直线方程及直线间的位置关系-2025年高中数学一轮复习

第01讲直线方程及直线间的位置关系

（7类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

给值求值型问题

2023年新I卷，第6题,5分已知点到直线距离求参数余弦定理解三角形

切线长

求点关于直线的对称点

2023年新II卷，第15题,5分由直线与圆的位置关系求参数

直线关于直线对称问题

2022年新II卷，第3题,5分已知斜率求参数等差数列通项公式的基本量计算

2022年全国甲卷（理科），

已知两点求斜率求椭圆的离心率或离心率的取值范围

第10题,5分

2022年全国甲卷（文科），

求平面两点间的距离由圆心（或半径）求圆的方程

第14题,5分

2021年新n卷，第3题,5分已知点到直线距离求参数根据抛物线方程求焦点或准线

2021年全国甲卷（文科），

求点到直线的距离已知方程求双曲线的渐近线

第5题,5分

2021年全国乙卷（文科），

求点到直线的距离求双曲线的焦点坐标

第14题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分

【备考策略】1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系

2.熟练掌握直线方程的5种形式及其应用

3.熟练掌握距离计算及其参数求解

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习

帆•考点梳理

1

知识点1两点间的距离公式

考点4两侬垂直求领

核心考点

考点5直线的交点坐标与距离公式

考点6问题

考到合问题

知识讲解

1.两点间的距离公式

“（XQ1），Mz，%），|/同=J（》2-xj+（%一%）2

2,中点坐标公式

X1+x2

2

A（xl,y1）,B（x2,y2）,/（%,人）为45的中点，贝U：<

%+%

%-

2

3.三角形重心坐标公式

，%）B（X2,y2\C（x3,y3）,M（x0，%）为AA5C重心

x再+%+%

o二

3

nvy（）=

3

4+Z2+Z3

zo=

3

4,直线的斜率与倾斜角的定义及其关系

2

（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；k>Q,直线递增，k<Q,直线递减,

（2）倾斜角：直线向上的部分与X轴正方向的夹角，范围为［0,%）

（3）直线的斜率与倾斜角的关系：k=tan0

60°30°45°60°90°120°135°150°

V3

tan。01V3不存在-V3-1

一3"

5.两点间的斜率公式

Z（XQi）,B（x2,y2）,kA1}=%——

6.直线的斜截式方程

y=kx+b,其中左为斜率，b为y轴上的截距

7,直线的点斜式方程

已知点P（x（）Jo）,直线的斜率左，则直线方程为：y-y0=k（x-x0）

8.直线的一般式方程

Ax+By+C=O（片+炉70）

9.两条直线的位置关系

（1）平行的条件

①斜截式方程：（y=%x+A,〃y=居》+4，20r「

/出?—A2B1

②一般式方程：4：Axx+Bxy+Q=0,/2:Z2%+B2y+。2=0，IJ/L2。

4G。42cl

（2）重合的条件

①斜截式方程：lvy=kix+bx,l2.y=k2x+b2,丸上重合/

出=b2

②一般式方程：

=AB

<>2t

Ax+By+q=0,Z:A2x+B^y+C2=0,A,合^<

xx24G=4G

（3）垂直的条件

kk

①斜截式方程：（y=kxx+bx,l2.y=k2x+b2,丸_L乙=ii=T

②一般式方程：

4:A^x+B^y+G=0,，2：42*+B2y+C?=0,乙_L4442+=0

io.点到直线的距离公式

点尸（方,%）,直线/:Zx+3v+C=0,点到直线的距离为：d=

“+炉

11.两条平行线间的距离公式

3

lx:AxBy+Cx=0,/2:Ax+By+C2=0,

考点一、直线的倾斜角与斜率

典例引领

1.（2024・上海•高考真题）直线》->+1=0的倾斜角.

【答案】y

4

【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角之间的关系求解即可.

【详解】设直线X-y+1=0的倾斜角为a。e[0,兀），

易知直线V+1=0的斜率为1,

所以tan。=1,

解得。

4

故答案为：—■

4

2.（23-24高二上•青海西宁•阶段练习）已知次2加,2）,3（4,-1）,。（-4,-加）三点在同一条直线上，则实数/的

值为—.

【答案】5

【分析】根据三点共线，直线斜率相等，即可列式计算.

【详解】根据题意可得：kAB=-^-=^=kBC,

2加-48

即：m2-3/M-10=0,（m-5）（m+2）=0,

解得加=5或一2；

又当机=-2时，4c是同一个点，不满足题意，故舍去；

综上所述，实数机的值为：5.

故答案为：5.

3.（23-24高二上•山东枣庄•阶段练习）经过/（1,加）,3（加T3）两点的直线的倾斜角是钝角，则实数加的范

围是■

【答案】（F,2）U（3,+S）

【分析】由题意可得加H2且斜率左=—^<0,计算即可得解.

m-2

【详解】根据题意〃L1H1,即机32,

且斜率后="3—^加<0,

m-2

BP(3-m)(m-2)<0,

4

解得比＜2或别＞3.

实数〃?的范围是（-＜»,2）。（3,+oo）.

故答案为：（-叫2）。（3,+功

4.（23-24高二上,福建厦门•期中）已知两点/（-3,2）,3（2,1）,过点尸（0,-1）的直线/与线段48（含端点）

有交点，则直线/的斜率的取值范围为（）

A.（-oo,-l]U[l,+oo）B.[-1,1]

（Q.「1「

C.I-00,--lu[rl,+oo）AD.--,1

【答案】A

【分析】求出直线P4、心的斜率后可求直线/的斜率的范围.

【详解】

故直线/的取值范围为（-8,-1]。（1,+8）,

故选：A.

即时检测

■____________

L（2024高三・全国•专题练习）直线》sin2-ycos2=0的倾斜角的大小是（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

【答案】D

【分析】根据题意，求得直线的斜率，得到左=tan2,结合倾斜角的定义，即可求解.

【详解】由直线xsin2-"os2=0,可得直线的斜率左=手=tan2,所以直线的倾斜角为2.

cos2

故选:D.

2.（2024・河南信阳•二模）已知直线2x-y+l=0的倾斜角为贝I]tan2a的值是

、4

【答案】-j

【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，得tana=2,再利用正切的二倍角公式即可得到结果.

【详解】由直线2x—y+l=0方程，得直线斜率tana=2,

“…八2tana2x2_4

所以tan2a=--------

1-tana1-22--3

5

4

故答案为：

3.（2022・上海•模拟预测）若2=（2,-4）是直线/的一个方向向量，则直线/的倾斜角大小为—

【答案】n-arctan2

【分析】先根据直线方向向量求出斜率，再由直线方向向量和倾斜角关系求出倾斜角.

【详解】因为2=（2,-4）是直线/的一个方向向量，所以直线/的斜率上=^=-2,

所以直线/的倾斜角大小为n-arctan2.

故答案为：7i-arctan2.

考点二、直线的5种方程

中典例引领

1.（22-23高三•全国•课后作业）经过点（-3,1）和点（2,-2）的直线方程是.

【答案】3x+5y+4=0

【分析】根据两点式求得直线方程.

【详解】经过点（-3,1）和点（2,-2）的直线方程是：三=之，

整理得3x+5y+4=0.

故答案为：3x+5y+4=0

2.（22-23高二上•山东日照•阶段练习）过点/（4,1）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是

【答案】x-4y=0或x+y-5=0.

【分析】分截距为。和截距不为。两种情况，设出直线方程，待定系数法进行求解.

【详解】当截距为。时，设直线方程为了=日，

将代入，可得左=；,

所以直线方程为＞尤，

4

当截距不为0时，设直线方程为二+上=1,

aa

将/（4,1）代入，可得：-5,

所以直线方程为x+y-5=0,

综上：直线方程为＞=或x+y-5=0.

4

故答案为：x-4y=0或x+y-5=0.

3.（22-23高二上•广东江门•期末）直线后+＞+2=0的倾斜角及在y轴上的截距分别是（

A.60°,2B.60°,-2C.120°,-2D.120°,2

6

【答案】c

【分析】将直线方程化成斜截式方程，即可求解.

【详解】直线6x+y+2=o化成斜截式>

可知直线的斜率左=-6，故倾斜角为120。，直线在y轴上的截距为-2,

故选：C

4.（24-25高三上•湖南长沙•开学考试）过点（-4,2）,倾斜角为半的直线方程为（）

A.x-y+2=0B.x+y+2=0C.x-y=2D.x-y+1=0

【答案】B

【分析】由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般方程可得.

【详解】由题可得直线的斜率为tan1350=-1,

所以直线方程为：y-2=-（x+4）,

化简可得：x+y+2=0；

故选：B

5.（20-21高一■全国•单元测试）如果NC<0,BC>0,那么直线4r+8y+C=0不通过（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在>轴上的截距，即可求解.

【详解】因为/c<o,且8c>0,所以43,C均不为零，

由直线方程1x+W+C=0,可化为y=-[Ax+（-3C）,

AC

因为4c<0,且3C>0,可得左=>0,y轴截总巨<0,

BB

所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限.

故选：B.

即时检测

■一

3

1.（2024高三•全国•专题练习）过点/（0,2）且倾斜角的正切值是y的直线方程为（）

A.3x-5y+10=0B.3x—4y+8=0

C.3x+5y-10=0D.3x+4y-8=0

【答案】A

【分析】结合条件求直线的斜率，再利用点斜式可求结论.

3

【详解】因为所求直线的倾斜角的正切值是

7

所以所求直线的斜率、.为：3，

由点斜式可知直线方程为y-2=-（x-0^

即3x—5歹+10=0.

故选：A.

2.（21-22高二上•湖南•阶段练习）已知直线/过点G0,-3）,H（-2,1）,则直线/的方程为（）

A.4x+y+7=0B.2x-3j^-l1=0C.4x+3y+5=0D.4x+3>-13=0

【答案】C

【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.

【详解】由直线的两点式方程可得，

直线/的方程为9=即4x+3y+5=o.

1+3-2-1

故选：C.

3.（23-24高二上•陕西•阶段练习）直线x-2y-2=0在1轴上的截距为〃，在歹轴上的截距为4则（）

A.a=2,b=\B.a=2,b=—1

C.a=-2,b=1D.a=—2,b=—1

【答案】B

【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解.

【详解】由题意，直线x-2尸2=0,

令x=0,解得了=-1,故6=-1；令>=0,解得x=2,所以a=2.

故选：B.

4.（2024高三•全国•专题练习）已知直线/的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为87,则直线/的

方程为（）

A.y=6x~\-^37B.y=6x+6

C.j=6x±6D.y=6x—6

【答案】c

【详解】

解析：设所求直线/的方程为尸6x+6.令x=0,与y轴的交点为（0,6）；令y=0,；.x=一

rS

与x轴的交点为（-20）,V被两坐标轴所截得的线段长为收，二（-2）2+〃=37,解得6=±6,因

orS

此所求直线方程为y=6x±6.

5.（18-19高一下•福建莆田•期中）如果/-C<0且3-C<0,那么直线/x+2y+C=0不通过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

8

【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在》轴上的截距，即可求解.

【详解】因为/•（?<（）,且8-C<0,所以A、B、C均不为零，

由直线方程/x+W+C=O,可化为y=—\x+（__1）,

Ar

因为力,CvO,且8,C<0,可得---<0,----->0,

BB

所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限.

故选：C.

考点三、两直线平行求参数

典例引领

1.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）已知直线加x+2y+加+2=0与直线4x+（加+2）了+2机+4=0平行，

则机的值为（）

A.4B.-4C.2或一4D.-2或4

【答案】B

【分析】根据两直线平行得到m（冽+2）=2x4,求出机的值，再检验即可.

【详解】因为直线mx+2y+机+2=0与直线4尤+（加+2）了+2加+4=0平行，

所以"?（m+2）=2x4,解得“7=2或机=T,

当m=2时直线2x+2y+4=0与直线4x+4y+8=0重合，不符合题意；

当加=-4时直线一4x+2y-2=0与直线4x-2y-4=0平行.

故选：B

2.（2024•全国•模拟预测）已知直线点ox+3y—6=0,直线小2x+（a-l）y-4=0,贝=-2"是"<〃

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用两直线平行求解。的值，结合充要关系的定义判断即可.

【详解】由4〃4可得6=。（。-1）,解得0=3或0=-2.

当a=3时，4：3x+3j—6=0,l2：2x+2y—4=0,显然4重合，舍去，

故4〃/2时，a=-2.

因此"。=-2"是"〃/的充要条件.

故选：C

9

即时校L

1.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知直线/：办+3y-6=0,直线4：2尤+（0-1）y-4=0,贝。"是"。=3

或°=-2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据直线平行满足的系数关系列式求解。，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.

［详解］若直线4：办+3y-6=0和直线4：2尤+（°_1）了_4=0平行，

ax2x3

解得a=-2,

ax(-4)2x(-6)

所以"〃/是"。=3或。=-2〃的充分不必要条件

故选：A

2.（2023•河北保定•三模）已知直线4:ax—5y—1=O4：3x—（。+2）y+4=0,"a=3"是"4〃4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意，由直线平行的判断方法分析=3〃和"/J4"的关系，结合充分必要条件的定义分析可得

答案.

【详解】若直线小站一5y—1=0与/2：3x-（a+2）y+4=0平行，

贝（］-a（a+2）+15=0,解得a=3或a=-5,

所以=3"是4///的充分不必要条件.

故选：A.

考点四、两直线垂直求参数

典例引领

1.（23-24高三下•江苏•阶段练习）已知直线4：6x+3y+l=0,若直线4与4垂直，则4的倾斜角是（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】C

【分析】先求出直线4的斜率，再由直线4与4垂直，求出直线4的斜率，然后由倾斜角与斜率的关系可求

得结果.

10

【详解】由6x+3y+l=0,得y=则勺

因为直线4与4垂直，所以勺鼻=T，

所以-Xi.左=-1,得上=百，

32

设直线4的倾斜角为6，贝!Itan6=6，

因为0。4。＜180。，所以0=60。,

故选：C

2.（23-24高三下•安徽芜湖•阶段练习）已知直线人:»ix—y—3=04：（%—2）尤—了+1=0,则"加=1"是"4

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】当加=1时可得匕e=-1,即当时可得加=1，结合充分、必要条件的定义即可求解.

【详解】当"2=1时，lx:x-y=0,l2:-x-y+\=0,

l^-y=x-3,l2：y=-x+l,则左/2=_1，BPZ1J-/2;

当时，w?（w-2）+（-l）x（-l）=0,解得加=1.

所以〃加=1〃是乜，/2〃的充要条件.

故选：C

♦即时检测

I________L__________

1.（2024・四川南充一模）"加=1"是"直线4:x+（加+1）»+1=0与直线4：（十+1）卜-呀一1=0垂直”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若直线4：x+（m+V）y+l=0与直线4：（〃7+l）x-叩-1=0垂直,

贝！）1x（加+l）+（m+l）x（-〃z）=0,解得机=±1,

所以"加=1"是"直线4:x+（加+1）了+1=0与直线4:（加+l）x-加y-1=0垂直”的充分不必要条件.

故选：A.

2.（23-24高三上■河北•阶段练习）已知直线4:ax+2y+6=0与直线4：区一〉+。=0垂直，贝的最小

值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

11

【分析】根据直线的垂直关系可得仍=2,利用基本不等式即可求得答案.

【详角军】因为直线4:办+2>+6=0与直线4:6工一〉+。=0垂直，

所以QZJ—2X1=0,即。6=2,所以。2+/22ab=4,

当且仅当a=b=也或°=6=-亚时等号成立.

即/+〃的最小值为,

故选：B

考点五、直线的交点坐标与距离公式

典例引领

1.（2024•广西柳州•模拟预测）双曲线片-仁=1的一个顶点到渐近线的距离为（）.

416

A.V5B.4C.手D.2A/3

【答案】C

【分析】求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由双曲线的方程知两顶点4（-2,0）,4（2,0）,

渐近线方程为了=±纥=±2尤，

a

,44^

由对称性，不妨求4到直线y=2x的距离，d=］）2=丁.

故选：C.

2.（2024•黑龙江吉林•二模）两条平行直线心x+y+l=0,/2：x+y-1=0之间的距离是（）

A.1B.72C.2A/2D.2

【答案】B

【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解.

【详解】因为4：x+y+l=0,Z2：x+y-l=Q,

所以它们之间的距离为4=

故选：B.

即时校（

1.（23-24高二下•广西•开学考试）椭圆《+上=1的上顶点到双曲线/-/=1的渐近线的距离为（）

59

12

A.J2B.C.2D.-

22

【答案】B

【分析】先求椭圆的上顶点，再求双曲线的渐近线，然后代入点到直线的距离公式求解.

【详解】

22

椭圆二+匕=1的上顶点为(0,3),

59

双曲线«一/=1的渐近线方程为y=±%

则椭圆E+廿=1的上顶点到双曲线X?-V=1的渐近线的距离为1逑.

59V22

故选：B

2.(23-24高二上・河南•期中)若直线/］：x+ay-2=0与/2：2x+("+l｝一2=0平行，则两直线之间的距离

为()

A.6B.1C.三D.2

【答案】C

【分析】根据两直线平行可得。=1,再由平行线间的距离公式即可求得结果.

【详解】依题意，由两直线平行可知2a=/+1,解得。=1,

所以两直线分别为x+y-2=0,x+y-l=0,

可得两直线之间的距离为二二走，

<22

故选：C.

考点六、直线恒过定点问题

5典例引领

1.(2022高三•全国•专题练习)已知直线(3〃?-〃)x+(M+2")y-〃=0则当犯〃变化时，直线都通过定点

13

【答案】

［3x+y=0

【分析】整理得，m(3x+y)+n(-x+2y-l)=0,利用；即可计算求得定点.

［详角军］整理得，m(3x+y)+n(-x+2y-l)=0

1

x=——

3x+y=0713

令=><，从而该直线必过定点(-子,).

—x+2y—1=03

y=7

13

13

故答案为：

2.（2024・重庆•三模）当点尸（TO）到直线/：（3X+l）x+W+l）v-（42+2）=0的距离最大时，实数彳的值为

（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【分析】先求得直线过的定点，再由点尸与定点的连线与直线垂直求解.

【详解】直线/：（3A+l）^+（2+l）y-（42+2）=0,

整理得X(3x+y-4)+(x+y-2)=0,

3x+y-4=0X=1

由x+；2=0，可得

,=1

故直线恒过点/（1,1）,

22

点尸(一1,0)到A(1,1)的距离4Mx=7(-1-1)+(0-1)=V5，

故％="=1

PA1+12

0I1

直线/：（32+1卜+（彳+1方-（42+2）=0的斜率占吆上

A+1

古解得j

故选：B.

即时根（

1.（20-21高二上・安徽六安•期末）直线近-〉+1-34=0,当后变动时，所有直线都通过定点（）

A.（3,1）B.（0,1）C.（0,0）D.（2,1）

【答案】A

/、[x—3=0

【分析】直线方程转化为：尤-3"-y+l=0,然后令八，解方程即可求解.

〔一了+1=0

【详解】解：直线方程转化为：（x-3*-y+l=0,

x-3=0

令-y+l=0'解得『I，

所以直线过定点（3,1）,

故选：A.

2.（23-24高三上,四川•阶段练习）已知直线/:（加+l）x-y-3〃7-2=0,则点尸（-1,-1）到直线/的距离的最大

值为

【答案】2也

14

【分析】求出直线/所过的定点，确定何时点口-1,-1)到直线/的距离最大，结合两点间的距离公式，即可

求得答案.

【详解】直线I'.(m+V)x-y-3m-2=0,x-y-2+m(x-3)=0,

\x-y-2=0

由；c，解得X=3,y=1,所以直线/恒过定点4(3,1),

[x-3=0

当直线/与直线/P垂直时，点尸(-1,-1)到直线/的距离的最大,

最大值为|/尸|=J(3+l)2+(l+l)2=2后,

所以点玖-1,-1)到直线/的距离的最大值为2石,

故答案为：2亚

考点七、直线综合问题

典例引领

1.(24-25高二上•江苏泰州•阶段练习)已知M(2,5),N(-2,4),动点p在直线l-.x-2y+3=0上.则\PM\+\PN\

的最小值为.

【答案】3布

【分析】借助线段和的几何意义求解即可.

【详解】设加(2,5)关于直线/对称对称点坐标为"(X/),

x+2）+5

----------2x--------+3=0

22%=4，/、

则,解得y=l,即"（4,1）,

-1

了一22

\PM\+冲|=\PM'\+\PN\>=J(4+2『+(1-4)2=3亚，

所以归间+|尸N|的最小值为3TL

故答案为：3石.

15

M

一

2.（24-25高二上•四川成都•阶段练习）已知直线4：AlX+用了+£=0,（4,耳,。H0）与直线

个4》+与>+02=0，（4,82，。270），则直线44关于y轴对称的充要条件是（）

A4一GR4一A

B•彳瓦

_4_耳/G­二q

C-------------7=-----

,4层G4层G

【答案】D

【分析】求出直线4关于〉轴对称的直线方程，由此得解.

【详解】直线4：4》+即+G=0（4，综G*0）关于y轴对称的直线方程为：-曲+即+G=0,

A,B,C,

又4与4关于y轴对称，所以一子=小=才.

4。2

-4B.C.

所以直线4与，2关于y轴对称的充要条件是一+=广=>.

A2°2C2

故选：D.

3.（24-25高二上,山东潍坊,阶段练习）点尸（-2,-1）到直线/:（l+32）x+（l+X）y-2-4X=0（2eR）的距离最

大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A.V13;2x-3v+l=0B.VH；3X+V-4=0

C.V13;3x+2y-5=0D.&1;2尤-3y+1=0

【答案】C

【分析】由直线/的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线/的方程.

【详解】直线/的方程（1+32）尤+（1+力了一2-42=0可化为x+y—2+2（3x+y—4）=0,

fx+y-2=0fx=1

联立,解得，

[3x+y-4=0卜=1

所以直线/经过定点

当尸C_L/时，点尸到直线/的距离最大，最大距离为|PC|=J（-2-1）2+（_1_以=&W，

因为直线尸C的斜率原0=罟=：,PCLI,

3

所以直线/的斜率号=-5

.1+343

所cr以--;~T=-K

1+42

16

所以20+32）=3（1+孙

所以2+6X=3+32,故几=g,

所以直线/的方程为3x+2y-5=0.

故选：C.

4.（24-25高二上•河北石家庄•阶段练习）已知点力（2,-3）,5（-5,-2）,若直线/:妙+歹+加—1=0与线段45

（含端点）有公共点，则实数冽的取值范围为（）

_43

A.

__34

-_34

C.

_~43

【答案】D

【分析】求出直线/过的定点，设为P求出左&，七3,结合图象，即可确定答案.

【详解】由/:+y+加一1=0可得>一1二（一切）（％+1）,

即直线/：m+y+机一1=0过定点（T/），设为尸,

结合/（/2,-3、）,3（/-5,-2、）,则射=-为3-1=4岫=-2-1==3,

Z+13—J+14

直线/:m+>+加—1=0与线段45（含端点）有公共点,

3434

则-m2—或-m<——,BPm<——或加二，

434

3

故冽的范围为—00.-------

4

故选：D

即时检测

■一

1.（24-25高二上四川成都•阶段练习）已知平面上两点4（4,1）,8（0,4）,M是直线3尤-y-l=0上一动点，则

|建4|-|"国的最大值为（）

5L

A.—B.V5C.275D.5

【答案】B

17

【分析】求出点B关于直线3无-y-l=O的对称点，再由几何关系得到4C,M三点共线时距离最大,

最后利用两点间距离求解即可；

【详解】

设点B关于直线3x-v-l=0的对称点为C恤,"）,

cm几+41八

3x--------------1=0

22m=3

则,解得

n-41n=3

、m3

连接MC,/C,可得似同=|MC|,所以11AMl-|防闫|肱41TMe忖NC|,

当4C,M三点共线时，等号成立，

所以|儿州-|儿皮的最大值为八3一4）2+（3-1）2=V5，

故选：B.

2.（24-25高二上•四川成者B•阶段练习）平面内四个点根（0,3）,%（2,0）,必（4,1）,河4（6,4）分布在直线

/:/》+知+。=0的两侧，且两侧的点到直线/的距离之和相等，则直线/过定点（）

A.（2,3）B.（3,2）C.（-2,-3）D.（-3,-2）

【答案】B

【分析】分析可知将助\,“2，”3，屈4的坐标代入直线/的方程，得代数式之和等于0,整理可得。=-3/-28,

代入直线方程即可得结果.

【详解】点M（0,3）,M（2,0）,M（4,1）,陷（6,4）分布在直线/:/X+By+C=0的两侧，且两侧的点到直线/的

距离之和相等，

则将乱|,“2，加3，屈4的坐标代入直线/的方程，得代数式之和等于0,

即/再+By】+C+//+By?+C+Axy+By^+C+Ax^+By，+C4,

则124+85+4C=0,即。=-34-23,

所以直线/：Nx+8y-3/-28=0,即/（x-3）+5（y-2）=0,过定点（3,2）.

故选：B.

3.（24-25高二上•陕西西安•阶段练习）过点以0,-1）作直线/,若直线/与连接网26,1）两点的线

段总有公共点，则直线/的倾斜角范围为（）

18

3兀3兀

T,7tT,7r

【答案】B

【分析】由题知直线/的斜率左口,再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.

【详解】

设直线/的倾斜角为6,0<^<71,

当直线/的斜率不存在时‘。=曰’符合,

当直线/的斜率存在时，设直线/的斜率为人,

因为点尸（0,-1）,“（一2,1）,S（2V3,1）,贝U原4=£i2=T，—

2V3-03

因为直线/经过点尸（0,-1）,且与线段/台总有公共点，所以"（-S,-口号，+,，

因为tanO=左，又0<6<无，所以，

[62）124J

7T37r

所以直线/的倾斜角范围为.

164」

故选：B.

4.（24-25高二上•福建厦门•阶段练习）经过点P（0,T）作直线/,若直线/与连接/（-2,1）,5（-1,-6-1）两点

的线段总有公共点，则/的倾斜角«的取值范围为（）

A.[0,gB.[0,71）c.[0,争U（g当D.[0,勺U卢⑺

【答案】D

【分析】根据给定条件，求出直线/的斜率范围，进而求出倾斜角范围.

【详解】依题意，直线加的斜率=二?=-1,直线M的斜率原B=一6-1+1=省,

由直线/与线段45总有公共点，得直线/的斜率左£[-1,6]，即-"tanawVL

当一l«tana<0时，而aw[0,兀），则今（2<兀；当OWtanaW百，得OWaW：,

jr37r

所以I的倾斜角a的取值范围为[0,§U，兀）.

19

故选：D

ML好题冲关・

心基础过关

一、单选题

1.（2024・河南•三模）已知直线及+为+。=0与直线y=2x-3垂直，贝（J（）

A.A=—2BW0