浙江省杭州市2023-2024学年高三年级上册期末数学试题

浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期期末数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合4=｛久|久2一2久一3WO｝,B=｛%|常＜1｝,则（）

A.[1,3]B.（1,3]C.[-1,1]D.[-1,1）

2.已知复数z满足z=-王（i为虚数单位），且怙|=遮，则=（）

A.2iB.-2iC.V2+V2iD.V2-V2i

3.已知随机变量Xi，X2分别满足二项分布Xi〜B（nig）,X2〜Bg?）,则”＞改”是“。（X。＞。氏）”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若0＜尢＜）,则工+器-的最小值是（）

2xl—2x

A.3+2V2B.6C.4V2D.9

5.冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性

繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该

细菌大约需要（参考数据：lg2«0.3）（）

A.3小时B.4小时C.5小时D.6小时

6.已知定义在R上的函数/（久）满足sinxf（x）+cos%/（%）＞0,则（）

A.B.C.D.f篇）〉何⑥

7.已知数列｛斯｝，｛0｝满足的=历=1,an+i=On+bn,bn+1=an-bn,则厮=（）

A.2'TB.2呼

8.已知四面体ABC。，△ABC是边长为6的正三角形，DA=DB=2®二面角。—AB—C的大小为弓兀，则

四面体4BCD的外接球的表面积为（）

A.4071B.527rC.727rD.847T

二'选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知平面向量N=（次,1）,5=（%,—3）,则下列命题正确的是（）

1

A.若五IIa则为=一3百B.若方，贝=旧

C.若忖+4=夕，则x=0D.若但乃)=,，则久=—遍

10.已知四棱柱4BCD—4/心。1的底面2BCD为菱形，且4D4B=申ArA=^-AB^乙4MB="4。，0

为久的的中点，P为线段AB】上的动点，则下列命题正确的是()

A.｛a,而，砧｝可作为一组空间向量的基底

B.｛丽丽前｝可作为一组空间向量的基底

C.直线OP〃平面CiBC

D.向量存在平面上的投影向量为加

11.已知函数/(久)=cos2久，g(x)=sin(2久+分贝I」()

A.将函数y=/(%)的图象右移各个单位可得到函数y=g(%)的图象

B.将函数y=/(%)的图象右移专个单位可得到函数y=g(%)的图象

C.函数y=/(%)与y=gO)的图象关于直线％=今对称

D.函数y=/(久)与y=g(x)的图象关于点(分,0)对称

12.(多选)已知数据无1<久2<久3〈久4〈久5<%6<X7,若去掉X4后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大,

记久1，%2>%3，％4的平均数与方差为五，S；,记必，久5，久6，久7的平均数与方差为超§|,贝lj()

A.+%2>2%4

B.%1+%2<2%4

C-sl-sl*[2：=1(冲-K4)2--%4)2]

S2

D.i-52<1[Zfc=1(Xfe-X4)-4g一％4)2]

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线y=V5的倾斜角是.

14.已知二项式(l+2x)n的展开式中含好的项的系数为84,则八=.

15.位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8

万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.

如图，为测量杭州世纪中心塔高2B,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得ZBCD=

70°,ABDC=30°,CD=108米，在点C测得塔顶A的仰角为80。，则塔高2B为米.(结果保留整

数,参考数据：cos80°«0.174)

2

16.已知点P是双曲线C：与—戏=l(a力＞0)与圆/+、2=。2+*在第一象限的公共点，若点P关于双曲

a乙b乙J

线C其中一条渐近线的对称点恰好在y轴负半轴上，则双曲线C的离心率e=.

四'解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

17.已知AZBC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=4,b=8,角C为锐角，已知△ABC的面积为

4V7.

(1)求c；

(2)若CC为上的中线，求ZBDC的余弦值.

18.已知立为公差为2的等差数列的前几项和，若数列｛需｝为等差数列.

(1)求a九；

(2)求数歹U｛S2仆的前几项和.

19.已知直三棱柱ABC-Zi/Ci，AB=AC=^AAr=2,ZB_LAC,D,E分别为线段CCV8%上的点，CD=1.

3

(1)证明：平面BZM1平面EC4i；

(2)若点J到平面EC&的距离为:求直线BD与平面EC&所成的角的正弦值.

20.已知点%,或为椭圆C::+y2=i的左，右焦点，椭圆C上的点P,Q满足％P〃F2Q，且P，Q在X轴

上方，直线尸iQ,F2P交于点G已知直线PF】的斜率为k(k>0).

(1)当k=>时,求IPF/+IQF2I的值;

(2)记APFiG,△QF2G的面积分别为另,S2,求Si-S2的最大值.

21.我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有

降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下：

元宵天气

中秋天气合计

降水无降水

降水194160

无降水5090140

合计69131200

(1)依据a=0.05的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？

(2)从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水,

记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求P(B|A).

2

参考公式与数据：x2=("黑襦

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

x

22.定义满足/(x0)=/'(&)的实数久0为函数y=/(X)的然点.已知/(X)=(Inx+a)e-.

(1)证明：对于VaCR,函数y=/(x)必有然点；

(2)设%。为函数、=/(%)的然点，判断函数g(%)=f(x)-"打)的零点个数并证明•

5

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：由不等式/一2%-3W0,可得(久+1)(久—3)<0,

解得：-1<%<3,即4=[―1,3]；

由不等式当W1,可得出y-IWO,即3TliW0,即产T)(匚二①二0,

X—1X—1x—1I%W1

解得：X<1或尤24,即B=(―8,l)u[4,+8),所以2CB=[―1,1).

故答案为：D.

【分析】先解不等式求集合4B,再根据集合的交集的定义求解即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：设复数z=a+bi,(a/CR),则2=a—九，

因为复数z满足z=-2i,所以a+bi=—(a—bi)xi=>a+b+(a+b)i=Ona=—b,

又因为|z|=V2,所以a?+炉=2,解得a=l,b=—1或a=—l,b=1,

所以z=l—i或z=—1+i,则z2=(1-i)2-2i或z2=(-1+i)2=-2i.

故答案为：B.

【分析】设复数z=a+bi,结合共轨复数的定义以及复数相等的充要条件、复数的模公式求解即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：因为Xi〜X2-B(n2,1),

i12112

所以C(Xi)=?ii.可.(1一可)=gn1(D(X2)=n2-g-(1-=”2,

所以的>出,则£)(X1)>0(X2),

若。(Xi)>。区),则处>九2.

所以“巧>放”是“D(Xi)>0(X2)”的充要条件

故答案为：C.

【分析】本题考查二项分布的方差，利用二项分布的方差公式。(x)=np(l-p)可求出0(X1),0(X2),再由充

分条件和必要条件的定义可判断出选项.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：因为0<无<々，所以1—2%>0,且2%+(1—2x)=1,

则4+y^-=[2久+(1—2久)](工+y^-)=3+^^+y^-N3+22x^2

7=32；

xl—2xL''八%1-2%x1—2%\xl-2x

当且仅当上空=g_时，即％=纥立时等号成立，则工+勿的最小值是3+2VI

xl—2x2x1—2%

故答案为：A.

【分析】由题意可得：1—2x>0,2x+(l—2x)=1,利用配凑法，结合基本不等式求解即可.

6

5.【答案】C

【解析】【解答】解：设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要万分钟，

Xy

由题意可得:1.223=10000,即方，吸=IglOOOO=4,

则工=笔争心罂”306.7,故大约需要警《5小时•

唱乙U.DOU

故答案为：C.

【分析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要工分钟，由题意列等式，化简结合对数的运

算性质求解即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：构造函数/(%)=但，定义域为｛%|久。3+k兀,kez｝,

COSX乙

求导可得/(%)='(%)cos%[/(%)sin%,因为sin;rf(x)+cos%/(%)>0,

所以Ffd)cos%¥㈤sin%>0恒成立，

coszx

则F(x)=看?在(-)+Mr4+krc^,kEZ上单调递增，

故哨<啮即媲台粤(翠n黑)〈商(9

b3T2

故答案为：B.

【分析】构造函数FQ)=爆，x^+kTi,kez,求导结合已知条件得到其单调性，即可得尸管)<尸隹)，

化简即可求解.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：由题意可得：斯+1+g+i=2an,

因为an+i=an+bn,所以即+2=即+1+"+1，则即+2=2an,即号手=2,

故数列｛斯｝的奇数项与偶数项分别构成等比数列，且公比为2,

由囱=历=1,可得。2=a1+b1=2,则数列｛%J的各项为1,2,2,4,4,8,8,…，

其中奇数项的通项公式为诙-%.2%」=2%^；

偶数项的通项公式为an=a2.2齐1=2%

故数列｛斯｝的通项公式为“_产寸(-1).

%一乙什

故答案为：D.

【分析】根据已知递推关系，求得粤2=2,即数列｛a｝的奇数项与偶数项分别构成等比数列，且公比为2,

ann

从而可得数列｛册｝的通项公式.

7

8.【答案】B

【解析】【解答】解：记2B中点E,连接C&DE,如图所示:

因为△ABC是边长为6的正三角形，DA=DB=2W，所以ABLCE/BLDE,

所以二面角D-AB-C的平面角为NCED=|兀，

取三角形4BC的外心0,设外接球的球心为0,则。31平面ABC,

且。4=OB=0C=0。=r,其中r为四面体ABCD外接球的半径，

过点。作OG垂直平面2BC,垂足为点G,由对称性可知点G必定落在0m的延长线上，如图所示:

设DF7,由正弦定理可得：的。=耳部产2后

贝！IO1E=CE-COi=6x^-2V3=V3>

由勾股定理可得：DE=J（2⑹2_住y=取,

故EG=DE,cos（7T-MED）=DE・cosJ=V3,DG=DE•sin（7r-MED）=DE・sinJ=|,

。。1=FG=—XfOF=O^G=

4z

由OD=OC=v，解得x=^,r=V13,

故四面体/BCD的外接球的表面积为471T2=527r.

故答案为：B.

8

【分析】根据题意，画出几何图形，找出外接球球心的位置，利用0。=0C=r以及图形几何关系表示出相应

的线段长度，结合勾股定理列方程求出外接球半径，代入球的表面积公式求解即可.

9.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：平面向量方=(8,1),另=(%,—3),

A、若方||b,贝”==解得第=—3K，故A正确；

B、若Nib,则V5x+1X(―3)=0,解得％=百，故B正确；

C、若B+H=V7,则a+b=J(V3+%)2+(1-3)2=V7,解得尤=0或x=—2遮，故C错误；

D、若依引=兽，则cos优切=cos^=—孚解得久=一班，故D正确.

故答案为：ABD.

【分析】根据向量共线定理求解即可判断A；根据向量垂直，向量的数量积为0,求解即可判断B；根据向量

的模公式求解即可判断C；根据向量的夹角公式求解即可判断D.

10.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：四棱柱4BCD—&B1C21，如图所示：

A、易知丽=B］D；,则向量港都在平面ZB］。］内，即%BI/K共面，则｛丽丽，福>｝共面，则

丽，福｝不可作为一组空间向量的基底，故A错误；

B、两个向量就,话都在平面04D,显然直线AB与平面04。是相交关系，而不与平面平行，

故。4。。,AB不共面，可作为­■组空间向量的基底，故B正确；

C、由于BD//BR1，ABJ/DCr,易得历小〃平面C/D,4B1〃平面C/。，

从而有平面〃平面CiBD,且OPu平面ABWi，所以直线0P〃平面CiBD,故C正确；

D、取｛荏，而，矶｝作为一组空间向量的基底，

OC=OC1+C1C=^^AB+AD)-AAt，B1D1=BD=^｛AD-AB),

>>>1>>,

OA-OA^+A^A——2(AB+4。)-AA1,

其中反=而2一通2)+^(AA1，AB-AA1-AD')9

9

因为底面ABCD为菱形，且=*4M=^AB，^AB=^ArAD,

得前2=荏2,AA1-AB=AA1-AD,所以浙.BI£）I=0,即反1B]D],OC1BXDX,

其中反=瓦品2_[4（彳g+而）]2,显然痂2=,荏2,

[1（AB+ZD）]2岩（荏2+前2+2荏.砌港2+霜+2前2cos引荏2,

所以加=0,即瓦，雨，OC1OA,

因为0CJ.BW1，OC1OA,且BiCiU平面ABWi，04u平面板小，B1D1OOA^O,

所以。Cl平面/Bi%,所以向量次在平面4Bi£）i上的投影向量为诃，故D正确.

故答案为：BCD.

【分析】易知丽=瓦瓦，容易判断04B1IMB1共面，即可判断A；先找到含有两个向量丽面的平面

判断方与平面0AD的关系即可判断B；证明平面ZBWi〃平面CiBD即可判断C；证明0C垂直平面AB1D1

即可判断D.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：AB、函数g（x）=sin（2x+或化简可得：

cos

g（x）=sin（2x+守）=—+2%+D=cos（2%-f）=cos[2（x-^）],

2十

则将函数y=f（x）的图象右移击个单位可得到y=cos[2（久_令）],故A正确，B错误；

C、由A选项可知，g0）=/（久一金），则函数y=/（久）与y=g（x）=/（%-金）的图象关于直线x=今对称,

故C正确；

D、若函数y=/■（£）与y=。（久）的图象关于点（分,0）对称，

则在y=/（%）上取点AO1y。关于（笠0）的对称点2偌一打,一yj必在y=g（%）上，

所以yi=cos2K1，所以g（需一久1）=sin[2（夸-久1）+^]=sin（普一2Kl+守）=sin（竽-2xJ=-cos2Ki=

一月，故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】先将函数y=g（x）化为贝久）=cos[2（%-金）|艮据三角函数的平移变换即可判断A,B；由A可知

g（x）=/（%—金）即可判断C；由g（每一支）=-八%）即可判断D.

12.【答案】A,C

【解析】【解答】解：由久1<也（久3<%4<&<%6<X7，去掉久4后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大,

则久1+“2+久3邙+久6+叼>—久2+叼+^+和+久6+叼,化简可得％]+牝+打+苑+汽+久7>6处，

67

则（％1+%2+%3+%4）+（久4+%5+%6+%7）>8X4>即％1+%2>2%4，故A正确，B错误；

10

由比_s'=_+个+4_（巧+犯；久3+过『_'+看泞号_,4+久5：+町］

=［（*+x2+XD-（X5+X6+X7）+4同-%T2）］

1__

=4［（%2+x|+x|）-（x|+*+%7）+4（石+亚）心-近）］

1

>4［（%：+其+x3）_（X|+耳+x7）+8X4（石一砧］

*［2：=1（4_久4）2-2；=4（4_尤4）2］，故C正确，D错误.

故答案为：AC.

【分析】由题意，根据去掉尤4后剩余6个数的平均数比7个数的平均数大，列出不等式变形化简即可判断AB；

根据方差公式作差后变形，再利用石+取>2M，即可判断CD.

13.【答案】0

【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为ae［0,兀），易知直线y=遮的斜率为0,贝I|tana=0,解得a=0,

则直线y=遍的倾斜角为0.

故答案为：0.

【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系求解即可.

14.【答案】7

【解析】【解答】解：二项式（1+2%产展开式的通项为：77+1=［（2光）「卜=0,1,2,…，吟

2

则二项式（1+2%产中含久2的项为：r3=f2（2x）,该项的系数为22鬣=4x吗2=2n（n—l）,

因为该项的系数为84,所以2m1）=84,即层―几―42=0,解得n=7.

故答案为：7.

【分析】写出二项展开式的通项，根据通项公式求解即可.

15.【答案】310

【解析】【解答】解：设2B=八米，因为在点C测得塔顶A的仰角为80。，所以NBC4=80。，

在△ABC中，=tan80°=则/i=BCtan80。，

在△BCD中，因为NBCD=70。，乙BDC=3。。,

所以NCBD=180°-70°-30°=80°,

由正弦定理益舐=盛方，可得4^=竿，则BC=108X.=*_,

sin乙QBDsinJO工sin80°sin80°

即八=BCtan80°=与而•tan80°=-5^«七310米.

故答案为：310.

【分析】设4B=/i米，在△ABC中，求得Zi=BCtan80。，在△BCD中利用正弦定理求出BC,求解即可得塔

高AB的值.

11

16.【答案】乎

【解析】【解答】解：由双曲线C：4—成=l（a力＞0）与圆%2+丫2=。2+聂2在第一象限的公共点，则

22

'xy_1_2①

■运一庐一，且无＞0,y＞0,解得即p偿孚b）,

x2+y2=a2+lc2（y=^b\33）

设点P关于双曲线C的渐近线丫=-，尤的对称点为Q,则Q恰好在y轴负半轴上，如图所示：

Ji-IOQI=\0P\=la2+^c2>则Q(0,一

由点P与点Q关于渐近线y=—，％对称，所以直线PQ的斜率为与

（

a即孚"J4a2+叼

所以=a化简可得a2=2b2,

孥。F=万'

则e.=Jl+*n=孚,即双曲线C的离心率为手.

故答案为：里

【分析】由题意，联立双曲线与圆的方程，求得点P的坐标，再求得其对称点Q的坐标，根据心。.=-1,

化简即可得到a力的关系，最后根据离心率公式求解即可.

17•【答案】（1）解：因为△ABC的面积为4夕，所以±absinC=4夕，

又因为a=4,b=8,所以sinC=，，由角C为锐角可得：cosC=

根据余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC=32,解得c=4V2;

（2）解：因为CD为AB上的中线，所以4=称@+宿），

T2T

1

则

CD4CB+2CACBcosZ-ACB

=^b2+a2+2b-acos^ACB)=1(64+16+2x4x8x=32,解得：\CD\=4V2,

22

则=BD2+DC2-a2=(2—+”)-4?=老

cos乙BDC-2BD-DC—2・2以4后-4

【解析】【分析】（1）由题意，根据三角形的面积公式结合余弦定理求解即可;

12

(2)因为CD为力B上的中线，所以前=々©5+而)，根据向量的模求得回|=4A后再由余弦定理求解即

可.

(1)由AABC的面积为4夕可得：JabsinC=4V7,

因为a=4,b=8,解得：得sinC=，，

由角c为锐角得cosC=J,

q

故=a2+&2-2abeosC=32,解得c-4V2.

(2)因为CD为ZB上的中线，所以丽=々(5+方)，

所以回2同2+|西2+2回同cosACB^,

=4(/?2+@2+2b.acosAC=4(64+16+2x4x8x彳)=32,

解得：|4|=4V2.

22

BD2+DC2-a2_(2V2)+(4A/2)-42_3

故cosZ-BDC=

-2BD-DC--2-2V2-472-4

18.【答案】(1)解：因为5„为公差为2的等差数列｛an｝的前n项和，所以%=几的+n(n-1),an=ar+2(n-1),

若数列｛前为等差数列，则2卷*+葛即2•霁=1+需,解得的=2,

故a九=2+2(n—1)=2n；

(2)解：由(1)得%=幽产=层+",故52,=*+2%

故数歹1KS2”｝的前n项和为=驾二2+2(：-父)=驾1+n+i_孚

1—41—L323

【解析】【分析】⑴由等差中项的性质可得2•维=¥+注再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入

tinCt-1LtO

化简可求得臼=2,即可求得数列｛aj的通项；

(2)由(1)得Sn=*+n,则S2“=4n+2%再由等比数列的前n项和公式和分组求和法求解即可.

(1)因为数列郎｝为等差数列，所以2噂磊+葛

因为5„为公差为2的等差数列｛an｝的前n项和,

13

2a]+23a]+6

贝・解得的=2.

ij2。]+2=1+。1+4'

故册=2+2(H-1)=2n.

（2）由（1）得又=幽产=/+力故s2n=4"+2%

故数歹U{S2”}的前n项和为=4（；-丁）+2（1-2"）=驾1+2"+1-学.

1—41—LDD

19.【答案】（1）证明：在直三棱柱中，AB1AC,A41平面ABC,以人为原点，AB,AC,为x,y,z轴

建立空间直角坐标系，如图所示：

则4(0,0,4),5(2,0,0),Bi(2,0,4),C(0,2,0),0(0,2,1),

则前=(-2,2,1),AB=(2,0,0),A^C=(0,2,-4),

设BE=3则E(2,0,t),前=(一2,2,—t)

设平面BDA和平面EC4的法向量分别为汨=（久i，yi，zD,荻=（冷心血），

则加•丽=-2%i+2y+z=0

11取月=1,则汨=（0,1,-2）；

InJ-AB=2xt=0

(n^-FC=—2X2+2y2-/nz2=0取Z2=L则而=（巧立2,1）,

l雨•~A^C=2y2-4z2=0

因为汨•无=0,所以平面BD41平面EC4；

(2)解：设点F(2,0,t),由碇=(0,2,—4),A^E=(2,0,t—4)得平面ECa的法向量五=(4-t,4,2),

_______、|彳$7•司18—2t|4

由不瓦=（2,0,0）得点Bi到平面EC&的距离d=—而一=J=7，解得t=2Q

11J（4-t）'+203

由丽=（—2,2,1）,适=詹,4,2）得，直线BD与平面EC&所成的角的正弦值为|cos（丽，元）|=岗2=井

【解析】【分析】（1）以4为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面BD4和平面EC&的法向量，利用空

间向量法求解即可;

（2）设出E点坐标，由已知点面距离利用向量法解出点E坐标，再代入线面角的向量公式求解即可.

14

20.【答案】(1)解：根据题意，作出图形，如图所示:

设点Q'(%2,y2)，易知Fi(i,o),

当k=l时，直线PFi的方程为：y=x+l,

%22

T+y=1,消去y整理可得：3，+4久=0,

、y=x+1

由韦达定理可得：+4=一=0，

则|%]—%2l=J(%1+%2)2—4%i,%2=$

2

即IPF1I+IQF2I=\PF1\+\Q'F1\=Vl+/cki-x2\=V2|%1-%2|=1V2；

(2)解：直线P%的斜率为k(k>0),设直线吗的方程为：x=1-l,

(X22=1

联立『；一]，整理可得：(3+2}2一厘—1=0,

22

由韦达定理可得：yi+及==1；,

向+2五+2k

S\_S?=SX尸1F2P—SbF1F2Q=S4%F2P—S〉F1P2Q，

—,yi一2IF/2I,(—丫2)=aX2x(月+y2)=%+土2=T~77—¥，

乙乙乙+2k乙

rk

当且仅当*=2k即1=点时等号成立，故Si-S2取到最大值*.

【解析】【分析】(1)由题意作出图形，易知Fi(LO),根据椭圆的性质可得|P%|+IQF2l=1PFil+|Q'Fi|,联

立直线和椭圆方程，消元整理，利用韦达定理结合弦长公式求解即可；

2

(2)设直线PF1的方程为：％=专-1，联立直线和椭圆方程，消元整理，利用韦达定理表示力+乃=下%=

k记+2

2

的,再根据面积表示S1-S2,利用基本不等式求解即可.

k

(1)设直线PFi与椭圆的另一个交点为Q',由椭圆的对称性得Q，Q'关于原点对称.

设点P(%i，yD，Q'(x2,y2).

因为C:勺+y2=]中@2=2/2=],C=_62=],所以尸式1,0),

所以当k=l时，直线PF1的方程为：y=x+l,

联立直线y=x+l与椭圆/+2y2_2=0的方程得3/+4%=0,

15

所以|一%21=d(%1+%2)2—4打,％2=g，

2

所以IPF1I+IQF2I=\PF1\+\Q'F1\=Vl+/cki-x2l=V2|xt-x2|=1V2.

(2)由题可设直线P%的方程为：%=J-l,

K.

联立直线X=今-1与椭圆/+2y2-2=0得：信+2)y2-金一1=0,

S1-$2=2PFiFQ=Fp-SF1F2Q'，

5A/尸一2F12A

,yi一|■尸i&l*(_72)=7x2x(yi+y)=月+y2=1\4察

=J\F1F2\2

所以当《=2k即k=乌时等号成立，Si-S2取到最大值挈.

以

P

21.【答案】(1)解：零假设为“0：元宵节的降水与中秋节的降水无关，

Y2_20°x(19x90-41x50)2_200x3402

X—-69x131x60x140—-69x131x60x140u,°

因为乂2<%0.05,所以没有充分证据推断“0不成立，即零假设成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关;

n,八140x60

(2)解：中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为P。)=不一，

19x90+41x50

中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为PG4B)=----需-----,

故P(B3)=需=盖・

【解析】【分析】(1)先进行零假设，再计算X?的值，与临界值比较即可得结论；

(2)利用条件概率公式求解即可.

(1)零假设为Ho：元宵节的降水与中秋节的降水无关.

v2.200x(19x90-41x50)2.200x3402

X—-69x131x60x140——69x131x60x140〜心「工小

因为乂2<%0.05,所以没有充分证据推断/不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关.

”,八140x60

(2)中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为PMD=不一，

(2)中秋T削蟀小欢仇力一蟀小一尢蟀小他举万一C2

200

中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为PG4B)二

C200

16

P(/B)=47

故P(B|A)

P(X)-105-

22.【答案】(1)证明：函数/(%)=(In%+定义域为(0,+8),求导可得/'(%)=©-In%-a),

由/'(%)=/(%)，可得Inx