中考数学压轴大题专练：半角模型（解析版）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题02半角模型

解题策略

模型1：正方形中的半角模型

如图1.在正方形ABCQ中，点E.F分别在边BC,CD上，NEAF=45°,连接EF.则:

(1)EF=BE4-DF；

(2)如图2.过点A作AG_LEF于点G.则AG=AD；

(3)如图3,连接BD,与AE交于点H.连接FH.则FH±AE.

图1图2图3

【拓展I］如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边CB,DC的延长线上"EAF=45°,连接EF,则

EF=DF-BE.

【拓展2】将正方形变成一组邻边相等、对角互补的四边形:如图，在四边形ABCD中,AB=AD,

N8AD+/C=180°,点E,F分别在边BC,CD匕NEAF=连接EF,则EF=BE+DF.

模型2：等腰直角三角形中的半角模型

如图.在△ABC中.AB=AC./BAC=90°.点D.E在边BC上,且/DAE=45°.则:

(DABAEGOAADECZJAC'DAS

(ZyBiy+CE^DE1.

___经_典__例__题___.

【例1】（2020•山西晋中•八年级阶段练习）如图所示：已知44BC中，^BAC=90°,AB=AC,在NB4C内部

作AM4N=45°,4M、AN分别交BC于点M,N.

［操作］（1）将4ABM绕点力逆时针旋转90°,使力B边与力C边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q,得到力CQ,

请在图中画出/力CQ;（不写出画法）

［探究］（2）在（1）作图的基础上，连接NQ,求证：MN=NQ;

［拓展］（3）写出线段BM,MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由.

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）MN2=BM2+NC2,理由见详解.

【分析】（1）根据旋转中心、旋转方向和旋转角度进行作图即可；

（2）先根据SAS判定△MANgAQAN,进而得出结论；

（3）再由全等三角形和旋转的性质，得出MN=NQ,MB=CQ,最后根据R3NCQ中的勾股定理得出结论;

【详解】解：（1）如图，AACQ即为所求；

（2）证明：由旋转可得，△ABM*Z\ACQ,

，AM=AQ,ZBAM=ZCAQ

VZMAN=45°,ZBAC=90°

ZBAM+ZNAC=45°

ZCAQ+ZNAC=45°,即ZNAQ=45°

在aMAN和AQAN中

'AM=AQ

4MAN="AN,

.AN=AN

.,.△MAN^AQAN（SAS）,

，MN=NQ；

（3）MN2=BM2+NC2；

由（2）中可知，MN=NQ,MB=CQ,

又NNCQ=/NCA+ACQ=/NCA+/ABM=450+45°=90°

在RtANCQ中，有

NQ2=CQ2+NC2,

即MN2=BM2+NC2；

【点睛】本题主要考查了图形的旋转、全等三角形，以及勾股定理，解决问题的关键是掌握旋转变换思想

方法在解决问题过程中的应用.解题时注意：①旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全

等），②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等（都是旋转角），③经过旋转，对应点到旋转

中心的距离相等.

【例2】.（2022•全国•九年级专题练习）折一折：将正方形纸片N5CD折叠，使边48、都落在对角线

/C上，展开得折痕/£、AF,连接斯，如图1.

⑴NEAF=°,写出图中两个等腰三角形：(不需要添加字母)；

(2)转一转：将图1中的/以尸绕点/旋转，使它的两边分别交边2。、CD于点尸、Q,连接P。，如图2.线

段BP、PQ,。。之间的数量关系为；

(3)连接正方形对角线3D,若图2中的的边/尸、分别交对角线AD于点M、点、N,如图3,贝！I

CQ_

前一--------；

(4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线AD剪开，如图4.求证：BM2+DN2=MN2.

【答案】(1)45；AAEF,/\CEF,

(2)PQ=BP+DQ

⑶近

(4)见解析

【分析】(1)利用翻折变换的性质可得NE4尸=45。，证明(4SL4),推出8E=Z)RAE=AF,

可得结论.

(2)结论：PQ=BP+DQ.如图2中，延长CB到T,使得37=00.证明△必修八以。(SAS),可得结

论.

(3)证明可得需=*=&.

(4)如图4中，将△NZW绕点/顺时针旋转90。得到△48R,连接RW.证明g△/AWC&4S),ZRBM

=90°,可得结论.

(1)

解：如图1中，

图1

•.•四边形/BCD是正方形，

：.AB=AD=BC=CD,ZBAD=90°,

：.ABC,△/DC都是等腰三角形，

VZBAE=ZCAE,ZDAF=ZCAF,

：.NEAF=1(ZBAC+NDAC)=45°,

■:/B4E=NDAF=22.5°,NB=ND=90°,AB=AD,

:.ABAE名LDAF(ASA),

：.BE=DF,AE=AF,

,:CB=CD,

：.CE=CF,

：.AAEF,△CEF都是等腰三角形，

故答案为：45,AAEF,/XEFC.

⑵

解：结论：PQ=BP+DQ.

理由：如图2中，延长C2到7,使得37=。°.

图2

\"AD^AB,乙4DQ=NABT=90。,DQ=BT,

：.AADQ^AABT(SAS),

J.AT^AQ,/DAQ=/BAT,

'：ZPAQ=45°,

：.APAT=ZBAP+NBAT=ZBAP+ZDAQ=45°,

：.NPAT=/PAQ=45。,

'：AP=AP,

：./\PAT^j\PAQ(SAS),

：.PQ=PT,

,:PT=PB+BT=PB+DQ,

：.PQ=BP+DQ.

故答案为：PQ=BP+DQ.

(3)

解：如图3中，

图3

:四边形是正方形，

/ABM=ZACQ=/A4C=45°,NC=”AB,

ZBAC=NP40=45。，

・・・/BAM=NCAQ,

:•丛CAQs丛BAM,

.CQ_AC_nz

BM=AB=V'

故答案为：V2.

(4)

证明：如图4中，将△4DN绕点4顺时针旋转90。得到△48R,连接

图4

VZBAD=90°,ZMAN=45°,

：.ZDAN+NBAM=45°,

"：/DAN=/BAR,

：.ZBAM+ZBAR=45°,

：.NMAR=NMAN=45°,

■:AR=AN,AM=AM,

:.AAMRmAAMN(&4S),

:.RM=MN,

ND=ZABR=ZABD=45°,

：./RBM=90。,

：.RM2^BR2+BM2,

,:DN=BR,MN=RM,

:.BNf+DN^MN2.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角

形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

【例3】.(2022•江苏•八年级专题练习)问题情境

在等边△48C的两边/瓦/C上分别有两点M,N,点、D为丛ABC外一点、,且/MLW=60。，NBDC=120。,

BD=DC.

特例探究

如图1,当ZW=DN时，

(1)ZMDB=度；

⑵MN与BM,NC之间的数量关系为；

归纳证明

(3)如图2,当DM丰DN时，在NC的延长线上取点E,使CE=BM,连接DE,猜想MN与BM,NC之间

的数量关系，并加以证明.

拓展应用

(4)的周长与△48C的周长的比为.

【答案】(1)30；(2)MN=BM+NC；(3)MN=BM+NC,证明见解析；(4)-

【分析】(1)先证明是等边三角形，则MN=DM=DN,再证明Rt/\DBM^Rt/\DCN(HL),得/BDM

=/CDN=30。；

(2)由(1)得。M=28M,可得结论MV=28M=3Af+NC；

归纳证明：无证ADBMmLDCE(HL),DM=DE,ZBDM=ZCDE,再证g/XEDN(&4S),得

MN=NE,可得结论及W=8M+CN；

拓展应用：

(3)首先根据题意利用SAS证明△D8W9△OCE,然后证明0△成W,根据全等三角形对应相等

通过线段之间的转化即可得到MN=BM+NC；

(4)由(3)得到A/N=8M+NC,则的周长=2NB,ZX/BC的周长=3N3,即可得出结论.

【详解】特例探究:

解：(1)•:DM=DN,/MDN=60。,

£\MDN是等边三角形,

:・MN=DM=DN,

VZBDC=120°,BD=DC,

：./DBC=/DCB=30。,

***4ABe是等边三角形，

・•・/ABC=NACB=60。,

：./DBM=NQCN=90。，

,:BD=CD,DM=DN,

:.Rt丛DBM"Rt丛DCN(HL),

：.ZMDB=ZNDC=30°,

故答案为：30；

(2)由(1)得：DM=2BM,DM=MN,RtADBMWRt&DCN(HL),

：.BM=CN,

：.DM=MN=2BM=BM+NC,

即MN=BM+NC；

归纳证明

(3)解：猜想：MN=BM+NC,证明如下：

***AABC是等边三角形，

・•・/ABC=NACB=60。,

":BD=CD,ZBDC=120°,

：.ZDBC=ZDCB=30°,

：./MBD=/NCD=90。.

：.ZMBD=ZECD=90°,

又•：BD=CD,BM=CE,

：.ADBM^ADCE(SAS),

:,DM=DE,NMDB=/EDC,

VZMDN=60°,ZBDC=120o,

：.ZMDB+ZNDC=60°,

ZEDN=ZNDC+ZEDC=ZMDB+ZNDC=60°,

：./EDN=ZMDN,

又,：DN=DN,

:.△MDN"AEDN(SAS),

：.MN=EN=EC+NC=BM+NC；

拓展应用

(4)解：由(1)(2)得：MN=BM+NC,

：./\AMN的周长=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC=2AB,

'''/\ABC是等边三角形，

：.AB=BC=AC,

：.△4BC的周长=348,

/•AAMN的周长与LABC的周长的比为篝=|，

故答案为：

【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边

三角形的性质，全等三角形的判定和性质.

【例4】（2020•全国•九年级专题练习）请阅读下列材料:

已知：如图（1）在RtZ\/BC中，/A4c=90。，AB=AC,点。、E分别为线段上两动点，若NDAE=

45°.探究线段3。、DE、EC三条线段之间的数量关系:

（1）猜想3。、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想;

（2）当动点£在线段8C上，动点。运动在线段C8延长线上时，如图（2）,其它条件不变，（1）中探究

的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；

（3）已知：如图（3）,等边三角形/8C中，点。、£在边上，且/DC£=30。，请你找出一个条件，使

线段DE、AD,即能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.

【答案】⑴DE2=BD?+EC2；（2）关系式。£2=出）2+比2仍然成立，详见解析；⑶当时，线段

DE、AD,仍能构成一个等腰三角形，且顶角NDEE为120。.

【分析】(1)DE2=BD?+EC2,将沿直线对折，得A4FD,连FE,得到汪△Z2D,然后可

以得到/尸=48,FD=DB,NE4D=NBAD,ZAFD^ZABD,再利用已知条件可以证明△4FE1四△/CE,

从而可以得到ND尸E=N4FD+/NFE=45o+45o=90。，根据勾股定理即可证明猜想的结论；

(2)根据(1)的思路一样可以解决问题；

(3)当时，线段DE、AD.£8能构成一个等腰三角形.如图，与(1)类似，以CE为一边，作

ZECF=Z.ECB,在CF上截取Cb=C8,可得出△C8E,LDCF2ADCA,然后可以得到/£>=£>「

EF=BE.由此可以得到NDFE=Nl+N2=N/+N8=120。，这样就可以解决问题.

【详解】解:(1)DE2=BD2+EC2；

证明：如图，将沿直线对折，得△/FD,连FE,

：.AAFD^/\ABD,

：.AF=AB,FD=DB,ZFAD=ZBAD,ZAFD=ZABD,

VZBAC=90°,ZDAE=45°

：./BAD+NCAE=45°,ZFAD+ZFAE^45°,

：.ZCAE=ZFAE

又AE=AE,AF=AB=AC

LAFE名LACE,

：.ZDFE=ZAFD+ZAFE=45o+45°=90°,

：.DE2^FD2+EF2

：.DE2=BD2+EC2-,

(2)关系式。仍然成立.

证明：将△4DB沿直线4。对折，得&4FD,连FE

：.AF=AB,FD=DB,

ZFAD=ABAD,AAFD=Z.ABD,

又；AB=AC,

；.AF=AC,

'：NE4E=ZFAD+ZDAE=NE4D+45。,

ZEAC=ABAC-NBAE=9。。-(ZDAE-NDAB)=45。+”48,

NE4E=ZEAC,

又；AE=AE,

：.LAFE咨AACE,

：.FE=EC,ZAFE=ZACE=45°,ZAFD=ZABD=ISQ°-ZABC=135°

:.NDFE=/AFD-N4FE=135°-45°=90°,

.•.在RtZXDFE中，DF2+FE2^DE2,

即DE2=BD2+EC\

(3)当4D=2E时，线段。E、AD、E8能构成一个等腰三角形.

如图，与(2)类似，以CE为一边，作NECF=NECB,在CF上截取CF=C8,

可得△CFE也△C8£,ADCF^ADCA.

；.AD=DF,EF=BE.

：.ZDFE^Zl+Z2^ZA+ZB=120°.

若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF,即40=3后，

.•.当时，线段40、班能构成一个等腰三角形，且顶角/OFE为120。.

【点睛】此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点,

此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据.

培优训练

\________；_______z

一、解答题

1.（2022•陕西西安•七年级期末）问题背景：

如图1,在四边形45c〃中AB=AD,/.BAD=120°,乙8=4WC=90。，E、/分别是8C,CD上的点，

且2瓦4尸=60。，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长尸。到

点G,使。G=B£,连接/G,先证明△A8E三AADG,再证明△力三AAGF,可得出结论，他的结论应是

G

图1

实际应用:

如图2,在新修的小区中，有块四边形绿化48c£）,四周修有步行小径，S.AB=AD,ZS+ZJD=180°,在

小径BC,CD上各修一凉亭E,F,在凉亭£与尸之间有一池塘，不能直接到达，经测量得=

8£=10米，。尸=15米，试求两凉亭之间的距离

图2

【答案】问题背景：EF=BE+FD；实际应用：两凉亭之间的距离即为25米

【分析】（1）根据丝△NOG可得B£=DG,根据△/尸得£F=G尸，进而求得结果；

（2）延长CD至〃，粳DH=BE,可证得且ZUBE,进而证得ARI〃丝△E4E,进一步求得M.

【详解】解：问题背景：；N4DC=90。，ZADC+ZADG=180°,

，ZADG=90°,

在和中，

BE=DG

Z-B=Z.ADG,

、AB=AD

：./\ABE^AADG(SAS),

：・AE=AG,NBAE=/DAG,

•；NEAF=60。,ZBAD=nO0,

：.ZBAE+DAF=120°-60°=60°,

：.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=600=ZEAFf

在和A/G/中，

AE=AG

Z-EAF=/.GAF,

、AF=AF

:•△AEFQAAGF(S4S),

：.EF=FG,

FG=DG+DF=BE+DF,

：.EF=BE+DF,

故答案为：EF=BE+DF；

实际应用：如图2,延长CD至H,使DH=BE,连接

ZADH+ZADC=180°f

・•・NADH=NB,

在△/£)〃和中,

AD=AB

/LADH=乙B,

、DH=BE

MADH咨AABE(SAS)f

：.AE=AH,ZBAE=ZDAH,

ZEAF=^ZBAD,

2

ZHAF=ZDAH+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

在△/£/和中，

-AE=AH

AEAF=AHAF,

.AF=AF

：.AAEF^/\AGF(S4S),

：.EF=FH,

"：FH=DH+DF=BE+DF,

：.EF=BE+DF,

：5£=10米，。8=15米，

0+15=25(米).

【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等

三角形并两次证全等是解题的关键.

2.(2022•河北邢台•九年级期末)学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：

“如图1,在正方形48CD中，ZEAF=45°,求证：EF=BE+DF.”

小明同学的思路：：四边形/BCD是正方形，ZB=ZADC=90°.

把△/BE绕点A逆时针旋转到△4DE'的位置，然后证明△AFE三△AFE',从而可得EF=E'F.

EF=ED+DF^BE+DF,从而使问题得证.

图1图2图3图4

(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：

如图2,在四边形/BCD中，AB=AD,/B=/D=90。,Z.EAF=^BAD,直接写出所，BE,。尸之间的

数量关系.

(2)【应用】如图3,在四边形/BCD中，AB=AD,ZJB+ZD=180°,Z.EAF=^BAD,求证：EF=BE+

DF.

(3)【知识迁移】如图4,四边形/APC是。。的内接四边形，8c是直径，AB=AC,请直接写出尸8+PC与

/尸的关系.

【答案】(1)BE+DF=EF

(2)证明见解析

(3)PB+PC=y/2PA

【分析】(1)将△48E绕N点逆时针旋转，旋转角等于得△4DE',证明名△力E,F,等量代换

即得结论；

(2)将△/BE绕点N逆时针旋转，旋转角等于NB4D,先证明/区49=/£4/，再证明△/£1/丝等

量代换即得结论；

(3)将△小尸绕点/逆时针旋转90。得到△力CP',先利用圆内接四边形的性质证明尸，C,P在同一直线上,

再证明为等腰直角三角形，等量代换即得结论.

(1)

解：结论：BE+DF=EF,理由如下：

证明：将△48E绕点/逆时针旋转，旋转角等于NA4D,使得48与ND重合，点£转到点E'的位置，如图

所示，

可知AABEmA4DE',

：.BE=DE'.

由N/Z>C+NaDE'=180。知,C、D、E'共线,

：

,Z.EAF=-2/.BAD,

：.NBAF+/DAF=NEAF,

：.ZDAE+ZDAF=ZEAF=^E'AF,

・•・AAEF^AAE'F,

EF=EF=BE+DF.

⑵

证明：将△N2E绕点/逆时针旋转，旋转角等于NR4D,使得A8与重合，点E转到点E'的位置，如图

所示，

由旋转可知△ABE=△ADE,

:.BE=DE',ZB=^ADE',^BAE=Z.DAE,AE=AE.

Z5+Z^DC=180°,

：./LADC+^ADE'=180°,

...点C,D,E'在同一条直线上.

1

：

*A.EAF=-2£.BAD,

：.^BAE+ADAF=^BADf

：

.Z.DAE+Z.DAF=-2BAD,

J.AFAE=^BAD,

：.Z.EAF=Z.FAE.

9：AF=AF,

：.LFAE^^FAE,

：.FE=FE,即BE+DF=EF.

(3)

结论：PB+PC=V2PA，理由如下：

证明：将4/8尸绕点/逆时针旋转90。得到△力CP',使得与AC重合，如图所示,

由圆内接四边形性质得：ZACP'+ZACP=180°,

即尸，C,P'在同一直线上.

：.BP=CP',AP=AP',

为直径，

ZBAC=90°=ZBAP+ZPAC=ZCAP'+ZPAC=^PAP',

.•.△PAP'为等腰直角三角形，

：-PP'=五PA,

即P8+PC=V^P4

【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等

腰直角三角形的判定及性质等知识点.解题关键是利用旋转构造全等三角形.

3.(2021•重庆•九年级专题练习)将锐角为45。的直角三角板的一个锐角顶点尸与正方形ABCD的顶

点/重合，正方形48co固定不动，然后将三角板绕着点/旋转，的两边分别与正方形的边3C、

DC或其所在直线相交于点£、F,连接

(1)在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边C2、。。相交时，如图1所示，请直接写

出线段BE、DF、M满足的数量关系；

(2)在三角板旋转过程中，当/MPN的两边分别与正方形的边C3、DC的延长线相交时，如图2所示，

请直接写出线段BE、DF、所满足的数量关系；

(3)若正方形的边长为4,在三角板旋转过程中，当/儿ffW的一边恰好经过3C边的中点时，试求线段M

的长.

【答案】(1)EF=DF+BE；(2)EF=DF-BE；(3)线段E/的长为日或日.

【分析】(1)延长FD至G,使DG=8E,连接/G,先证△48E也△/DG,再证△GAFgZkE/F即可;

(2)在。。上截取。连接///,先证△4DSA4BE,再证△H4/也E4F即可；

(3)分两种情形分别求解即可解决问题.

【详解】解：(1)结论：EF=BE+DF.

理由：延长FD至G,使DG=BE,连接NG,如图①，

：.AB=AD,ZABE=ADG=ZDAB=90°,

：./\ABE^/\ADG(AAS),

：.AE=AG,ND4G=NEAB,

"：ZEAF=45°,

：.ZDAF+ZEAB=45°,

・•・ZDAF+ZDAG=45°f

:・NGAF=/EAF=45。,

•：AF=AF,

・••△GAFQ4EAFCAAS)f

:・EF=GF,

：.GF=DF+DG=DF+BE,

即：EF=DF+BE；

(2)结论：EF=DF-BE.

理由：在。。上截取。〃=5E,连接如图②,

M

•；AD=AB,ZADH=ZABE=90°,

：./\ADH^AABE(SAS),

：.AH=AE,NDAH=NEAB,

•・•NEAF=/EAB+/BAF=450,

：.ZDAH+ZBAF=45°,

：.ZHAF=45°=ZEAF,

•：AF=AF,

：・△HAFAAF(S4S),

:・HF=EF,

•:DF=DH+HF,

：.EF=DF-BE；

(3)①当K4经过8C的中点E时，同(1)作辅助线，如图:

E,

BC

N

F

AD

7G

设阳=x,由（1）的结论得/G=E尸=2+x,FC=4-x.

在RtAEFC中,(x+2)2=(4-x)2+22,

・4

・・X=i，

.3+2*

②当M4经过5c的中点G时，同（2）作辅助线,

设3E=x,由（2）的结论得£C=4+x,EF=FH,

为3c边的中点，

1

：.CK=^BC=2,

同理可证△/3K四/CK（SAS）f

CF=AB=4,EF=FH=CF+CD-DH=S-x,

在RtAEFC中,由勾股定理得到：（4+x）2+42=（8-x）2,

综上，线段防的长为弓或g.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理

等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解

决问题.

4.（2022・全国•八年级课时练习）综合与实践

（1）如图1,在正方形ABCZ）中，点M、N分别在40、CD±,若/MBN=45。,则MN,AM,CN的数量

关系为.

图2图3

(2)如图2,在四边形48CD中，BC//AD,AB=BC,N/+NC=180。，点M、N分别在4D、CD上，若

ZMBN^ZABC,试探索线段AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明.

（3）如图3,在四边形488中，AB=BC,乙4BC+乙4DC=180。，点M、N分别在以、CD的延长线上，

若试探究线段MV、AM,CN的数量关系为.

【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN,理由见解析；（3）MN=CN-AM,理由见解析

【分析】（1）把绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM',BM=BM',/A=NBCM',

AABM=AM'BC,可得到点AT、C、N三点共线，再由/AffiN=45。，可得NM'BN=NMBN,从而证得

△NBM公ANBM，,即可求解；

（2）把△NA攸绕点B顺时针旋转使N3边与8c边重合,则AM=CM',BM=BM',ZA=ZBCM',ZABM=ZM'BC,

-1____

由N4+NC=180。，可得点AT、C、N三点共线，再由可得到从而证

得二NBM"丛NBM',即可求解;

(3)在NC上截取连接3AT,由NN5C+/NDC=180。，可得NBNM=NC,再由NB=BC,可

证得△4BM空△CBM',从而得到4W=CAT,BM=BM',Z.ABM=ACBM',进而得到/腿4Af=/48C,再

由/〃3N=TN4BC,nJWZMBN^ZM'BN,从而得到△NSW四△NSAf,即可求解.

【详解】解：(1)如图,把△43"绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合,则AM=CM',BM=BM',ZA=ABCM',

ZABM=ZM'BC,

在正方形/BCD中，/A=NBCD=NABC=9Q°,AB=BC,

ZBCM'+ZBCD=18Q°,

...点AT、C、N三点共线，

*.*ZMBN=45°,

：.ZABM+ZCBN=45°,

：.ZM'BN=ZM'BC+ZCBN=ZABM+ZCBN=45°,

即/M'BN=/MBN,

,:BN=BN,

：.丛NBM迫ANBM',

：.MN=M'N,

M'N=M'C+CN,

：.MN=M'C+CN=AM+CN；

(2)MN=AM+CN；理由如下：

如图，把△NB"绕点8顺时针旋转使48边与BC边重合，则NM=CW,BM=BM',NA=NBCM',

Z.ABM=Z.M'BC,

D

•/Z^+ZC=180°,

・・・/BCM，+NBCD=180。,

・••点C、N三点共线，

•.*/MBN=)ABC,

i

JZABM+ZCBN=^ZABC=/MBN,

2

：./CBN+/MEC=/MBN,即/M，BN=/MBN,

•:BN=BN,

：.丛NBM^ANBM',

：.MN=MrN,

・：M，N=MC+CN,

：.MN=MrC+CN=AM+CN；

(3)MN=CN-AM,理由如下：

如图，在NC上截取CAT=4M,连接5AT,

•・•在四边形中，ZABC+ZADC=lS0°f

•••NC+NA4ZA180。，

ZBAM+ZBAD=lS0°f

：./BAM=/C,

•:AB=BC,

：.AABMQACBM’,

：.AM=CM\BM=BM',/ABM=/CBM',

/MA

i

*.*/MBN=)ABC,

2

：.ZMBN=-ZMAM'=/M'BN,

2

'：BN=BN,

：.MN=M'N,

"：M'N=CN-CM',

：.MN=CN-AM.

故答案是：MN=CN-AM.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线,

得到全等三角形是解题的关键.

5.(2022•江苏•八年级课时练习)(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,AB=AD=90°,E,F分别

是边8C,CD上的点，且4日4尸=亚34。.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：；

⑵如图②，在四边形48CD中，A8=AD,NB+LD=180°,E,F分另U是边BC,CD上的点，且NE4F=^BAD,

Cl)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

(3)在四边形4BCD中，AB=AD,AB+AD=180°,E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且NE力F=

l^BAD.请画出图形(除图②外)，并直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系.

【答案】(1)EF^BE+FD-,(2)成立，理由见解析；(3)图形见解析，EF=BE-FD

【分析】(1)延长即到G,使BG=DF,连接NG.证明△ZGE和△4EF全等，KOEF=GE,则斯=2E+DR

证明△4BE和中全等，那么AG=AF,Z1=Z2,Zl+Z3=Z2+Z3=ZEAF^ZBAD.从而得出EF=GE；

(2)思路和作辅助线的方法同(1)；

（3）根据（1）的证法，我们可得出。户=5G,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE・DF.

【详解】（1）延长至G,使BG=OF,连接ZG,

U：^ABG=Z.ABC=NO=90°,AB=AD,

：.LABG^^ADF,

：.AG=AF,Z1=Z2,

Azi+z3=z2+z3=Z.EAF=^BAD,

：.^GAE=24F,

在^G4E和中，

AG=AF

*：\/.GAE=^EAF,

、AE=AE

：.^GAE^^FAE(SAS),

：.EG=EF,

;EG=BE+BG,

：.EF=BE+FD.

故答案为：EF=BE+FD

(2)(1)中的结论仍成立，

证明：延长CB至M,使BM=DF,

Vz^C+z.D=180°,zl+AABC=180°,

zl=Z.D>

在△ZBM和△ZOF中，

AB=AD

zl=乙D,

BM=DF

：.^ABM^LADF{SAS},

：.AF=AM,Z2=Z3,

i

'：/LEAF=-Z.BAD,

2

."2+Z4=^BAD=/.EAF,

.\Z3+Z4=NE4F即NAME=/.EAF,

在△AME和A4FE中，

-AM=AF

/.MAE=Z.EAF,

,AB=AE

；.△AME丝△力FE(54S),

EF=ME,即EF=BE+BM.

(3)EF=BE—FD,

证明：在BE上截取BG使BG=DF,

连接力G,

'：+^ADC=180°,^LADF+^ADC=180°,

,*.Z-B=Z-ADF,

•・•在△ZBG和△ZDF中，

AB=AD

Z.ABG=Z-ADF,

、BG=DF

•••△ZBG4△ZOF(SZS),

：.Z.BAG=Z.DAF,AG=AF,

：.ABAG+LEAD=ND力F+AEAD=4EAF=^BAD,

：.^GAE=^EAF,

在A4EG和△AEF中，

'AG=AF

^GAE=^EAF,

.AE=AE

；.△AEG丝△AEF(SAS),

：.EG=EF,

"：EG=BE-BG,

：.EF=BE-FD.

【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有

明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.

6.(2021•辽宁•沈阳市南昌中学(含：西校区、光荣中学)九年级阶段练习)如图，菱形/BCD与菱形E2GF

的顶点8重合，顶点/在射线NC上运动，且N8CD=NBGF=120。，对角线/C、8。相交于点。

(1)如图1.当点尸与点。重合时，直接写出普的值为；

FD

(2)当顶点下运动到如图2的位置时，连接CG,CG1BG,且CG=BC,试探究CG与。尸的数量关系，

说明理由，并直接写出直线CG与。尸所夹锐角的度数；

(3)如图3,取点尸为4D的中点，若B、E、P三点共线，且当CF=2时，请直接写出的长.

【答案】⑴亨；(2)FD=V3CG,30°；(3)3-

【分析】(1)设菱形/8C。边长A8=2a,由菱形性质和已知得出=30。，/.BAO-60°,BF=FD=

—AB=y[3a,再由含30度角的直角三角形的性质求出BF=FD=省力B=V5a,AE=EF^BE=^AB=a,进

而求得喘的值；

FD

(2)菱形48CD的边长为2a,由ABGC是等腰直角三角形CG=与BC=夜a,再已知菱形的条件，求出△BOF

是等腰直角三角形，继而得出BF=D尸=连心从而求出FD=gCG,由3、。是关于NC的轴对称可知

乙CDF=乙CBF=15°,再由三角形外角的性质可得直线CG与。尸所夹锐角的度数为30。；

(3)利用半角模型将ABCF逆时针旋转60。到AB4M位置，从而得出△BNFBABNM(SAS),得到一个由

CF、NF、NN三条线段长组成的三角形，而且有内角为120。，从而确定三条线段关系，再利用中位线定理

和三角形相似在菱形中得出NF、/N与菱形边长关系，求出菱形边长即可解答.

【详解】解：(1)设菱形NBCD边长4B=2a,

;在菱形中，4BCD=乙BGF=120°,

：.AC1BD,AABC=60°,^BAD=120°,

AZ.ABD=30°,/.BAO=60°,BF-FD=曰AB=Wa,

:在四边形EBGF是菱形，Z.BGF=120°,BE=EF,

：.4EBH=乙EFH=30°,

.­.Z.AFE=60°,

力FE=NE4O=60°,

：.AE=EF,

1

：.AE=EF=BE=-AB=a,

2

.AE___a__V3

"FD-y/3a-3•

(2)FD=V3CG,直线CG与。尸所夹锐角的度数为30。.

理由如下，如图，连接8尸，延长GC交FD于N,

设菱形4BCD的边长为2a,

VCG1BG,且CG=BG,

."GBC=NGCB=45。，CG^—BC=<2a

2

ZGBE=60。,

丁四边形EBGF是菱形，（BGF=120°,

i

・•・乙GBF=Z.BFG=-Z-GBE=30°,

2

:•乙CBF=（GBC-乙GBF=15°,

：.Z.OBF=乙OBC+Z-CBF=30°+15°=45°,

U：ACLBD,BO=DO.

J.Z.BFO=Z.OBF=45°,BF=DF,

由（2）可知：BO=Wa,

:・BF=DF=46a,

:・DF=WCG,

由5、。是关于4C的轴对称可知，Z.CDF=/.CBF=15°,

又.：乙DCN=180°-^BCG-^BCD=15°,

:.乙GNF=4CDF+（DCN=30°,

即直线CG与DF所夹锐角的度数为30。；

(3)BP=3位,

过程如下：依题意，作出图形，此时3、£、尸三点共线,

连接8尸，并将线段5尸绕点8逆时针旋转60。到5M位置，连接MG、MA,

=NFBM=60°,BC=BA

J.LBCF=△BAM(SAS)

；.AM=CF=2,^MAB=^FCB=60°,

1

U：Z-EBF=-^GBE=30%

2

:,(MBN=Z.FBM-乙FBN=30°,

:•乙MBG=乙FBG=30°,

:・》BNF三bBNM(SAS),

：.FN=MN

过M点作MH_LC7/,

U：^BAO=60°,

：.Z.MAH=60°,A.HMA=30°,

.,.AH=-AM=1,MH=WAH=W，

取。。的中点。，连接。尸，

'：AP=PD,

:.PQ=}OA,PQ//OA,

：.△BNO-ABPQ,

,NO_BO_20Q_2

**~PQ~~BQ~30Q~3f

21

：.N0=-PQ=-0A,

3y3

设菱形4BCD的边长为2a,贝！M。=CO=^AB=a,

17

：.AN=AO-ON=a--a=-a,

33

14

MN=FN=CO+ON-CF=a+-a-2=-a-2

33f

2

N"=N/+4H=：Q+1,

222

在中，NH+MH=MNf

.-.（|a+l）2+（V3）2=（"-2产

解得。1=0（舍去）,a2=3,

.".PQ=-a=-,BQ^-OD=-V3a=-V3,

y22y222

•・•在RtZkBPQ中，BQ2+PQ2=Bp2,

:,BP=JBQ2+PQ2=6）2+（!V3）2=3V7.

【点睛】本题是几何旋转综合题，主要考查了菱形的性质、旋转全等、30。直角三角形性质和勾股定理解

三角形等，解题关键是利用特殊角进行计算得出其他角度数，利用旋转得到由3、NF./N三条线段长组

成的三角形，而且有内角为120。，从而通过已知计算.

7.（2022•江苏•八年级课时练习）如图，C4=CB,CA1CB,AECF=45°,CD=CF,乙ACD=LBCF.

（1）求NHCE+NBCF的度数；

（2）以E为圆心，以力E长为半径作弧；以尸为圆心，以BF长为半径作弧，两弧交于点G,试探索AEFG

的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由.

【答案】（1）45°；（2）见详解

【分析】（1）由CC2,可得/ZC8=90。，再根据NEC尸=45。，即可得出答案；

(2)如图，连接DE,先证明△ECFgAECZ)(SAS),可得DE=EF,再证明^(&4S),可得

AD=BF,NCAD=NB,即可得出NZUE=90。，再利用SSS证明△EFG^ZkEC%,即可得出答案.

【详解】解：(1)VG4XC5,

・•・ZACB=90%

：.ZACE+ZECF+NSCb=90。，

・・・NECF=45。,

：.ZACE+ZBCF=90°-ZECF=45°；

(2)△斯G是直角三角形，理由如下:

如图，连接QE,

由(1)知，ZACE+ZBCF=45°,

•・・NACD=NBCF,

AZACE+ZACD=45°,即NZ)CE=45。,

ZECF=45°,

・•・ZECF=AECD,

在△£＜；/和△EC。中，

CF=CD

乙ECF=乙ECD,

、CE=CE

:•△ECFQ^ECD(SAS)f

:・DE=EF,

在△C4Q和△C5/中，

CD=CF

^ACD=乙BCF,

、CA=CB

:•△CADQ^CBF(SAS)f

：.AD=BF,/CAD=NB,

,:FG=BF,

:.FG=AD,

VZACB=90°,CA=CB,

...AABC是等腰直角三角形，

；./CAB=NB=45°,

：.NDAE=NCAB+/B=90。,

在AEFG和△ED4中，

EG=EA

FG=AD,

.EF=ED

二△斯G出△£■£)/(SSS),

：.ZEGF=NEAD=90°,

.♦.△EPG是直角三角形.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，直角三角形的判定和性质，全等三角形判定

和性质等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，熟练运用全等三角形判定和性质解决问题.

8.(2021•河南平顶山•九年级期中)(1)阅读理解

如图1,在正方形48CD中，若E,尸分别是CD,3c边上的点，ZEAF=45°,则我们常常会想到：把△/£(£

绕点/顺时针旋转90。，得到A/8G.易证△/£尸0,得出线段BRDE,E尸之间的关系为；

(2)类比探究

如图2,在等边A/BC中，D,£为3c边上的点，/D4E=30。,BD=1,EC=2.求线段DE的长；

(3)拓展应用

如图3,在△48C中，AB=AC=&+®ZBAC=150°,点D,£在2C边上，ZDAE=15°,若。E是等

腰ANAE的腰，请直接写出线段3。的长.

图1图2图3

【答案】(1)LAGF,EF=DE+BF；(2)。£=夕；(3)BD=2或讨i

【分析】(1)证明△ZGFgAUEF(S4S),贝!JGR=EF,BPGF=BG+BF=DE+BF=EF,即可求解;

(2)证明也△/£D(S4S),则FD=DE,在RtAFBH中,ZFBH=60°,则BH=*F=1,FH=BFsin60°

=24=百，则FD=7FH2+"A=辱=ED,即可求解;

(3)①当。£=/。时，LADE咨AADF(S4S),在△N3C中，AB=AC=展+®NHAC=30。,由3(?

=(AB+AH>2+HC2得:5c2=G+*)2+(1%)2,求出5c=4+2百；在△/£>£中，AD=DE=a,ZADE

=30°,同理可得：4E=空立a,SAB2+AE2=BE2,求出a=2,即可求解；②当。E=4E■时，AD对应①中

2

的CE,即可求解.

【详解】解:(1)由图象的旋转知，4G=AE,NDAE=NGAB,

'：ZBAF+ZDAE=ABAD-NEAF=45。,

：.ZGAF=ZGAB+ZBAF=ZDAE+ZBAF=90°-ZEAF=45°=ZEAF