中考数学复习：相似三角形（专项训练）（解析版）

第16讲相似三角形（精讲）

孽对日籍全

1.通过实例认识图形的相似。

2.了解比例的基本性质，成比例的线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。

3.了解相似多边形和相似比。

4.掌握平行线分线段成比例。

5.了解相似三角形判定定理。

6.了解相似三角形性质定理。

7.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。

8.会利用图形的相似解决一些简单实际问题。

9.利用相似的直角三角形，探究并认识锐角三角函数，知道30°、45°、60°角的三角函数

值。

10.会使用计算器由锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求对应锐角。

11.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题

国考支导加

第16讲相似三角形（精讲）..........................................................1

考点1:平行线分线段成比例.......................................................3

考点2：相似三角形的判定........................................................14

考点3：相似三角形的性质........................................................21

考点4：与相似三角形有关的证明与计算...........................................26

课堂总结：思维导图..............................................................48

分层训练：课堂知识巩固.........................................................49

.7*M钥林以

考点1:平行线分线段成比例

①比例线段：在四条线段a,b,c,d中，如果。与6的比等于c与4的比，即巴=£,那么这四条线段°,

bd

b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.

②比例的基本性质：（1）基本性质：q=±cad=&（b、蚌0）

bd

/-、人iuueaca±bc±d,一八、

（2）口比f生质：一=一----=-----；（zb、d#0）

bdbd

（3）等比性质：巴=£=...=巴=左（6+,+…+〃#0）Q4+0+…+—=艮（6、d、…、〃^0）

bdnb+d+...+n-

①平行线分线段成比例定理：

（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若/3%%，则二

BCEF

（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

即如图所示，若/211cD,则更="

ODOC

（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.

如图所示，若。EII2C,则△ADEsAlBC

A

D,E

尸工学俞笔记

总的盘卷新

【例题精析1】｛新定义-黄金分割★★｝（2021•巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄

金分割，即：如图，点尸是线段N2上一点（/尸＞2尸），若满足竺=理，则称点尸是N2的黄金分割

APAB

点.黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众

看上去感觉最好.若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分

割点上，则x满足的方程是（）

B

A.(20-X)2=20XB.x2=20(20-x)C.x(20-x)=202D.以上都不对

RPAp

【分析】点尸是45的黄金分割点，^PB＜PA,PB=x,则尸/=20-%,则不=不，即可求解.

APAB

【解答】解：由题意知，点尸是的黄金分割点，且尸8＜尸/,PB=x,则以=20-x,

BP_AP

(20-x)2=20%故选：A.

~AP~^B

【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关

键.

【例题精析2】｛比例性质★外若i+E8,则.的值为一

【分析】设辅助未知数，根据比例的性质求出辅助未知数，进而求出答案.

【解答】角笔设@=2=g=左，贝2左，b=3k,c=4k,•.F+6+C=18,即2左+3左+4左=18,:.k=2,

234

a=2k=4,故答案为：4.

【点评】本题考查比例的性质，设辅助未知数是常用的方法.

【例题精析3】｛比例性质★★｝把浓度为20%和30%的两种盐水按1:4的比例混合在一起，得到的盐

水浓度为_28%_.

【分析】设浓度为20%盐水质量为0,浓度为30%盐水质量为4a,然后利用浓度公式计算.

【解答】解：■浓度为20%和30%的两种盐水的比例为1:4♦.设浓度为20%盐水质量为a,浓度为30%

盐水质量为4a,r.混合后的盐水浓度=x4,=28%.故答案为：28%.

【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、

合分比性质、等比性质）是解决问题的关键.

【例题精析4】｛平行线分线段成比例★★｝如图，助是A45c的中线，点E是5c边上一点，AE交

RF1

BD千点、F,若BF=FD,则一

CE一2一

BEC

【分析】如图，过点D作DT//4E交BC于点T.利用平行线等分线段定理，证明BE=ET=TC即可.

【解答】解：如图，过点。作。T///E交于点7.

BE1。

■：DTI/AE,AD=CD,­：ET=TC,■：EF//DT,BF=DF,BE=ET,BE=ET=CT,

故答案为：

CE22

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题.

【例题精析5】｛平行线分线段成比例★★｝如图，在中，D、E分别是边2C、/C上的点,

与相交于点尸，若£为/（?的中点，BD:DC=2:3,则4尸:即的值是-.

一2一

A

【分析】过D作DH//4c交BE于H,根据相似三角形的性质即可得到结论

【解答】解：过D作DHIIAC交BE千H,

ADHF^MEF,\BDH^NBCE,——=—,——=—,•.•若£为/C的中点，

AEAFCEBC

nFRT~)s

CE=AE,—=——，BD:DC=2:3,BD:BC=2:5,DF:AF=2:5,:.AF:FD=~.

AFBC2

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，准确作出辅助线是解题的关键.

【例题精析6】｛平行线分线段成比例★★｝如图，在A43C中，若DE//BC,EF//CD,AE=2EC,

则/尸：FD:=_4:2:3_.

【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.

【解答】解：EF//CD,AE=2EC,—=2,■：DEIIBC,A—=—=2,

ECDFDBEC

33

设DF=m,贝!|/尸=2〃？，AD=3m,DB=-m,AF:DF:DB=2m:m:-m=4:2:3.故答案为：

22

4:2:3.

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考

常考题型.

【例题精析7】｛平行线分线段成比例***｝如图，在A45c中，AC=1,BC=4,。是N2的中点,

MZ^£>=90°+-ZC,则CE的长为5.5.

2

B

a

AEC

【分析】作区F//DE交4c于尸，作NNC2的平分线交N5于G,得出AFCHwABCH,再通过线段之间的

转化即可得出线段CE的长.

【解答】解：作8尸//OE交4C于尸，作//C8的平分线交48于G,交BF于H,

则乙4ED=乙4FB=NCHF+工NC.因为N/助=90。+」/C,所以NCHF=90°=NCHB.

22

又NFCH=/BCH,CH=CH.\FCH=NBCH.CF=CB=4,AF=AC-CF=1-4=3.

■：AD=DB,BF/IDE,:.AE=EF=1.5,:.CE=5.5.故答案为:5.5.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单

的计算问题.

对点钟珠

【对点精练1】｛比例性质★★｝若3=乡，则且

x22x4

【分析】利用比例的性质设x+y=3左，贝b=2左，用左表示x,y,将x,y的值代入即可得出结论.

【解答】解：由题意：设x+y=3左，则％=2左，x=2k.y=k..故答案为：—.

2x4左44

【点评】本题主要考查了比例的性质，设x+y=3左，则x=2左，用字母女表示出工,歹是解题的关键.

【对点精练2]｛新定义-黄金分割★★｝（2021•德阳）我们把宽与长的比是好匚的矩形叫做黄金矩

2

形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采

用了黄金矩形的设计.已知四边形N2CD是黄金矩形，边N5的长度为石-1,则该矩形的周长为

2遥+2或4.

【分析】分两种情况：①边N2为矩形的长时，则矩形的宽为3-仆，求出矩形的周长即可;

②边N2为矩形的宽时，则矩形的长为=2,求出矩形的周长即可.

【解答】解：分两种情况：

^^x(V5-l)=3-V5,

①边N2为矩形的长时，则矩形的宽为

.•.矩形的周长为：2(75-1+3-75)=4；

②边力5为矩形的宽时，则矩形的长为：(据-1);存^=2,

矩形的周长为2(75-1+2)=2石+2；

综上所述，该矩形的周长为28+2或4.

【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键.

【对点精练3】｛平行线分线段成比例★★｝如图，在A45C中，点。，E分别在边AC±,且

需=1'言］,射线助和W勺延长线交于点八则黑的值为公

【分析】过点2作即交“C于"’根据平行线分线段成比例定理求出器’进而求出,=：'再

根据平行线分线段成比例定理计算即可.

【解答】解：过点、B作BH//EF交AC于H,

则坐二任一，•.•处，，：,里，，:BHUEF,:.里=里',故答案为」

EHDB2EC2EC3FCEC33

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键.

【对点精练4】｛平行线分线段成比例★★｝如图，A43c中，D为BC上一点,且瓦5:CD=2:3,点E

AT77

为4。的中点，留的延长线交ZC于尸，则竺为一

FC一5

【分析】如图，过点。作。T//8尸交/C于点7.证明4尸=尸7,CT:FT=3:2,可得结论.

【解答】解：如图，过点。作。T//AF交/C于点T.

AE=DE,EF/IDT,AF=FT,■：DT//BF,—==故答案为：

FTDB2FC2+35

2

5,

【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段对应成比例是解题关键，注意出现

中点作平行线是常用的辅助线.

【对点精练5】（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末

比”问题：点G将一线段分为两线段MG,GN,使得其中较长的一段MG是全长与较短的

一段GN的比例中项，即满足些=空=在二1,后人把垦1这个数称为“黄金分割”数，把点G

MNMG22

称为线段九W的“黄金分割”点.如图，在A42c中，己知43=NC=3,3c=4,若。，E是边BC

的两个“黄金分割”点，则NADE的面积为（）

A.10-4AAB.375-5D.20-875

【分析】作于8，如图，根据等腰三角形的性质得到台〃=。〃=,8。=2,则根据勾股定理可计

2

算出/〃=VL接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE=3c=2遥-2,则计算出HE=2g-4,

2

然后根据三角形面积公式计算.

【解答】解：作18c于“，如图，­,•AB=AC,:.BH=CH=-BC=2,在RtAABH中，

2

AH=>/32-22=V5,-：D,E■是边5c的两个“黄金分割”点，=号二130=2(石-1)=2/-2,

HE=BE-BH=2y/5-2-2=245-4,DE=2HE=4y[5-S=1x(475-8)x75=10-475.故

选：A.

【点评】本题考查了黄金分割把线段N2分成两条线段2C和3CQCA2C),且使/C是和3c的比例

中项(即/8:NC=NC:8C),叫做把线段黄金分割，点C叫做线段N8的黄金分割点.其中

AC=^^~ABx().618AB,并且线段的黄金分割点有两个.也考查了等腰三角形的性质.

2

【对点精练6】｛平行线分线段成比例★★｝如图，A43c三边的中点分别为D,E,F.连接。交

/£于点G,交所于点7/,则DG:G//：a7=_2:l:3_.

【分析】根据三角形中位线定理得到EF=-AB,证明ACE出SACDB,根据相似三角形的性质

2

得到CH=DH,证明AEGH^AAGD,根据相似三角形的性质解答即可.

【解答】解：•・・£,厂分别为C3、C4的中点，，跖是A43C的中位线，.•.斯//48,EF=-AB,

2

NCHE^\CDB,—=—=—=1,CH=DH,­：AD=DB,-=-,EF/1AB,

CDDBCB2AD2

\EGH^MGD,:.DG:GH:CH=2A:3,故答案为：2:1:3.

DGAD2

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关

系是解题的关键.

【对点精练7】｛平行线分线段成比例★★｝如图，直线乙///4，等腰RtAABC的三个顶点/、B、C

分别在直线54上，NACB=90°,AC交口于点、D.若与的距离为1,《与4的距离为4,

【分析】作于£，交4于尸，作于H，如图，利用平行线之间的距离的£尸=出/=3,

AF=\,再证明A4CE三AC3//得到CE=8〃=3,则可利用勾股定理计算出/C,从而得到45=5夜，接

着利用平行线分线段成比例定理得到£2=空=3,则CD="，然后利用勾股定理计算出3。的长，于是

CAAE44

可计算出理的值.

BD

【解答】解：作于£，交4于尸，作于H，如图，

•.•/1/%/4，AF±l2,EF=BH=3,/尸=1,•.•AABC为等腰直角三角形,

:.AC=BC,ZACB=90°,ZACE+ZCAE=90°,ZACE+ABCH=90°,:.NCAE=NBCH,

在\ACE和NCBH中,

AAEC=ZCHB______

<ZCAE=ABCH,:.AACE=ACBH(AAS),CE=BH=3,在RtAACE中，/C=收+42=5,

AC=CB

CDEF3

AB=42AC=542,-：DF//CE,CD=—在RtABCD中,

AE~44

AB_5y/2_472故答案为警.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.也考查了平

行线之间的距离和等腰直角三角形的性质.

修兵*盛

【实战经典1]（2019•雅安）若Q:6=3:4,且Q+6=14,则2a-b的值是（）

A.4B.2C.20D.14

【分析】根据比例的性质得到，结合。+6=14求得a、b的值，代入求值即可.

【解答】解：由Q:b=3:4知36=4〃，所以6=所以由a+b=14得到：a+=14,

33

解得。=6.所以6=8.所以2Q—6=2x6—8=4.故选：A.

【点评】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积.若巴=上,则=

bd

【实战经典2】（2021•阿坝州）如图，直线/"4//心直线。，b与I、，卜,4分别交于点工，B,C

和点。，E,F.若AB:BC=2:3,EF=9,则。E的长是（）

A.4B.6C.7D.12

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出22:3C=D£:斯，再求出答案即可.

【解答】解：---IJ/l2//l3,AB:BC=DE:EF.•:AB:BC=2:3,EF=9,DE=6.故选：B.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此

题的关键.

【实战经典3】（2021•连云港）如图，8E是AA8C的中线，点尸在上，延长/尸交8C于点。.若

BF=3FE,则处=-.

DC一2一

BD

GFAF1

【分析】过点E作EG//。。交4。于G,可得A4GESA4。。，所以—=—=_,得到OC=2GE；再根

DCAC2

GFEF

据NGFEs\DFB,得J所r-r-p以iD一C=-2即3

DBBF3DB3

Ap1

【解答】解：如图，•••5£是儿45。的中线，，点E是4C的中点，——=—,

AC2

过点E作EG//。。交4。于G,/.AAGE=ZADC,/AEG=/C,

GFAF1

\AGE^\ADC,...——=——二—,DC=2GE,vBF=3FE,

DCAC2

z.-=,.・GE//BD,ZGEF=ZFBD,ZEGF=ZBDF,

BF3

GE_EFDC_2，器与故答案为:3

\GFE^\DFB,

丽一茄一3’一丽-32

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作EG//。。，构造相似三角形是解题的关键.

售如钥做理

考点2：相似三角形的判定

相似三角形的判定:

⑴两角对应相等的两个三角形相似(44/).

如图，若N，=ND,/B=/E,则△ABCs^DEF.

两边对应成比例，且夹角相等的两个三

AC47?

角形相似.如图，若N/=NQ,——=——，则

DFDE

(3)三边对应成比例的两个三角形相似.如

BC

DEDF~EF

国学霸笔记

二端州发屯新

【例题精析1】｛相似的判定★★｝如图，AA8C中，4=76。，48=8,AC=6.将A4BC沿图示中

的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A.A'5B.A

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

【解答】解：/、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；B,阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，

故本选项符合题意；D、阴影三角形中，4的两边分别为6-2=4,8-5=3,则两三角形对应边成比例

且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意.故选：C.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.

【例题精析2】｛相似的判定★★｝在下列条件中，不能判断A45c与AD斯相似的是（）

A.ZA=ND,NB=NEB.—=—5.ZB=ZE

EFDF

DEEFDF

【分析】直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案.

【解答】解：/、乙4=ND,NB=NE,可以得出A48csg在■,故此选项不合题意;

B、—,且=不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；

EFDF

。、理=生=生，可以得出乙42csM雁，故此选项不合题意；

DEEFDF

AC

D、——=—上且=可以得出A45CSA2）自£,故此选项不合题意；故选：B.

DEDF

BD

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于

三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相

等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）

两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

【例题精析3】｛相似的判定★★｝下列说法正确的是（）

A.两个直角三角形相似B.两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似

C.有一个角为40。的两个等腰三角形相似D.有一个角为100。的两个等腰三角形相似

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可求解.

【解答】解：•.•两个直角三角形只有一组角相等，，两个直角三角形不一定相似，故选项/不合题意；

•.•两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，.•.两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形

不一定相似，故选项3不合题意；•.•底角为40。的等腰三角形和顶角为40。的等腰三角形不相似，

有一个角为40。的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意•.,有一个角为100。的两个等腰三角形

相似，，选项。符合题意，故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

【例题精析4】｛相似的判定★★｝依据下列条件不能判断A48c和AZ）跖的相似是（）

A.N/=40°,ZB=80°,NE=80°,N尸=60°

B.Z.A=Z.E=45°»AB=12cm,AC=15cm,ED=20cm,EF=16cm

C.45°,AB=\2cm,AC=15cm,ED=16cm,EF=20cm

D.AB=1cm,BC=2cm,CA=1.5cm,DE=6cm,EF=4cm,FD=Scm

【分析】直接根据三角形相似的判定方法对每一选项进行判断即可得出答案.

【解答】解：A>•.•4=40°,28=80。,ZC=180°-ZA-ZB=60°,

ZC=ZF,ZB=ZE,AABC^ADFE,故此选项不符合题意；

ARAr

B、■：AB=12cm,AC=15cm,ED=20cm,EF=16cm,—=——且=

EFED

AABC^AEFD,故此选项不符合题意；C、;AB=12cm,AC=15cm,ED=20cm,EF=16cm,

.•.理=江且N/=ND,不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；

EFED

D、,/AB=1cm,BC=2cm,CA=1.5cm,DE=6cm,EF=4cm,FD=8cm,

=—=—=:.\ABC^NEFD,故此选项不合题意；故选：C.

EFDEFD4

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于

三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相

等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）

两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

时点向依

【对点精练1】｛相似的判定★★｝如图，已知/1=/2,那么添加一个条件后，仍不能判定A48c与

A4ZJE相似的是（）

EC

ABBCABAC

A.NC=NAEDB.NB=ND

AD~DEAD~AE

【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案.

【解答】解：Zl=Z2ZDAE=ABAC:.A,B,D都可判定NABC^AADE

选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C.

【点评】此题考查了相似三角形的判定：

①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；

③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似.

【对点精练2】｛相似的判定★★｝如图，在A45c中，点。，E分别在边N2,AC±,DE与BC不

平行，添加下列条件之一仍不能判定AAD£s乙4cB的是（）

ADAEAEDE

C.ZAED=ZBD.NADE=NC

AC-ABAB~BC

【分析】由于=则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断.

【解答】解：•••ZDAE=ZCAB,当ZADE=NC时，NADE^\ACB；

jnAp

当=时，\ADE^AACB；当——=——时，KADE^KACB.故选：B.

ACAB

【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组

角对应相等的两个三角形相似.

【对点精练3】｛相似的判定★★｝如图，如果=那么添加下列一个条件后，仍不能确定

AABCsAXDE的是（）

AB_DE_AB_AC

A.NB=NDC.NC=NAED

~AD~^CAD~AE

【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案.

【解答】解：；ABAD=NCAE,ZDAE=ABAC,选项A,C根据两角对应相等判定乙42。6入4£)£,

选项。根据两边成比例夹角相等判定选项3中不是夹这两个角的边，所以不相似,

故选：B.

【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相

似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形

的两个对应角相等，那么这两个三角形相似.

【对点精练4】｛相似的判定★★｝如图，在矩形4BCD中，M为BC上一点、,JL交的延长

线于点E.求证：NABM^NEMA.

【分析】根据两角对应相等两三角形相似证明即可.

【解答】证明：•.・四边形48cA是矩形，，/台二90。，AD//BC,ZAMB=ZMAC,

AM1ME,ZAME=ZB=90°,/.AABM^^EMA.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判

定方法，属于中考常考题型.

【对点精练5】｛相似的判定★★｝如图，AB-AF=AE-AC,且/1=/2,求证：NABC^\AEF.

【分析】由已知条件得到NH4C=NE4尸，—.则由“两边及夹角法”证得结论.

AEAF

AC

【解答】证明：如图，•.・452尸=/石2。，——=——・又・・・N1=N2,

AEAF

Z2+ABAF=Zl+ZBAF,BPABAC=ZEAF,/.NABC^\AEF.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质应用，关键在于掌握三角形相似的判定定理.

【对点精练6】｛相似的判定★★｝如图，BD,CE是A43C的高，连接DE.求证：

\ADE^\ABC.

【分析】根据相似三角形判定推出―推出%%再根据4“即可推出

\ADE^\ABC.

【解答】证明：•・•&）、CE是高,

ADAB

/.AADB=AAEC=90°,•/AA=AA,\ADB^\AEC,/，•・・/Z=/Z,:2DEsMBC.

AEAC

【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

J筏柒*疆

【实战经典1】（2021•湘潭）如图，在A48C中，点。，E分别为边N8,NC上的点，试添加一个条

件：—，使得A4DE与A42C相似.（任意写出一个满足条件的即可）

【分析】根据相似三角形判定定理：两个角相等的三角形相似；夹角相等，对应边成比例的两个三角形相

似，即可解题.

【解答】解：添加=NC,

又；N4=N4,\ADE^\ACB,故答案为：NADE=NC（答案不唯一）.

【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键.

应知在线理

考点3：相似三角形的性质

相似三角形的性质

(1)对应角相等，对应边成比例.

(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.

(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.

尸1学有笔记

二d仍盘卷新

【例题精析1】｛相似的性质★★｝如果两个相似多边形的周长比是2:3,那么它们的面积比为（）

A.2:3B.4:9C.V2：V3D.16:81

【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算，得到

答案.

【解答】解：•.•两个相似多边形的周长比是2:3,.•.这两个相似多边形的相似比是2:3,

.一.它们的面积比是4:9,故选：B.

【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

【例题精析2】｛相似的性质下列结论正确的是（）

A.所有的矩形都相似B.所有的菱形都相似

C.所有的正方形都相似D.所有的正多边形都相似

【分析】利用相似多边形的判定解决问题即可.

【解答】解：A.所有的矩形对应边比值不一定相等，所以不一定相似，此选项错误；

B.所有的菱形对应边的比相等，但对应角不一定相等，故错误；

C.所有的正方形都相似，故此选项正确；

D.正多边形不一定相似，故此选项错误；故选：C.

【点评】此题考查了相似多边形的识别.判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等.两

个条件必须同时具备.

【例题精析3】｛相似的性质★★｝如图，矩形/BCZJs矩形且=则的值是

（）

A.V2:lB.51C.D.1

22

【分析】根据相似多边形的性质得到—,整理得到AD2+AD-AB-AB2=0,解一元二次方程得到AD、

ADAB

45的关系.

【解答】解：•.■矩形/BCD-矩形3Q7E,.•.笆=+,即"TD=坦,

ADABADAB

22X+

整理得AD+AD-AB-AB=0,则=/.AD,=~^AB,AD2=AB（舍去）,

AD:AB=^^~,故选：D.

2

【点评】本题考查的是相似多边形的性质、一元二次方程的解法，掌握相似多边形的对应边成比例是解题

的关键.

【例题精析4】｛相似的性质★★｝如图，KABC^△A'B'C,ND和4。'分别是A48C和△49。的

高，若/。=2,A'D'=3,则A43c与△4QC的面积的比为（）

【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方

解答.

【解答】解：:A48cs4D和4。分别是AA8C和的高，AD=2,A'D'=3,

图-=生~=乙,.1A42c与的面积的比=（2）2=3,故选：A.

A'B'A'D'339

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的

比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.

P对支利依

【对点精练11｛相似的性质★★｝如图，已知在A48C中，点。、点E是边8c上的两点，联结

AE,且4D=/E,如果那么下列等式错误的是（）

A.AB2=BEBCB.CD-AB=ADACC.AE2=CDBED.AB-AC=BECD

【分析】根据相似三角形的性质，由AAB£SACA4得至l]4B:8C=5E:N8,则可对/选项进行判断；由

AASEsAC"得至lj/A4E=NC,NAEB=/BAC,则证明AC4OSACA4,利用相似三角形的性质得

CD:AC=AD:AB,则可对2选项进行判断；证明AC4DSA42E得到：/石，加上4D=/E,

则可对C选项进行判断；禾1」用△Cg/sMBE得至由于/£2=CD­8£,AE丰CB,则可

对。选项进行判断.

【解答】解：；AABES&CB4,:.4B:BC=W,:.4B?=BE-BC,所以/选项的结论正确；

:AABEsACBA,ZBAE=ZC,ZAEB=NBAC,■：AD=AE,NADE=NAED,ZACD=ZBCA,

ZADE=ABAC,:NADC=NBAC,\CAD^\CBA,:.CD:AC=AD:AB,BPCD-AB=AD-AC,所

以8选项的结论正确；:AABEsACBA,ACADSACBA,:.ACADSAABE,AD:BE=CD\AE,即

ADAE=CDBE,;AD二AE,AE2=CDBE,所以C选项的结论正确；\CBA^\ABE,

AC:AE=CB:AB,ABAC=AECB,-：AE2=CDBE,AEwCB,4B•4C#BE-CD,所以D选

项的结论不正确.故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边

形）的周长的比等于相似比.