余角和补角（2个知识点+4大题型+15道强化训练）-2024-2025学年浙教版七年级数学上册复习（含答案）

第08讲余角和补角（2个知识点+4大题型+15道强化训练）

01学习目标

课程标准学习目标

1.余角和补角的概念及

其性质；

1、使学生掌握两个角互为余角和互为补角的概念，2、使学生理

2.互余、互补角的正确

解互余与互补的角的性质

判断;

3、培养学生分析问题和解决问题的能力，以及运算能力.

3.用代数方法计算角的

度数；

02思维导图

03知识清单

知识点01：余角、补角

余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角.

补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角.

1.互余、互补是指两个角之间的一种关系.

试卷第1页，共10页

2.互余、互补是指数量关系，与两个角的位置没有关系.

余角补角

（1）若41+42=90。，则41与N2互为余角.其中N1是N2的余角，N2是41的余角.

（2）若41+42=180。，则N1与42互为补角.其中41是42的补角，42是N1的补角.

（3）结论：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.

要点诠释：

①余角（或补角）是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角（或补

角）.

②一个角的余角（或补角）可以不止一个，但是它们的度数是相同的.

③只考虑数量关系，与位置无关.

④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”.

【即学即练1】

1.一个角的余角的4倍比这个角的2倍大60。，则这个角的余角的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【即学即练2】

2.若N1与N2互余，/2与N3互补，则Z1与N3的关系是（）

A.Z1=Z3B.N3=90°

C.Z3=180°-ZlD.Z3=90°+Zl

知识点02、方位角

以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.

要点诠释：

（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要

确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大

小.

（2）北偏东45。通常叫做东北方向，北偏西45。通常叫做西北方向，南偏东45。通常叫做

东南方向，南偏西45。通常叫做西南方向.

（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.

【即学即练3】

3.学校操场上，你站在李老师北偏东45。2&36"的方向，那么李老师站在你的（）

A.北偏西45°28'36"B.北偏西44。31'24"

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C.南偏西45。28’36"D.南偏西44。71/64"

【即学即练4】

4.甲从。点出发，沿北偏西30。走了50米到达A点，乙从。点出发，沿南偏东35。方向走

了80米到达8点，则为（）

A.65°B.115°C.175°D.185°

04题型精讲

考查题型一求一个角的余角

5.若两个角和为90度，则这两个角互余.已知Ne=45°-〃°,//=45。+〃。，则/a与"

的关系是（）

A.互补B.互余C.和为钝角D,和为周角

6.若/々=32。5',则它的余角是（）

A.57°55'B.58°55'C.147°55'D.148055,

7.已知与〃互余，若/a=20。，则4的度数为

8.已知Na与少互余，且/。=37。18'24",则//=.

9.如图所示，已知乙4OC=24BOC,N/OC的余角比N30C小30。.

⑴求//OC的度数；

（2）过点。作射线OD,使得ZAOC=5ZAOD,请你求出ZCOD的度数.

考查题型二求一个角的补角

10.一个角的补角是36。35'，这个角是（）

A.53°25，B.63°25'C.143°25，D.53065‘

11.若N1是/2的补角，Zl=35°,则N2=（）

A.135°B.145°C.155°D.165°

12.如果/a的补角是120。，那么Na=度.

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13.若角［=35。16、那么它的补角的度数为.

14.如图，0C,0D是//O5内部的两条射线，ZAOC=20°,ZBOD=2ACOD,ZAOD

与NBOC互为补角，求NCOD的度数.

考查题型三与余角、补角有关的计算

15.如图，ZAOB=9Q°,/1=54。27'，那么/水兀的度数是（）

A.35°33'B.35°73'C.125°73'D.125°33‘

16.下列说法正确的是（）

A.一个角的补角一定大于这个角

B.任何一个角都有余角

C.若/1+/2+/3=180。，贝1/1,Z2,N3互补

D.若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为90°

17.如图，NAOB=NCOD=NEOF=90°,贝|Nl,Z2,N3之间的数量关系为.

18.如图，在同一平面内，三角尺的直角顶点C正好在直线。E上.如果N8CE=25。，那

么勿CD的度数为一度.

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A

（甲）（乙）

（1）如果NDOC=23。，那么的度数是多少?

（2）找出图（甲）中相等的角.MZDOC=mo（0°<mo<9Q°）,它们还会相等吗？说明理由.

（3）在图（乙）中利用能够画直角的工具再画一个与/尸OE相等的角.

考查题型四同（等）角的余（补）角相等的应用

20.如图，点O在直线/E上，NAOB=NCOD=9Q°,则图中除了直角外，一定相等的角有

21.如图，ZAOC=ZBOD=90°,ZAOB=48°,则NCO。的度数是（）

22.如图，点。是直线上一点，ZAOC=9Q°,ZDOE=90°,则图中相等的角有2对

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（小于直角的角），分别是

23.如图所示，点。为直线上一点，ZAOC=ZDOE=90°,那么图中互为余角的对数

24.将直角和直角"OD如图1放置.

图1

（1）与//OC相等的角是,依据是；

⑵如图2,射线OE是N80D的三等分线（靠近边08）.若NAOC=63°,求NC0E的度数.

图2

05强化训练

25.已知4=35。30'12»,则它的补角为（）

A.144°29'48〃B.54°29'48〃C.144°30'48"D.154°29'48〃

26.如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果Nl=45。，N3=3O。时，那么/2

的度数是（）

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13

A.15°B.25°C.30°D.45°

27.已知/l+/2=180°,N3+N4=180。，若/l=/4,则N2与N3的关系是（）

A.Z2<Z3B.N2=N3C.Z2>Z3D.无法确定

28.下列语句中，正确的是（）

A.若/a+4=180。，则/a是补角

B.若44OB+/BOC=180。，则//OC是直角

C.若/a与"互为补角，则/a与"中必有一个为锐角，另一个为钝角

D.若与4互为余角，则+/尸=90°

29.如图，平面内Z4OB=NCOD=90。，平分乙尸为OE反向延长线上一点（图中

所有角均指小于180。），有以下结论：®ZAOE=ZDOE；②44。£>+/COB=180。；③

ZCOB-ZAOD=9Q°；@ZFOD'ZCOE=T.1,则/FO£>=36。.其中结论正确的序号有

（）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

30.一个角的余角等于这个角的补角的g,则这个角为____度.

31.一个角等于它的补角的5倍，那么这个角的补角的余角是.

32.一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其

中量角器有两条刻度线分别在射线04、上、则的度数为一,另外一位同学用

同样的方法，测量N/O8的余角NCOD的度数，如图2所示，已知射线OC所指示的度数为

50°,则射线0D所指示的度数为一.

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图1图2

33.如图，NAOB=90。,0c是其内部一条射线，以0c为一边作直角“OD,点。与点A

在边0C同侧，给出下列四个结论：①//0C只与/20C互余；②N/OC与/80D互补;

③OC平分1/03,则CM平分NC0D；④乙4。。的平分线与—BOC的平分线的夹角是直

角.其中正确的是—(填序号).

34.如图，。为直线48上一点，ZC0D=90°,OE平分N/OC,0G平分Z8OC,0F

平分NB0D,下列结论：®ZE0G=90°；②/DOE与ZBO尸互补；

③NAOC-NBOD=9Q°；④NDOG=；N/OC.请你把所有正确结论的序号填写在横线

图1图2

⑴如图1,若/80。=27。44、求//0E的度数.

(2)如图2,作射线0下使/尸则。。是N8O9的平分线.请说明理由.

(3)在图1上作OG_L/8,写出NCOG与/NOE的数量关系，并说明理由.

36.如图，己知：or1平分/20C,平分//0C.

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⑴若ABOC=70°,ZAOC=50°,

①求出/NOB及其补角的度数；

②求出ZDOC和NAOE的度数，并判断ZDOE与ZAOB是否互补；

⑵若NBOC=a/AOC=0,则/DOE与是否互补？请说明理由.

37.利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则OC为』NO8的平分线，如图2、图3,

折叠长方形纸片，OC,均是折痕，折叠后，点/落在点H,点3落在点玄，连接

OA'.

图1

(1)如图2,若点夕恰好落在。4'上，且440c=32。，则48。。=_；

(2)如图3,当点"在/CQ4'的内部时，连接。8',若440c=44。，/BOD=61。,求乙4'。夕

的度数.

38.如图，直线48与直线CD相交于点。，。£，。。且。石平分/8。尸.

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E

C

E

D

(1)若N30。比/BOE大10。，求NCO尸的度数.

(2)证明：OC是乙4。9的平分线.

39.已知NCOD在』NO8的内部，ZCOD:ZAOB=1:7,NCO。是补角的:(本题

出现的角均指不大于平角的角).

A0

图1图2

(1)如图1,求NCOQ的值；

⑵在(1)的条件下，OC平分NAOD,射线OM满足AMOC=4NMOB,求ZMOB的大小；

(3)如图2,若//OC=30。，射线OC绕点。以每秒30。的速度顺时针旋转，同时射线。。以

每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与08重合后，再以每秒5。的速度绕点。逆

时针旋转.设射线OD,OC运动的时间为t秒(0＜鹏9),当|乙8。。-48。。|=50°时，请

直接写出，的值

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1.A

【分析】本题主要考查余角的概念及计算，一元一次方程，掌握方程的运用，余角的计算是

解题的关键.

【详解】解：根据题意，设这个角为x,

・•.这个角的余角为(90°-x),

.•.4(90°-x)-2x=60°,

解得：x=50。，

这个角的余角为90°-50°=40°,

故选：A.

2.D

【分析】本题主要考查了余角和补角，由/I与N2互余，N2与N3互补可得

/1+/2=90。①，/2+/3=180。②，由②-①得：Z3-Zl=90°,由此即可解答.掌握“互

为余角的两个角的和为90。,互为补角的两个角的和为180。”是解题的关键.

【详解】解：:Nl与N2互余，/2与N3互补，

二21+22=90°①，/2+/3=180°②，

由②-①得：Z3-Zl=90°,

N3=90°+Nl.

故选：D.

3.C

【分析】根据方位角的定义，进行计算即可解答.

【详解】解：・••你站在李老师的北偏东45。28,36",

二李老师站在你的南偏西45。28’36",

故选：C.

【点睛】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键.

4.C

【分析】根据方位角的概念即可求解.

【详解】解：如图所示，

答案第1页，共19页

N

・••甲从。点出发，沿北偏西30。走了50米到达A点，乙从。点

出发，沿南偏东35。方向走了80米到达8点,

../ON=30°,ZBOS=35°,

ZNOB=180°-ABOS=180°-35°=145°,

ZAOB=ZNOB+ZAON=145°+30°=175°.

故选：C.

【点睛】本题考查的是方向角，根据方向角的概念正确画出图形是解答此题的关键.

5.B

【分析】本题考查了互余，解题关键是掌握若两个角的和等于90。，即这两个角互余.

根据已知条件，得出/a+/£=90。，即可得到答案.

【详解】解：■.-Za=45o-n°,/夕=45。+”。，

:.Aa+Ap=45°-n°+45°+〃°=90°,

:2a与互余,

故选：B.

6.A

【分析】本题主要考查了余角的和等于90。，补角的和等于180。的性质，解题的关键是需要

注意度、分、秒是60进制，也是本题容易出错的地方.

根据余角的定义求解即可

【详解】解：・♦・/&=32。5',

它的余角为：90。-/a=90。-32。5'=57。55',

故选：A

7.70°##70度

【分析】本题考查了求一个角的余角，根据两个角互余，则两个角相加之和为90。，进行求

解即可.

答案第2页，共19页

【详解】解：「/a与”互余，

.­.Za+Z^=90°,

•••Za=20°,

.♦"=90。-/a=70。，

故答案为：70°.

8.52°41'36"##52度41分36秒

【分析】本题考查角度换算、互余定义等知识，根据/a与"互余，得到Na+N/=90。,

结合1。=60',1'=60〃计算即可得到答案，熟记角的互余及角度换算是解决问题的关键.

【详解】解：/a与"互余，

:.Na+4=90。,

•••4=37。18'24",

=90。一Na=58°4r38”,

故答案为：52。41'36".

9.(1)80°

(2)64°或96。

【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，余角的定义：

(1)根据余角的定义得到-8。。=90。-//。。+30。=120。一//。。，再由

NAOC=2N2O。求出NBOC=40°,贝ijZAOC=2NBOC=80°；

(2)先求出N/OD=16。，再分当射线在NNOC内部时，当射线在N/OC外部时,

两种情况讨论求解即可.

【详解】(1)解：T/NOC的余角比N8OC小30。，

ZBOC=90°-ZAOC+30°=120°-ZAOC,

ZAOC=2/BOC,

.-.ZBOC=nO°-2ZBOC,

ZBOC=40°,

.•.N/OC=2N8OC=80°；

(2)解：ZAOC=5ZAOD=80°,

.-.ZAOD=\60,

当射线在NNOC内部时，则NCOD=ZAOC-ZAOD=64°；

当射线OD在ZAOC外部时，则NCOD=ZAOC+NAOD=96°；

答案第3页，共19页

综上所述，NC8的度数为64。或96。.

10.C

【分析】本题主要考查了补角的定义以及角度的计算，根据互为补角的两角之和为180。，

且1。=60'计算即可得出这个角的度数.

【详解】解:根据题意，180°-36°35'=179°60'-36°35'=143°25‘，

故选：C.

11.B

【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义即可求解，掌握补角的定义是解题的关键.

【详解】解：:Nl是N2的补角,

.•.Nl+N2=180°,

•■•Zl=35°,

.­.Z2=18O°-35°=145°,

故选：B.

12.60

【分析】本题考查了补角的知识，属于基础题，注意掌握互补的两角之和为180。.

根据互补的两个角之和为180。，即可得出答案.

【详解】解：：Na的补角是120。,

.•.Z«=180°-120°=60°,

故答案为：60.

13.144°44'

【分析】此题考查了补角的定义.和为180。的两个角互为补角，根据定义解答.

【详解】解：«=35°16,,

则它的补角的度数为180。-35。16'=144。44',

故答案为：144。44'.

14.40°

【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，根据度数之和为180度的两

个角互为补角得到//OD+/8OC=180。，进而推出20。+4/。。口=180。，贝i]NCOD=40°.

【详解】解：与互为补角，

.-.ZAOD+ZBOC=180°,

答案第4页，共19页

VZAOD=ZAOC+ZCOD,ZBOC=ZBOD+ZCOD,

・•.ZAOC+ZCOD+/BOD+/COD=180°,

vZAOC=20°fZBOD=2ZCOD,

・•.20°+4ZCOZ>=180°,

.-.ZCOZ)=40o.

15.A

【分析】本题主要考查角度计算，根据互余两角的关系进行计算即可得到答案.

【详解】解：・・・Nl+N8OC=90。，且/1=54。27'，

••ZBOC=90°-Zl=90°-54。27'=35。33’，

故选：A.

16.D

【分析】本题主要考查了补角的定义，余角的性质.根据补角的定义，余角的性质，逐项判

断即可求解.

【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故本选项错误，不符合题意；

B、任何一个锐角都有余角，故本选项错误，不符合题意；

C、若两角的和等于180度，则这两角互补，故本选项错误，不符合题意；

D、若一个角有余角，则这个角的补角与这个角的余角的差为90。，故本选项正确，符合题

忌；

故选：D

17.Z3-Z2+Zl=90°

【分析】本题考查了角的和差计算，余角，解决问题的关键是熟练掌握余角定义和同角的余

角相等.余角定义：如果两个角的和等于90。，那么这两个角叫做互为余

角.Z3+ZBOC=ZDOB+ZBOC=90°,ZEOD+Zl=90°,贝l|N3=ZBO。，而

ZEOD=ZBOD-Z2,即可得至I]N3-N2+Z1=90°.

(详解】解：VZAOB=ZCOD=NEOF=90°,

Z3+ZBOC=ZDOB+ZBOC=90°,ZEOD+Z1=90°,

Z3=ZBOD,

■：ZEOD=ZBOD-Z2,

Z3-Z2+Zl=90°,

答案第5页，共19页

故答案为：Z3-Z2+Zl=90°.

18.115

【分析】本题考查余角和补角，利用补角的概念，得到44。。=180。-乙4。£,然后进一步

求出/NCE,熟知余角和补角的概念是解题的关键.

【详解】解：..•三角尺的直角顶点C正好在直线DE上，

NACE=90°-/BCE=65°,

ZACD=180°-ZACE=115°,

故答案为：115.

19.(1)157°

(2)相等的角有：ZAOC=ZDOB,NAOD=NCOB,还会相等

(3)见解析

【分析】本题考查了余角，以及角的和差计算，是基础题，准确识图是解题的关键.

(1)根据N/OC=90。，ZDOC=28°,求出乙40。的度数，然后即可求出N/O3的度数;

(2)根据已知条件可得乙由等式的性质可得//0D=/80C；当

ZDOC=m°(0o<mo<90°),由等式得性质即可求解，故它们还会相等；

(3)首先以为边，在/EO尸外画/GOE=90。，再以。尸为边在/EO尸外画

ZHOF=90°,即可得到aHOG=NEOF.

【详解】(1)解：因为，NAOC=NDOB=90°,NDOC=23。

所以，ZCOS=90°-23°=67°

所以，403=90°+67°=157°；

(2)解:因为//OC和NDO8都是直角，

所以NNOC=ZDO3,

所以乙1OD+ZDOC=NBOC+ZDOC,

所以=,

所以相等的角有：ZAOC=ZDOB,ZAOD=ZCOB

如果4>OC=加。(0。<加。<90。)，它们还会相等，理由如下：

因为//OC和ZDOB都是直角，

所以//OC=/DO2,

所以N/OD+ZDOC=BOC+ZDOC,

答案第6页，共19页

所以N/OD+m°=BOC+m°

所以44OO=NCO8.

(3)解:如图,

画NGOE=ZHOF=90°,贝l]ZHOG=NFOE

即，N//OG为所画的角.

20.B

【分析】本题考查同角的余角相等，根据同角的余角相等，找到相等的角即可，掌握同角的

余角相等，找到相等的角是关键.

【详解】解：由图可知：

ZAOC+ZCOB=ZCOB+ZBOD=ZBOD+ZDOE=ZAOC+ZDOE=90°,

ZAOC=ZBOD,ZCOB=/DOE,

故图中除了直角外，一定相等的角有2对，

故选：B.

21.C

【分析】本题考查了余角的性质.根据同角的余角相等，即可求解.

【详解】解：,•,NNOC=N2OD=90°,

NCOD=90°一ZBOC=NAOB=48°,

故选：C.

22.ZCOD=ZBOE和ZAOD=ZCOE

【分析】本题主要考查了余角的性质，根据同角的余角相等，进行判定即可.

【详解】解：•点。是直线43上一点，ZAOC=90°,

.­.ZAOC=ZBOC=90°,

•••Z.DOE=90°,

.-.ZAOC=/BOC=乙DOE=90°,

ZAOD+ZCOD=ZCOD+ZCOE=90°,ZCOD+ZCOE=ZCOE+/BOE=90°,

答案第7页，共19页

ZCOD=NBOE和ZAOD=ZCOE.

故答案为：NCOD=ZBOE和ZAOD=ZCOE.

23.4

【分析】根据互余的两个角的度数之和为90度进行推理即可.

【详解】解：,••乙4。。=/。。£=90。，

.-.ZAOD+ZCOD=9Q°,

ZAOD+ABOE=90°,

ZCOD+ZCOE=90°,

ZCOE+ZBOE=90°.

•••互余角的对数共有4对.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了余角的定义，熟知互余的两个角的度数之和为90度是解题的关键.

24.(1)/8。。；同角的余角相等

(2)48°

【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角三等分线的定义，同角的余角相等等等:

(1)根据同角的余角相等可证明

(2)根据(1)的结论得到“HOC=NBOZ)=63。，再求出N50C=90。-//OC=27。，进一

步根据三等分线的定义得到/BOE==21。，据此可得答案.

【详解】(1)解：•・•//OB和NCO。者B是直角，

Z/1OC+Z5OC=90°,NBOD+ZBOC=90°,

：.ZAOC=ZBOD(同角的余角相等)，

故答案为：ZBOD；同角的余角相等；

(2)解：由(1)得N/OC=N3OD=63。，

ZBOC=90°-ZAOC=27°,

••・射线OE是ZBOD的三等分线(靠近边OB),

.-.ZBOE=-ZBOD=21°,

3

.-.ZCOE=ZBOC+ZBOE=48°

25.A

【分析】本题主要考查补角及角度的运算，熟练掌握补角的意义及角度的运算是解题的关键;

答案第8页，共19页

根据补角及角度的运算可进行求解

【详解】解：由题意得：180°-35°30'12〃=144。29’48〃；

故选A

26.A

【分析】此题考查余角和补角，根据=+利用正方形的角都是直

角，即可求得NBOD和ZEOC的度数从而求解.

【详解】解：VZBOD=90°-Z3=90°-30°-60°,

ZEOC=90°-Zl=90°-45°=45°,

又•1-Z2=ZBOD+ZEOC-ZBOE,

/2=60。+45。-90。=15。.

故选：A.

27.B

【分析】此题考查了等角的补角相等，根据等角的补角相等求解即可.

【详解】解：••・Nl+N2=180。，Zl=Z4,

.-.Z4+Z2=180o

•1•Z3+Z4=180°

：.N2=/3.

故选：B.

28.D

【分析】本题考查了余角和补角的意义，如果两个角的和等于90。，那么这两个角互为余角，

其中一个角叫做另一个角的余角；如果两个角的和等于180。，那么这两个角互为补角，其

中一个角叫做另一个角的补角.

【详解】解：A.若Na+N尸=180。，则/a是〃的补角，故原说法不正确；

B.若4403+400=180。，则-4OC不一定是直角，故原说法不正确；

C.若与4?互为补角，则与〃中可能有一个为锐角，另一个为钝角，也可能两个

都是直角，故原说法不正确；

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D.若/a与少互为余角，则Na+N/=90。，正确；

故选D.

29.A

【分析】本题主要考查了角平分线的定义和性质以及平面内角的计算，根据角平分线的性质

再结合N4OB=NCOD=90。，逐项分析即可获得答案.

【详解】解：YOF平分ZAOD,

ZAOF=ZDOF,

180°-40歹=180°-ZDOF,

即=故结论①正确；

•・•ZAOB=ZCOD=90°,

・•.ZAOD+ZCOB=ZAOD+AOC+ZAOB=180。，故结论②正确；

•・•ZCOB-ZAOD=ZAOC+ZAOB-AOD=AAOC+90°-AAOD,

又•・•NAOCwNAOD,

・••NCOB-/AOD于90。,故结论③不正确；

若NFOD：NCOE=2：7,设/尸OD=2x,则/COE=7x,ZAOF=ZDOF=2x,

-ZCOD=90°

/AOC=ZCOD-ZAOF-/DOF=90°-4x,

又・・・NE。产=180。,

NAOC=/EOF-ZCOE-ZDOF=180°-7x-2x=l80°-9x

•.90°-4x=180°-9x,

AX=18°,

ZDOF=36°f

•••故结论④正确.

综上所述，结论正确的序号有①②④.

故选：A.

30.45

【分析】本题考查余角和补角的概念以及运用.设这个角的度数是x,这个角的补角为

(180°-x),余角为(90。-叼.根据“一个角的余角等于这个角的补角的g”列方程求解即

可.互为余角的两角的和为90。，互为补角的两角之和为180。.解题的关键是能准确的从题

答案第10页，共19页

中找出角之间的数量关系，从而计算出结果.

【详解】解：设这个角的度数是X,

依题意，得：90°-x=1(180°-x),

解得：x=45。，

・•・这个角为45度.

故答案为：45.

31.60°##60度

【分析】本题考查补角与余角，一元一次方程解决实际问题.

设设这个角为x,则补角为(180。-x),根据“一个角等于它的补角的5倍”即可列出方程，求

解得到这个角，进而根据补角和余角的定义即可解答.

【详解】解：设这个角为x,则补角为(180。-%),

由题意可得：5X(18O-X)=X,

解得：x=150。，

则补角为180。-》=30。，

••・补角的余角为：60°,

故答案为：60°.

32.50°##50度90°或10°

【分析】本题考查了量角器中的角度计算，互余等知识.明确角度之间的数量关系是解题的

关键.

根据图1可得，射线。4所对的数字为35。、02所对的数字为85。，即可求出的度数,

从而得出/NQ8的余角NCOD的度数，再根据射线OC所指示的度数为50。，即可求解.

【详解】解：根据图1可得，射线0/所对的数字为35。、所对的数字为85。，

.•.N/O8=85°-35°=50°,

则ZAOB的余角ZCOD的度数为90°-50°=40°,

根据图2可得，射线OC所指示的度数为50。，

射线OD所指示的度数为50°+40°=90°,射线OD所指示的度数为50°-40°=10°,

故答案为：90。或10。.

33.②③④

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【分析】本题考查几何图形中角的数量关系，根据互余的概念即可判断①；根据互补的概

念即可判断②；说明=即可判断③；说明//OE+//OC+/CO尸=90°即

可判断④.解题的关键是掌握互余、互补、角平分线的定义.

【详解】解：①,：N40B=90°,ZCOD=90°,

ZAOC+ABOC=90°,ZAOC+ZAOD^9Q°,

.•.//。。分别与42。。、ZAOD互余,故结论①错误；

②•••ZAOB=90°,ZCOD=90°,

■.ZAOC+ZAOD=90°,

.-.ZAOC+ZBOD

=ZAOC+ZAOD+ZAOB

=N/OC+NAOD+ZAOB

=90°+90°

=180°,

.•.//OC与NBOD互补，故结论②正确；

③TOC平分/NOB,ZAOB=90°,ZCOD=90°,

...ZAOC=-ZAOB=-x90°=45°,

22

ZAOD=ZCOD-ZAOC=90°-45°=45°,

.-.ZAOD=ZAOC,

.•.0/平分NCOD,故结论③正确；

④如图，OE为乙40。的平分线，。尸为N8OC的平分线，

ZAOE+ZAOC+ZCOF

=-ZAOD+ZAOC+-ZBOC

22

=^(ZAOD+ZAOC+ZAOC+ZBOC)

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=^[(ZAOD+ZAOC)+(ZAOC+ZBOC)]

=1x(90°+90°)

=90°,

•••4OD的平分线与/30C的平分线的夹角是直角，故结论④正确；

・•・正确的是②③④.

故答案为：②③④.

34.①③④

【分析】设/BOD=2a,贝1」/8。。=90°-27,ZAOC=90°+2a,由角平分线的定义得出

ZBOF=ZDOF=-NBOD=a,NAOE=NCOE^-ZAOC=45°+a,

22

NCOG=ZBOG=|ZBOC=45。-a,然后再逐项分析即可得到答案.

【详解】解：设2BOD=2a,

■：ACOD=90°,

NBOC=ZCOD-ZBOD=90°-2a,

■：ZAOC+ZBOC=,

AAOC=180°-ABOC=180°-(90°-2a)=90°+2a,

•••OF平分乙BOD,OE平分Z/OC,0G平分/8OC,

ZBOF=ZDOF=-ZBOD=a,NAOE=ZCOE=-ZAOC=45°+a,

22

ZCOG=ZBOG=-ZBOC=45。-a,

2

ZEOG=ZEOC+ZCOG=45°+a+45°-a=90°,故①正确，符合题意；

/.DOE+ZBOF=ZCOD+ZCOE+ZBOF=90°+45°+a+a=135°+2a,

,二a度数未知，

/Z)O£与N5O尸不一定互补，故②错误，不符合题意；

/.ZAOC-ZBOD=90°+2a-2a=90°,故③正确，符合题意；

•//DOG=ZBOD+ZBOG=2a+45。-a=45。+a,ZAOC=900+2a,

ZDOG=^ZAOC,故④正确，符合题意；

综上所述，正确的有：①③④，

故答案为：①③④.

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【点睛】本题主要考查的是补角和余角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义

是解题的关键.

35.(1)62。16’

Q)见解析

(3)ZCOG+ZAOE=180°ZCOG=ZAOE,理由见解析

【分析】(1)根据垂直的定义进行计算即可；

(2)根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案；

(3)根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等进行计算即可.

【详解】(1)-OE1CD.

•­•ZCOE=90°,即//OC+/ZO£=90。，

•••4BOD=27°44r=ZAOC,

ZAOE=90°-27°44'=62。16'；

(2)解：vOEVCD.

ACOE=ZDOE=90°,即ZAOC+ZAOE=ZDOF+ZEOF=90°,

•••ZEOF=ZAOE,

ZAOC=ZDOF,

又•:NAOC=/BOD,

ZBOD=ZDOF,

即(9。是/BO尸的平分线；

(3)解：如图17,ZCOG+ZAOE=1SO°,理由如下:

图1-1

•••OGVAB,

：.ZAOG=NBOG=90°,即NAOE+ZEOG=90°=ZDOG+ZBOD,

OELCD.

•­•ZCOE=90°,BPZAOC+ZAOE=90°,

•:/AOC=/BOD,

NZ=ZZZG

答案第14页，共19页

ZCOG+ZDOG=1SO°,

/COG+/NOE=180°.

如图1-2,ZCOG=ZAOE,理由如下:

图1-2

OE^CD,

NCOE=90°=ZAOC+ZAOE,

.­.ZAOE=90°-ZAOC,

OGLAB,

ZAOG=90°=ZAOC+NCOG,

ZCOG=90°-ZAOC,

ZCOG=NAOE.

【点睛】本题考查了垂线，角平分线，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等,

掌握垂直的定义，角平分线的定义，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等是

正确解答的关键.

36.（lKDNNO8=120。，//OB的补角的度数为60。；②ZDOC=35。，ZAOE=25°；ZDOE

与2/08互补；

（2）/DOE与不一定互补，理由见解析

【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平

分线的定义等等：

（1）①根据角的和差关系可求出/NO8的度数，进而可求出的补角的度数；②先

求出的度数，再根据角平分线的定义分别求出/DOC,ZCOE,的度数，再

求出ZDOE的度数即可得到结论；

（2）根据角平分线的定义分别表示出/DOC,ZCOE,//OE的度数，再表示出的

度数即可得到结论.

【详解】（1）解：@ZBOC=70°,ZAOC=50°,

答案第15页，共19页

ZAOB=ZBOC+ZAOC=120°,

・•.ZAOB的补角的度数为180°-120。=60°；

②平分/BOC,平分/ZOC,ZBOC=10°,ZAOC=50°,

/DOC=-ZBOC=35°,ZAOE=/COE=-ZAOC=25°,

22

・•・ZDOE=ZDOC+ZCOE=60°,

NDOE+NAOB=18。。,

・•・与/力。5互补；

(2)解：/。。£与//。8不一定互补，理由如下：

•・•/BOC=a/AOC=0,

：.NAOB=ZBOC+ZAOC=a+/3,

,：OD平分NBOC,OE平分//OC,,

ZDOC=-ZBOC=-aZAOE=ZCOE=-ZAOC=-B,

22f22

...NDOE=/DOC+/COE=；a+,

33

；"DOE+/AOB=301+,

-：a+/3不一定为120°,

ZDOE+NZ08不一定为180。

：.NDOE与ZAOB不一定互补.

37.(1)58°

(2)30°

【分析】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角

之间的关系是解本题的关键.

(1)由折叠得出乙由平角的性质可得

AAOC+ZA'OC+ZBOD+ZB'OD=180°,再由N/OC=32。，即可求解；

(2)同(1)的方法求出N4OD,再由/4。夕=/"。。-/4。0即可求解.

【详解】(1)解：由题意知==

•••ZAOC+ZA'OC+ZBOD+ZB'OD=180°,ZAOC=32°,

ZBOD=|x(180°-2x32°)=58°,

故答案为：58。；

答案第1