浙教版八年级数学专项复习：等腰三角形的性质和判定（解析版）

第09讲等腰三角形的性质和判定

看知识点梳理

一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角

叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在AABC中，AB=AC,则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,NA是顶角，/B、

NC是底角.

要点：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或

直角），但顶角可为钝角（或直角）.

]QQO_NA

ZA=180°-2ZB,NB=/C=---------.

2

二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角“）.

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据.

性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等.

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对

称轴.

三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.

要点：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的

相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

四•尺规作图：已知底边和底边上的高

已知线段a,h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高线为h.

作法：1.作线段BC=a.

2.作线段BC的垂直平分线1,交BC与点D.

3.在直线1上截取DA=h,连接AB,AC.AABC就是所求作的等腰三角形.

D.60°

【答案】A

【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【解析】解：，：AB=AC,ZB=70°,

:./C=NB=70°,

，ZA=180o-70°-70o=40°,

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

2.如图，在AABC中，AB=AD=DC,ZC=35°,则的度数为（

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】首先利用等腰三角形的性质求得/D4C的度数，然后求得的度数，最后利用等腰三角形的

性质求得的度数.

【解析】M：'：AD=DC,

：.NDAC=NC,

'：ZC=35°,

：.ND4c=35°,

ZBDA=ZC+ZDAC=70°,

9：AB=AD.

：.ZBDA=ZB=70°.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等.

Z3.已知：ABC是等腰三角形，=AC,AO是底边8C上的高，下面结论不一定成立的是（）

A.BD=CDB.BD=ADC.ADnZBACD.ZB=ZC

【答案】B

【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案.

【解析】解：由等腰三角形三线合一的性质可得：BD=CD,AD平分，BAC,由等边对等角的性质可得

ZB=ZC,由等腰三角形的性质不一定有加=A。，除非一ABC是等腰直角三角形.

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键.

、1例4.如图，在一ABC中，AB^AC,AD1BC,则下列结论中错误的是（）.

A.ZBAC=ZCB.BD=CDC.ZBAD=ZCADD.ZB=ZC

【答案】A

【分析】根据等腰三角形的性质判断即可.

【解析】解：：45=AC,AD1BC,

由等腰三角形三线合一可得：BD=CD,ABAD=ACAD,

由等边对等角可得：ZB=ZC,

而NBAC和NC不一定相等,

故A错误，符合题意，B、C、D正确，不符合题意,

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键.

例5-下列能断定AABC为等腰三角形的是（）

A.NA=30°,NB=60°B.ZA+ZB=ZC

C.ZA=55°,ZB=70°D.ZA：ZB=1：2

【答案】C

【分析】根据三角形的内角和进行判断即可.

【解析】解：A、ZC=180o-30°-60o=90°,没有相等的角，则不是等腰三角形，选项错误;

B、VZC=180°-ZA-ZB,ZA+ZB=ZC,

.*.ZC=90°,

.••△ABC为直角三角形，选项错误；

C、：NA=55。，ZB=70°,

；./C=55。，

；./A=NC

••.△ABC为等腰三角形，选项正确；

D、VZA：NB=1：2,

ZA,/B的度数不能确定，选项错误；

故选：C.

一【、点睛一】本题考查等腰三角形的判定定理及三角形内角和定理，理解掌握定理是关键.

U6.如图，在△ABC中，ZA=36°,AB=AC,30平分NA5C,则图中等腰三角形的个数是（）

A

A

AV

........AC

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】利用等腰三角形的定义得到△ABC为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算

出/A8C=/C=72。，接着根据角平分线的定义得到/A8O=NC8O=36。，然后判断△48。和4BDC为等

腰三角形.

【解析】解：：42=AC,

.•.△ABC为等腰三角形，

AZABC=ZC=^(180°-ZA)(180°-36°)=72°,

：8。平分/ABC,

ZABZ)=ZCBZ)=yx72°=36°,

ZABD=ZA,

/.△ABD为等腰三角形，

/BDC=ZA+ZABD=72°,

:./BDC=/C,

.♦.△BOC为等腰三角形.

故选：D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.也

考查了等腰三角形的性质.

、

U7.如图，—ABC中，AB=AC,AD，BC于点。，DE工AB于点E,BFJ.AC于点、F,BF=8,

则DE的长为()

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质可得从而得至US^c=25”》,从而得到尸=2xgAB.£»E,

即可求解.

【解析】解：：AS=AC,AD，BC,

CD=BD,

S/\ABC=2sMBD，

VDE.LAB,BF1AC,

SA/iiBiC——2AC,B7F,ASHUxop2=—AB,DE,

：.-ACBF=2x-ABDE,

22

*.•BF=8,

：.DE=4.

故选：C

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

.如图，在一ABC中，AB=AC,点。是边BC的中点，若—C=70。，则/RW的度数为

【答案】20。

【分析】先由等腰三角形的性质得到ZC=ZB=70°,再结合题意和三角形的内角和定理得到NBAD=20°.

【解析】/C=70。，

NC=/B=70。,

:。是边BC的中点，

ADVBC,

-4)3=90°,

NBAD=90°-70°=20°,

故答案为20°.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答

本题的关键.

?如图，AABC中，AB=BC,。是BC边上一点，点A在线段CO的垂直平分线上，连接AO,

若NB=50。,则4L4D=___________度.

【答案】15

【分析】根据=只要求出一ADC即可解决问题.

【解析】解：BA=BC,ZB=50°,

ZC=ZBAC=1(180°-50°)=65°,

・点A在线段CD的垂直平分线上，

：.AD=AC,

ZADC=ZC=65°,

ZADC=ZB+ZBAD,

65°=50°+ZBAD,

:.ZBAD=15°,

故答案为15.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

<-

,例1°.如图，△ABC中，AB=AC,AD=AE,BD=3cm,DE=4cm,贝UCD=cm.

A

BDEC

【答案】7

【分析】先证明△ABD四△ACE,从而证得3D=CE=3CM,进一步计算即可求解.

【解析】解：

：.ZB=ZC.

同理

：.180°-ZAZ)E=180°-ZAE£),即ZADB=ZAEC,

在△A3。和△ACE中，

NADB=ZAEC

・.,\ZB=ZC

AB=AC

：.△A3。名△ACE(A4S),

:・BD=CE=3cm,

：.CD=DE+CE=4+3=7(cm),

故答案为：7.

【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，关键是由已知证明△ABOgAACE.

、1例U.已知：如图，在，ABC中，ZB=ZC.求证：ABC是等腰三角形.

BDC

【答案】见解析

【分析】如图，作NBAC的角平分线A£),证明△加噂△ACD(AAS),得到AB=AC,即可得证.

【解析】证明：如图，作NBAC的角平分线AD,交8C于点。，贝U：Z1=Z2,

Z1=Z2

*/\ZB=ZC

AD=AD

：.△ABD丝△ACD(AAS),

AB=AC,

...ABC是等腰三角形.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定.通过添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.

.如图，在一ABC中，3D平分/ABC,CD平分NACB,过点。作EF〃台C,与A3,AC分

别相交于点E,F,若AB=9,AC=7,求△AEF的周长.

【答案】16

【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得和△CTO都是等腰三角形，从而可得

EB=ED,FD=FC,进而可得C△.=AB+AC,进行计算即可解答.

【解析】解：：80平分ZABC,

：.ZABD=ZCBD,

'：EF//BC,

：.ZEDB=ZCBD,

：.ZABD=ZEDB,

：.EB=ED,

同理可得，FD=FC,

：.AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC,

VAB=9,AC=7,

AB+AC=16,

：.△AEF的周长为16.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的

关键.

.如图，E为ABC的外角/C4D平分线上的一点，AE//BC,BF=AE.

BC

(1)求证：ABC是等腰三角形；

(2)若AF=4,求CE的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)4

【分析】(1)先根据平行线的性质可得ND场=NB,ZEAC=ZACB,再根据角平分线的定义可得

ZDAE=ZEAC,从而可得N3=NACB,然后根据等腰三角形的判定即可得证；

(2)先根据三角形全等的判定证出,b三C4E,再根据全等三角形的性质即可得.

【解析】(1)证明：：A£7/2C,

;.ZDAE=ZB,ZEAC=ZACB,

E为MC的外角NC4D平分线上的一点，

:.ZDAE=ZEAC,

:.ZB=ZACB,

AB=AC,

.•.一ABC是等腰三角形.

(2)解：由(1)已得：ZDAE=ZB,ZDAE=ZEAC,

.•.ZB=NEAC,

AB=CA

在AABb和VC4E中，\ZB=ZEAC,

BF=AE

CAE(SAS),

:,AF=CE,

AF=4,

:.CE=4.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定

是解题关键.

金蹑踪飘雄

一、单选题

1.如图，一ABC中，AB=AC,ZB=80°,则—A的度数是()

B

A.80°B.70°C.20°D.50°

【答案】C

【分析】根据等边对等角可得NB=NC,结合条件根据三角形内角和定理即可求解.

【解析】解：・.・AB=AC,

:.ZB=/C,

・「ZB=80。，

・•・ZC=80°，

VZA+ZB+ZC=180°,

：.ZA=20°.

故选：C.

【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质.解题的关键是掌握三角形的三个内角之和是180。.

2.如图，在△ABC中，AB=AD=DCfZC=35°,则的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】首先利用等腰三角形的性质求得ND4c的度数，然后求得N5D4的度数，最后利用等腰三角形的

性质求得N5的度数.

【解析】解：・・,AZXDC,

：.ZDAC=ZC,

VZC=35°,

：.ZDAC=35°,

：.ZBDA=ZC^-ZDAC=70°,

\'AB=AD,

：./BDA=NB=70°.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等.

3.下列说法错误的是（）

A.等腰三角形两腰上的高相等B.等腰三角形两腰上的中线相等

C.等腰三角形两底角的平分线相等D.等腰三角形高、中线和角平分线重合

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质依次判断.

【解析】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，故正确；

B、等腰三角形两腰上的中线相等，故正确；

C、等腰三角形两底角的平分线相等，故正确；

D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合，故错误；

故选：D.

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键.

4.如图，在ABC中，ZBAC=90,AB=AC,点。在8C上，且BD=54,则NC4D的度数为（）

A.30°B.25°C.22.5°D.21°

【答案】C

【分析】利用ABC是等腰直角三角形先求出再利用△3D4是等腰三角形求出最后利用直

角求出/C4D即可.

【解析】解：ZBAC=90°,AB=AC

...ZB=ZC=45°

BD=BA

:.ZBDA=ZBAD

ZBAD=|x（180°-45°）=67.5°

ACAD=90°-67.5°=22.5°

故选C.

【点睛】本题主要考查三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和以及等腰三角形的性

质是解决本题的关键.

5.如图，在NEC尸的边CE上有两点A、B,边CP上有一点，其中且NECT=27。，贝尸

的度数为（）

A.54°B.91°C.81°D.101°

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出NADE的度数.

【解析】解：,.,2C=2D=D4，

：.ZC=ZBDC,ZABD=ZBAD,

'：ZABD=ZC+ZBDC,ZECF=27°,

ZADF=ZC+ZBAD=3ZECF=81°.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用.

6.等腰三角形的“三线合一”指的是（）

A.中线，高线，角平分线互相重合B.顶角的平分线，中线，高线三线互相重合

C.腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合D.顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三

线互相重合

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质直接选取答案即可求解.

【解析】解：三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线相互重合.

故选：D

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握“三线合一”是解题的关键.

7.如图，在一ABC中，AB=AC,。是BC边上的中点，ZB=54°,则ND4C等于（）

A

A.36°B.45°C.54°D.72°

【答案】A

【分析】根据AB=AC,。是BC边上的中点，推出AD13C,即可求出一D4C.

【解析】：在中，已知AB=AC,。是8C边上的中点，

AD1BC,

：.ZADC=90°,

,?ZB=ZC=54°,

ZDAC=36°,

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形底边的“三线和一”是解题的关键.

8.如图，在，ABC中，NB=NC,平分ZBAC,AB=5,BC*,则()

【答案】A

【分析】利用等腰三角形三线合一解题即可.

【解析】解：：4=/C,

AB=AC,

.•一ABC是等腰三角形，

：AD平分/BAC,

AD是ABC的中线，

BD=-BC=3；

2

故选A.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质.熟记等角对等边判定三角形是等腰三角形，以及等腰三角形

三线合一的性质，是解题的关键.

9.如图，在一?中，BD平分/A3c,NC=2NCDB,AB=12,CD=3,则，IBC的周长为（）

C

A.2B.24C.27D.3

【答案】C

【分析】根据题意在A5上截取=连接。石，由SAS可证△CBO也△£BD,可得NCDB=/BDE,

NC=NDEB,可证/4/）石=/4£0,可得=进而即可求解.

【解析】解：如图，在A3上截取=连接DE,

平分/ABC,

JZABD=ZCBD,

在△CBZ)和△£BD中，

CB=BE

</CBD=/DBE,

BD=BD

：.dCBD之AEBD(SAS),

:・/CDB=/BDE,NC=ZDEB,

:./CDE=2/CDB,

・・・ZC=2ZCDB,

：.NCDE=NDEB=NC,

JZADE=ZAED,

AD—AE,

ABC的周长=AD+AE+3E+BC+CD=AB+AB+CD=27,

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三

角形是解题的关键.

10.如图，已知Nl=/2,ZB=ZC,不正确的等式是（）

B.ZBAE=ZCADC.BE=DCD.BD=DE

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解析】解：♦•.NB=NC,

AB^AC,故A选项正确，不符合题意；

在一ABE和ACD中，

ZB=ZC

-Zl=Z2,

AB=AC

.•一ABE名AACD(AAS),

:.BE=CD,ZBAE=Z.CAD,

BE=CD,

：.BE-DE=CD-DE,

：.BD=CE,

故B选项、C选项正确，D选项错误，

故选：D.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键.

11.如图，△ABC四△OEF,点E在AC上，B,F,C,。四点在同一条直线上.若4=4。。，/。互＞=35。,

则下列结论正确的是（）

A.EF=EC,AB=FCB.EF#EC,AE=FC

C.EF=EC,AE^FCD.EFEC,AEFC

【答案】C

【分析】根据全等三角形的性质得到NACB=/OEE,NO=NA=40。，AC=DF,则EF=EC,由于

ZD^ZCED,则CE/CD,则AEHCF,由此即可得到答案.

【解析】解：：AASC^Z\DEF,

ZACB=ZDFE,NO=NA=40°,AC=DF,

：.EF=EC,

'：ZD=40°*NCED=35°,

CE手CD,

：.AE丰CF,

四个选项中只有C选项符合题意，

故选C.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键.

12.如图，在11ABe中，AB=AC,AD是BC边的中线，DE上AB于点、E,1AC于点E下列结论:

①DE=DF;®BE=CF；③NBDE=NCDF；®ZBDE^ZDAF.其中正确的是（）

【答案】D

【分析】根据三线合一得到ZBAD=ZCAD,NB=NC,根据角平分线的性质得到DE=DF,

可判断①；证明BDE^CDF,可得3E=CF,NBDE=NCDF,可判断②③；再根据余角的性质，结合

ABAD=ACAD,可判断④.

【解析】解：：AB=AC,AD是BC边的中线，

AAD1BC,ABAD=ACAD,NB=NC,

VDEJ.AB,DF1AC,

:.DE=DF,故①正确，

在1和，CD尸中，

2B=NC

，ABED=NCFD,

BD=CD

：.ABDE^ACDF(AAS),

BE=CF,ZBDE=ZCDF,故②，③正确；

,?ZBDE+ZADE=90°,ZADE+ZDAE=90°,

：.NBDE=ZDAE,又NZME=NCW,

ZBDE=ACAD,故④正确；

.•.正确的有①②③④，

故选D.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记各性质是解题

的关键.

13.如图，等腰，ABC中AB=AC,AD1BC,即垂直平分AB,交A3于点E,交BC于点、F,点G是线

段上的一动点，若4ABe的面积是6cmLBC=6cm,则△ADG的周长最小值是()

【答案】B

【分析】连接G3.利用三角形的面积公式求出AZ),由所垂直平分A3,推出GB=G4,推出

AG+GD^BG+GD,由BG+GDABD,推出G3+GD23,GB+G。的最小值为3,由此即可解决问题.

【解析】解：如图，连接G8.

BD=DC=3,

,/SADBC=2-BCAD=6,

/.AD=2,

E尸垂直平分AB,

GB=GA,

：.AG+GD=BG+GD,

'：BG+GD>BD,

：.GB+GD>3,

.GB+G。的最小值为3,

一ADG的最小值为2+3=5,

故选：B.

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，两点间线段最短，

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

14.如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且/4。8=/。（2£=90。，点人、D、E在同一条线上,

CM平分/DCE,连接BE,下列结论：①AD=CE；②CM〃:BE；®AE=BE+2CM；®SCOE=SBOE,

其中正确的有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】由“SAS”可证ADC=.BEC,可得AD=BE,/ADC=/BEC,可判断①；由等腰之间三角形的性

质可得NCDK=NCEE）=45。，CMLAE,结合全等三角形的性质可求得//回=/90。=/。磔，可判断②;

结合线段的和差关系可判断③；根据三角形的面积公式可判断④；即可求解.

【解析】解：："CB和4DCE均为等腰直角三角形，

CA=CB,CD=CE,AACB=NDCE=90°,

ZACD=ZBCE,

在.ACD和BCE■中,

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

.・.ADC=..BEC(SAS),

：.AD=BE,ZADC=ZBEC,故①错误；

•・・△DC石为等腰直角三角形，CM平分NDCE,

：.ZCDE=ZCED=45°,CMLAE,

•・•AACB和ADCE均为等腰直角三角形,且ZACB=ZDCE=90°,

・•・ZCDE=ZCED=45°,

：.ZADC=ZBEC=135°,

JZAEB=Z900=ZCME,

:・CM〃BE,故②正确；

•「△OCE为等腰直角三角形，CM平济NDCE,

：.CD=CE,CMIDE,

JDM=ME,

•・•ZDCE=90。,

JDM=ME=CM,

：.AE=AD+DE=BE+2CM,故③正确；

,**SCOE=5OE,CM,SBOE=—OE•BE,

・・・CM和郎不一定相等，

•*,SCOE不一定等于BSOE，故④错误；

故选：B

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明ADCm3EC是解本题的

关键.

二、填空题

15.如图所示，在ABC中，NA=30。，NACB=80。，OE垂直平分AC交A8于£,垂足为。，则N8CE=

C

D.

-----------E------------B

【答案】50。/50度

【分析】首先根据垂直平分线的性质得到//=良，然后根据等边对等角得到NA=/4CE=30。，最后根

据角的和差计算求解即可.

【解析】：OE垂直平分AC交A3于E,ZA=30°

AE=CE

：.NA=NACE=30°

ZACB=80°

：.ZBCE=ZACB-ZACE=80°-30°=50°.

故答案为：50°.

【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等边对等角性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

16.如图，在AABC中，高A。、BE交于H点、,若BH=AC,求/ABC等于—度.

【答案】45

【分析】根据同角的余角相等求出再利用“角角边”证明AACD和△即m全等，根据全等

三角形对应边相等可得AD=8。，然后判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质解答即

可.

【解析】解：BE是△ABC的高，

ZCAD+ZC=ZHBD+ZC,

：.NCAD=/HBD,

在△AC£）和△皮划中，

ACAD=NHBD

<NADC=NBDH=90。,

BH=AC

：.AACD^ABHD(AAS),

：.AD=BD,

...AABD是等腰直角三角形，

ZABC=45°.

故答案为：45.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，

熟记性质并求出三角形全等是解题的关键.

17.如图，AABC中，AB=AC,/BAC=120。，AD是BC边上的中线，且BD=BE,则/ADE是

度.

【答案】15

【分析】根据等腰三角形的性质得到/B=NC=30。，/ADB=90。，根据三角形内角和定理计算.

【解析】VAB=AC,ZBAC=120°,

.•./B=NC=30。，

：AB=AC,AD是BC边上的中线，

.,.ZADB=90°,

VBD=BE,

；./BDE=75。，

；./ADE=15。，

故答案为15.

【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握，即可解题.

18.如图，在一ABC中，点。在边3C上，AB=AD^CD.若440=40。，则NC的大小为___度.

【答案】35

【分析】在中利用等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出NADB的度数，然后利用NADB是

△ADC的一个外角即可求出答案.

【解析】VAB=AD,441)=40。，

/.ZB=ZADB=1(180°-40°)=70°,

NADB是AADC的一个外角，

ZADB=ZDAC+ZC,

,/AD=CD

：.ZC=ZDAC,

：.ZC=-x70°=35°.

2

故答案为：35.

【点睛】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形内角和、外角的性质，熟练掌握这些性

质是解题的关键.

19.如图，直角三角形ABC中，ZABC=90°,AB=U,BC=5,。是边AC上一点，且BD=BC,过点。

作DE_L3£>,交边AB于点E,那么的周长是.

B

【分析】设NZMC=2a,根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得NC=NBDC=90。-进而根

据题意得出NA=NADE,则/忘=。石，进而即可求解.

【解析】解：设NDBC=2a,

,:BD=BC

：.ZC=ZBDC=g(180。—NDBC)=90。-a,

・•・ZA=90°-ZC=a

DEJ.DB

：.ZBDE=9Q0

：.ZADE=180o-90°-(90°-a)=a

JZA=ZADE

AE=DE

的周长是叨+DE+BE=5C+AE+E3=3C+旗=11+5=16,

故答案为：16.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是

解题的关键.

20.如图，在_ABC中，ZCAB^65°,将ABC绕点A逆时针旋转能与△AED重合，若CD〃AB,贝U

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得NAC£>=NC48,根据旋转的性质可得AC=AD,然后利用等腰三

角形两底角相等求NC4D.

【解析】I?：,：CD//AB,

：.ZACD=ZCAB=65°,

,/△ABC绕点A旋转得到4AED,

：.AC=AD,

：.ZCDA=ZACD=65°,

：.ZCAD=180°-2ZACD=180°-2x65°=50°,

故答案为：50°.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

21.如图，在工9。中，ED//BC,—ABC和—ACB的平分线分别交ED于点G、F,若BE=3,CD=4,

ED=5,则FG的长为_.

【答案】2

【分析】根据平行线的性质得到/EGB=ZGBC,ZDFC=NFCB，由角平分线的定义得到Z.GBC=ZGBE,

NFCB=NFCD,于是得到BE=EG,CD=DF,代入数据即可得到结论.

【解析】解：•.,EOaBC,

ZEGB=ZGBC,ZDFC=NFCB,

/ABC和/ACB的平分线分别交ED于点G、F,

ZGBC=ZGBE,NFCB=ZFCD,

:.ZEGB=NEBG,ZDCF=ZDFC,

：.BE=EG,CD=DF,

"：BE=3,CD=4,ED=5,

：.EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG,即3+4=5+FG,

FG=2,

故答案为2.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰

三角形的证明，属于基础题.

22.如图，在△ABC中，ZBAC=BCA=44°,M为△ABC内一点；且/MCA=30。，ZMAC=16°,则/8WC

的度数为一.

【答案】150°

【分析】过B作BDLAC^-D,延长CM交BD于O,连接AO,求出N2AO/AMO,计算/A8O=NAMO=46。,

证明△ABOgZkAMO,得至I]O8=OM,求出的度数即可得到/BMC

【解析】解：过2作3OLAC于D,延长CM交BD于。，连接A。，

：.ZOAC=ZMCA=30°,ZBAO=44°-30°=14°,ZOAM=ZOAC-ZMAC=30°-16°=14°,

ZBAO=ZMAO,

VZBAC=BCA=44°,

ZABC=92°,AB=BC,

VBZ)±AC,

ZABD=-ZABC=46°,

2

ZAMO=ZMAC+ZACM=46°,

：.ZABO=ZAMO,

又：AO=AO,

AABO^AAMO,

：.OB=OM,

：.ZOBM=ZOMB=1[180°-2(14°+46°)]=30°,

：.ZBMC=180°-ZOMB=150°,

故答案为：150。

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能综合运

用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大.

三、解答题

23.己知：如图，在11ABe中，点。在C4边的延长线上，AE平分入MB,AE//BC.求证：ABC为等

腰三角形.

【答案】见解析

【分析】首先依据平行线的性质证明N2=4,Z1=ZC,然后结合角平分线的定义可证明4=NC,故

此可证明ABC为等腰三角形.

【解析】证明：・・・AE〃3C,

・・・N2=ZB,Z1=ZC

•・•A石平分ND45,

・・・N1=N2

:.ZB=AC

即-ABC为等腰三角形.

【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的

关键.

24.如图，点£分别在B4,AC的延长线上，且AB=AC,AD=AE.求证：DELBC.

【答案】见解析

【分析】过点A作于点M,由等腰三角形的性质得出NBAC=2NB4M,ND=N£,由三角形外

角的性质得出NB4C=2NO,即可推出=最后根据平行线的判定和性质即可证明OEL5C.

【解析】证明：如图，过点A作加3c于点

AB=AC,

:.NBAC=2NBAM,

AD=AE,

:.ZD=/E,

ZBAC=ND+NE=2ND,

/.NBAC=2ZBAM=2ND,

:.ZBAM=ZD,

:.DE/IAM,

AM±BC,

:.DELBC,

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判断和性质，正确作出辅助线,

构建等腰三角形三线合一的性质是解题的关键.

25.如图，AABC和AAOE中，AB=AC,AD=AE,点。在BC上，ZBAC=ZDAE.

(1)求证△A3。0ZkACE；

(2)当等于多少度时，AB//EC?证明你的结论.

【答案】(1)见解析

(2)60°,证明见解析

【分析】(1)根据证得再依据SAS即可证明三角形全等；

(2)根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质证得再由平行线的性质即可求得

度数.

(1)

证明：VZBAC=ZDAE,

：.ABAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即ZBAD=ZCAE,

又AD^AE,

：.△AM妾△ACE；

(2)

解：入8=60。，证明如下：

'：AB=AC,NB=60。，

ZACB=ZB=60°,

'：△A2Z屋△ACE,

ZAC£=ZB=60°,

.,.ZB+ZBC£=180°,

J.AB//EC.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质及判

定定理是解题的关键.

26.如图，在ABC中，AB=AC,ZBAC=40°,AD是BC边上的高.线段AC的垂直平分线交于点E,

交AC于点R连接BE.

（D试问：线段AE与班的长相等吗？请说明理由;

⑵求的度数.

【答案】（1）相等，理由见解析

⑵50°

【分析】（1）连接CE,根据中垂线的性质得到AE=CE,BE=CE,即可得到AE=BE；

（2）利用等边对等角，求出/ABC的度数，三线合一，求出NBAE的度数，等边对等角得到的度

数，ZEBD=ZABD-ZABE,即可得解.

【解析】（1）解：线段AE与BE的长相等，理由如下：

连接CE,

VAB^AC,AO是BC边上的高,

BD=CD,

/.A£＞为的垂直平分线，

•点E在AO上，

/.BE=CE,

又•••线段AC的垂直平分线交AD于点E,交AC于点片

AE=CE,

：.AE=BE；

(2)VAB=AC,ZBAC=40°,

ZABC=-(180°-ABAC)=70°

,/AD是BC边上的高,

AD平分/BAC,

/BAE=-ABAC=20°,

2

AE=BE,

：.ZABE=ZBAE=20°,

：.ZEBD=ZABD-ZABE=50°.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质.熟练掌握等边对等角，三线合一，中垂线上的点到

线段两端点的距离相等，是解题的关键.

27.如图，在11ABe中，AB=AC,AD13C于点D

⑴若/8=37。，求/C4D的度数；

⑵若点E在边AC上，EF〃钻交AD的延长线于点尸.求证：AE=FE.

【答案】（1）53。

（2）见解析

【分析】（1）根据等腰三角形底角相等，再根据直角三角形的性质即可求得NC4O；

（2）根据两直线平行内错角相等，再根据AD是-84C的角平分线即可得到ND4c=ZF,从而证得

AE=FE.

【解析】（1）解：AB=AC,AD1BC,

:.ZB=ZC=3T,ZADC=90°,

ZGW=90°-ZC=53°；

（2）证明：EF//AB,

:.NBAF=NF,

AB=AC,AD1BC,

.:是—B4C的角平分线，

Z.BAF=ADAC,

:.ZDAC=AF,

:.AE=FE.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三

角形、平行线、直角三角形的相关知识.

28.如图，在二A5C中，AB=AC,点。在8C边上，点E在AC边上，连接AZ）,DE.已知N1=N2,AD=DE.

（1）求证：AABD咨4DCE；

（2）若比）=3,CD=5,求AE1的长.

【答案】（1）见解析；（2）2

【分析】（1）根据等边对等角可得：ZB=NC,利用全等三角形的判定定理证明即可；

（2）根据全等三角形的性质可得AB=OC=5,CE=BD=3,由图形中各边的关系计算即可得出.

【解析】（1）证明：,：AB=AC,

：.ZB=ZC,

在，ABD和一。CE中，

Zl=Z2

■ZB=ZC,

AD=DE

：.ABD=DCE；

(2)解：ABD^DCE,

：.AB^DC=5,CE=BD=3,

AB=AC=5,

：.AE=AB-CE=5-3=2.

【点睛】题目主要考查全等三角形及等腰三角形的性质，理解题意，结合图形，熟练运用各个性质是解题

关键.

29.如图，ABC是等腰直角三角形，AC^BC,ZACB=90°,。是斜边上AB上任一点，AELCD于E,

BFLCD交8的延长线于下，8，48于//点，交AE于G.

⑴求证：AH=BH-,

(2)请问AE与所、3F之间有怎样的数量关系？并说明理由;

(3)求证：BD=CG.

【答案】(1)见解析

(2)AE=EF+BF,理由见解析

(3)见解析

【分析】(1)根据等腰三角形的三线合一即可得证;

(2)证明VACE1丝VCB户即可得到答案；

(3)证明一ACGZ二即可得证BD=CG.

【解析】(1)证明：AC=BC,CHVAB,

:.AH=BH-,

(2)解：AE=EF+BF,

理由如下：

AELCD,BF±CD,

:.ZAEC=NCFB=90°,ZCAE+ZACE=90°,

ZACE+ZBCF=90°,

:.ZCAE=ZBCF,

在/XACE和VCBF中，

ZAEC=ZCFB

"ZCAE=ZBCF,

AC=BC

ACE^CBF（AAS）,

:.CE=BF,AE=CF,

：.AE=CF=CE+EF=BF+EF,

即AE^BF+EF；

（3）证明：.ABC是等腰直角三角形，CH±AB,

:2ACG=NCBD=45。,

在，ACG和△CBD中，

ZACG=ZCBD

<AC=BC,

ZCAG=ZBCD

AACG丝△CBD（ASA）,

:.BD-CG.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性

质，等腰三角形的性质，是解题的关键.

30.小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法.例如:在如图1所示的△ABC

中，/AC3=90。，点。在AB上，且BD=BC,求证：/ABC=2/ACD他发现，除了方法1直接用

角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法2：如图2,作BELCD,垂足为点E.

方法3：如图3,作CFLAB,垂足为点F.

根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明并写出其证明过程.

（图1）（图2）（图3）

【答案】证明见解析

【分析】方法1,利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到NA3C=2NACZ).

方法2,作8ELC。，垂足为点E.利用等腰三角形的性质以及同角的余角相等，即可得出NA3C=2NACD

方法3,作BLAB,垂足为点尸.利用等腰三角形的性质以及三角形外角性质，即可得到NAC尸=2NAC，

再根据同角的余角相等，即可得到NABC=NAb,进而得出NA3c=2NACD

【解析】解：方法1：如图1,・・・NAC3=90。，

JZBCD^900-ZACD,

又,；BC=BD,

：.ZBCD=ZBDC9

中，ZABC-1800-2ZBCZ)=180°-2(90°-ZACD)-2ZACZ),

・•・ZABC=2ZACD；

方法2：如图2,作BE，。。，垂足为点区

ZACB=90°,

・•・ZACD+ZBCE=ZCBE+NBCE=90。,

JZACD=ZCBE,

又・；BC=BD,BELCD,

：.ZABC=2ZCBE,

：.ZABC=2ZACD；

方法3：如图3,作“UAB,垂足为点足

VZACB=90°,NBFC=90。,

：.ZA+ZABC=ZBCF+ZABC=90°,

：.ZA=ZBCFf

•：BC=BD,

：.ZBCD=ZBDC,即NBCF+NOC/nNA+NACD,

：.ZDCF=ZACD,

：.ZACF=2ZACD,

又•:ZABC+ZBCF=ZACF+ZBCF=90°,

：.ZABC=ZACF,

：.ZABC=2ZACD.

DBBDB

（图3）

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的综合运用，注意等腰三角形的两个底

角相等是解答本题的关键.

31.如图①，已知点。在线段上，在，ABC和VADE中，AD=DE,AB=BC,/EAD=ZAED=45°,

ZBAC=ZBCA=45°,且M为EC的中点.

图②

⑴连接DM并延长交BC于N,写出线段CN与AZ)的数量关系：

(2)写出直线与DM的位置关系：_；

(3)将VADE绕点A逆时针旋转，使点E在线段C4的延长线上(如图②所示位置)，(2)中结论是否仍成

立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【答案】(1)GV=AD

Q)BM_LDM

(3)成立，见解析

【分析】(1)由/Em=/ABC=90。可得DE〃3C,再根据平行线的性质，推出=得到

EMD^.CMN(ASA),证出例=止，因为=即可得到QV=4)；

(2)由(1)可知。V=AD,DM=MN,再由54=3。，可得BD=BN,从而可得D3N是等腰直角三角

形，且是底边的中线，即可得到5拉1。0；

(3)作OE〃CN交DM的延长线于N,连接BN,根据平行线的性质求出/E=/MC7V=45。，可得

EMD^..CMN(ASA),推出.OBN是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可推出2OW.

【解析】(1)CN=AD,理由如下：如图1,

B

■:AD=DE,AB=BC,ZEAD=ZAED=45°,ABAC=ZBCA=45°,

・・..ABC和VADE为等腰直角三角形