中考数学复习：勾股定理的应用（专项培优训练）

专题17勾股定理的应用（专项培优训练）

试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.41

试卷说明：本套试卷结合沪教新版版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴

类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考

前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。

一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（2分）如图，是一扇高为2加宽为1〃的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3/，宽

2.2m；②号木板长2.5/，宽2.5勿；③号木板长4/，宽2.3勿.可以从这扇门通过的木板是（）

A.①号B.②号

C.③号D.均不能通过

解：因为62+]2=遥,2.2＜V5,娓＜2.3,屈＜2.5,

所以可以从这扇门通过的木板是①号木板.

故选：A.

2.（2分）如图，有两棵树，一棵高6%，另一棵高2%，两树相距5如一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一

棵树的树梢，至少飞了（）

A.741%B.4/C.734%D.6%

解：如图，由题意可知，大树高ZC=6加，小树高为⑸9=2%，

过方点作皿力。于点£,连接明

则四边形颜始是矩形，

EC=BD=2m,EB=CD=5/n,

：.AE=AC-EC=&-2=4（加，

在RtzXZ旗中，AB="7AE2+BE2=^42+52=（如，

即小鸟至少飞行迎1以，

故选：A.

3.（2分）如图，长方形式FG是一块草地，折线/故应是一条人行道，6。=12米，CD=5米.为了避免行

人穿过草地（走虚线如），践踏绿草，管理部门分别在B,〃处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走（）

解：:四边形式力。是矩形，

・・・NC=90°,

在Rt△氏力中，由勾股定理得：BC2应D2=«122+52=13（米），

：.BOCD-BD=12+5-13=4（米），

故选：B.

4.（2分）如图，点/是射线比外一点，连接4?,若4?=5初点4到比'的距离为3初动点户从点6

出发沿射线勿以2c〃/s的速度运动.设运动的时间为t秒，当方为（）秒时，△/以为直角三角

形.

4448

解：如图1,过点力作力〃，用于点〃

♦.•点4到欧的距离为3颂，

/.AH=3cm,

22=22=4

在心△/物中，由勾股定理得：^7=7AB-AHV5-3"加，

分两种情况：

①当//%=90。时，

此时点〃与点〃重合，

由题意得：21=4,

解得：t=2；

②如图2,当/54p=90°时,

图2

°：AB=5cm,B—2tcm,AH=3cm,BH=4cm,

：.HP=(2Z-4)cm,

由勾股定理得：AP=BP-A3=(2力2-25,AR=A^+HR=3计(21-4)2,

J(2力2-25=32+(214)2,

解得：空，

8

综上所述，当t为（2或空）秒时，△/解为直角三角形，

8

故选：D.

5.（2分）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口。同时出发，1号舰沿东偏南60°方

向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60°方向以12节的速度航行，离开港口2

小时后它们分别到达46两点，此时两舰的距离是（）

J

A.9海里B.12海里C.15海里D.30海里

解：如图：

C

由题意得：20=2X9=18（海里），功=2义12=24（海里），N/〃=60°,NCOB=60°,ZEOC=

90°,

:/AOC=/EOC-/EOA=32°,

ZAOB=ZAOaZBOC=90°,

在Rt44如中，^=7A02OB2=V182+242=30（海里），

此时两舰的距离是30海里，

故选：D.

6.（2分）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1/，1处

2m,那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（）

/]7

2m

Im

A.2.6/77B.2.4mC.2.2mD.2%

解：如图:

根据勾股定理：Aff=v+v=2,

/△=/斤+欧=2+4=6,

故AC=\[^^2.4,

故选：B.

7.（2分）如图，湖的两岸有力,。两点,在与/。成直角的宽方向上的点。处测得46=15米，比・12米,

C.9米D.10米

解：由题意可知，NZ⑶=90°,

•・・ZA=15米，况-12米，

，"=VAB2-BC2=7152-122=9（米）-

故选：C.

8.（2分）为预防新冠疫情，某医院入口的正上方/处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地

面的距离46=2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高1.8米

的市民切正对门缓慢走到离门0.8米的感应器地方时（即比'=0.8米），测温仪自动显示体温，则人头

顶离测温仪的距离等于（）

C.1.25米D.1.5米

解：如图，过点〃作以14万于点反

：/6=2.4米，BE=CD=\.R米,ED=BC=0.R米,

：.AE=AB-BE=2.4-1.8=0.6（米）,

在RtZU座中，由勾股定理得到：

VAE2+DE2=Vo.82+0.62=1-0（米）’

故选：A.

9.（2分）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索力6的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米

（即比'=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）

ED

A.1米B.1.5米C.2米D.4米

解：如图，过点。作组46于点尸,

A

ED

则//尸C=90°,四边形第正为矩形，

:.CF=DE=3米.

'：AB^AC^5米，

AF=VAC2-CF2=^52~32=4（米），

:.BF=AB-AF=5-4=\（米）,

即此时木马上升的高度为1米，

故选：A.

10.（2分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的

工具之一，也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人

入迷.

如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度的=1必，将它往前推6加至C处时（即水平距离"=6加,踏

板离地的垂直高度CF=4〃，它的绳索始终拉直，则绳索4C的长是（）m.

D.9

2

解：设绳长为X米,

在中，

AD=AB-BD=AB-(DE-BE)=x-(4-1)=(x-3)米,

DC=6m,4C=x米，

:・AADG=AG,

根据题意列方程：/=（x-3）2+62,

解得：x=西，

2

绳索”的长是生.

2

故选：B.

二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.

11.（2分）如图，一支铅笔放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是9腐，内壁高12颂.若铅笔长为

18an,则这只铅笔露在笔筒外面的长度力的最小值是3cm.

由题意可得：AB=\2cm,BC=9cm,ABLBC,

：.ZABC^90°,

在中，由勾股定理得：AC—=V122+92=15<cni）,

.••这只铅笔露在笔筒外面的长度方的最小值是：18-15=3（c加,

故答案为：3cm.

12.（2分）如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端4的绳子垂到地面。并多出一段（如

图1）,同学们测量多出的绳长为1米；再将绳子拉直至地面6,并测得绳子末端与旗杆底端的距离加

为5米（如图2）,则旗杆4C的高度是12米.

QA)A

C\\B

图1图2

解：设旗杆/C的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，

由题意得：XACB—9O0,6（=5米，

在RtZ\4%1中，由勾股定理得：AC+BG=AB,

即^+52=（x+1）2,

解得：x=12,

旗杆4C的高度为12米，

故答案为：12.

13.（2分）《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去画（ktin）一尺不合2寸，问门广几何？”意

思是：如图推开两扇门（股和6。，门边沿〃C两点到门槛四的距离是1尺（1尺=10寸），两扇门

的间隙CD为2寸，则门槛超长为101寸.

解：设OA=OB=AD=BC=I■寸,

如图，过。作皿居于点£,

则庞=10寸，OE=LCD=\（寸），AE=0-1）寸,

2

在Rt△/庞中，由勾股定理得：AE+DE=AB,

即（r-1）2+102=尸,

解得：r=50.5,

A2r=101,

即门槛/夕长为101寸，

故答案为：101.

14.（2分）如图，某公园处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角//或走“捷径”，在花圃内走

出了一条“路”已知/C=40R,BC=3Qm,他们踩伤草坪，仅仅少走了20m.

BL

□

CA

解：•：NACB=9Q°,/C=40H，BC=3Qm,

AB==22

VAC+BC=V402+302=50(加，

C.AC+BC-四=40+30-50=20(M,

即仅仅少走了20m,

故答案为：20.

15.（2分）如图1,跷跷板是常见的一种游戏.跷跷板一端着地时如图2,支柱加地面例OA=OB,PC

为握把，且比1于C,AC=^cm,OM=lQan.跷跷板可以绕点。转动，如图3是跷跷板水平时即应力

MN,此时点/、aD、6对应点分别为点乐G、H、F,恰有/则跷跷板的长为265cm.

B

，，/D

E|G”|H.

XI

MN

7777777777777777777777777"

图3

过/作加于R

'：AE=AG,

:.PE=PG=LEG=20(cm),

2

"JEF//MN,

:.A仁OM=70an,

在RtAW中，AP+Pff=AQ,

.\702+CAO-20)2=A0,

."T(cni),

.•・/夕=2的=265(cm),

故答案为：265.

B

,一D

EP\G——旦F

MN

图3

16.（2分）如图，大树与大树切相距13小，小华从点6沿回走向点C,行走一段时间后他到达点£,

此时他仰望两棵大树的顶点/和〃两条视线的夹角正好为90°,且龙1=旗.已知大树的高为5加

则大树切的高为8米

解：由题意得：ABLBC,CDVBC,ZAED=9Q°,BC=13m,AB=5m,

.*.N6=NC=90°,AA+ZAEB=ACEDIAAEB=^°,

：.AA=ACED,

在△力庞1和中，

'NB=NC=90°

<ZA=ZCED，

,AE=ED

:.△ABE^XECD(AAS),

:.AB=CE=5m,CD^BE,

:・BE=BC-CE=8m,

CD=3m,

故答案为：8/n.

17.（2分）将一根长为75c〃的木棒放入长、宽、高分别是50c〃、40an、40M的箱子中（如图），能放进

去吗?答：能（填“能”或“不能”）.

解：如图，连接4C、AE,

由题意得：AB=4Qc/n,CE=40cm,BC=50cm,ZABC=^°,Z^CF=90°,

在中，由勾股定理得：4?=/6+%=40叶502=4100（ent）,

在RtZUCF中，由勾股定理得：^=VAC2-K；E2=74100+402=10^57（颂），

10457cni>75cm,

能放进去，

故答案为：能.

18.（2分）如图是一机器人比赛行走的路径，机器人从4处先往东走9口，又往北走3%，遇到障碍后又往

西走4处再转向北走6%往东拐，仅走1%就到达了6,问4、£两点之间的距离为_3>/13_m・

解：过点方作3。垂直力所在水平直线于点G如图,

B

根据题意可得，/处与方处水平距离为9-4+1=6（加，竖直距离为3+6=9（加，

.,.AC—6m,BC=9m,

•■•^=V62+92=3V13（加，

故答案为3J次.

19.（2分）如图，有两条公路掰恻相交成30°,沿公路W方向离两条公路的交叉处。点80米的4处

有一所希望小学，当拖拉机沿加方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的

拖拉机正沿翻方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿川方向行驶时给小学带来噪音影

响的时间是18秒.

解：如图，

过点/作/ULflV于C,

:/加班=30°,以=80米，

；.47=40米，

当第一台拖拉机到6点时对学校产生噪音影响，此时4450,

由勾股定理得：仁30,

第一台拖拉机到〃点时噪音消失，

所以5=30.

由于两台拖拉机相距30米，则第一台到2点时第二台在。点，还须前行30米后才对学校没有噪音影

响.

所以影响时间应是：90+5=18秒.

答：这两台拖拉机沿恻方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒.

故答案为：18.

20.（2分）如图是一种笔记本电脑支架，它有力〜厂共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2M,已

知托架嵌的长度为24以?，〃点是支点且八2就当支架调至/点时，AMLOK,当支架调至£档时，托

架〃绕着点。旋转到如'，此时〃E=OE,则支点〃到力的距离为J避cm.

—3―

..•有4〜尸共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm,

:.AE=8cm,

•：OK=2Acm,OM=2MK,

OM=OM=16cm,

设MA=ME=OE=Xcm,则OA=(x+8)cm,

在RtZ\6W中，

由勾股定理，得

即(A+8)2=y+162,

解得x=12,

E=0E=12an,

过点就作施H10A,

设OH—ycm,则EH—(12-y)cm,

由勾股定理，得M甘=0M-Olf=ME-Etf,

即162-/=122-(12-y)3

解得了=丝，

3

H=VoM/2-OH2=J162-2=(cm).

Voo

答：支点r到小的距离为_!汉1■面.

3

故答案为：久恒.

3

三、解答题：本大题共8小题，共60分.

21.(6分)如图，学校有一块三角形空地力6C计划将这块三角形空地分割成四边形/应后和△颜C,分别

摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，/EDC=Q0°,DC=3,CE=5,班=7,AB=8,

AE=1,求四边形45笳的面积.

解：由题意得：AC=A^CE=1+5=G,BC=BADC="=\Q,

在Rt△瓦。中，由勾股定理得：DE^7CE2-DC2=752-32=4;

：62+&=102,

...△/况是直角三角形，且/掰「=90°,

S四边形a班£=&.一S^EO^—AB,AC--DE*DC=—X8X6-—X4X3=18.

2222

答：四边形/颇'的面积为18.

22.(6分)如图，海中有一小岛户，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在〃处测

得小岛户在北偏东60°方向上，航行16海里到〃处，这时测得小岛尸在北偏东30方向上.

(1)试说明△曲是等腰三角形；

(2)求〃点与小岛户之间的距离；

(3)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由.

(1)证明：由题意得：/PMN=Q0°-60°=30°,NPNM=90°+30°=120°,

.•.ZTW^180°-Z/W-Z/W=180°-30°-120°=30°,

：.APMN=ANPM,

:.zX/W是等腰三角形;

：.ZAPN=W°-ZPNA=30°,

设/A—x海里，

则蹬=2x海里，/片五/7/=4(2*)2-乂2=迎了(海里)，AM=MN^AN=(16+x)海里,

:/题4=30°,

:.PM=2AP=2MX(海里)，

在Rt△例尸中，由勾股定理得：PSf=AAf+AR,

即(2«x)2=(16+x)2+(5/3^)2，

解得：％=8,&=-4(不合题意，舍去)，

.•.7^2正义8=16«（海里）,

，〃点与小岛户之间的距离为16日海里；

（3）解：如果渔船不改变航线继续向东航行，不会有触礁危险，理由如下：

由（2）得：力—百x=8北（海里），

（8«）2=192>144=122,

；.8我>12,

.♦.如果渔船不改变航线继续向东航行，不会有触礁危险.

23.（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”.又到了放风筝的最佳时节.某校八年级（1）班的小

明和小亮学习了“勾股定理"之后，为了测得风筝的垂直高度幽他们进行了如下操作①测得水平距离

初的长为15米②根据手中剩余线的长度计算出风筝线比'的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为

1.6米.

（1）求风筝的垂直高度CE-,

（2）如果小明想风筝沿切方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

解：（1）在中，

由勾股定理得，CD-^BC--5Z?=252-152=400,

所以，CD=20（负值舍去），

所以，龙=小庞=20+1.6=21.6（米）,

答：风筝的高度四为21.6米；

（2）由题意得，CJIf=12,

：.DM=8,

BM=7DM2+BD2=V82+152=17（米），

：.BC-BM=23-17=8（米）,

.•.他应该往回收线8米.

24.(8分)如图1,图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息

滑杆班'、箱长式；拉杆46的长度都相等，郎DE=BC=AB=50an,点、B、尸在线段/C上，点。在座上,

支杆DF—30cm.

(1)当£与「点重合，CF=40c〃时，是什么三角形.

(2)若比‘=36腐时，B,〃相距48面，试判定物与龙的位置关系，并说明理由.

(3)当/比户=45°,6、=工47时，求切的长.

解：（1）与。点重合,

DC=DE=50cm,

DF=30cm,CF=40cm,

：.D（?=CP+DF,

:・/CFD=90°,

...△物是直角三角形；

（2）BDLDE,

理由：连接BD,

EC=36cm,DE=50cm,

:・CD=DE-EC=\4cm,

BC=50cm,BD=48cm,

：.缈+被=142+482=2500,B(?=502=2500,

・•・CI>+BI}=BG,

...△朋是直角三角形，

:"BDC=90°,

:.BDLDE；

(3)过点尸作句垂足为总

,:BC=AB=5Qcm,

：.AC=AB+BC=100(c加，

"：CF=^AC,

5

."=JLX100=20(cm),

5

在RtZifW中，/DCF=45°,

,/TJ-CF・sin45。—20义华=10近(cm),

C^6F-cos45°-20X亨=10料(cm),

■:DF=30cm,

22

DH^7DF-FH=V302-(I0V2)2=10W(cm),

：.CD=OfrDH=(10V2+10V7)cm,

的长为(10V2+10V7)cm.

25.(8分)如图，//必=90°,OA=45cm,OB=\5cm,一机器人在点6处看见一个小球从点/出发沿着

力。方向匀速滚向点0,机器人立即从点6出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点。处截住了小球.如

果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程员是多少？

解：•••小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即充=。，设/C为x,则%=45-

由勾股定理可知OB+OG=BG,

又：〃=45,加=15,

把它代入关系式152+(45-x)2=4,

解方程得出x=25(ct).

答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程况■是25cm

26.(8分)为了积极宣传防疫，某区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路

腑的一侧点/处，小明家到公路腑的距离46为600米，假使广播车户周围1000米以内能听到广播宣

传，广播车户以250米/分的速度在公路腑上沿7W方向行驶时，假如小明此时在家，他是否能听到广播

宣传？若能请求出他总共能听到多长时同的广播宣传？若不能，请说明理由.

A

MpBN

解：小明能听到宣传，

理由：：村庄A到公路腑的距离为600米＜1000米，

小明能听到宣传；

如图：假设当宣讲车行驶到户点开始小明听到广播，行驶到0点小明听不到广播,

则/―/glOOO米，49=600米,

，B仁100()2-6002=80°(米)，

；，g1600米,

，小明听到广播的时间为:16004-250=6.4（分钟），

他总共能听到6.4分钟的广播.

0人

27.（8分）如图所示，/、6两块试验田相距200米，C为水源地，4c=160/，BC=120m,为了方便灌溉,

现有两种方案修筑水渠.

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到4B；

乙方案；过点C作4?的垂线，垂足为〃先从水源地。修筑一条水渠到46所在直线