中考数学必刷题分类专练：图形的相似（共50题）（原卷版+解析）

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题21图形的相似（共50题）

一.选择题（共24小题）

1.（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点。、E分别在边48、AC±,若DE〃BC,匹1=2,DE=6cm,

DB3

B.12cmC.15cmD.18cm

2.（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形。ER其最长边为12,则

△。所的周长是（）

A.54B.36C.27D.21

3.（2022•云南）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、8A的中点，设△ABC的面积为Si,△EB。的

面积为S2,则二s9■=（）

Si

2448

4.（2022•武威）若LABCsADEF,BC=6,EF=4,则至=（）

DF

A.AB.9c.2D.3

9432

5.（2022•十堰）如图，某零件的外径为10的，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和8。相等）可测量零件的

内孔直径A8.如果。4：OC=OB：。。=3,且量得CD=3CTW,则零件的厚度x为（）

A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm

6.（2022•台湾）△A8C的边上有。、E、F三点、,各点位置如图所示.若N5=NEkC,BD=AC,ZBDE

=ZC,则根据图中标示的长度，求四边形斯与△A8C的面积比为何？（）

7.（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y=2（尤>0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形。48,

X

8.（2022•孝感）如图，在矩形ABC。中，AB<BC,连接AC,分别以点A,C为圆心，大于的长为半

2

径画弧，两弧交于点N,直线分别交A。，BC于点E,F.下列结论：

①四边形AECP是菱形；

@ZAFB^2ZACB；

®AC-EF=CF-CD-,

④若AF平分NBAC,贝l|3=22?

其中正确结论的个数是（）

M

A.4B.3C.2D.1

9.（2022•山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与

相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的（）

A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割

10.（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点。、E分别为48、AC的中点，贝US^ADE：S&ABC=（）

A

11.（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部

与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2根的雷锋雕像，那么该雕像的

下部设计高度约是（结果精确到0.01%参考数据：加-1.414,73^1.732,遥-2.236）（）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

12.（2022•眉山）如图，四边形ABC。为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至4HBC,点、D,B,

以在同一直线上，HE与AB交于点G,延长HE与C。的延长线交于点RHB=2,HG=3.以下结论:

①/即C=135°；②Ed=CD,CF；③HG=EF；④sin/CED=亚.其中正确结论的个数为（）

H

A.1个B.2个C.3个D.4个

13.（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2«,AB^AC,BC=2.作AE〃BC且点尸是

2

线段AB上一动点，连结PE,过点E作尸E的垂线交BC的延长线于点R加是线段跖的中点.那么，

当点P从A点运动到8点时，点M的运动路径长为（）

A.____E

'F

BC

A.V3B.3C.2MD.4

14.（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，在6

X6的正方形网格图形ABC。中，M,N分别是AB,上的格点，8M=4,BN=2.若点尸是这个网格

图形中的格点，连结PM,PN,则所有满足NMPN=45°的△P阿中，边尸M的长的最大值是（）

A.4A/2B.6C.2V15D.3遥

15.（2022•扬州）如图，在△A8C中，AB<AC,将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△AZJE,点。在

BC边上，DE交AC于点F.下列结论：①△AFES/\DFC；②DA平分NBDE；③NCDF=NBAD,其

16.（2022•泰安）如图，平行四边形ABC。的对角线AC,BD相交于点。，点E为BC的中点，连接并

延长交于点凡ZABC=60°,BC=2AB.下列结论：®ABLAC；@AD=4OE；③四边形AECF是

菱形；④SABOE=」SAABC,其中正确结论的个数是（）

4

BEC

A.4B.3C.2D.1

17.（2022•绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再

沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片A8C。,

其中NA=90°,AB=9,BC=1,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（）

244

18.（2022•连云港）如图，将矩形沿着GE、EC、GB翻折，使得点A、B、。恰好都落在点。处,

且点G、。、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：①GF〃EC；

19.（2022•达州）如图，点E在矩形ABC。的AB边上，将△AOE沿。E翻折，点A恰好落在8C边上的点

产处,若CD=3BF,BE=4,则的长为（）

20.（2022•金华）如图是一张矩形纸片ABC。，点E为中点，点/在8c上，把该纸片沿EF折叠，点

A,B的对应点分别为A',皮，A'£与BC相交于点G,B'A'的延长线过点C.若更1=2,则31

GC3AB

573

21.（2022•丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,

C都在横线上.若线段A8=3,则线段8C的长是（）

32

22.（2022•重庆）如图，△ABC与△OEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2,则△ABC与

的周长之比是（

则△OEF的周长是（）

E

A.4B.6C.9D.16

24.（2022•遂宁）如图，正方形A8CD与正方形8EPG有公共顶点8,连接EC、GA,交于点O,GA与BC

交于点P,连接。D、OB,则下列结论一定正确的是（）

@EC±AG；②△OBPs^cAP；③OB平分NCBG；@ZAOD=45°；

A.①③B.①②③C.②③D.①②④

二.填空题（共17小题）

25.（2022•宜宾）如图，△ABC中，点、E、尸分别在边A3、AC上，N1=N2.若BC=4,AF=2,CF=3,

贝!JEF=

A

1

B

26.（2022•邵阳）如图，在△ABC中，点。在A3边上，点E在AC边上，请添加一个条件，使

AADE^AABC.

A

D/----------

E(---------------------------

27.（2022•河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A,8的

连线与钉点C,。的连线交于点E,则

（1）A3与是否垂直？（填“是"或“否"）；

（2）AE=.

1C

D

28.（2022•陕西）如图，在菱形A8CD中，AB=4,BD=1.若M、N分别是边A。、8C上的动点，且AM

=BN,作NFLBD,垂足分别为E、F,则ME+7VF的值为

29.（2022•新疆）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点尸在边上，以点。为

中心，将△OCE绕点。顺时针旋转90°与恰好完全重合，连接EF交DC于点P,连接AC交EF

BCE

30.（2022•嘉兴）如图，在△ABC中，NABC=90°,ZA=60°,直尺的一边与BC重合，另一边分别交

AB,AC于点。，E.点B,C,D,£处的读数分别为15,12,0,1,则直尺宽8。的长为.

31.（2022•陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全

国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作跖将矩形窗框ABC。分为上下两部分,

其中E为边A8的黄金分割点，即8£2=4尸4艮己知为2米，则线段BE的长为米.

A,__________________D

BC

32.（2022•杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水

平地面上（如图）.同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是8C=8.72s,EP=2.18m.已知8,

C,E,P在同一直线上，AB±BC,DE±EF,DE=2.47m,贝!|m.

33.（2022•娄底）如图，已知等腰△A8C的顶角/BAC的大小为&点。为边8c上的动点（与8、C不重

合），将A。绕点A沿顺时针方向旋转。角度时点。落在。'处，连接8。'.给出下列结论：

@AACD^AABD,；

®/\ACB^£\ADD'；

③当时，的面积取得最小值.

其中正确的结论有（填结论对应的应号）.

34.（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美

观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是的黄金分割点，即DE^0.618AD延长板与相

交于点G,则EG心DE.（精确到0.001）

35.（2022•苏州）如图，在矩形ABC。中，胆=2.动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动

BC3

点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接MN.动点M,N同时出发，点M运动的速度为vi,

点N运动的速度为V2,且V1VV2.当点N到达点。时，M,N两点同时停止运动.在运动过程中，将四

边形沿翻折，得到四边形MA'B'N.若在某一时刻，点5的对应点B恰好与的中点

重合，则的值为

v2

B'

DrC

N

B

36.（2022•湖州）如图，已知在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，DE//BC,若DE=2,

AB3

则BC的长是

37.（2022•武威）如图，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=9cm,点、E,F分别在边AB,BC上，AE=2cm,

BD,所交于点G,若G是斯的中点，则BG的长为cm.

38.（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心。的

正下方.某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OB,此时各叶片影子在点〃右侧成线段C。，测

得MC=85，z,C£>=13根，垂直于地面的木棒跖与影子尸G的比为2：3,则点。，M之间的距离等于

米.转动时，叶片外端离地面的最大高度等于米.

a

39.（2022•绍兴）如图，AB=10,点C是射线BQ上的动点，连结AC,作COLAC,CD^AC,动点E在

延长线上，tan/Q8E=3,连结CE,DE,当CE=DE,CE_LZ)E1时，BE的长是

40.（2022•达州）人们把近二1^0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就

2_

应用了黄金比.。=近二1,,=遍+1,记Si=」^+—5^,S2=―--+—-—,…，Sioo=―三旦一+

22100

221+a1+bl+a1+b1+a

-10°-,则S1+S2+…+S1OO=

100

l+b

41.（2022•成都）如图，△ABC和是以点。为位似中心的位似图形.若。4：AO=2：3,则△ABC

与LDEF的周长比是

三.解答题（共9小题）

42.（2022•宜宾）如图，点C是以AB为直径的。。上一点，点。是A8的延长线上一点，在。4上取一点

F,过点尸作AB的垂线交AC于点G,交DC的延长线于点E,且EG=EC.

(1)求证：OE是O。的切线；

(2)若点尸是04的中点，BD=4,sinZr)=l,求EC的长.

3

E

43.(2022•常德)如图，已知是。。的直径，BCLABB,E是。4上的一点，ED〃BC交。0于D,

OC//AD,连接AC交E£)于足

(1)求证：8是。。的切线；

(2)若AB=8,AE=\,求E£>,EF的长.

44.(2022•广元)在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AC为直径的。。交AB于点。，点E是边BC的中点,

连结。E.

(1)求证：DE是。0的切线；

(2)若AO=4,BD=9,求OO的半径.

45.(2022•常德)在四边形ABCD中，/BAD的平分线AF交BC于R延长A8到E使BE=FC,G是AF

的中点，GE交BC于O,连接GD

（1）当四边形ABC。是矩形时，如图1,求证：①GE=GD；②BO・GD=GO,FC.

（2）当四边形ABC。是平行四边形时，如图2,（1）中的结论都成立.请给出结论②的证明.

46.（2022•孝感）问题背景:

一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知4。是4

ABC的角平分线，可证期■=些.小慧的证明思路是：如图2,过点C作CE〃AB,交的延长线于点

ACCD

E,构造相似三角形来证明组=毁.

ACCD

尝试证明：

（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：胆=理；

ACCD

应用拓展：

(2)如图3,在RtaABC中,/A4c=90°,。是边3c上一点.连接A。，将△AC。沿所在直线

折叠，点C恰好落在边上的E点处.

①若AC=1,AB=2,求。E的长;

②若BC=m,ZAED=a,求DE的长（用含相，a的式子表示）.

47.（2022•泰安）如图，矩形ABCZ）中，点E在。C上，DE=BE,AC与8。相交于点。，BE与AC相交

于点?

（1）若BE平分NCBD,求证：BF±AC；

(2)找出图中与AOB尸相似的三角形，并说明理由;

(3)若0歹=3,EF=2,求。E的长度.

48.(2022•杭州)如图，在△ABC中，点。，E,P分别在边AB,AC,8c上，连接DE,EF.已知四边形

次石。是平行四边形，DE=1.

BC4

(1)若A8=8,求线段AD的长.

(2)若△AOE的面积为1,求平行四边形的面积.

49.(2022•江西)如图，四边形ABC。为菱形，点E在AC的延长线上，NACD=/ABE.

(1)求证：AABC^AAEB；

(2)当AB=6,AC=4时，求AE的长.

50.(2022•宁波)【基础巩固】

(1)如图1,在△A8C中，D,E,尸分别为48,AC,BC上的点，DE//BC,BF=CF,AF交DE于点

G,求证：DG=EG.

【尝试应用】

(2)如图2,在(1)的条件下，连结CO,CG.CG1DE,8=6,AE=3,求典的值.

【拓展提高】

(3)如图3,在回ABC。中，NAOC=45°,AC与B£＞交于点O,E为AO上一点，EG〃BD交AD于点、

G,EF工EG交BC于点F.若/EGF=40°,FG平分/EFC,FG=10,求B尸的长.

图1图2图3

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题21图形的相似（共50题）

选择题（共24小题）

1.（2022•凉山州）如图，在△ABC中，点。、£分别在边A3、AC上，若DE〃BC,—

DB3

【分析】根据典■=?,得到期_=2,根据。E〃BC,得到/AOE=NB,ZAED=ZC,

DB3AB5

得到△AOEs△ABC,根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.

【解析】•.•辿=2,

DB3

•.•~A~D~_~2~,

AB5

'JDE//BC,

：.ZADE=ZB,ZAED=ZC,

：.△ADEs^ABC,

.DE=AD

,*BC而，

•.•--6_2-,

BC5

.,.BC=15（cm）,

故选：C.

2.（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形。跖，其

最长边为12,则△£）£厂的周长是（）

A.54B.36C.27D.21

【分析】（1）方法一：设2对应的边是x,3对应的边是y,根据相似三角形的对应边的

比相等列等式，解出即可；

方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算.

【解析】方法一：设2对应的边是x,3对应的边是y,

AABCsADEF,

•.•2_-3_-4,

xy12

.'.x=6,y=9,

.•.△。斯的周长是27；

方式二：:△ABCsdDEF,

.CAABC_4

••------~~~,

,△DEF12

•.•2+3+4_-1,

,△DEF3

：・CADEF=27；

故选：C.

3.(2022•云南)如图，在AABC中，D、E分别为线段BC、54的中点，设AABC的面积

Sn

为Si,的面积为S2,则一2=()

S1

【分析】根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.

【解析】在△ABC中，D、E分别为线段BC、R4的中点，

:.DE为△ABC的中位线,

：.DE//AC,DE^—AC,

2

:ABEDsABAC,

..ED=1

'AC5，

.SABED_1

■•一,

SABAC4

故选：B.

4.（2022•武威）若△ABCsADEF,BC=6,EF=4,则空■=（）

DF

A.AB.9C.2D.国

9432

【分析】根据△ABCSADER可以得到理■望，然后根据BC=6,EF=4,即可得到

EFDF

空■的值.

DF

【解析】:•△ABCsADEF,

•.B•-CA二C,

EFDF

VBC=6,EF=4,

•.A•-C二6-_--3-,

DF42

故选：D.

5.（2022•十堰）如图，某零件的外径为10crn,用一个交叉卡钳（两条尺长AC和8。相等）

可测量零件的内孔直径A3.如果。4：OC=OB：OD=3,且量得C£）=3cm,则零件的

厚度尤为（）

A.0.3cmB.0.5cmC.Q.lcmD.1cm

【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10。",

即可求得x的值.

【解析】".'OA：OC=OB：OD=3,ZCOD=ZAOB,

：./\COD^/\AOB,

•U•AB：CD—3r

♦：CD=3cm,

'•AB=9cm,

..,某零件的外径为10cm,

零件的厚度x为：（10-9）4-2=14-2=0.5（cm）,

故选：B.

6.（2022•台湾）△ABC的边上有。、E、F三点,各点位置如图所示.若BD

=AC,/BDE=/C,则根据图中标示的长度，求四边形AD跖与△ABC的面积比为何?

()

【分析】证明尸推出CA2=C>C8,推出AC=4泥，可得空■=生区

CB16

—,推出S^ACF：SAACB=5：16,同法SABDE：SAABC=5：16,由此可得结论.

4

【解析】VZC=ZC,ZCAF=ZB,

:.△CAFMCBA,

.CA=CF

"CBCA'

J.C^^CF'CB,

；.CA2=5X16=80,

VAOO,

；.AC=4\后

.AC_475_V5

"CB16T'

SAACF：SAACB=5：16,

同法可证△5O£*s△BCA,

VJ5D=AC,

.BD_V5

••-------，

BC4

••S/^BDE:S/\ABC=5:16,

=

・・S四边形AOEF：SAABC(16-5-5)：16=3：8,

故选：D.

7.(2022•宿迁)如图，点A在反比例函数y=2(x>0)的图象上，以04为一边作等腰

X

直角三角形048,其中NO4B=90°,AO=AB,则线段03长的最小值是()

C.2V2D.4

【分析】根据二角形04B是等腰直角二角形，当0B最小时，最小，再根据两点间

的距离公式解答即可.

【解析】:•三角形0A8是等腰直角三角形,

当0B最小时，0A最小,

设A点坐标为（a,2）,

a

即：

2

a

az

，当/=_与时，0A有最小值，

a

解得a2=-V2（舍去），

点坐标为（圾，近）,

；.0A=2,

•.•三角形OAB是等腰直角三角形，0B为斜边,

：.0B=®0A=2®

故选：C.

8.（2022•孝感）如图，在矩形中，AB<BC,连接AC,分别以点A,C为圆心，大

于工AC的长为半径画弧，两弧交于点M,N,直线分别交A。，BC于点、E,F.下

2

列结论：

①四边形AECF是菱形；

®ZAFB=2ZACB；

@AC-EF^CF-CD；

④若AP平分/8AC,则CP=2BF.

其中正确结论的个数是（）

M

N

A.4B.3C.2D.1

【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可.

【解析】根据题意知，2/垂直平分AC,

M

A_寸D

BF

N

在△AOE和△(%)尸中，

，ZEA0=ZFC0

<ZA0E=ZC0F=90o>

AO=CO

A/\AOE^/\COFCAAS),

：.OE=OF,

：.AE=AF=CF=CE,

即四边形AECF是菱形，

故①结论正确；

•?ZAFB=ZFAO+ZACB,AF=FC,

：.ZFAO=ZACB,

：.NAFB=2NACB,

故②结论正确；

•?S四边形AECF=CF'CD=^AC^OEX2=^AC-EF,

22

故③结论不正确；

若AF平分NBAC,则N8AF=/R1C=NCAZ)=LX90°=30°,

3

：.AF=2BF,

,：CF^AF,

：.CF=2BF,

故④结论正确；

故选：B.

9.(2022•山西)神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每

圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的()

A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割

【分析】利用黄金分割比的意义解答即可.

【解析】•••每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618,

又黄金分割比为-0.618,

2

.•.其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的黄金分割，

故选：D.

10.（2022•湘潭）在△ABC中（如图），点。、E分别为AB、AC的中点，则SMDE：SAABC

=（）

A

B4----------------------------------XC

A.1：1B.1：2C.1：3D.1：4

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可.

【解析】在AABC中，点。、E分别为AB、AC的中点，

；.£）£■为△ABC的中位线，

J.DE//BC,DE^—BC,

2

：.AADEsAABC,

.12]

••S^ADE:S/^ABC~（—）=—•

故选：D.

11.（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度

比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为2根

的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m.参考数据:72^1.414,

73^1.732,遥心2.236）（）

A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m

【分析】设下部高为xm根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等

于下部与全部的高度比列方程可解得答案.

【解析】设下部的高度为WJ,则上部高度是（2-x）m,

:雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比,

•.•-2--~-x-_x,

X2

解得尤-1或无=--1（舍去），

经检验，x=V5-1是原方程的解，

-1-L24,

故选：B.

12.（2022•眉山）如图，四边形ABCD为正方形,将△EOC绕点C逆时针旋转90°至△H3C,

点、D,B,X在同一直线上，HE与AB交于点、G,延长HE与的延长线交于点RHB

=2,HG=3.以下结论：①/即C=135°；②Ed=CD*CF；③HG=EF；®sinZCED

=亚.其中正确结论的个数为（）

【分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断①正确；利用三角形相似的判定及性

质可知②正确；证明△GB//sZ\EZ）C,得到匹里，即EC=CD"HG上,利用△8EC

HBHGHB2

是等腰直角三角形，求出HE="啰再证明即可求出所=3可知③正

确;过点E作EMLFD交即于点/，求出sinNEFC崖再证明"EC=ZEFC,

EF3

即可知④正确.

【解析】•••△EOC旋转得到△H8C,

ZEDC=ZHBC,

为正方形，D,B,H在同一直线上,

：.ZHBC=18Q°-45°=135°,

.\ZE£)C=135",故①正确；

/XEDC旋转得到△HBC,

:,EC=HC,ZECH=90°,

:・NHEC=45°,

AZFEC=180°-45°=135°,

•：/ECD=NECF,

:•△EFCS/\DEC,

・ECFC

••——，

DCEC

:・EC?=CD*CF,故②正确；

设正方形边长为。，

■:/GHB+/BHC=A5°,ZGHB+ZHGB=45°,

・•・/BHC=ZHGB=/DEC,

•：/GBH=/EDC=135°,

:AGBHs/\EDC,

.DCEC日riw—CD-HG3a

HBHGHB2

,/AHEC是等腰直角三角形，

.皿诟a

,,HE=-~—，

•：/GHB=/FHD,ZGBH=ZHDF=135°,

・••△HBGSLHDF,

...胆再，gp--------,解得：EF=3

HDHF2W2a3V2a

F-+EF

,:HG=3,

：.HG=EF,故③正确；

过点E作EM±FD交FD于点M,

：.ZEDM=45°,

,:ED=HB=2,

・・・MD/E二亚，

":EF=3,

•■­sinZEFC=1^=^>

IL"o

•；/DEC+/DCE=45°,ZEFC+ZDCE=45°

：・/DEC=/EFC,

；•sinNDEC=sinNEFC=^1_=^_，故④正确

c.ro

综上所述：正确结论有4个，

故选：D.

13.（2022•乐山）如图，等腰△ABC的面积为2«,AB^AC,BC=2.作AE〃BC且AE

=2BC.点P是线段A8上一动点，连结PE,过点£作PE的垂线交8C的延长线于点

2

是线段EF的中点.那么，当点尸从A点运动到2点时，点M的运动路径长为（）

D.4

点厂与C重合，当点尸

与2重合时，点P的对应点为,点M的运动轨迹是的中位线，M'M"=工

2

CF",利用相似三角形的性质求出CF"可得结论.

【解析】如图，过点A作A7/L2C于点凡

当点P与A重合时，点尸与C重合，当点P与2重合时，点厂的对应点为P",

点M的运动轨迹是△ECB"的中位线，M'M"=LCF",

2

'：AB=AC,AHLBC,

:.BH=CH,

"：AE//BC,AE=^BC,

2

:.AE=CH,

四边形AHCE是平行四边形，

VZAHC=90°,

四边形A〃CE是矩形，

J.ECLBF",AH=EC,

•VBC—2,S/\ABC=2^/^,

.-.AX2XA//=2V3>

:.AH=EC2M，

VZBFF"=NECB=NECF",

：.ZBEC+ZCEF"=90°,

ZCEF"+ZF"=90°,

：.ZBEC=ZF",

：./\ECB^/\F"CE,

:.EC2=CB-CF",

：.CF"=（2A^）2=6,

2

：.M'M"=3

故选:B.

14.（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格

点.如图，在6X6的正方形网格图形A8CD中，M,N分别是AB,8c上的格点，BM

=4,BN=2.若点尸是这个网格图形中的格点，连结PM,PN,则所有满足/MPN=45°

的△PMN中，边PM的长的最大值是（）

A.472B.6C.2A/TQD.3A/5

【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使最长，利用勾股

定理求出即可.

【解析】如图所示：△MNP为等腰直角三角形，NMPN=45°,此时PM最长，

根据勾股定理得：PM=<^22+62=^40=2-/10.

15.（2022•扬州）如图，在△ABC中，AB<AC,将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到4

ADE1，点。在BC边上，DE交AC于点八下列结论：®AAFE^ADFC；②ZM平分/

【分析】由旋转的性质得出ZB=ZADE,AB=AD,ZE=ZC,进而

得出得出/4DE=NAO8,得出D4平分/BOE,可判断结论②符合题意;

由ZE=ZC,得出△AFES2\JDFC,可判断结论①符合题意；由NBAC

=/D4£得出N2AD=/E1E由相似三角形的旋转得出/曲£=/CDF,进而得出/

BAD=ZCDF,可判断结论③符合题意；即可得出答案.

【解析】：将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△AOE,

：.ZBAC=ZDAE,NB=/ADE,AB=AD,ZE=ZC,

：.ZB=ZADB,

：.ZADE=ZADB,

.♦.ZM平分NBDE,

②符合题意；

VZAFE=ZDFC,ZE=ZC,

：.AAFE^ADFC,

.♦•①符合题意；

'：ZBAC=ZDAE,

：.ABAC-ZDAC=/DAE-ADAC,

：.ZBAD=ZFAE,

:△AFEs△。尸c,

：.ZFAE=ZCDF,

:.NBAD=NCDF,

③符合题意；

故选：D

16.（2022•泰安）如图，平行四边形A8CD的对角线AC,相交于点。点E为8c的

中点，连接£。并延长交A。于点EZABC=60°,BC=2AB.下列结论：@AB±AC；

②4。=4。£；③四边形AECF是菱形;④SMOE=L&ABC,其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】通过判定△ABE为等边三角形求得/B4E=60。，利用等腰三角形的性质求得

Z£AC=30°,从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结

合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④.

【解析】•••点E为8C的中点，

:.BC=2BE=2CE,

又：BC=2AB,

：.AB=BE,

VZABC=60°,

.♦.△ABE是等边三角形，

：.ZBAE=ZBEA=60°,

：.ZEAC=ZECA^30°,

：.ZBAC=ZBAE+ZEAC=90°,

即ABL4C,故①正确；

在平行四边形ABC。中，AD//BC,AD=BC,AO=CO,

：.ZCAD=ZACB,

在AAO尸和△COE中，

,ZCAD=ZACB

<OA=OC，

ZA0F=ZC0E

A/XAOF^/XCOE（ASA）,

：.AF=CE,

四边形AEC尸是平行四边形，

又点E为8C的中点，

：.AE=CE,

.♦•平行四边形AECF是菱形，故③正确；

：.AC±EF,

在RtACOE中，/ACE=30°,

OE=^CE=-^BC=^AD,故②正确；

244

在平行四边形ABCD中，OA^OC,

又：点E为3C的中点，

SABOE=—S^BOC=—SAABC,故④正确；

2