苏科版九年级数学下册压轴题攻略：难点探究之解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型（原卷版）

专题12难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的

综合压轴题三种模型全攻略

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目录

取

‘尊=【典型例题】............................................................................1

【类型一解直角二角形应用与特殊二角形的综合】............................................1

【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】............................................4

【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】..............................................6

工【典型例题】

【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】

例题：（2023秋•福建泉州•九年级校考阶段练习）中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝.常见的屋

顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等.如图1的古代建筑屋顶，被

称为"悬山顶"，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐E4=6米，屋顶E到支点C的距离EC=5.4

米，墙体高CF=3.5米，屋面坡角/ECD=28。.（参考数值：sin28°«0.47,cos28°«0.88,tan28°«0.53）

（1）求房屋内部宽度FG的长;

⑵求点A与屋面FG的距离.

【变式训练】

1.（2023春•重庆沙坪坝•九年级重庆八中校考阶段练习）露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地

面的树干搭建一种“天幕"，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆。，用绳子拉

直CE后系在树干上的点A处，使得A,C,E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制"天幕”的开合，

若CE=CF=3米，CD_LEF于点。

（参考数据：sin75°®0.966,cos75°«0.259,tan75°a3.732）

图1图2

⑴天晴时打开"天幕"，若/ACF=150。，求遮阳宽度斯；（结果保留一位小数）

⑵下雨时收拢"天幕"，NAC尸由150。减小到120。，求点。下降的高度.（结果保留一位小数）

2.（2023春•海南海口•九年级海口一中校考期中）油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名

录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的内涵，决定进行设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美

学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中名*0.618）：伞柄A"始终平分

AH

Afi=AC=20cm,当/B4c=120。时，伞完全打开，此时，3DC=90。.

{\}ZBAD=,ZADB^

（2）求线段短）的长；（结果保留整根号）

⑶请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：有。1.732）

3.（2023•河南周口•校联考二模）"工欲善其事，必先利其器"，如图所示的是钓鱼爱好者的神器"晴雨伞”，

其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AD,用绳子拉直AC后系在树干尸。上的点E处

（尸。，。。），使得A,C,E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制"晴雨伞"的开合，"晴雨伞"

AC=AB=2m,AD13C于点。，支杆AD与树干PQ的横向距离DQ=3m.

⑴天晴时打开"晴雨伞"，若N&=60。，求遮阳宽度8C.

⑵下雨时收拢"晴雨伞"，使NA4c由120。减少到106。，求点E下降的高度.（结果精确到0.01m,参考数据:

sin53°~0.80,cos53°«0.60,tan53°»1,33,百。1.73）

4.（2023•浙江绍兴•统考三模）图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力.图2

是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图，已知AC,8。互相平分于点。，AC=BD=26cm,若

ZAOB=60°,〃CE=37°.

图1图2

⑴求CO的长.

⑵求点。到底架CE的高。尸（结果精确到0.1cm,参考数据：sin37Oa0.60,cos37O=0.80,tan37°®0.75）.

【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】

例题：（2023春,江西南昌•九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）

所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形,矩形四CG可由矩形ABCD

绕点C旋转得到，点E在4）上，延长即交尸G于点连接BE,CH.

图⑴图⑵

⑴判断四边形的形状并给予证明；

（2）若点G在水平地面上，A3与水平地面平行，/BCE=48。,AB=3cm,BC=4cm,求点A到水平地面的

距离.（结果精确到0.1m.）参考数据：

sin48°~0.75,cos48°~0.67,tan48°«l.ll,cos24°®0.91,tan24°®0.45

【变式训练】

1.（2023春•江西九江•九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方

形转化为平面图形得到图2,并测得正方形ABCD与正方形的面积相等，且钻=100cm,C£）〃所,

⑴判断四边形EFGH的形状，并说明理由.

⑵求CG的长.（参考数据：sin25°«0.42,cos25°«0.91,tan25°«0.47）

2.（2023,山东青岛,统考二模）如图1,一吸管杯放置在水平桌面上，矩形ABCD为其横截面，OE为吸管，

其示意图如图2所示，AD=2Qcm,AB=6cm,ZEOB=36°.将杯子绕点C按顺时针方向旋转，使OE与

水平线CM平行（如图3）.

⑴杯子与水平线CM的夹角ZBCM=。；

⑵由图2到图3,点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？（结果精确到0.1cm,参考数据:

sin36°a0.59,cos36°®0.81,tan36°®0.73）

3.（2020•江西赣州・统考一模）如图⑴是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，是晾衣架的一

个滑槽，点尸在滑槽上、下移动时，晾衣架可以伸缩,其示意图如图（2）所示，已知每个菱形的边长均

为20cm,且AB=CD=CP=DM=20cm.

图⑴

⑴当点尸向下滑至点N处时，测得/DCE=60时

①求滑槽的长度；

②此时点A到直线DP的距离是多少？

（2）当点P向上滑至点M处时，点A在相对于⑴的情况下向左移动的距离是多少？

（结果精确到0.01cm,参考数据衣»1.414,73〜1.732）

【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】

例题：（2023秋・山东威海•九年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）图1是某越野车的侧面示意图，折

线段A3C表示车后盖，已知=BC=0.6m,ZABC=123°,该车的高度AO=L7m.如图2,打开

后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，A9与水平面的夹角N?AD=27。.（结果精确到0.01m,参考数据：

sin27°®0.454,cos27°®0.891,tan27°®0.510,73»1,732)

B'

⑴求打开后备箱后，车后盖最高点"到地面I的距离;

⑵若小琳爸爸的身高为L8m,他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由.

【变式训练】

1.在日常生活中我们经常使用订书机，如图，A3是订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的

一端点。固定，点E从A向B滑动，在滑动过程中，的长保持不变，已知BD=50cm.

⑴如图1,当ZABC=45。，B、E之间的距离为15cm,求连接杆DE的长度.

⑵现将压柄BC从图1的位置旋转到与底座A3垂直，如图2所示，求在此过程中点E滑动的距离.

2.（2023秋•河北石家庄•九年级校联考阶段练习）如图1,某款线上教学设备由底座，支撑臂AB,连杆8C,

悬臂CD和安装在。处的摄像头组成.如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂A3

AB=18cm,BC=40cm,CD=44cm,固定/ABC=148。，可通过调试悬臂CD与连杆BC的夹角提高拍摄效果.

⑴当悬臂。与桌面/平行时，ZBCD=°

⑵问悬臂端点C到桌面/的距离约为多少？

⑶已知摄像头点。到桌面/的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂。与连杆8C的夹角/3CZ）的度

数约为多少？（参考数据：sin58°»0.85,cos58°«0.53,tan58°®1.60）

3.（2023•江西吉安•校考模拟预测）一抽纸纸筒被安装在竖直墙面上，图1是其侧面示意图，其中

AB//CE//DF,AD//EF//BC,纸筒盖CMP可以绕着点C旋转，关闭时点尸与点歹重合，CMLPM,

AB=30cm,DF=6cm,CM=EF=7cm.

⑴若/BC0=15O。，求纸筒盖关闭时点尸运动的路径长；

（2）如图2,当一卷底面直径为10cm的圆柱体纸巾恰好能放入纸筒内时，求纸筒盖要打开的最小角NPCF的

,1177

度数.（参考数据：sinll.54°«—,cos78.46°®,sinl6.26°®一,cos73.74°®一）

552525

4.（2023•河南南阳•校联考三模）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三

轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆A3的长为60c机，点。是的中点，前支撑

板£>E=30cm,后支撑板EC=40cm,车杆A3与8c所成的/ABC=53。.

⑴如图2,当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心8之间的距离BE的长；

⑵如图3,当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过

计算说明；若变化，请求出变化量.（参考数据：sin53°«4-,cos53°«3|,tan53°«4j）

5.（2023春•浙江嘉兴•九年级校考阶段练习）某种落地灯如图1所示，A3为立杆，其高为84cm；BC为支

杆，它可绕点8旋转，其中长为54cm；OE为悬杆，滑动悬杆可调节。的长度.支杆与悬杆DE

之间的夹角/BCD为60。.

⑴如图2,当支杆BC与地面垂直，且CO的长为50cm时，求灯泡悬挂点。距离地面