浙江省杭州市萧山区两校2024-2025学年高三年级上册联考（四）数学试卷（含答案解析）

浙江省杭州市萧山区第八高级中学等两校2024-2025学年高三

上学期联考（四）数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设全集U=R,集合/=卜卜=J2-,,5=2工,xe/},则ND8=（）

A.（-oo,2]B.[2,+oo）C.[2,4]D.（0,2]

2.已知e-e?为单位向量，a=ex-2e2,b=1ex+e2,若&，则q与e2的夹角为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

3.某公司通过研发技术、提升工艺、提高效率等方法来降低成本.假设该公司的年成本以每

2

年10%的比例降低，要使年成本低于原来的不，至少需要"年，则（）（参考数据：

lg2«0.3,1g3ao.477）

A.7B.8C.9D.10

4.已知表面积为167t的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切，若该圆台的下底面半径

为上底面半径的4倍，则该圆台的体积为（）

10092

A.----兀B.32兀C.—兀D.28兀

33

5.在平面直角坐标系中，已知直线/：y=Ax+g与圆C:/+/=i交于42两点，则

V/08的面积的最大值为（）

A.1B.：C.—D.心

224

6.已知锐角4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,]UiJb等于

（）

A.10B.9C.8D.5

7.已知椭圆C的左、右焦点分别为片，F2,过上顶点A作直线交椭圆于另一点夙若

|/@=闺回，则椭圆C的离心率为（）

A.-B.yC.—D.—

3232

8.不等式（V-办-1）（尤-6）»0对任意x>0恒成立，则/+〃的最小值为（）

试卷第1页，共4页

A.2V2-2B.2c.2V2D.2V2+2

二、多选题

9.为了解鸭梨种植园的亩收入(单位：万元)情况，从“高标准梨园”种植区抽取样本，得

到的亩收入样本均值了=0.86,样本方差$2=0.0009;从“标准化梨园”种植区抽取样本，亩

收入X服从正态分布N(0.72,0.04e),假设，，高标准梨园，，的亩收入y服从正态分布N(只s)

则().(若Z服从正态分布"(〃,4),则P(Z<〃+b)。0.8414)

A.P(X>0.8)>0.2B,尸(X>0.8)<0.5

c.尸(y>0.8)>0.5D.尸(y>0.8)<0.8

10.已知函数/(x)=3cos(3x-[],则()

A.〃x)的最小正周期为市

B.为〃x)的图象的一个对称中心

C./(x)在py上单调递增

D.将“X)的图象的横坐标伸长为原来的3倍后得到g(x)的图象，则曲线y=g(x)与

直线y=x有4个交点

11.在平面直角坐标系。孙中，曲线C经过坐标原点，且C上的点(X/)满足：尤<3,且到

点厂(-3,0)的距离与到定直线x=a(a>0)的距离之积为9,则()

C.曲线C在第二象限的点到x轴的距离的最大值为近

D.3y-xy-9<0

三、填空题

12.已知复数z=(l-2i)(l+i),则忖=.

13.已知数列{a“}(lV"V6,"eN*)是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到

试卷第2页，共4页

一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为.

14.已知定义域为R的函数〃x）的导函数为了'（X）,若函数〃2x+l）和/''（x+2）均为偶函

2026

数，且/'（2）=2,贝|£八。=.

1=1

四、解答题

15.如图，在四棱锥P-48C。中，底面/5CD为菱形，且/ZM8=60。，△ADP为等边三

角形.

(1)求证：ADLPB-,

⑵若/8=2,BPf,求尸C与平面PAD所成角的正弦值.

16.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数

也不断攀升，2021年的考研人数是377万人，2022年考研人数是457万人.某省统计了该省

其中四所大学2023年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：

A大学B大学C大学D大学

2023年毕业人数x（千人）8754

2023年考研人数V（千人）0.60.40.30.3

（1）已知》与x具有较强的线性相关关系，求〉关于x的线性回归方程y=bx+a;

（2）假设该省对选择考研的大学生每人发放0.6万元的补贴，若A大学的毕业生中小江、小沈

选择考研的概率分别为。,22-1,该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过

0.75万元，求0的取值范围.

y,（%-可（%-力WX%一底,y

参考公式：b=『-----------=%---------（i=y-bx.

之（现-三丫^x.-nx1

Z=1Z=1

22

17.已知点4可0,百）为椭圆C京+方=l（a>6>0）上不同两点，点尸。,0）为椭圆的一个

试卷第3页，共4页

焦点.

(1)求椭圆C的标准方程和离心率；

(2)若△NB尸的面积5=道，求直线的方程.

18.已知曲线/(尤)=ae*-x+b在x=0处的切线过点(l,a2+2a-l).

(1)试求b-丁的值;

⑵讨论/(x)的单调性；

3

(3)证明:当。>0时，f(x)>21na+—.

%,1%,2…a\,m

19.已知(=a:侬22)是/个正整数组成的机行机列的数表，当

J，^m,mj

\<i<s<m,\<j<t<m^,记.设“eN*,若4满足如下

两个性质：

①%/e{l,2,3;…,〃}(i=l,2,…，加;4=1,2,…,加)；

②对任意后e{l,2,3,,存在ie{l,2,…,加},Je{l,2,…,加},使得%=k,则称4为「“数

表.

‘123、

⑴判断4=231是否为小数表，并求”(01，。2,2)+"(。2,2，%3)的值；

〔312)

⑵若「2数表4满足d(%M5+J=lC=1,2,3;/=1,2,3),求4中各数之和的最小值；

(3)证明：对任意「4数表4o，存在14i<s410,14/</410,使得,)=0.

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参考答案:

题号12345678910

答案DACDDDCABCAB

题号11

答案ABD

1.D

【分析】由函数定义域求法可求得集合A；根据指数函数值域求法可求得集合8；根据交集

定义可得结果.

【详解】由2-无20得x<2,则4=(-8,2］；

当x<2时，0<2F4,所以3=(0,4］；所以/口8=(0,2］.

故选：D.

2.A

【分析】利用小5=0,计算出•£=(),所以即可得解.

=

【详解】因为所以2石=,-2e?}(为+e?)=羽-3e/e2-羽-e2=0,

所以e「e2=0,所以

所以［与4的夹角为90。.

故选：A.

3.C

【分析】由题意列式，根据指对数之间的互化结合对数运算求解.

2

【详解】设该公司原来的年成本为。，年成本低于原来的:需要的时间为x年,

则由题意得“1-10%)*<［*得<|,得XAlog2］，

lg

25Ig2-lg521g2-l

因为10g9=®8.6所以〃«9.

lg9-IglO-21g3-l

W5lgH

故选：C.

4.D

【分析】由已知得球的半径R,作出圆台的轴截面，求出圆台的上、下底面半径，由圆台的

答案第1页，共14页

体积公式即可得解.

【详解】设球的半径为尺（火>0）,由4成2=16兀，解得火=2.

作出圆台的轴截面，如图，设。。|=厂6>0）,则。28=4厂，

由相切的性质可知MC=CQ=r,O2B=BM=Ar,

易知OC,OB分别是/DCB,ZABC的平分线，即40cM=,ZOBM=^ZO2BM,

又ZQCM+ZO2BM=180。,

所以ZOCM+NOBM=^(ZO2BM+ZO1CA/)=90°,所以ZCOB=90°,

所以OC”OB,又OMIBC,贝I]/OCAf=,

所以AOCMs^BOM,即---=——,所以OM~=MC-MB，

OBOM

所以22=4，，解得r=l(负值已舍去)，

所以该圆台的体积为％=+(4r)2+4，]x/z=；兀(1+16+4)x4=28兀,

故选：D.

【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出V/OB的面积的表达式利

用三角函数单调性即可得出结论.

【详解】根据题意可得直线/：了=依+:恒过点该点在已知圆内，

圆C:*+/=i的圆心为C（0,0）,半径r=l,作CD，/于点。，如下图所示:

答案第2页，共14页

....1CD1

易知圆心C到直线/的距离为13<\CE\=~,所以cosNDCB=,

又可得/DCBe

因此可得N/C8=2NDC8eg，兀］，

所以V/O3的面积为S=-|C^||C5|sinZ^CS<-xlxlxsm—=—.

△AO（JB21Hl234

故选：D

6.D

【详解】由题意知,23COS2A+2cos2A-l=0,

即cos2A=^-,

25

又因aABC为锐角三角形，

所以cosA=—.

△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2bx6x；,

12

即b2--b-13=0,

13

即b=5或b=-1（舍去），故选D.

7.C

【分析】先根据椭圆的定义确定△/加；中各边的长度，再结合cosN4鸟召+cosN瓦笆=0,

用余弦定理列式，化简可求椭圆的离心率.

因为6的周长为4%河|=|何=*幽=闺同，所以|四=山上|",|^|=-|,

又cosZAF2FX+cosABF2FX=0,

答案第3页，共14页

+(2C)2-

所以C©(t]22=C拒

a2x-x2ca3

2

所以椭圆C的离心率为也.

3

故选：C

8.A

【分析】先由题意得到x=b是/—依—J。的一个根，从而得到之间的关系式为

a=b」，消元并利用均值不等式求解即可.

b

【详解】由题意可得，需满足X=b是*2一姑_1=0的一个根，

BPb2-ab—1=0,且b>0,所以。=6—,

b

+b2=2b2+^-2>2y/2-2,

当且仅当2/?=g,即6=仁时取等号.

所以/+〃的最小值为2&-2.

故选：A.

9.BC

【分析】根据正态分布的知识，进行计算求解即可.

【详解】由题意可知，X服从正态分布N(o.72,0.04),丫服从正态分布N(0.86,0.032),

所以P(X>0.8)=P(X>0.72+2x0.04)

<P(X>0.72+0.04)»1-0.8414=0.1586<0.2,故A错误；

尸(X>0.8)〈尸(X>0.72)=0.5,故B正确；

P(Y>0.8)=P(Y>0.86-2x0.03)

-P(Y<0.86+2x0.03)>P(Y<0.86+0.03)«0.8414>0.8>0.5,所以C正确，D错误.

故选：BC.

10.AB

【分析】根据三角函数的周期性、对称性、单调性、图象变换等知识对选项进行分析，从而

确定正确答案.

【详解】函数最小正周期7=午，故A正确；

答案第4页，共14页

2Kc(r2717t=0,贝d，o)为了(X)的图象的一个对称中心，故B正确;

3cos3x------

9)96

712兀„,「715兀11兀„,,在当上先减后增,

XG时，3x——e—,易知歹一cosx

66666

故/'(X)在py上先减后增，故C错误;

g(x)=/3cos

Ix--6

在同一直角坐标系中分别作出y=g(x)与y=x的大致图象如下所示,

观察可知，它们有3个交点，故D错误.

81

2(尤+3)2,代入坐标原点可判断A选项,

【分析】根据已知条件可得轨迹方程为了=(^7

-^7-(x+3『，求导，根据导数可得当x<0时，〃x)

代入x=l,可判断B选项，设〃x)=(

X—3)

的单调性及最值情况，即可判断C选项；由y2(x-3)2=81-(x+3)2(x-3『481,所以

-9<j；(3-x)<9,即可判断D选项.

［详解］由已知J(x+3)2+,.旧_4=9,x<3,

又曲线C过坐标原点，则5/^入加=9,

则同=3,又〃〉0,则a=3,A选项正确;

则曲线方程为(x+3『+/=,

x<3,

(x-3)

即"广4+里x<3,

答案第5页，共14页

令x=l,得「="-16=：,所以y=±也，

442

即点,乎］,卜-浮］均在曲线C上，B选项正确；

设“"=/8：YX+3)2,X<3,

(x-3)

则,⑴=.2(x+3)=:［81+(x+3)(x-3)1,

(x-3)(x-3)

2八3

当x<0时，一(%_3)3〉0,^g(x)=81+(x+3)(x-3),

贝Ug'(x)=(X-3丫+3(x+3)(x-3)2=(x-3)2(4x+6),

则当x<-］时，g'(无)<0,x>-Q时，g'(x)>0,

即g(x)在［-巴-|］上单调递减，在］一|，°］上单调递增，

又g(-3)=81>0,g(-2)=81-125=-44<0,g(0)=0,

所以弱e(-3,-2),使g3))=0,

且x<Xo时，g（x）>0,x（）<x<0时，g（x）<0,

即x<Xo时，f&）〉0，的单调递增，x（）<x<0时，/'（久）<o，/（x）单调递减,

则〃41「/伉）>〃-2）=|1-1=||>2,

即改…一工/3使必〉？，又f>0,所以y>拒，C选项错误；

将轨迹方程转化为r（尤_3）2=81-（尤+3）2（尤-3）2,

可知「（工一3『=81-（x+3『（x-3）2481恒成立，

又x<3,所以-9"（3-x）V9,

即y（3-x）49,即3广中-9W0,D选项正确；

故选：ABD.

12.710

【分析】利用复数的乘法运算化简复数，然后利用复数模的运算公式求解即可.

答案第6页，共14页

［详解】z=(l-2i)(l+i)=3-i,故目=打+(一丁=丽.

故答案为：Vio

2

13.-/0.4

5

【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解.

【详解】不妨设d〉o,则见＜出＜・-＜。6，其极差为R-%.

若随机删除两项后极差不变，则删除的两项必存在于第2项至第5项,

则有C；种删除方法，所以尸=舄=：

2

故答案为：

14.2

【分析】t(2x+l)为偶函数,贝!J/(x+l)=/(-x+l),两边求导得至!]/'(x+l)=_/'(r+l),

即/'(x)=-T(-x+2),结合广(x+2)=尸(T+2),得到/")=/，(X+4),故/(x)是以4

为周期的周期函数，由/+可得/⑴=0,/,(1)=-/，(3)=0,

r(2)=-/\4)=2,故尸(1)+尸⑵+八3)+尸(4)=0,所以

20264

Ef⑴=506£r(o+/⑴+r(2)=2.

i=lz=l

【详解】因为/(2X+1)为偶函数,则/(2x+l)=/(-2x+l),即〃x+l)=〃r+l),

又因为f'(x+2)为偶函数，贝!|/"+2)=尸(-X+2).

由/(x+l)=/■(-x+1),求导得/''(x+l)=-/'(r+l),即/'(x)=-f(-x+2),

所以/'⑺=T(尤+2),则/(x)=-/。+2)=-[一八x+4)]=/(x+q,

所以/'(x)是以4为周期的周期函数.

由广。)—+2),可得/'。)=-(⑴,即/(1)=0,则/⑴=-7''⑶=0,

/(2)=-/，(4)=2,所以/'⑴+尸(2)+/'(3)+尸(4)=0,

20264

所以£ra)=506±r(o+/'⑴+r(2)=2.

z=li=l

故答案为：2

答案第7页，共14页

【点睛】知识点点睛：设函数〉=/(x),xeR,a>0,a#b.

(1)若/(x+a)=〃x-a),则函数f(x)的周期为2a；

(2)若/(x+a)=-/(x),则函数f(x)的周期为2a；

(3)若f(x+a)---二则函数/(无)的周期为2a；

若/("+")=焉，则函数AH的周期为加；

(4)

(5)若f(x+a)=/(x+b),则函数f(x)的周期为|.-4；

15.(1)证明见解析

⑵g

【分析】(1)E是中点，连接PE,EB,由题设易得尸E，4D,E3,4D,根据线面垂直

的判定有_L面PEB,再由线面垂直的性质即可证结论.

(2)根据已知及勾股定理可证PEL£3,即可构建以E为原点，说,画质为x、y、z轴

正方向的空间直角坐标系，进而确定相关点坐标，求直线PC的方向向量与平面的法向

量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.

【详解】(1)：4SC。为菱形，且/DAB=60°,

为等边三角形，又△/£)尸为等边三角形，

若E是AD中点，连接尸£,仍，易知：PELAD,EBLAD,

又PEcEB=E,即/。_1面「£2,又PBu面PEB,

AD1PB

(2)由/B=2,BP=y/6,结合(1)知：PE=EB=。,BPPE2+EB2=BP2，

：.PELEB,又PEL4D,EBLAD,

故可构建以E为原点，京，丽，而为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，

答案第8页，共14页

z

...£>(-1,0,0),5(0,V3,0),C(-2,亚0),尸(0,0,两,则无=(-2,6,-扬,55=(1,73,0),

丽=(1,0,拘,

DBm=x+VJy=0一「

若碗=（无）,2）是面尸2。的一个法向量，则，一一厂，令>=1，则加=(—石,1,1),

DP-m=x+v3z=0

AIcos<PC,m>|=|£'2\=,即PC与平面PBD所成角的正弦值为逅.

|PC||zn|V10xV555

16.(l)y=0.07x-0.02

13

⑵丁吟

【分析】（1）根据最小二乘法的估计公式求出相关数据，求出即可求得了关于x的线

性回归方程;

（2）设小江、小沈两人中选择考研的人数为X,确定X的所有可能值，求出每个值相应的

概率，即可求得X的期望，进而可得该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望，列出

不等式，即可求得答案.

【详解】（1）由题意得手=4+5；7+8=6,尸0.3+0.3+0.4+0.6„.

------------------------=0.4,

4

4

又Zxiyi=8x0.6+7x0.4+5x0.3+4x0.3=10.3,

Z=1

4

2西P一4元•y=10.3-4x6x0.4=0.7

i=l

4

22222

V^XZ=8+7+5+4=154,

i=l

4

.1Ex；-4^=154-4x36=10,

i=\

4

.07

b=--------------=-----=0.07,

%-4丁210

i=l

所以，=歹-否=0.4-0.07x6=-0.02,

答案第9页，共14页

故得了关于尤的线性回归方程为，=0.07x-0.02；

（2）设小江、小沈两人中选择考研的人数为X,则X的所有可能值为01,2,

p（x=o）=（l-#（2-2°）=2（1-p）2,

P（X=l）=p（2-2p）+（l-pW2p-l）=-4p2+5p~],

P（X=2）=p（2p_l）=2p2_p,

.•.E（X）=0x2（l-p）2+1X（Y/+5p_1+2>{2d=3p-,

则£（0.6X）=0.6x（3/?-l）<0.75,可得p<^,

[o<p<l1

又因为可得六屋1，

故人0

221

17.（1）-1；e=-

432

n

⑵苫=0或了=——x+43

-4

【分析】（1）根据椭圆上点B坐标以及焦点坐标解方程可得椭圆C的标准方程，由离心率定

义计算可得离心率；

（2）对直线N5的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线以及椭圆方程并求得弦长|/刈,再

由面积5=6即可得出直线N8的方程.

【详解】⑴由川0,9在椭圆。：5+/=16>6>0）上可得/+**=1，

解得万=3,

又F（1,O）可得。=1,因此/=/+。2=4,即a=2

22

所以椭圆C的标准方程为土+匕=1,

43

c1

其离心率为e=£=

a2

（2）根据题意可知，若直线的斜率不存在，则/（0,如下图所示：

答案第10页，共14页

此时|/a=2百，厂的面积为S=；|四|O司=；x26xl=6,满足题意;

可得此时直线的方程为x=0；

若直线45的斜率存在，设直线45的方程为〉=Ax+6，如下图所示：

y—kx+y/3

联立炉/,消去y并整理可得（4/+3卜2+8行b=0,

86k8仙左-4®+3厅

，又B（0网,所以/

解得x=0或X

4r+34〃+3―4/+3~

8限、28两用

此时|48|==J1+如X

-百2

4r+374k+3

点F（l,。）到直线y=kx+43的距离为d=七心

J1+-

所以AABF的面积为S=lxVuFx独Wx匕叁=4印|卜+阖

24H+3ViTF~4k2+3

解得仁=0,

4

所以直线的方程为尸YL+6；

4

综上可知，直线N8的方程为x=0或y=+G

18.(1)0；

（2）答案见解析;

（3）证明见解析.

【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再代入计算即得.

（2）求出函数〃x）的导数，再分类讨论求出单调区间.

答案第11页，共14页

(3)由(2)求出函数/(x)的最小值，利用分析法，构造函数并利用导数证明不等式.

【详解】(1)函数/(x)=*-x+b,求导得/'(%)=*-1,则/(0)="1,而/(0)=。+6,

因此曲线/(X)在x=0处的切线方程为歹-4-6=即y=(〃-l)x+〃+6,

依题意，Q?+2〃-1=Q-1+Q+b，所以则6—〃2=0.

(2)由(1)知函数/0)=西-x+/，其定义域为R,求导得/'(x)=qe、-1,

当aV0时，/(x)<0,/(x)在R上单调递减；

当a〉0时，由/<%)=ae"-1=0,得x=-lna,

当x<-Ina时，/(x)<0,/(x)在(-。,-Ina)上单调递减；

当x〉-Ina时，f'(x)>0,/(x)在(-Ina,+。)上单调递增；

所以当a40时，/(x)在R上单调递减；

当〃〉0时，/(x)在(-叼Tna)上单调递减，在(Tno,+。)上单调递增.

(3)由(2)得/(x)1nhi=/(Tna)=+〃)+ln〃=1+4+lnc,

33i

要证明/(x)>Zlna+Q,即证1+/+lna>21na+5,即证/一o,

令g(。)=ci2—Ina——,求导得g'(a)=2a——=——-，

2aa

由g“)<0,得0<a<e,由g'(“)>0,得a>也,

22

即函数g(。)在(O,*)上单调递减，在(发,+8)上单调递增,

因此g(a)mM=g(5^)=(，