中考数学复习：反比例函数的综合题（专项培优训练）教师版

专题18反比例函数的综合题（专项培优训练）

试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.50

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合

题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）

1.（2分）（2023春•尧都区期末）如图，直线/与双曲线交于AC两点，将直线，绕点。顺时针旋转a度

角（0。<aW45。）,与双曲线交于反〃两点，则四边形泌磔的形状一定是（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.正方形

解：...反比例函数图象关于原点对称

：.OA=OC,OB=OD

四边形/位是平行四边形.

故选：A.

2.（2分）（2022春•定海区校级月考）如图，矩形/次的顶点坐标分别为/（0,3）,0（0,0）,B（4,

0）,C（4,3）,动点尸在边比1上（不与A。重合），过点尸的反比例函数尸上的图象与边4c交于点

X

E,直线环分别与p轴和x轴相交于点〃和G.给出下列命题：

①若4=4,则△侬1的面积为生；

3

②若k=@,则点C关于直线项的对称点在X轴上；

8

③满足题设的4的取值范围是0<“<12；

④若如£6=空，则《=1.

12

其中正确的命题个数是（）

C.3个D.4个

解：

命题①正确.理由如下:

："=4,

：.E(A,3),F(4,1),

3

：.CE=\-CF=3-1=2.

33

9

-S^AOE~S^BOF~邑恸=S矩形-^-OA*AE-^-OB*BF--CECF—4X3--i-X3X-—X4

5kOEF-S矩形AOBCA0BC

222232

XI-AX-§.X2=12-2-2--^.=-1^-,故①正确；

2333

命题②正确.理由如下:

,:k=21

T

：.E(工，3),F(4,-21),

832

...CrcE'—=4A--7=^25-CF=3-21=正

883232

如答图，过点£作四Lx轴于点〃，则次上3,OM=L

8

在线段加上取一点儿使得醐三但空，连接陋

8

22=

在Rt△为W中，由勾股定理得：^VEN-EM4,

8

：.BN=OB-OM-MN=4-1-1=9.

884

在Rt△出W中，由勾股定理得:质=荷2+812=券

：.NF=CF,

又,：EN=CE,

，直线）为线段GV的垂直平分线，即点”与点。关于直线妒对称，故②正确;

命题③正确.理由如下：

由题意，点尸与点。（4,3）不重合，所以24X3=12,

.,.0<#<12,故③正确；

命题④正确.理由如下：

设4=12），则£（4加，3）,F（4,3m）.

设直线/的解析式为尸a广4则有解得，

l4a+b=3iR

b=3m+3

••y=-—A+3^-3.

4

令x=0,得y=3研3,

：.D（0,3加3）；

令尸0,得x=4加4,

：.G（4M4,0）.

如答图，过点石作成Lx轴于点〃贝!J加力夕=4/，EM=3.

在Rt△/庞中，AD=OD-OA=3m,AE=4m,由勾股定理得：加三5%；

在中，MG=OG-OM=（4加4）-4%=4,EM=3,由勾股定理得：EG=3.

:・DE・EG=5mX5=25m=互解得s=—

1212

：・k=12m=3故命题④正确.

综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，

故选：D.

3.（2分）（2021•武进区模拟）在平面直角坐标系x分中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直

角顶点「的坐标为（1,0）,顶点4的坐标（0,2）,顶点月恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三

角板沿x轴正方向平移，当顶点4恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点的坐标为

(2,0)C.(旦，0)D.(3,0)

22

解：过点6作瓦Ux轴于点〃如图,

/AC保/BCD=QQ°，

ZOAaZACO=90°，

：.AOAC=ABCD.

在△4；。与△比》中,

rZ0AC=ZBCD

ZA0C=ZBDC-

AC=BC

:.△ACgABCD(AAS).

：.OC=BD,OA=CD,

\'A(0,2),C(1,0)

：.OD=Z,BD=\,

：.B(3,1),

设反比例函数的解析式为y=k

将6(3,1)代入尸K,

X

:•k=3.

.,.把y=2代入y=—,

x

•x—3

2

当顶点4恰好落在该双曲线上时，

此时点/移动了3个单位长度，

2

也移动了3个单位长度.

2

此时点。的对应点C的坐标为（9,0）.

2

4.（2分）（2021•东莞市校级一模）如图，点力是反比例函数y=-2在第二象限内图象上一点，点方是反比

X

例函数产生在第一象限内图象上一点，直线与y轴交于点C且然=比；连接的、OB,则的

x

解：分别过/、6两点作从小£轴，应工X轴，垂足为久E,

■:AC=CB,

：.OD=OE,

设/(-a,2),则B(a,A),

aa

-

故S^AO产S梯形加州-S/^AOD"—(—+—)X2a-aX----^.=3.

2aa2a2a

解法二：过46两点作y轴的垂线，由4C=於求两个三角形全等，再求面积,

5.2分）2021•岳阳楼区校级模拟）两个反比例函数y=K和y=L在第一象限内的图象如图所示,点户在yl二

xxx

的图象上，尸仁LX轴于点C,交y=L的图象于点44上/轴于点〃交y=L的图象于点8当点尸在y上

XXX

的图象上运动时，以下结论：

①应与△。窗的面积相等;

②四边形以出的面积不会发生变化;

③序与期始终相等;

④当点4是尸，的中点时，点方一定是功的中点.

其中，正确的结论有（）

A.1B.2C.3D.4

解：①由于点/和点2均在同一个反比例函数y=工的图象上，所以丛函=工，邑工；故X0DB与X

x22

0。的面积相等，故本选项正确；

②根据反比例函数的几何意义，四边形阳他的面积始终等于㈤-1,故本选项正确；

③由图可知，当0CV勿时，PA>PB,故本选项错误；

④由于反比例函数是轴对称图形，当/为小的中点时，6为处的中点，故本选项正确.

故选：C.

6.（2分）（2022•无棣县一模）如图，四边形勿跖中，//6=/6=90°,点/在x轴上，双曲线y=K

X

过点尸，交.AB于点、E,连接EF.若更=2,邑旃=4,则彳的值为（）

0A3

解：如图，过尸作尸C_L以于4

.•.B--F-=--2，

OA3

：.OA=ZOC,BF=2OC

若设F(a,n)

则OA=im,BF=2m

邑/郎=4

:.BE=^

m

则£(3/27,n--)

m

•・,夕在双曲线尸K上

X

'.mn=3m(7?--)

m

••nin--6

即k=6.

故选：A.

0\CAX

7.（2分）（2022•惠城区一模）如图，四边形以回是平行四边形，对角线组在y轴上，位于第一象限的点

4和第二象限的点C分别在双曲线尸—k1和尸二k■的一支上，分别过点4c作x轴的垂线垂足分别为〃

XX

和儿则有以下的结论：QON=OM；②丛OMA迫MONC；③阴影部分面积是工（4+左）；④四边形的灰是

2

菱形，则图中曲线关于y轴对称，其中正确的结论是（）

Qi

A.①②④B.②③C.①③④D.①④

解：如图，过点/作轴于〃过点「作血y轴£,

轴，团_了轴，0BLMN,

：.ZAM0=ZD0M=ZAD0=ZCN0=ZE0N=ZCEO^90°,

四边形和四边形黑切是矩形，

：.ON=CE,0M=AD,

;如是口如欧的对角线，

,•0c一邑烟,

•••S*、0BXCE,SAm=loBXAD,

22

：.CE=AD,

：.0N=0M,故①正确;

在RtZkCW和RtAW中，0N=0M,

•.•四边形的灰是平行四边形，

0A与0C不一定相等，

.•.△aw与△/的不一定全等，故②错误;

•.•第二象限的点c在双曲线尸丝上,

,•&-I&I=-

22

k

:第一象限的点4在双曲线尸一Uh,

•,S阴影=邑。族邑4第=—jfc+—^=—(4-4),

222

故③错误;

•.•四边形如灰是菱形，

J.ACLOB,47与仍互相平分，

.•.点4和点。的纵坐标相等，点4与点C的横坐标互为相反数，

二点/与点,关于了轴对称，

；.&=-《，即：四边形是菱形，则图中曲线关于y轴对称，故④正确,

.•.正确的有①④，

故选：D.

8.（2分）＜2022秋•渠县校级期末）两个反比例函数y=K和y」在第一象限内的图象如图所示，点户在y—

XXX

的图象上，尸dx轴于点C,交y」的图象于点4y轴于点〃交y=L的图象于点8当点户在y1二

的图象上运动时，以下结论：

①0与的面积相等;

②四边形以"的面积不会发生变化；

③阳与阳始终相等；

④当点4是尸，的中点时，点方一定是划的中点.

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

解：由反比例函数系数A的几何意义判断各结论：

①△。物与的面积相等；正确，由于46在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为

工

~2,

②四边形序出的面积不会发生变化正确，由于矩形少、三角形6m三角形。窃为定值，则四边形

以勿的面积不会发生变化；

③阳与即始终相等；错误，不一定，只有当四边形况如为正方形时满足用=阳

④连接/点4是7r的中点，

则△力尸和△力c的面积相等，

•.•△眦的面积=Z\06P的面积=K,心与△宓4的面积相等，

2

△胱与△勿户的面积相等，

△幽和△西面积相等，

.•.点6一定是划的中点.

故一定正确的是①②④.

9.（2分）（2023•高青县二模）如图，正方形4%刀的顶点方在X轴上，点4点,在反比例函数尸K（左>

X

0,x>0）图象上.若直线8的函数表达式为尸工万-4,则反比例函数表达式为（）

2

y

x

A.尸旦B.尸丝C.y=—D.尸建

XXXx

解：在p=Lx-4中，令尸0,则x=8,

2

令x=0,则y=-4,

：.B(8,0),G(0,-4),

：.0B=8,0G=4,

过/作轴于夕，过。作轴于后

•・,四边形是正方形，

：.AB=BC,ZABC=90°,

ZEAB+ZABB=ZABE^ZCBF=90°,

：.ZEAB=ACBF,

在丛AEB与丛BFC中,

，ZAEB=ZBFC=90°

,ZBAE=ZFBC，

AB=BC

:.XAEB^XBFC(加S),

：.AE=BF,BE=CF,

■:』B0G=4BFCS,/0BG=/CBF,

:•△OBGsXFBC,

.CFOG=1

"BF"OB2"

.•.设6F=a,BF=2a,

；./£=2a,BE=a,

.'.A(8-a,2a),C(8+2a,a),

•・•点4点。在反比例函数尸工(a>0,元>0)图象上，

x

二2a(8-a)=a(8+2a),

:,a=2,a=0(不合题意舍去)，

：.A(6,4),

・•・4=4X6=24,

...反比例函数表达式为尸处，

X

故选：D.

10.(2分)(2022•黄州区校级自主招生)如图，点/为直线尸-x上一点，过/作力的垂线交双曲线尸

—(x<0)于点6,若勿2_/6=12,则次的值为()

A.12B.-12C.6D.-6

解：延长交x轴于。点，作/山x轴于尸点，血x轴于£点，如图，

;点A为直线y=-x上一点，

：.ZAOC=45°,

,.,48_L直线y=-x,

：./\AOa△皈为等腰直角三角形，

:.AC=Ag®AF,BC=MBE=®CE,AF^^OC,

：.AB=AC-BC=42QAF-BE),

■JO^-Aff=12,

\(aAF)2-[o/2(AF-BE)了=12,

整理得2AF,BE-BS,

：.BE(2AF-BE)=6,

：.BE(OC-CE)=6,即庞・*=6,

设分点坐标为(x,p),则庞=p,0E=-x,

BE*OE--xy=&,

・・xy~——6，

k--6.

故选：D.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）

11.（2分）（2023春•东台市期中）如图，点〃（-2,3）,过〃作轴，阳〃y轴，并分别交双曲线

y=—（x0）于0、8两点,连接OB、OC,若S四边形OBPC=4,则k--2

解：•・•点月（-2,3）,过月作小〃x轴，如〃y轴,

・••当x=-2时，y=-—,当尸3时，x=—,

23

点以C的坐标为6（-2,K）,C（K,3）,

23

延长加交X轴于点£,延长房交y轴于点户，

贝llS四边形OBPC~S矩形PEOF~S^OBE~S&QCF，

=|-2|X3--lx|-2|«I—I--X|K|X3,

2223

=6-\k\,

根据图象可得4<0,

又.S四边形OBPC_4，

.\6+k=4,

解得k=-2.

故答案为：-2.

12.（2分）（2023•未央区校级模拟）如图，将矩形4。切平放在平面直角坐标系中，£是边4?上的点，若

沿着您'所在直线对折，点/恰好落在对角线上的户点处，已知力£=4,%=5,双曲线尸区经过点

X

F,则k=型叵.

-81―

v

解：过点户作小S于点儿过点户作盛L42于点S

•••将矩形/。磔平放在平面直角坐标系中，£是边/〃上的点，沿着〃所在直线对折,

点〃恰好落在对角线力C上的尸点处，/£=4,OC=5,

:.AE=EF=4,

设尸点横坐标为x,设

则（2V=x,SE=x-4,FO=y,

'：FN//AO,

.FN=AO

,,而co"

•.•--F-N---y--,

5-x5

则打三y(5-x),

5

：.Z0FE=Z0AB=90o,

J/明忏N9S=90°,

N/WN明仁90

：.ZFON=ZSFE,

•：/ONF=/FSE=9S,

:•△OFNSXFES,

・FN=F0

**ESEF

y(5-x)

5_y

x~44

解得：x=也，

9

，阳=540=5_

V勺

5

•NC=FN=9__2

"COAOT_9

：.FN=^-y,

：.f=（工r）2+（也）2,

99

解得：%=2旄，%=-2遥（不合题意舍去）,

：.FN~上乂2炳=^^~,

99

•••/点坐标为：(殁，汉&),

99

.40v27580>/5

9981

故答案为：酗5.

81

y.

13.2分）2022•昭平县二模）如图，等腰RtzM回的斜边灰在x轴上，顶点4在反比例函数产3（乂＞0）

6

•・•△/仇;是等腰Rt△/比；ADVBC,

：.AD=CD=BD,

;在RtZXZ如中，A0+OD=O用,

：・0?=0用-AU,

•・・0(?-Of

=(OADC)2-勿2

=㈤-0S2D8CD

=0#-A?-0呼+DG+2D8CD

=2DSCD

=2DOAD,

•・,顶点Z在反比例函数尸3(x>0)的图象上,

x

••xy—3,

00-0俘=2DSAD=2X3=6.

故答案为：6.

14.（2分）（2021•下陆区校级模拟）如图，矩形/顺的对角线切经过坐标原点。，矩形46缪的边分别平

行于坐标轴，点C在反比例函数y=空±L的图象上.若点/的坐标为（-2,-2）,则4的值为

X

3

-2,-2）,矩形口的边分别平行于坐标轴,

点的横坐标为-2,2点的纵坐标为-2,

设〃点坐标为（a,-2）,6点坐标为（-2,6）,则C点坐标为（a,6）,

:矩形4比刀的对角线劭经过坐标原点0,

...直线劭的解析式可设为y=mx,

把点D(a,-2),B点、(-2,b)分别代入y=mx得,am=-2,-2m=b,

••<3"2_

m

/.ab=-—•(-2加=4,

m

•.•点C（a,b）在反比例函数尸生的图象上,

X

.•.24+1=4=4,

.3=&.

2

故答案为3.

2

15.（2分）（2023•南宁一模）如图，直角梯形小哥'中，/OAB=NB=90°,/点在x轴上，双曲线尸K

x

过点尸，与交于£点，连项，若型上，2的=4,则点=6.

0A3

B

解：如图，过户作尸6人处于G

*：BF：〃=2：3

A0A=30C,BF=20C

工若设尸（勿，77）

则0A=3m,BF=2m

,­,邑婀=4

m

则E（3必，n-A）

m

在双曲线尸区上

X

mn=3m（刀——）

m

・・mn--6

即k=6.

故答案为：6.

16.（2分）（2022•咸阳模拟）如图，已知梯形被力的底边在x轴上，BC//AO,ABLAO,过点C的双曲

线产&交必于〃且勿：225=1：2,若△碗的面积等于3,则4的值是—且

x4

则AB=y,OA=x+a.

过〃点作阻L力于£点.

*：0D：DB=L2,DE//AB,

•••△切应s△侬，相似比为傲OB=1：3,

DE=—AB=—y,OE=—OA=—（田之）.

3333

•・•〃点在反比例函数的图象上，且〃（工（x+a）,—y）,

33

?.—y—（x+a）=k,即xy^ya—^k,

33

点在反比例函数的图象上，则盯=左，

*.ya—^k,

,△阳7的面积等于3,

/.—ya=3,即ya=6.

2

.*.8^=6,k=—.

4

方法二、过〃点作/应，处于£点.延长欧交y轴于点尸,

•・•点〃，点。是/=区上的两点,

x

,,SRODE-SXOFC，

,BC//AO,ABLAO,ZAOF=90°,

・•・四边形/如。是矩形,

•S»AOB—S4B0F，

•S&OBC-S四边形ABDE—3,

'DE//AB,

△ODEsXOBA,

S

AOED_(OD)2=_1

^AOAB°B9

,0AB_9s40DE，

•S四边形ABDE_3—8S40DE，

•易.=看，

y,

故答案为：3

17.（2分）（2022•瓯海区校级自主招生）直线尸a分别与直线尸工x和双曲线尸上交于4/两点，过

2x

点儿〃分别作X轴的垂线段，垂足为点区c,若四边形4题是正方形，则去的值为±1或土

近

31

•\A(―,a),D(2a,a),

a

当直线在x轴的正半轴时，

•・,四边形/aZ?是正方形，

'.AB=AD,即2a-——a,解得a—-1或<3=1.

a

当直线在x轴的负半轴时，

同理可得，2a-L=-a,解得a=±1.

a3

故答案为：士1或士近.

3

18.（2分）（2022•龙港市模拟）如图，点4在反比例函数y叁第一象限内图象上，点6在反比例函数y』

XX

第三象限内图象上，轴于点C,初，y轴于点AAC=BD=—»AB,CD交于点£，若BO=CE,则A

3

解：过点/作加Mx轴于点R过点8作幽，X轴于点0,

...点A的横坐标为K,点B的横坐标为-K,

33

•.•点/在反比例函数y叁第一象限内图象上，点6在反比例函数ynK第三象限内图象上,

XX

点/的纵坐标为6,点方的纵坐标为-3,

,.1dr轴,皿了轴,

：.CD=APrBQ=9,勿=3,AC//BD,

：.ACAE=ADBE,ZACE=ZBDE,

：./\ACE^/\BDE（A4S）,

：.CE=DE=—CD=—,

22

'：BO^CE,

:.B0=土,

2

在Rt△口切中，

由勾股定理可得BP+OB=OF,

解得a=生叵或上=-⑨:叵（舍去），

22

故答案为：加叵.

2

19.（2分）（2022•东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系x%中，已知点/、B、C在双曲线了=旦上,

初J_x轴于〃宦Ly轴于2点户在x轴上，且力行幽则图中阴影部分的面积之和为12

如图所示:

■:AO=AF,AGA,OF,

・・・G为0的中点，即尸G,

,,邑以G-S4FAG，

又48及C点都在反比例函数尸旦上,

X

-|6|

,,SROAG-S^BOD-SRCOE'3

2

•,SHOAG-SxBO)-SMSE-S/^FAG-3,

贝US阴影=邑0"+S*BO力邑COE^5\用G=12.

故答案为：12.

20.（2分）（2022•大鹏新区一模）如图，点4是双曲线尸刍在第一象限上的一动点，连接力。并延长交另

X

一分支于点8,以/方为斜边作等腰RtZXZa；点。在第二象限，随着点Z的运动，点。的位置也不断的

变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为y=-A（^<o）.

y

解：连接％,作SLx轴于〃友Tx轴于后如图,

设/点坐标为（a,A）

a

点、6点是正比例函数图象与双曲线尸屋的交点,

X

・•・点/与点方关于原点对称,

：.OA=OB

•••△4%为等腰直角三角形,

：.OC=OA,OCLOA,

：.ZD0aZA0E=90o,

9：ZDOaZDCO=90°,

：.ZDCO=ZAOB,

:在△口切和△力£中

，ZCDO=ZOEA

-ZDCO=ZEOA

CO=OA

恒XOAE(A4S),

：.OD=AE=生,CD=OE=a,

a

二。点坐标为(——,a),

a

4

--*a=-4,

a

点,在反比例函数尸-9图象上.

X

故答案为尸-%（x<0）.

三、解答题(本大题共8小题，共60分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

21.(6分)(2023•封丘县三模)如图，点4在反比例函数y=t(x<0)的图象上，过点/作轴于

x

点反△/利的面积为3.

(1)求A的值；

(2)请用无刻度的直尺和圆规作出/的6的平分线；(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用26铅笔作

图)

(3)设(2)中的角平分线与x轴相交于点C,延长46到2,使/〃=4。，连接加并延长交y轴于点

E.求证：DELOA.

⑴解:由反比函数次值的意义知，|削=28〃0=6,

则k--6；

(2)解：如图，以点力为圆心，作弧交力及40于点、M、N,

分别以点么“为圆心大于上就为半径作弧，交于点尸，则/尸为/的6的平分线;

2

（3）证明：尸为/的6的平分线，AD^AO,

：.ACX.OD,

"：OBLAD,

即/G仍是△470的高，点。是两个高的交点，

故庞也是△4?。的高，

即DEL0A.

22.（6分）（2023•宁南县模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点/（-1,4）,C（勿,

-2）,轴，垂足为点8

（1）求函数％=ax+6与%=K的解析式；

x

（2）当x为何值时，%>%；

（3）在x轴上是否存在点户，使△为。为等腰三角形？如果存在，请求出点户的坐标;如果不存在，请

说明理由.

解：（1）•••一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点力（-1,4）,

:・k=-1X4=-4,

...反比例函数的解析式为"=-9，

X

•・,反比例函数的图象经过C（勿，-2）,

-2=-9，

m

解得：m=2,

・•・点。（2,-2）,

,.•%=3x+6经过4C,

・「2=2a+b

I4=_a+b

解得：a=-2,b=2,

yx--2x+2；

（2）观察图象知：x为-lVx<0或x>2时，%>%；

（3）如图：・・・2（-1,4）,

••。4=个F+42=717,

当以为底边时，由"DO^AABO,

.pl°OD

••----，

AOOB

V17

即：詈_3，

V171

解得：々行工，

2

...点4的坐标为（-」[，0）；

2

当以4。为腰以/为顶点时，

P2B=BO=\,

此时点巴的坐标为（-2,0）；

当以4。为腰以。为顶点时，

P3O^PiO^OA—\[~\jj,

此时点A的坐标为（-JF，0）,点々的坐标为（JF，o）；

y2x+2与y轴交于点耳与反比例函数yd.的图象交于一

3x

象限内的点4的的面积等于3,

(2)如图2,点£(4,a)在反比例函数yd■的图象上，过点£作轴垂足为G以比'为对角线的

X

菱形。蛇的顶点〃在y轴上，试说明点厂也在反比例函数的图象上.

解：(1)..,直线y/^x+2与y轴交于点反令X=0，则尸2,

3

：.B(0,2),

设点/到y轴的距离为方，

；△力他的面积等于3,

•'•yX2h=3,解得力=3，

...点力的横坐标为3,则y2><3+2=4,

3

：.A(3,4),

•・•点A在反比例函数y?的图象上,

:./=3X4=12；

(2)解：连接如与以相交于点C,

:四边形切皆是菱形，且mLx轴，

：.EG=GC,DG=GF,

;点£(4,a),a』=3，

4

二点夕(4,3),

二点G(4,>

:顶点，在y轴上，

:.DG=4=GF,

.,.点F(8,-y)-

,,8^-^-=12-

.•.点尸也在反比例函数的图象上.

24.(8分)(2023秋•金水区校级期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数了=」*+1>与反比例函数y/二

2x

交于第一象限内4B(6,1)两点(6在4右侧)，分别交x轴，y轴于4〃两点.

(1)求4和力的值；

(2)求点A的坐标；

(3)在y轴上是否存在一点户，使以4D,户为顶点的三角形与△磔。相似？若存在，求出点户的坐

标.若不存在，请说明理由.

(备用图)

解：(1):一次函数y=-上1+6与反比例函数y=K交于6点，

2x

，1=-工X6+6,i=K,

26

/.Z?=4,4=6；

(2)由(1)知一次函数的解析式为尸-工科4,反比例函数的解析式为尸旦,

2x

'--LA

解”?'＞得产卜=6,

y=lly=3ly=l

X

：.A(2,3)；

(3)存在以4D,〃为顶点的三角形与相似.

•・,一次函数y=-工x+4与x轴，p轴交于C,〃两点，

2

・・・。(8,0),D(0,4),

：.OC=8,勿=4,

设〃(0,a),

'：ZCOD=90°,AAPD=ZCDO,

①当NZ勿=90。时，XAPMXCOD,

*：A(2,3),

:・AP=2,OP=3,

：.P(0,3)；

②当N序〃=90。时，△阳吐△6W,

•・•PD二AD,

DC0D

；43如2+]2=遍,加“+82=4^,PA4-a,

.4-aV5

••---二，

4V54

解得a=-1,

：,P(0,-1),

综上所述，P(0,3)或(0,-1).

k

25.(8分)(2023•济南模拟)如图，直线尸左科6与双曲线了=上9交于46两点,己知点A的横坐标为

-3,点6的纵坐标为-3,直线相与x轴交于点C与了轴交于点2(0,-2),tan//〃C=L

3

(1)求双曲线和直线的解析式；

(2)若点尸是第二象限内反比例函数图象上的一点，△笛的面积是△豌的面积的3倍，求点尸的坐

标；

(3)若点£在才轴的负半轴上，是否存在以点£,C,〃为顶点构成的三角形与△〃如相似？若存在，求

y

解：(1)•；tan/W=1>]=也=工

IxA|33

即点/(-3,1),

将点/的坐标代入反比例函数表达式得：3=-芋，解得：&=-3,

即反比例函数表达式为：/=-&,

X

将点6的坐标代入上式得：-3=-3,解得x=l,

X

即点8的坐标为(1,-3),

设直线的表达式为尸k、x+b,

r-3=ki+bfV.=-i

则，解得,1,

产3ki+b[b=-2

即直线46的表达式为：尸-x-2；

(2)对于尸-£-2,令尸-x-2=0,解得：x=-2,即点。(-2,0),即。。=2,

"•''5ko®=—XODXXB=—X2,X1=1,S^KO=­XOCXyP=l-X9X△笛的面积是△〃奶的面积

2222

的3倍，

,•S^pco-Yp-3,

当尸3时，y=—,解得x=-l,

X

即点尸（-1,3）；

（3）由点A〃的坐标得：Bgyj]2+（-3+2产=&,同理可得：勿=2/5,

由勿=〃C=2知，/。必=/勿，=45°,则N（W=135°,

1）当£在线段0C（不与。重合）上时，两个三角形一定不能相似；

2）当£在线段%的延长线上时，设£的坐标是（x,0）,则四=-2-x,

此时，/以力=/勿0=135°,

当△四9s△龙。时，

则出0_,即学士曾反，解得了=—4,

BD0DV22

即点£（-4,0）；

当△物s/k。阳时，

则出gi,即蟀，解得x=_6,

0DBD2V2

即点£（-6,0）,

综上，点£的坐标为（-4,0）或（-6,0）.

26.(8分)(2023•牧野区校级三模)如图，在平面直角坐标系x沙中，直线％=-三户4分别与y轴和x

3

轴的交点/点和6点，直线点，为双曲线“=蚂与直线/。在第一象限内的交点.

x

(1)①利用直尺和圆规求作点〃，使△物6(保留作图痕迹，不

写作法)；

②求小的值；

(2)双曲线%=3与直线交于点£和点“求△戚的面积.

解：⑴①;△DABsMAOC,

：.NADB=ZCAOA,即BD//AO,

故过点6作弧交x轴于两点，分别过两点为圆心，

以大于两点的线段长度的工为半径，作弧交于点G连接班交小于点〃BD//AO,符合题设条件;

2

②对于%=-9*4,当x=0时，%=4,即点4(0,4),

3

令％=-—x+4=Q,

3

解得：x=3,即点8(3,0)

由①知，点〃的纵坐标和点6的横坐标相同，

由直线46的表达式知，tanN/6C=9，贝I]tan//曲=3

34

故直线4c的表达式为：y=3x+4,

4

当x=3时，尸旦%+4=生，则点2（3,空），

444

将点2的坐标代入反比例函数表达式得：ffl=3X25=75

44

x=-6

或_1，