统计与概率-2023年上海中考数学一轮复习（原卷版）

专题19统计与概率

|鹿命题趋势

统计与概率也是中考选填题里可能出现的一个重要知识点，主要考查有关概念的理解，概念的应用,

及其相关计算，如概率的计算，数据的分析有关计算；主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想

方法.

律知识导图

*

统计与慨卒

—

|

慨

统

计

率

初

初

生

步

丁

科

学

决

策

_

也重点考向

.

一数据的收集与整理

统计调查的一般步骤：

1、明确问题2、确定对象3、选择合适的调查方法和形式

4、展开调查5、统计并整理调查结果6、分析调查结果并得出结论。

常见的数据收集方法：问卷调查、实地调查、媒体调查等。

数据收集的方式：全面调查和抽样调查。

全面调查：为特定的目的对全部考察对象进行的调查，叫做全面调查。全面调查有时也叫普查（如：人口

普查）。

全面调查的优缺点：全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全

面调查。

抽样调查：抽取一部分对象进行调查，根据调查数据推断全体对象的情况叫抽样调查。

所要考察的全体对象叫总住，组成总体的每一个考察对象叫至体，被抽取的那部分个体组成总体的一个挂

主，样本中个体的数目叫这个样本的容量（样本容量没有单位）。

抽样调查的优缺点：抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总

体估计的准确程度。

抽样调查的方式：民意调查法、实地调查法、媒体调查法等。

【使用抽象调查时的注意事项】

1）选取的样本有代表性；

2）选取的样本有足够的多；

3）选取样本时，要避免遗漏总体中的某一部分。

二、数据的描述

频数概念：某类数据出现的次数称为这类数据的频数，各对象的频数之和等于数据总数。

频率概念：频数与总次数的比值称为这类数据的频率，即频率=”泮三三各对象的频率之和等于1.

组数和组距：在统计数据时，把数据进行适当分组，把分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做

组距。

条形统计图：

特点：①能清楚地表示出每个项目中的具体数目；②易于比较数目之间的差别。③较简单，易绘制。

缺点：对于条形统计图，人们习惯于由条形柱的高度看相应的数据，即条形柱的高度与相应的数据成正比,

若条形柱的高度与数据不成正比，就容易给人造成错觉。

画条形统计图方法:

1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线；

2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔；

3）在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少;

4）按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量。

学i生每周i饮料花i费条形i统计图i

人数人

°|510152025名费（元）

扇形统计图：

特点：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；②易于显示每组数据相对于总数的大小。

缺点：在两个扇形统计图中，若一个统计图中的某一个量所占的百分比比另一个统计图中的某个量所占的

百分比多，这样容易造成第一个统计量比第二个统计量大的错误理解。

画扇形统计图方法：

一•，加一

I）根据有关数据先算出各部分在总体中所占得百分比（百分数=「：，100%）,在计算各部分的圆心角的

度数（）各部分扇形圆心角的度数=部分占总体百分比X360。；

2）按比例取适当的半径画圆；

3）按求得的扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；

4）在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分出来。

折现统计图：

特点：①能清楚的反映事物的变化情况；②显示数据的变化趋势。

缺点：在折线图中，若横坐标被压缩，纵坐标被放大，此时的折线统计图中的统计量变化量变化明显,

反之，统计量变化缓慢。

频数分布直方图：

概念：以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小。小长方形的高是频数与组距的比值。

特点：直观显示各组频数的分布情况，易于显示各组之间频数的差别。

画频数直方图的一般步骤:

1）计算数极差（最大值与最小值的差）；

2）确定组距和组数；（分组时要遵循：不空、不重、不漏的原则）

3）决定分点；

4）列频数分布表；频数：落在个小组内的数据的个数。

5）画频数直方图。

某校九年级部分学生某周课外阅读量的频数分布直方图

画频率分布折线图一般步骤:

1）计算准确，确定组距、组数，并将数据分组;

2）列出频数分布表，并确定组中值；

3）以组中值为横坐标，频数为纵坐标，根据组中值所在的组的频数在坐标系中描点，依次用线段把它们连

成折线，（画频数分布折线图，并不一定要先画出频数分布直方图）。

三、算术平均数和加权平均数

1z\

一般地，对于〃个数玉、%、%3、-Xn，我们把一（修出2出3+…+%〃）叫做这〃个数的算术平均数，简称平均数，

n

记作X.计算公式为元二」（/七三出3+…+%）•

n

若〃个数项、/、…的权分别是叱、叫、...>叱，则）叫+…+”叫叫做这n个数的加权平均数.

叫+叫+…+吗

四、中位数和众数

L中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为

这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.

要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一

样，那么这组数据就没有众数.

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

五、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.

区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或

太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数

没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.

六、方差和标准差

方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差Y的计算公式是：

S2=—[（%!-X）2+（12一1）2+.・.+（1“-X）2]

nL

要点：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.

（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.

（3）一组数据的每一个数据都变为原来的左倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的产倍.

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号S表示，即：

s=/+5_；））+・・+（/一黯1

'/箝•；标准差的数量单位与原数据一致.

共的引裾

一、单选题

1.（2023春•上海•九年级专题练习）为筹备班级里的庆“元旦”文艺晚会，班长对全班同学爱吃哪几种

水果作了民意调查，最终买什么水果，该由调查数据的（）决定

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

2.（2023春•上海•九年级专题练习）某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所

示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（）

次数2345

人数22106

A.3次B.3.5次C.4次D.4.5次

3.（2023春•上海•九年级专题练习）小丽连续7次的数学考试成绩分数是：93、85、88、89、90、

87、90.关于这组数据，下列说法正确的是（）

A.中位数是88B.众数是90C.平均数是89D.方差是87

4.（2023春•上海•九年级专题练习）为筹备班级联欢会，班长对全班同学喜爱的水果做了民意调查，最

值得关注的统计量是（）

A.中位数B.平均数C.方差D.众数

5.（2023春•上海•九年级专题练习）如图，上海某有机草莓农场为了解今年草莓的收成情况，随机选择

了一个大棚摘取草莓并逐一称重（精确到1g）,绘制出频率分布直方图（每组数据含最低值，不含最高

值）.如果质量不小于20g的草莓为“大果”，则可估计500kg草莓中“大果”的总质量是（）

・频率

羸

0.068..........................

/g

A.35kgB.170kgC.175kgD.380kg

6.（2022春•九年级单元测试）某公司有9个子公司，某年各子公司所创年利润的情况如下表所示.

年利润（千万元）50431

子公司个数1224

根据表中的信息，下列统计量中，较为适宜表示该年各子公司所创年利润的平均水平的是（)

A.方差B.众数C.平均数D.中位数

二、填空题

7.（2021秋•上海虹口•九年级校考期末）甲、乙两同学近期6次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同

学成绩的方差S,=6.5,乙同学成绩的方差加2=3.1,则他们的数学测试成绩较稳定的是（填

"甲''或“乙”）.

8.（2023春•上海•九年级专题练习）某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在7天中每天所出的

次品数如下（单位：个）：3,3,0,2,3,0,3.那么该班组在7天中出的次品数的方差的值是.

9.（2022春•上海青浦•九年级校考期中）某区有6000名学生参加了“创建国家卫生城市”知识竞赛，为

了了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩（得分都是整数）作为样本，绘

制成频率分布直方图如图，请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分一99.5分的学生大约有

_____名.

频率

瘫

0.04

0.03

0.02

0.01

0.1

0y.559,569,5795S95995＞成绩（分）

10.（2022春•上海金山•九年级校考阶段练习）一次数学测试后，某班40名学生按成绩分成5组，第1、

2、3、4组的频数分别为6、7、10、13,则第5组的频率为.

11.（2023春•上海•九年级专题练习）名额分配综合评价是2022年上海市高中阶段学校的招生录取方式

之一.市实验性示范性高中将对入围学生开展现场综合评价并赋分，为更好保证打分的公平，将以所有打

分的截尾平均数作为考生的分数，即去掉一个最高分和一个最低分以后的平均分数.如果7位高中老师的

打分如表所示，那么这位学生的现场综合评价得分是分.

老师老师老师老师老师老师老师

1234567

打910788910

分

12.（2023春•上海•九年级专题练习）为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调

查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2

小时10人，2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名学生，则该学校六年级学生阅

13.（2023春•上海•九年级专题练习）在2022年北京冬奥会上，中国共获得9枚金牌，在金牌榜上排名

第三，创下了我国有史以来最好的冬奥会成绩.下表是北京冬奥会金牌榜排名前十位国家的金牌数：

俄罗

挪德中美瑞荷奥地瑞法

国家斯代

威国国国典利士国

表队

金牌数（枚）161298887765

那么这些国家获得金牌数的中位数是枚.

14.（2022•上海虹口•统考二模）为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，

随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的

九年级学生人数约为.

15.（2020春•上海静安•九年级校考期中）甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩

如图6-Z—2所示，那么三人中成绩最稳定的是.

16.（2022•上海松江•统考二模）某学校组织主题为“保护自然，爱护家园”的手抄报作品评比活动.评

审组对各年级选送的作品数量进行了统计，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图（如图所示）.那么选

送的作品中，七年级的作品份数是

17.（2022春•九年级单元测试）“双减”政策全面实施后，中学生可以自由选择是否参加校内课后延时服

务，因此放学时间也有差异，有甲（16：30）、乙（17：20）、丙（18：00）三个时间点供选择.为了解某校

七年级全体学生的放学时间情况，随机抽取了该校七年级部分学生进行统计，绘制成如下不完整的统计图

表，那么扇形统计图中表示丙时间点的扇形圆心角为度.

放学时间人数

甲(16:30)10

乙(17:20)26

丙(18:00)未知

放学时间扇形统计图

18.（2023春•上海•九年级专题练习）已知为，x2,x3,•••,120的平均数是5,方差是2,贝!!3玉+2,

3%+2,3%3+2,…3工2()+2的平均数是,方差是.

5重点考向

.

七必然事件、不可能事件和随机事件

1.定义：

(1)必然事件

在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件.

(2)不可能事件

在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件.

(3)随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

要点：

1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事

件”；

2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生

的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.

八、概率的意义

概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率：

会稳定在某个常数二附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability),记为FT1_J.

要点：

(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；

(2)(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；

「1

(3)(3)事件A的概率是一个大于等于0,且小于等于1的数,，即I'I,八।」•，其中P(必然事件)=1,P(不可能事件)=0,

0〈P(随机事件)<1.

九、古典概型

满足下列两个特点的概率问题称为古典概型.

(1)一次试验中，可能出现的结果是有限的；

(2)一次试验中，各种结果发生的可能性相等的.

古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率.

要点如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，

那么事件A发生的概率为P(A)=—.

n

十、用列举法求概率

常用的列举法有两种：列表法和树形图法.

1.列表法：

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，

通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数

和方式，并求出概率的方法.

2.树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形

图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次

数和方式，并求出概率的方法.

十一、利用频率估计概率

当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概

率.

共例引颔

一、单选题

1.（2022秋•上海奉贤•九年级统考阶段练习）天气预报显示“上海明天下雨的概率为85%”.下列说法中,

正确的是（）

A.上海明天将有85%的时间下雨B.上海明天将有85%的地区下雨

C.上海明天下雨的可能性很大D.上海明天下雨的可能性很小

2.（2022秋•上海•九年级开学考试）事件：①打雷后会下雨；②掷一枚均匀的硬币，反面朝上；③过十

字路口时正好遇到绿灯；④煮熟的鸡蛋能孵出小鸡.以上事件中随机事件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2022秋•上海嘉定•九年级统考阶段练习）有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正

面印有“冰墩墩”的图案，另外两张的正面印有“雪容融”的图案，现将它们背面朝上，洗匀后排列在桌

面，任意翻开两张，那么两张图案相同的概率是（）

A.-B.1C.|D.-

3234

4.（2021春•上海徐汇•九年级上海市徐汇中学校考阶段练习）某校举办中学生汉字听写大会，准备从甲、

乙、丙、丁4套题中随机抽取一套题对选手进行训练，则抽中甲套题的概率是（）.

111

A.-B.-C.-D.1

432

5.（2022春•上海金山•九年级校考阶段练习）在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个

不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是（）

A.这两个图形都是轴对称图形

B.这两个图形都不是轴对称图形

C.这两个图形都是中心对称图形

D.这两个图形都不是中心对称图形

6.（2021•上海•九年级专题练习）九年一班有12名同学报名参加校园踢健子比赛，其中8名男生，4名

女生，体育委员随机抽出一名同学代表班级参加比赛，则抽出的同学是女生的概率是（)

11

ABc.一D.

-t-1412

二、填空题

7.（2022秋•上海•九年级开学考试）上海今年夏天遭遇10级以上台风或强热带风暴是—（填“必然事

件”或者“随机事件”或者“不可能事件"）.

8.（2022秋•上海奉贤•九年级统考阶段练习）在一不透明的盒子中只有红、黄两色的小球（这些小球除

颜色外无其他差别），其中红球有4个，如果从盒子中随机取出一个为红球的概率是:，那么黄球的个数是

9.（2022春•上海•九年级校考阶段练习）女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占65%.现学校组

织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的

概率是.

10.（2022春•上海杨浦•九年级校考阶段练习）从下列图形中任选一个恰好是轴对称图形的概率为

11.（2022春•上海•九年级校考阶段练习）在一个不透明的盒子中仅装有8个白球，〃个黄球，它们除颜

色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为则盒子中黄球的个数是个.

12.（2022春•上海•九年级校考期中）在不透明的袋子中装有北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉

祥物“雪容融”的纪念卡片12张，每张卡片除吉祥物外其他完全相同，从中任意拿出一张，拿到“冰墩墩”

纪念卡片的概率为々，拿到“雪容融”纪念卡片的概率为%,且々-%=0.5,那么袋子中“冰墩墩”纪念

卡片的张数是.

13.（2022•上海静安•统考二模）如果从1,2,3,5,8,13,21,24这8个数中任意选取一个数，那么

取到的数恰好是素数的概率是.

14.（2022•上海闵行•统考二模）一个布袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3,从布

袋中任取一个球记下数字作为点尸的横坐标x,不放回小球，然后再从布袋中取出一个球记下数字作为点尸

的纵坐标y,那么点尸（x,j）落在直线＞=1上的概率是.

15.（2021•上海金山•二模）如果从方程①x+l=O,②i-2x-l=0,®x+-=l,@77+1=0,⑤

X

x4-l=0,⑥6+；=3中任意选取一个方程，那么取到的方程是无理方程的概率是_________.

y/X

16.（2021•上海•九年级专题练习）在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、直角三角形、

等腰三角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等10个图形，小杰随

机抽取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是.

17.（2022春•上海普陀•九年级统考阶段练习）从3位男同学和2位女同学中任选2人参加志愿者活动，

所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是.

18.（2019•上海•上海市西南模范中学校考二模）定义：若自然数〃使得三个数的加法运算

“〃+（〃+1）+（"+2）”产生进位现象，则称〃为“连加进位数”.例如，2不是“连加进位数”，因为2+3+4=9

不产生进位现象4是“连加进位数”，因为4+5+6=15产生进位现象51是“连加进位数”，因为51+52+53=156

产生进位现象.如果从0,1,…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是

在模拟检测

■

一、单选题

1.下列判断正确的是（）

A.甲乙两组学生身高的平均数均为1.58,方差分别为s/=2.3,sz*1.8,则甲组学生的身高较整齐

B.了解某品牌灯泡的使用寿命用全面调查的方法

C.将油滴入水中，油会浮在水面上，属于随机事件

D.在一个不透明的袋子中装有2个红球，3个白球，搅匀后从中随机摸出1个球是红球，属于随机事件

2.为了了解2021年我县七年级学生期中考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩进行分

析，下列说法正确的是（）

A.2021年我县参加七年级数学考试的学生是总体

B.样本容量是1000

C.1000名七年级学生是总体的一个样本

D.每一名七年级学生是个体

3.在对一组样本数据进行分析时，小莹列出了方差的计算公式：

s?=:[（8-斤+（6-X）2+（9-X）2+（11-X）2],由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是

（）

A.平均数是9B.中位数是8.5C.方差是3.25D.样本容量是4

4.为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，下表是这10户居民2021年4月

份用电量的调查结果：

居民（户）1324

月用电量（度/

40505560

户）

那么关于这10户居民用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A.中位数是55B.众数是

60C.方差是29D.平均数是54

5.从甲、乙、丙、丁四人中用抽签的方式，随机选取两人打扫卫生，那么选中的两人是甲和乙的概率为

)

八11八1]_

A.-B.—C.一D.

41268

6.小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5,2,0这三个数字组成，但具体

顺序忘记了，她第一次就拨对电话的概率是（）

,1„1八1j_

A.-B.—C.一D.

2346

7.动物园准备了100张刮刮乐，打算送给开幕当日的前100位游客每人一张，其中可刮中奖品的刮刮乐共

有32张，如表为奖品的种类及数量•若小柏为开幕当日的第一位游客，且每张刮刮乐被小柏拿到的机会相

等，则小柏刮中玩偶的机率为何？（）

奖品数量

北极熊玩偶一个1

狮子玩偶一个1

造型马克杯一个10

纪念钥匙圈一个20

8.我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以闹息''等宽曲线除了圆以外,

还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1）,它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心,

以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形.图2是等宽的勒洛三角形和圆

形滚木的截面图（）

国2

有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生

上下抖动；③图2中，等边三角形的边长为2,则勒洛三角形的周长为2万；④图3中，在。8C中随机以

一点，则该点取自勒洛三角形。£尸部分的概率为叵三，上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②④D.③④

二、填空题

9.为了估计鱼塘中鱼的数量，我们从该鱼塘中捕捞40条鱼做上标记，然后放回鱼塘，