新高考新结构命题下的立体几何解答题综合训练-2025年高中数学一轮复习

第08讲新高考新结构命题下的

立体几何解答题综合训练

（10类核心考点精讲精练）

考情探究・

在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一

场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。

当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质

量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：

（1）三考

题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实

际水平。

（2）三重

强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独

特见解和创造力。

（3）三突出

试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思

考和探索，培养逻辑思维和创新能力。

面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。立体几何版

块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适

中，易于学生入手。同样不能忽视的是，立体几何版块也可能被置于第18、19题这样的压轴大题中，此时

的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。

面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能

涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新

结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南,

以期在新高考中取得更好的成绩。

考点梳理・

1

Lf考点5立体几何中的动点问题

T_____________

'考点6立体几何中的范围问题

考点7立体几何中的存在性问题

上…考点8立体几何中的…劣构性问题

考点10立体几何中的新定义问题

考点一、空间中平行关系的证明

1.(2024•河南新乡•模拟预测)如图，在四棱锥S-/8CD中，A&4D为正三角形，底面A8CD为矩形，且平

面“。，平面/8C2河,N分别为棱SC,43的中点.

AR

(2)若小孙且二面角C-肱"。的大小为12。。,求近的值.

【答案】⑴证明见解析

⑵*3

2

【分析】(1)取棱的中点尸，连结PM,PA,可证四边形/尸儿W是平行四边形，利用线面平行的判定

即可证明；

(2)建立空间直角坐标系0-乎，利用二面角的向量公式求出参数，即可求解

【详解】(1)如图，取棱SD的中点P,连接尸

因为M是棱SC的中点，所以且"尸=』CD.

2

又因为四边形/BCD是矩形，N是棱的中点，故MP〃ANR.MP=AN,

所以四边形4PMN是平行四边形，所以M7V〃/尸.

又/Pu平面平面S4。，故儿W//平面&4D.

(2)取棱40的中点。，则在正三角形中，SQ1AD,所以S。，平面48CD.

以0为坐标原点，函的方向分别为无轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。孙z.

设AD=2a,AB=2b,b>a>Q,则C（-a,2d0）,S倒,0,后）也-巴,b,m,N（a,6,0）,D（-a,0,0）.

所以西7=g-b,笠，砺=

\7

设平面CW的法向量为力=(x,y,z),

a76a_

-x-byH------z=0,

n-CM=0,2

则，—,即「可取为=（a2a,Gb）.

RMN=0,3aJ34c'7

—x-----z—0,

22

设平面DAW的法向量为历=(p,q/),

a7y/3a

-p+bq+--r=A0,

m•DM=0,

则・_,即可取比=（仇_2々,百时

ifi，MN=0,3aJ3aA'7

——p-----r=0,

12"2

3

由题设知他、〈万，创=储=系二=］故b=6a，

喘3

2.（2024•浙江嘉兴•模拟预测）如图，已知四棱锥尸-/BCD的底面/BCD是边长为6的正方形，侧面尸CD，

底面/8CRPC=PO=5,点瓦G分别是。。,。2的中点，点尸在棱/8上且/b=3尸反

（1）求证：FG〃平面APE；

（2）求直线FG与平面PBC所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

呜

【分析】（1）解法一：取PE的中点，，连接GH,BH,证明四边形是平行四边形，得线线平行，然

后得证线面平行；

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法证明线面平行；

（2）解法一：过点H作〃K,PC,垂足为K,连接5K,证得二期K为直线88与平面尸8c所成的角，

在三角形中求出此角的正弦值后可得；

解法二：由空间向量法求线面角.

【详解】（1）解法一：取尸E的中点b,连接GH,BH,

因为点G是。P的中点，所以GH〃DE,且GH」DE,

2

正方形中，点E是C£＞的中点，AF=3FB,

所以8尸=1/8=!。£,且就〃DE,

42

所以GH〃BF,且GH=BF,所以四边形8HG尸是平行四边形,

所以GF〃BH,又GBe平面8尸平面APE,

所以FG〃平面APE.

4

解法二：

尸。=尸。=5,点E是。C的中点，所以PELCD,

又侧面尸CD_L底面48cO,侧面尸CD口底面48cZ)=CD,PE=平面尸CD,所以尸£_L平面48CD,

如图以点E为坐标原点，直线EC,EP为y轴和z轴建立空间直角坐标系,

则£(0,0,0),「(0,0,4),尸[6,：,01,。(0,-3,0),8(6,3,0),67(0,3,0)

所以G，,-|,2],所以同=(-6,-3,2),丽=俭,0,4),丽=£3,0)

.、\n-EP=4z=0

设平面8PE的一个法向量为机=(x,y,z),贝乂_,

n•EB=6x+3y=0

取了=2得x=T,z=0,所以五=(一1,2,0),所以质•万=-1x(-6)+2x(-3)=0,即尸G'/i,又尸G不在平面

BPE内,所以尸G〃平面8PE.

(2)解法一：

过点H作/SCLPC,垂足为K,连接BK,由题意知8CLDC,

又侧面尸CD_L底面/BCD,侧面「。。("|底面48。£>=。€\8。=平面/88,所以BC_L底面尸CD,又HK匚

平面PCD,所以BC_LHK,

又BCcPCnGBaPCu平面PBC,所以胸_L底面尸3C,

所以/HBK为直线BH与平面PBC所成的角，

记直线FG与平面PBC所成的角为夕，由(1)知GF〃BH,所以6=NHBK,

1aA

又由题意知，EH=PH=—PE=2,所以HK=PHsin/HPK=2x—=—,

255

又BE^BC'EC?=，所以BH=NBE2+EH?=，45+4=7,

HK6

所以sin。=sinZHBK=——=—,

BH35

所以直线尸G与平面P8C所成的角的正弦值为二.

35

解法二：由(1)知旃=(—6,—3,2),丽=(—6,—3,4),旅=(—6,0,9

n-BC=-6x=0

设元=(yy,z)是平面尸的一个法向量，则|_—,

n-BP=—6x—3y+42=0

取z=3得x=0/=4,所以为二(0,4,3),

5

-12+66

所以cos（万，尸G

736+9+4x535'

设直线FG与平面尸8c所成的角为6,则si

所以直线尸G与平面P8C所成的角的正弦值为

3.（2024•福建泉州•模拟预测）如图，在圆柱中，43分别为圆柱的母线和下底面的直径，C为底

面圆周上一点.

（1）若M为3C的中点，求证：QM//平面

⑵若NC=1,8C=百，圆柱。。2的体积为兀，求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）巨

35

【分析】（1）取/C中点N,利用线面平行的判定性质，结合圆柱的结构特征推理即得.

（2）以C为原点建立空间直角坐标系，求出平面以。|、平面。Q的法向量，再利用面面角的向量求法求

解即得.

【详解】（1）取/C中点N,连结MNQ\D,DN,如图，

由分别为8C,/C的中点，得MNUAB,MN=^AB=AO2,

由圆柱上下底面平行，且与平面交于和OQ，

得/。2〃。1。，且则AW//OQ且ACV=OQ,

因此四边形肱"＞。1为平行四边形，OXMIIND,又平面NCD,NDu平面/CD,

所以O|M〃平面NCD.

（2）由/C=1,3C=6,48为底面直径，得乙4cB=90。,AB=2,

由圆柱。1。2的体积V=Sh=71-4。；•002=兀，得。1。2=1，

6

过C作CE_L平面/BC,则CE_LC4,CE_LC3,又C41.CB,

以C为原点，直线C4,C8,CE分别为x,%z轴建立空间直角坐标系,

则8(0,40),呜孚1)。(0,0,0),/(1,0,0)，屈=(0,50),西=(；,21位=(1,0,0)，

mCB=百必=0

设平面C3。1的法向量为而=（再,乂，4）,贝卜——.173，令芭=2,得比=(2,0,-1),

和CO[=—x1+—yl+z1=0

n-CA=工2=0

设平面C4O1的法向量为万=（尤2，%/2）,贝卜一1，令%=2,得力=(0,2,-■

n-COx=-x2+—y2+z2=0''

、22

।I应•利

设二面角8-0]C-N的大小为e,则|cos6|=|cos〈/利=篙加=不近一~^=,

于是仙人后前黑二誓

所以二面角8-。©-/的正弦值为噜

4.（2024•陕西西安・模拟预测）如图，在九面体N8CDEFG/Z中，平面/GF_L平面/8COE产，平面N/G〃平

面〃CD,AG=GF=CH=HD=y[liAB=6,底面48cz历尸为正六边形.

（1）证明：GH〃平面4BCDEF.

⑵证明：G〃_L平面NFG.

⑶求GE与平面48G所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见详解；

（2）证明见详解；

,24

(3)—.

25

【分析】（1）记/万,以＞的中点分别为//,利用面面垂直性质定理证明为平行四边形，然后结合线面

7

平行判定定理可证；

(2)利用面面垂直性质定理证明〃_1_平面NGF,结合(1)可证；

(3)以〃所在直线分别为轴，过其交点。作平面/8CDEF的垂线为z轴，建立如图所示空间直角

坐标系，求出平面/3G的法向量，由线面角的向量公式可得.

【详解】(1)记N£CZ)的中点分别为//,连接,

因为NG=GA=尸=6,所以G/_L/F,且G/=>21-9=26

因为平面AGF±平面ABCDEF,平面AGFCl平面ABCDEF=AF,

所以G/_L平面ABCDEF,

因为平面AFGH平面HCD,所以平面HCD1平面ABCDEF,

同理可得平面NBCDEF,田=2c,

所以G///H/,且G/=HJ,所以四边形G57为平行四边形，所以GH7/Z/,

又GH0平面ABCDEF,"u平面48CD跖，所以G"〃平面48CDE尸.

(2)由正六边形性质可知，IJ1AF,

又平面AGF1平面ABCDEF,平面ZGFCl平面ABCDEF=AF,

所以〃_L平面AGF,

因为GH7/〃，所以GH_L平面AGE

(3)由正六边形性质可知，BEVIJ,

以。,BE所在直线分别为龙/轴，过其交点。作平面/BCD跖的垂线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.

贝1JG(O,-3展2码，曲-6,0,0),43,-"。，氏6,0,0,

面=16,3瓜-2塔而=(3,3五0再=13,0,26，

设平面48G的法向量为元=(x,y,z),

益下=3尤+3廊=0「

则就.-2在二。’取户6得心

瓯W|-6A/3-3V3-3V3|

记GE与平面ABG所成角为6,贝1]sm'=i—i,.=~r—

\GE\'\n\j36+27+12x、3+l

5.(2024・贵州贵阳•二模)由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台/BCD-44GA中，E,尸分别

为的中点，AB=2/4=4,侧面BBfifi与底面ABCD所成角为45。.

8

AFB

⑴求证：8。//平面4£下；

(2)线段N5上是否存在点M,使得直线2M与平面4£尸所成的角的正弦值为述，若存在，求出线段/"

10

的长；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析

(2)存在，且4M=1

【分析】(1)借助中位线的性质可得线线平行，即可得线面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平

行，再由面面平行的性质定理即可得证；

(2)建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量可用未知数表示出直线，M与平面4环所成的角的正弦

值，计算即可得解.

【详解】(1)连接B。、B、D、,由E,尸分别为的中点，贝UM//AD,

又EF①平面BBQQ,BOu平面故E/〃平面ABQQ,

正四棱台48CD-44GA中，4BJ/4B且A&i=g4B=BF,

则四边形4FBB,为平行四边形，故A\F//BB\,

又4尸U平面BBRD,BB\U平面BBRD,故4尸〃平面BB、D、D,

又A\FcEF=F,且4/u平面4E尸，EFu平面4石尸，

故平面4E/〃平面3BQD,又&D]U平面33Q。，故也^//平面/也下；

(2)正四棱台44GA中，上下底面中心的连线底面/BCD,

底面/8C。为正方形，故力。，8。，

故可以。为原点，04、OB、0a为x,%z轴，建立空间直角坐标系。-乎,

由=24耳=4,侧面BBgC与底面ABCD所成角为45。，

A

贝I]OOl=黑；xtan45°=1,

则4（0,0,1）,F（V2,V2,0）,E（V2,-V2,0）,

9

假设在线段上存在点”（尤）,0）满足题设，则而=[-亚,

设而=彳痂（04/141）,则"=（2后-2642640）,

5X=（272-2722,2722+72,-1）,

设平面4石尸的法向量为记=（x,y,z）,

n.-A,E=y/2y-z=0/、

则二,J,令无=1,贝心=0,z=0,即而=（1,0,0）,

n2EF=2J2y=0

因为直线DtM与平面AXEF所成的角的正弦值为±5,

10

,_.,|可小同I2V2-2V22I3石

故k0sAM司=—"=/一।/爷,

1

।但叫词V1622-8A+11XV110

解得2=』或4=如（舍），故/四='/3=1,

444

故线段AB上存在点M,使得直线D.M与平面4EF所成的角的正弦值为*,

10

此时线段的长为1.

考点二、空间中垂直关系的证明

1.（2024•陕西商洛•三模）如图，在四棱锥尸-N8Q?中，P/_L平面/BCD,平面尸/C_L平面

PBD,AB=AD=AP=2.

⑵若E为/。的中点，NBAD=60。,求E到平面尸5。的距离.

【答案】⑴证明见解析

10

⑵理

【分析】（1）先证明/尸_L平面尸8。得到,由题意可得P4_L5Z）,结合线面垂直的判定、性质即

可得证；

（2）首先证明£〃//平面尸BD,平面P8。，即所求为〃M的长度，由解三角形知识即可求解.

【详解】（1）设/Cn2D=。，连接PO,过A作/尸，PO,垂足为尸，

因为平面P/C_L平面尸8。，平面以CD平面尸8。=尸。,/尸u平面尸/C,

所以/P_L平面,

又ADu平面PAD,所以/F_LAD,

因为尸平面力BCD,3Du平面/3CA,所以上

又PA,AFu平面PAC,PAC\AF=A,所以BD/平面PAC,

因为尸Cu平面尸NC,所以BO_LPC.

（2）取40的中点H,连接皿，则EH//D。，

又。Ou平面P3D,耳/U平面PAD,所以£777/平面PAD,

所以点£到平面PBD的距离等于点H到平面PBD的距离.

过H作尸O,垂足为"，

因为平面尸NC_L平面尸2。，平面尸ZCn平面PAD=PO,即/<=平面尸/（7,

所以由面面垂直的性质可得平面PAD,

由（工）得NC_L8D,PN_LNO,

因为/2=/。,/氏4。=60°,所以ND/C=30。，

因为/。=2,所以AO=®OH=彳,PO=S.

g、一/mPAHMSeri5,PAHOV3同

所以sin/PO/=——=------,所以-------=-j==----,

POHOPOy

即点E到平面尸5。的距离为恒.

7

2.（2024・江苏宿迁•一模）如图，在四棱锥P-N3C。中，四边形N3C。为梯形，其中43〃CD,

ZBCD=60°AB=2BC=2CD=4,平面PBD1平面ABCD.

11

p

c

AB

(1)证明：ADVPD-,

⑵若且PC与平面4BCZ）所成角的正切值为2,求平面尸BC与平面尸ND所成二面角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

6至

⑷----

19

【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理即可得到平面P8。，再由线面垂直的性质定理即可

证明；

（2）法一：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果；法二：根据面面角的定义,

先找出所求的二面角，然后代入计算，即可得到结果.

【详解】（1）因为488=60。,3。=8=2,所以△BCD为等边三角形，

所以/8=23。=4，

又四边形/BCD为梯形，ABHDC,则442。=60。，

在△48。中，由余弦定理可知，

AD-=AB2+BD2-2ABBDcosZABD=42+2s-2x4x2x1=12,

2

根据勾股定理可知，AD2+BD2=AB2，即NO，80.

因为平面尸50_L平面ABCD,平面尸8_C»n平面ABCD=BD,ADu平面ABCD,

所以4D_L平面PAD,又因为PDu平面PB。，

所以4D_LPZ）.

（2）法一：由（1）可知4D_LPZ）,

又因为48_LPZ）,4Dn/B=/,所以尸0_L平面/BCD,

r）p

所以/PCD就是尸C与平面ABCD所成角，所以tanZPCD=—=2,

所以产。=4：

以｛方4丽，赤｝为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系。-呼，

12

z

所以加=(0,-2,4),就=卜百,-1,0),

设平面P8C的法向量为4=(x,y,z),

-2y+4z=0,

则有取点=(一266,3)

—\/3x-y=0,

由题意得鼠=(0,1,0)为平面尸4D的法向量,

62历

所以cos%,%=

5一19

即平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值近1.

19

法二：在平面/8CA内，延长8c与/。相交于点”，

连接则为平面P8C与平面的交线，

在平面尸DM内，过点。作DNLPM,垂足为N,连接BN,

因为/Z)_LPZ),AB_LPZ),/。C\AB=A且均在面N8CA内，

所以9_1面/8。。，

因为HDu面4BCD,所以PD_LAD,

又因为ND_L3。,尸。P\PD=D且均在面P/D内,

所以5。1面P4D,即8。」面PDM,

因为尸Mu面PDW,所以2D_LPM,

因为尸M_LBD,DN±PM,NDCBD=。且均在面BDN内，

所以尸河_1面8。"，由5Nu面ACW,所以8N_LPM,

所以AD=DM=2A/L

13

PD-DMPDDM4A/21

在直角三角形PND中DN=-

PMyJPD2+DM27

在直角三角形BND中tanZBND='红，

6

所以平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值叵.

19

所以NBNO就是二面角的平面角，

又因为PD_L平面48C。，

所以NPCD就是PC与平面ABCD所成角，

一DP一

所以tan/尸CD==2,所以PD=4，

因为次〃",所以黑=为

2

3.（2024・全国•模拟预测）如图，将V45。绕边5。旋转得到△05。，其中/。=8。=2,/。，5。,4月，平

面应竿，连结叼,G分别是2”的中点，。尸〃平面.

（1）求证：CDIDE；

⑵求CG与平面ABE所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

（2）1

【分析】（1）过点。作DHLZC,连接切，通过面面垂直的判定得到平面48CL平面4C。，再通过面

面垂直性质定理得到。〃_L平面/3C,结合ZE_L平面/3C以及线面平行判定定理和性质定理，证明出

FHHAB,最后利用勾股定理逆定理即可得证；

（2）以/C中点”为原点，孙为x轴，为z轴，过点”作3c的平行线为y轴，建立空间直角坐标系,

求出平面/3E的一个法向量和向量且，即可求出线面角的正弦值.

【详解】（1）过点。作DHL/C,连接尸X.

所以8C_L平面/CD,因为BCu平面4BC,

所以平面48C_L平面/CD.

又因为ZW_L/C,Z）Hu平面/CD,平面/CD。平面/3C=/C,

14

所以D8_L平面/3C.

因为/E_L平面NBC,所以DH//4E,

所以£)〃//平面/BE.

因为。尸//平面4BE,DFu平面。尸H,O8u平面同时。尸口。〃=。,

所以平面/H7/平面/8E,

所以万H〃平面NBE.

因为切u平面/BC,平面/8Cn平面4BE=AB,

所以FH//AB,所以〃是NC中点，

所以=所以CE?=仪)2+。£2,

所以CD_LDE.

(2)如图，以NC中点〃为原点，出为x轴，E㈤为z轴，过点X作8c的平行线为y轴，建立空间直角

坐标系,

则/(1,O,O),C(TO,O),Z)(O,O,我,2(T2,0),G-11,

——n》一—(2m

所以CG=,/8=(-2,2,0),/E=[0,0,手

-7\/

设〃=(X,〉,Z)是平面/BE的一个法向量，

n-AB=-2x+2y=0

则_京2G

n•AE=-----z=0

[3

取x=1,贝!]〃=(1,1,0),

--1+1

所以sin6=cos〈CG,万〉=万=——尸=—

\CG\\n\V2xV24

3

所以CG与平面“班所成角的正弦值为^

4.(2024•安徽•一模)如图，四棱锥S-/8CO中,底面N3CD是矩形,SA=AD=2,AB=2A/2,SC=4,

M是S8的中点，MCLBD.

15

s

（1）证明：SZ_L平面/BCD；

（2）若点尸是棱SC上的动点，直线/尸与平面NMC所成角的正弦值为回，求经的值.

10SC

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）取N2的中点N,连接MN,CN,推导出AD工平面CMN,再利用线面垂直的性质定理结合勾

股定理逆定理可证得结论成立；

（2）以点/为坐标原点，建立空间直角坐标系，设原=4而，其中0W4W1,求出平面的一个法向

量的坐标，利用空间向量法可得出关于九的方程，解出2的值，即可得解.

【详解】（1）取的中点N,连接MN,CN,BD与CN交于Q煎,

在底面矩形ABCD中，易知tanNDBC==yfl—tanZ.BNC-,

BCBN

所以28NC=NDBCnBD上CN,

因为MC_LBD,MCC\NC=C,MC、NCu平面CMN,

所以AD工平面CAW,

因为MVu平面CAW,所以8O_LMV,

易知MNIISA,所以

1122

由题意可知NC?=AD+AB=U=SC-SA,

所以SN_L/C,而相交，且NC,BZ）u平面/BCD,

所以S/_L平面ABCD；

（2）由上可知&4_LZ。，SAIAB,ABLAD,

以点/为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系,

16

贝|］4（0,0,0）、5（0,0,2）,C（2,2>/2,0）,8（0,2后,0）、M（0,后,1）,

设平面ZMC的法向量为访=（x,y,z）,则%=（2,2氏0）,而=（0,"1）,

则一L,，取》=后，则所=©T班，

m-AE=sj2y+z=0''

设炉=2而=92,2后,一2）=（22,2722,-2^,其中0W4W1,

则万=万+豆=（0,0,2）+（22,2^2,-22）=俾,2也1,2-22）,

因为直线AP与平面AMC所成角的正弦值为叵，

10

।一,\m-AP\|2A/2（1-2）|回

11阿•.尸|V5-716A2-82+410

IQp1

解得2=上,即2二=上.

4SC4

5.（2024•江苏徐州•模拟预测）如图，在斜三棱柱NBC-44G中，V/8C为边长为3的正三角形,侧面阳QC

为正方形，4在底面/3C内的射影为点O.

（1）求证：OB=OC；

（2）若OA=OB=OC,求直线441和平面BB&C的距离.

【答案】（1）证明过程见解析

（2）逑

2

［分析］（1）分析得知要证08=OC,只需证&B=4C,取4G，比的中点分别为瓦尸，故只需证明3C，4/

17

即可，而这又可以通过线面垂直的判定定理、性质定理证明；

（2）将问题转换为求点A到平面88CC的距离，建立适当的空间直角坐标系，根据题意分别求出万，分即

[AF-n\

可，其中〃为平面3耳GC的法向量，进一步由公式4=^^即可得解.

\n\

【详解】（1）

B

一方面：因为4在底面48。内的射影为点O,而。B,OCu平面48C,

所以40_L03,40_L0C,

故要证OB=OC,只需证=4c；

另一方面：取4G，5c的中点分别为£，尸，连接4瓦4尸，跖，

因为V/3C为边长为3的正三角形，所以吕G也是边长为3的正三角形，

又点E是3c的中点，

从而4E_L耳C],因为3C//4G，所以4E_L8C,

因为四边形8CC内为正方形，405c的中点分别为瓦尸，

所以EFJ.BC,

又因为EFJ.BC,&EcEF=E,4瓦斯u平面同跖，

所以BC_L平面4E产，

因为4尸u平面4£尸，

所以BCJL4厂,

又点尸是8C的中点，

所以48=4。；

综上所述，0B=0C；

（2）一方面：注意到44"/A8],331U平面8CC百，44y平面8。。圈，

所以44"/平面8CG4，

要求直线/4和平面88CC的距离，只需求点A到平面88CC的距离即可；

另一方面：若OA=OB=OC,则点。为三角形4BC的外心，从而4。,厂三点共线,

过点。作OG/ABC交48于点G,易知OG，。尸，

因为40_L平面/BC,OG,OFcz^-^ABC,

18

所以4。LOG,4。，"，

从而OG,OF,OAX两两互相垂直，

所以以点O为坐标原点，OG,ORO4所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,

二二

Fy

由题意取'=3=，/。=^"'=：孚=6产。=3/尸=!孚=乎，

/4=BB[=BC=3,从而4。=1AA；-ACP=79-3=瓜，

O(O,O,O),4(O,-6,O),B0,-^o,c

AF=0,^y-,0，0=(一3,0,0),西=石=(0,6,痛),

设平面BCG^i的法向量为五=(%,%,z0),

贝！J__「°L,故可取元=,

BB{-n-J3yo+V6z0=0

I—►I3a

所以点A到平面BB&C的距离为,_HF，Z?LF=3后；

一\n\"V3"2

综上所述，直线441和平面的距离为鼠1.

2

考点三、空间向量法求空间角与空间距离

1.(2024・天津北辰•三模)如图，在四棱锥P-/5C。中，尸。_L平面4BCD,ADVDC,AB//DC,

AB=AD」CD=2,PD=2,"为棱PC的中点.

2

(1)证明：5M7/平面尸4D；

19

⑵求平面PDM和平面DMB夹角的余弦值;

⑶求/点到直线尸C的距离.

【答案】⑴证明见详解

⑵逅

6

⑶述

5

【分析】（1）取中点N,可得四边形为平行四边形，从而BM//4N,利用线面平行的判定定

理即可得证；

（2）建系标点，求出平面3。”的法向量，易知方为平面PZW的一个法向量，利用向量夹角公式求解可

得答案.

（3）利用空间向量求得cos//PC=@^，即可得sin//尸C,进而可得结果.

10

【详解】（1）取尸。中点N,连接NN,MN.

在△PCD中，M,N分别为PC,尸。的中点，则ACV〃DC,MN=-DC,

2

因为N3//DC,AB=-DC,则ZH//ACV,AB=MN,

2

可知四边形4BW为平行四边形，则5W//AN,

且平面尸/D,/Nu平面P/。，所以BM//平面

（2）因为尸。_L平面/BCD,AD,DCu平面/8CZ）,

则Pr>_L/D,PD±DC,且3_LDC,

以。为坐标原点，。4。。,。尸所在直线分别为阳％2轴，建立空间直角坐标系。-孙Z,如图所示,

取CZ）的中点E,连接3E,

因为N8//DC,AB=~DC,则AB=DE,

2

20

又因为ND_L£>C,所以四边形/BED为矩形，

且/B=4D=2,可知四边形是以边长为2的正方形，

则。(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,4,0),尸(0,0,2),河(0,2,1),

可得房=(2,0,0),W=(0,2,1),丽=(2,2,0),

n-DM=2》+z=0

设平面的法向量为〃=(X,其z),所以，

n-DB=2x+2》=0

令y=T,贝Ux=l,z=2.所以平面5。加■的一个法向量为3=(1,-1,2),

易知也为平面PDM的一个法向量,

所以由/_"‘叫二n丽-DA2店

76x26

所以平面尸。河和平面DM2夹角的余弦值为逅.

6

UULULU

(3)由(2)可知：々=(2,0,-2),尸。=(0,4,-2),

UULUUU1-

/照照\P4PC4M

则COS(PA,PC)=|UUL]|UUT|=-7=-----/==——,

\/叫阂2亚X2斯10

即cosZAPC=—>0,可知ZAPC为锐角,

10

贝1sinAAPC=Vl-cos2AAPC=独5

10

iuur,「3V1066

所以N点到直线PC的距禺为尸/sinZAPC=2方x--------=-------

105

2.(2024・河北•模拟预测)如图所示，三棱柱/8C-48c中，监N分别为棱4练。。的中点，E,尸分别是

(1)求证：直线〃平面CE尸;

⑵若三棱柱43C-4用。为正三棱柱，求平面CM和平面NCG4的夹角的大小.

【答案】⑴证明见解析

,、71

⑵5

21

【分析】（1）取的中点G,连接MG交所于连接S,则可证得"再由CN=；CG可

证得四边形CHW为平行四边形，则〃N〃C归，再由线面平行的判定定理可证得结论；

（2）以C为原点，以CG所在的直线为无轴，过C与平行的直线为V轴，C。所在的直线为z轴建立空

间直角坐标系，利用空间向量求解即可.

【详解】（1）证明：取AB的中点G,连接MG交E厂于连接CH,

因为/分别为棱&耳的中点，所以MG〃/4〃BB,,

所以FH黑=A妥G=1,所以EH=FH,

FHBG

所以HG=g（BF+4E）,

因为4后=8尸=工/4，所以〃G=！N4，所以=

322

因为N分别为棱CG的中点，所以CN=；CG，

因为MG〃/4〃CC],所以"H=CN,MH//CN,

所以四边形C〃MV为平行四边形，

所以MN〃CH,

因为跖V<Z平面CE尸，CHu平面CEF,

所以直线〃平面CEF；

（2）解：连接CG,因为三棱柱/8C-44G为正三棱柱，

所以V4BC为等边三角形，所以CGL/3,

所以以C为原点，以CG所在的直线为x轴，过C与NB平行的直线为N轴，C£所在的直线为z轴建立空间

直角坐标系,

设=b,则C(0,0,0),£(日q,；。,■16),厂(g。,-ga,；b),N(ga,ga,0),C(0,0,b),

___„/o1n____/oii____/oi____

所以互=(—a,-a,-b),CF=(—a,--a,-b),CA=(—a,-a,O),CCl=(0,0,b),

22322322

设平面尸的法向量为加=(玉,M/])，

江乐=立公1+工。%+

212-1令%=6,贝冽

则lj=(V3,l,-^),