§第2节距离公式

一、内容提要

22

1.两点间的距离公式：设A（xi，yi）,B（X2，y2）；贝！I|AB|=J（xt-x2）+（yx-y2）.

2.点到直线的距离公式：设点P（x。，y°）,直线lAx+By+C=0,则点P到直线I的距离d=

|Axp+Byo+C|

VA2+B2

3.平行线间的距离公式：设/i：Ax+By+g=0,Z2:Ax+By+C2=0,CiC2,贝l|。和〃平

行，且它们之间的距离d=粤4

VA2+B2

4.弦长公式：设A（X1，y）B（X2，y2）,若A,B在直线y三kx+b上，贝!J|AB|=V1+k2­|Xi-

2

x2|;若A,B在直线xx=my+t上，贝||AB|=V1+m-\yr-y2|.

二、考点题型

类型I：两点间的距离

【例1】设P为函数y=x+：的图象上一点，0为坐标原点，则|0P|的最小值是（）

A.2B.V5C.2V2+2D.J2m+2

【例2】若x,y满足3x+4y-13=0,则（x-+y?的最小值为（）

A.3B.4C.2D.6

【反思】解析几何中看到“平方+平方”的结构，常往两点间的距离这个方向思考.

类型II：点到直线的距离

【例3】已知A（-2,0）,B（4,a）两点到直线/:3x-4y+l=0的距离相等，则a=（）

A.2C.2或-8

【变式】已知直线/：y=k（x-2）+2,当k变化时，点P（-1,2）到直线/的距离的取值范围是（）

A.[0,+°°)B.[0,2]C.[0,3]D.[0,3)

类型m：平行线间的距离

［例4］直线2x+y+l=0与直线4x+2y+a=0之间的距离为V5,则a=

§第3节直线相关的对称问题

一、内容提要

1.点关于直线对称：如图1,欲求点A关于直线/的对称点A',可设A'(a,b),用AA，1%和

AA'的中点在直线I上来建立方程组求解a和b.

特殊情况：当/的斜率是土1时，可直接由/的方程分别将x,y反解出来，再将点A的坐标分

别代入即可求得A'的坐标.

2.圆关于直线对称：如图2,圆C和圆C'关于直线/对称，则C和U关于直线/对称，且两圆

半径相等.

3.直线与直线对称：如图3,求直线a关于直线/的对称直线d',可抓住两点：

①所求直线a'经过直线a和直线I的交点P；

②在直线/上另取一点Q,根据点Q到直线a和a'的距离相等建立方程求解a'的斜率.特别地，

如图4和图5,若/是水平线或竖直线，则a和a'的倾斜角互补，斜率相反.

二、考点题型

类型I：点与线的对称

【例1】点人(1,2)关于直线/:乂+丫-2=0的对称点是()

A.(1,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(2,1)

【反思】①求点A关于直线/的对称点A',关键是抓住AA'的中点在/上和LAA'来建立方程组,

这是解决这类问题的通法；②解法2的做法，只适用于对称轴的斜率为±1的情形.

【变式】已知直线/:x+3y-2=0,则直线/关于点A(l,1)对称的直线t的方程为

类型II:圆关于直线的对称

【例2】与圆C:(x-I)2+y2=1关于直线Z：x-y+l=O对称的圆的方程为.

【反思】求圆C关于直线/的对称圆C',关键是求点C关于直线/的对称点C',两圆半径相等.

【变式】若方程X?+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于直线y=x对称，则

必有()

A.D=EB.D=FC.E=FD.D=E=F

类型ni：直线与直线对称

【例3】直线/1；x+y-1=0关于直线Z:3x-y-3=0对称的直线/2的方程为.

【变式1】直线/：3x-4y+5=0关于y轴对称的直线t的方程为.

【变式2】设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为/,已知直线/与圆C:(x+3)

2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围为.

【总结】从例3及其后的两个变式可以看出，当对称轴不与坐标轴垂直时，可在对称轴上另取一

点，由该点到