四边形（解析版）-2023年中考数学一轮复习

专题20四边形

一、多边形内角与外角

【高频考点精讲】

1、多边形内角和等于(«-2)-180°,其中且〃为整数。

(1)推导方法：从"边形的一个顶点出发，引出(〃-3)条对角线，将〃边形分割为(«-2)个三角形，

则(«-2)个三角形的所有内角之和就是〃边形的内角和。

(2)思想方法：将多边形转化为三角形。

2、多边形外角和等于360°。

(1)多边形的外角：每个顶点处取一个外角，则"边形取〃个外角。

(2)推导方法：多边形外角和=180°n-("-2)780°=360°。

(3)思想方法：邻补角概念以及多边形内角和定理。

【热点题型精练】

1.(2022•大连中考)六边形内角和的度数是()

A.180°B.360°C.540°D.720°

解：六边形的内角和的度数是(6-2)X1800=720°.

答案:D

2.(2022•烟台中考)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1,则这个正多边形是()

A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十边形

解：•..一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1,

设这个外角是x°,则内角是3x°,

根据题意得：x+3x=180,

解得：X—45,

360°+45°=8(边),

答案:C.

3.(2022•河北中考)如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△/BC与四边形2CDE的外角和的度数分别为a,

0,则正确的是()

A.a-0=0B.a-p<0

C.a-p>0D.无法比较a与0的大小

解：•・,任意多边形的外角和为360。

.*.a=P=360°.

.*.a-p=0.

答案

4.（2022•南充中考）如图，在正五边形48cDE中，以N3为边向内作正凡则下列结论错误的是（）

A.AE=AFB.ZEAF=ZCBFC./F=NEAFD.ZC=ZE

解：在正五边形/8CDE中内角和：180°X3=540°,

:.NC=ND=NE=NEAB=NABC=54Q°+5=108°,

...o不符合题意；

,/以AB为边向内作正4/8尸，

/.ZFAB=ZABF=ZF=60°,AF=AB=FB,

,JAE^AB,

：.AE=AF,NEAF=NFBC=48°,

：.A.8不符合题意；

NFWNEAF,

符合题意；

答案:C.

2

5.（2022•眉山中考）一个多边形外角和是内角和的J,则这个多边形的边数为11

解：设这个多边形的边数为小

2

根据题意可得：-x（n—2）x180°=360°,

解得：«=11,

答案:11.

6.（2022•株洲中考）如图所示，已知NMCW=60°,正五边形48cDE的顶点/、3在射线。M上，顶点E在射线

ON上,则//£0=48度.

(5-2)x180°

/E4B=-----------------=108°,

,/NEAB是△4EO的外角，

ZAEO=ZEAB-ZMON=108°-60°=48°,

答案：48.

7.Q022•遂宁中考)如图，正六边形4BCDE尸的顶点/、厂分别在正方形的边比八GH上.若正方形

的边长为6,则正六边形/8CDE上的边长为4.

解：TSLAF—X,贝I48=X,AH—6-x,

六边形ABCDEF是正六边形，

ZBAF=120°,

：.ZHAF=60°,

VZAHF=90°,

ZAFH=30°,

：.AF=2AH,

•・x=2(6-x),

解得x=4,

：.AB=4,

即正六边形ABCDEF的边长为4,

答案：4.

8.(2022•攀枝花中考)同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”.请你在不直接运用结论

“〃边形的内角和为(〃-2A180。”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180。”，结合图形说明：

五边形4BCDE的内角和为540°.

解：连接AC,

五边形/2CDE的内角和等于AADC,△4BC的内角和,

.•.五边形/8。。后的内角和=180°X3=540°.

E

二、平行四边形的性质与判定

【高频考点精讲】

1、平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边相等。

(2)平行四边形的对角相等。

(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)平行四边形的面积

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的乘积。

②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等。

2、平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。

【热点题型精练】

9.(2022•朝阳中考)将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，/EFG=9Q°,ZEGF

60°,/AEF=50°,则NEGC的度数为()

A.100°B.80°C.70°D.60°

解：：四边形/BCD是平行四边形，

J.AB//DC,

：.ZAEG=ZEGC,

VZEFG=90°,NEG尸=60°,

:.NGEF=30°,

.\ZGEA=80°,

Z£GC=80°.

答案:反

10.（2022•河北中考）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）

解：4、80°+110°7^180°,故/选项不符合条件；

8、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故8选项不符合题意；

。、不能判断出任何一组对边是平行的，故。选项不符合题意；

。、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故。选项符合题意;

答案:D

11.（2022•益阳中考）如图，在口中，45=8,点E是上一点，AE=3,连接过点。作C5〃。

交45的延长线于点尸，则5方的长为（）

A.5B.4C.3D.2

解：在口45。。中，AB=8,

:・CD=AB=8,AB//CD,

'：AE=3,

：.BE=AB-AE=5,

YCF//DE,

・・・四边形DEFC是平行四边形,

:・DC=EF=8,

：.BF=EF-BE=S-5=3,

答案:C

ED

12.（2022•无锡中考）如图，在口48。。中，AD=BD,ZADC=105°，点£在力。上，ZEBA=60°,则而的值

是（）

DEA

217

A-iB-2

解：如图，过点2作28，/。于〃,

设NADB=x,

•：四边形ABCD是平行四边形,

J.BC//AD,ZADC=ZABC^IO50,

:・/CBD=/ADB=x,

；AD=BD,

1800-%

・•・ZDBA=NDAB=---

180°-x

・・・x+---=105°,

；.x=30°,

.,.//。2=30°,ZDAB^15°,

■:BH工AD,

：.BD=2BH,DH=4iBH,

VZEBA=60°,ZDAB=15°,

AZAEB=45°,

:.NAEB=/EBH=45°,

：.EH=BH,

：.DE=gBH-BH=(V3-1)BH,

222

"'"AB=y/BH+AH=JsW+QBSBH)2=(V6-V2)BH=CD,

DE短

~CD=~9

答案:D

13.（2022•广州中考）如图，在口/BCD中，AD=\Q,对角线/C与AD相交于点O,AC+BD=22,则△8OC的周

解：•.•四边形是平行四边形,

11

：.AO=OC=-ACfBO=OD=-BD,AD=BC=W,

•：4C+BD=22,

：.OC+BO=11,

：./\BOC的周长=OC+OB+5C=11+10=21.

答案：2L

1

14.（2022•常德中考）如图，已知/是△NBC内的一点，FD//BC,FE//AB,若口5。房的面积为2,BD=gBA,

1

BE=~BC,则的面积是12.

q

・・•四边形BEFQ为平行四边形，口5。所的面积为2,

.1_

••S"DE~~^LJBDFE=1，

1

U：BE=~BC,

4

:・S小BDC—4SABDE-4,

1

'：BD=-BAf

S^ABC=3SABDC=12,

答案：12.

1

15.（2022•苏州中考）如图，在平行四边形48c。中，ABLAC,AB=3,AC=4,分别以4,。为圆心，大于pC

的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,过〃，N两点作直线，与BC交于点E,与4。交于点R连接4E,

CF,则四边形4ECF的周长为」

M

AED

B/EC

解：-：ABLAC,AB=3,4C=4,

:・BC=yjAB2+AC2=5,

由作图可知，MN是线段ZC的垂直平分线，

：.EC=EA,AF=CF,

：./EAC=NACE,

*.•/B+/ACB=/BAE+/CAE=90°,

ZB=ZBAE,

：.AE=BE,

1

:.AE=CE=~BC=2.5,

•.•四边形/BCD是平行四边形，

：.AD=BC=5,CD=AB=3,ZACD=ZBAC=90°,

同理证得/尸=CF=2.5,

四边形AECF的周长=EC+E4+4F+CF=10,

答案：10.

16.（2022•无锡中考）如图，在口48co中，点。为对角线8。的中点，成过点。且分别交/8、DC于点、E、F,

连接DE、BF.

求证：（1）ADOFmABOE；

（2）DE=BF.

证明：（1）••,点。为对角线8。的中点,

：.OD=OB,

V四边形ABCD是平行四边形，

C.DF//EB,

：.ZDFE=ZBEF,

在尸和△BOE中，

(Z.DFO=Z.BEO

\^DOF=^BOE,

WO=BO

:.△DOFQXBOE(AAS).

(2)•；△DOF/ABOE,

:・DF=EB,

,:DFIIEB,

四边形DFBE是平行四边形，

:.DE=BF.

17.(2022•毕节中考)如图1,在四边形/8CO中，/C和8。相交于点。，AO=CO,ZBCA=ZCAD.

(1)求证：四边形/BCD是平行四边形；

(2)如图2,E,F,G分别是80,CO,的中点，连接£尸，GE,GF,若BD=2AB,8c=15,AC=16,求

4EFG的周长.

(1)证明：,:/BCA=NCAD,

J.AD//BC,

在△/OD与△COB中，

(/-BCA=Z.CAD

\A0=CO,

3。。=乙COB

:.AAOD<△COB(ASA),

：.AD=BC,

四边形/BCD是平行四边形；

,/四边形ABCD是平行四边形,

1

：.AD=BC=\5,AB=CD,AD//BC,BD=2OD,OA=OC^-4C=8,

•：BD=2AB,

：.AB=OD,

：.DO=DC,

:点尸是oc的中点，

1

：.OF^~OC=4,DF±OC,

J.AF^OA+OF^U,

在RtAAFD中，。/=>JAD2-AF2=V152-122=9,

点G是/。的中点，ZAFD=90°,

1

.".DG=FG=~AD=1.5,

:点、E,点尸分别是03,0c的中点，

E尸是△02C的中位线，

1

:.EF=]BC=75,EF//BC,

:.EF=DG,EF//AD,

四边形GEFD是平行四边形，

：.GE=DF=9,

：.AEFG的周长=GE+GF+EF=9+7.5+7.5=24,

ZkEFG的周长为24.

三、菱形的性质与判定

【高频考点精讲】

1、菱形的性质

(1)菱形具有平行四边形的一切性质。

(2)菱形的四条边都相等。

(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

(4)菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式。

②菱形面积=工而(a、6是两条对角线的长度)

2

2、菱形的判定

(1)四条边都相等的四边形是菱形。

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（4）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

【热点题型精练】

18.（2022•自贡中考）如图，菱形/BCD对角线交点与坐标原点。重合，点、4（-2,5）,则点C的坐标是（）

-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

解：•.•四边形/BCD是菱形,

：.OA=OC,即点/与点C关于原点对称,

:点/(-2,5),

...点C的坐标是（2,-5）.

答案：£

19.（2022•襄阳中考）如图，口48。。的对角线/C和2。相交于点。，下列说法正确的是（）

A.若OB—OD,则口/2。。是菱形

B.若AC=BD,则U74BCD是菱形

C.若OA=OD,则口/BCD是菱形

D.若/C_L8D,则口/BCD是菱形

解：4、：四边形/BCD是平行四边形,

'.OB—OD,故选项/不符合题意;

8、：四边形48C。是平行四边形，AC=BD,

二LJABCD是矩形，故选项B不符合题意；

C、：四边形N8C。是平行四边形,

11

.9•OA=OC=~ACfOB=OD=—BD,

'：OA=OD,

：.AC=BD,

.,.□A8CD是矩形，故选项C不符合题意;

D、•.,四边形ABCD是平行四边形，ACLBD,

...口/BCD是菱形，故选项。符合题意；

答案:D

20.（2022•淄博中考）如图，在边长为4的菱形/BCD中，£为/。边的中点，连接CE交对角线8。于点E若/

DEF=NDFE,则这个菱形的面积为（）

A.16B.6V7C.12V7D.30

解：连接/C交AD于O,如图，

A_____E________

W

BC

・・•四边形Z8CQ为菱形，

：.AD//BC,CB=CD=AD=4,ACLBD.BO=OD,OC=AO,

YE为边的中点，

:・DE=2,

•I/DEF=/DFE,

：.DF=DE=2,

*：DE//BC,

：.ZDEF=/BCF,

ZDFE=/BFC,

：.ZBCF=ZBFC,

:.BF=BC=4,

：.BD=BF+DF=4+2=6,

:・OB=OD=3,

在RtZXBOC中，OC=742-32=77,

；・AC=2OC=25

1I--

・•・菱形ABCD的面积=5AC・BD=万x26x6=6近.

答案:反

21.（2022•湘西州中考）如图，菱形/BCD的对角线NC、8D相交于点O,过点。作于点“，连接。〃,

OH=4,若菱形48CD的面积为32百，则C。的长为（）

B

4口）

D

A.4B.4V3C.8D.8百

解：-：DHLAB,

：.ZBHD=90°,

:四边形/BCD是菱形，

1

：.OB=OD,OC=OA=~AC,ACLBD,

1

：.OH^OB=OD=~BD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），

.•.0。=4,BD=8,

1「

由于153£）=32百得，

1「

万x8・4C=32百，

；./。=8百，

1L

OC=2^=4百，

CD=VOC2+OD2=8,

答案：C.

22.（2022•德州中考）如图，线段45,CD端点的坐标分别为/（-b2）,B（3,-1）,C（3,2）,£>（-1,

5）,且将CD平移至第一象限内，得到C'D'（U,。'均在格点上）.若四边形/2C'D'是菱

形，则所有满足条件的点。'的坐标为（3,5）或（2,6）.

解：如图,

y八

।—18---•--1—।--1—।—।—।—

।।।।।।।।।

'：A(-1,2),B(3,-1),C(3,2),D(-1,5),

:.AB〃CD,AB=CD=5,

..•四边形D'是菱形，

".AD'=AB=5,

当点。向右平移4个单位，即》(3,5)时，AD'=5,

当点。向右平移3个单位，向上平移1个单位，即。'(2,6)时，AD'=5,

答案：(3,5)或(2,6).

23.(2022•辽宁中考)如图，CD是△/2C的角平分线，过点。分别作/C,3c的平行线，交BC于点、E,交/C

于点尸.若N4C5=60°,CD=A0,则四边形C瓦m的周长是16.

・•・四边形厂是平行四边形,

,:CD是△45。的角平分线，

/FCD=/ECD,

9：DE//AC,

：./FCD=/CDE,

ZECD=ZCDE,

：.CE=DE,

四边形CED尸是菱形，

1

C.CDLEF,ZECD=~ZACB=30°,OC=~CD=2^>

在RtZ\COE中，

四边形CED厂的周长是4CE=4X4=16,

答案：16.

24.（2022•哈尔滨中考）如图，菱形/8CO的对角线/C,8。相交于点。，点E在08上，连接4E,点尸为CD

的中点，连接。?若AE=BE,OE=3,。4=4,则线段的长为2后.

C.ACLBD,AO=CO=4,BO=DO,

■'-AE=Vi4O2+E02=V9+16=5,

：.BE=AE=5,

.•.20=8,

:.BC=JBO2+CO2=.64+16=4心

:点尸为8的中点，BO=DO,

1一

：.OF=*=2近,

答案：24.

25.（2022•温州中考）如图，在菱形/BCD中，AB=1,ZBAD=60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形4EW

和菱形CGMF,使点E,F,G,〃分别在边48,BC,CD,ZX4上，点”，N在对角线NC上.若AE=3BE,

则MN的长为—亨—・

D

HG

C

解：连接。5交4C于点。，作于点/,作交45的延长线于点J,如图1所示,

：.AB=BC=CD=DA=\,NA4c=30°,ACLBD,

是等边三角形，

1

：.OD=-,

'-AO=yjAD2-DO2=Jl2-(|-)2=苧,

.\AC=2AO=V3»

■:AE=3BE,

31

'.AE=~,BE=~,

44

,・,菱形4E7VH和菱形CGMF大小相同,

1

：.BE=BF=-,NFBJ=60°,

4,

.,.K/=BF«sin60°=；*号=坐,

428

•\MI=FJ=—,

8

MI年近

s讥30。一丁一甲

2

同理可得，CN=~,

4

:.MN=AC-AM-CN=V3-

442

答案李

26.（2022•广元中考）如图，在四边形A8CD中，AB//CD,/C平分/D48,AB=2CD,E为49中点，连结

CE.

(1)求证：四边形/EC。为菱形;

；・AB=2AE=2BE,

•：AB=2CD,

；・CD=AE,

又,：AE//CD,

・•・四边形/EC。是平行四边形，

•・ZC平分NZM5,

/DAC=/EAC,

'：AB//CD.

：.NDCA=/CAB,

：./DCA=/DAC,

；・AD=CD,

・・・平行四边形是菱形；

(2)•・•四边形4EC。是菱形，ZD=120°,

：.AD=CD=CE=AE=2,ZD=120°=/AEC,

：.AE=CE=BE,NCEB=6G°,

：.ZCAE=30°=/ACE,仍是等边三角形，

：.BE=BC=EC=2,ZB=60°,

AZACB=90°,

・・・/。=闻。=2百，

1111

・•・SAABC=-X^CX5C=-X2X2V3=2V3.

27.(2022•聊城中考)如图，中，点。是45上一点，点E是4C的中点，过点C作CF〃45,交的延

长线于点F.

(1)求证：AD=CF；

(2)连接/RCD,如果点。是45的中点，那么当4C与5C满足什么条件时，四边形ZQC尸是菱形，证明你

的结论.

A

(1)证明：-：CF//AB,

：.ZADF=ZCFD,NDAC=NFCA,

丁点E是NC的中点，

：.AE=CE,

:AADE%ACFE(AAS),

:.AD=CF；

(2)解：当/C，3c时，四边形4DCF是菱形，证明如下：

由(1)知，AD=CF,

•：AD//CF,

四边形是平行四边形，

'JACLBC,

...△A8C是直角三角形，

；点。是4B的中点，

1

：.CD=~AB=AD,

四边形NOCF是菱形.

28.(2022•滨州中考)如图，菱形/BCD的边长为10,ZABC=60°,对角线NC、8。相交于点。，点£在对角

线20上，连接作//斯=120°且边所与直线。C相交于点尸.

(1)求菱形488的面积；

(2)求证：AE=EF.

(1)解：作NGL3C交8C于点G,如图所示,

:四边形/2CO是菱形，边长为10,ZABC=60°,

：.BC=W,AG=AB•sineO0=10X孚=5百，

二菱形/8C。的面积是：5CMG=10X5V3=50V3-

即菱形4BCD的面积是50V3;

(2)证明：连接EC,

:四边形/8CZ)是菱形，ZABC=60°,

；.£。垂直平分/。，Z5Cn=120°,

：.EA=EC,ZDCA^60°,

AZEAC=ZECA,ZACF=120°,

VZAEF=120°,

ZEAC+ZEFC^360°-NAEF-NACF=360°-120°-120°=120°

VZECA+ZECF^120°,

：.ZEFC=ZECF,

：.EC=EF,

；.AE=EF.

四、矩形的性质与判定

【高频考点精讲】

1、矩形的性质

(1)矩形具有平行四边形的所有性质。

(2)矩形的四个角都是直角。

(3)矩形的邻边垂直。

(4)矩形的对角线相等。

2、矩形的判定

(1)有三个角是直角的四边形是矩形；

(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形；

(3)有一个角为直角的平行四边形是矩形；

（4）对角线相等的平行四边形是矩形。

【热点题型精练】

29.（2022•日照中考）如图，矩形/BCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E,当水杯底

面8C与水平面的夹角为27°时，//ED的大小为（）

A.27°B.53°C.57°D.63°

解：如图，

"JAE//BF,

：.ZEAB=ZABF,

:四边形/BCD是矩形，

J.AB//CD,NABC=90°,

:.NABF+27。=90°,

ZABF=63°,

:./EAB=63°,

'JAB//CD,

：.ZAED=ZEAB=63°.

答案:D.

30.（2022•恩施州中考）如图，在四边形/BCD中，ZA=ZB=90°,AD=10cm,8c=8c〃?，点尸从点。出发,

以lcm/s的速度向点/运动，点M从点3同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时,

两个动点同时停止运动.设点尸的运动时间为f（单位：s）,下列结论正确的是（）

A.当f=4s时，四边形/瓦呼为矩形

B.当t=5s时，四边形CDPM为平行四边形

C.当。=尸河时，t=4s

D.当CD=P河时，f=4s或6s

解：根据题意，可得。尸=/。机，BM=tcm,

=1Ocm,BC=8cm,

：.AP=(10-Z)cm,CM=(8-/)cm,

当四边形/BMP为矩形时，AP=BM,

即10-t=t,

解得t—5,

故/选项不符合题意；

当四边形CDPM为平行四边形，DP=CM,

即f=8-t,

解得t=4,

故B选项不符合题意；

当时，分两种情况：

①四边形CDPM是平行四边形，

此时CM=PD,

即8-t=t,

解得/=4,

②四边形CDPM是等腰梯形，

过点刊作于点G,过点C作C7/L4。于点”，如图所示:

则NMGP=NC/ffl=90°,

,:PM=CD,GM=HC,

：./\MGP^/\CHD(HL),

：.GP=HD,

；/G=/P+GP=10-t+

2

又■:BM=t,

.*.10-t+=t,

2

解得t=6,

综上，当CD=PA/时，t=4s或6s,

故C选项不符合题意，。选项符合题意，

答案:D

31.（2022•泰安中考）如图，四边形ABC。为矩形，48=3,BC=4,点尸是线段8C上一动点，点”为线段4P

上一点，ZADM=ZBAP,则的最小值为（）

解：如图，取4D的中点O,连接。2,OM.

,、

/，、\

t\

・・,四边形45CD是矩形，

AZBAD=90°,AD=BC=4,

：.ZBAP+ZDAM=90°,

ZADM=ZBAP,

：.ZADM+ZDAM=90°,

AZAMD=90°,

'：AO=OD=29

1

：.OM=~AD=2,

・••点M的运动轨迹是以O为圆心,2为半径的OO.

OB=dAB2+AO2=V32+22=V13.

：.BM^OB-OM=y/i3-2,

.•.8M的最小值为m-2.

答案:D

32.（2022•十堰中考）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡NR

4G分别架在墙体的点5,。处，且45=4。，侧面四边形皮为矩形.若测得/必。=55°,则N4=

110

解：•・•四边形5OEC为矩形，

ZDBC=9Q°,

■:/FBD=55°,

AZ^C=180°-ZDBC-ZFBD=35°，

'：AB=AC,

：./ABC=/ACB=35°,

・・・N4=180°-ZABC-ZACB=110°，

答案:11O

33.（2022•吉林中考）如图，在矩形4BCD中，对角线4C,5。相交于点。点E是边4。的中点，点尸在对角线

15

"上，且连接若/C=l。，则跖=_]

1

U：AF=~AC,

4

1

.\AF=—AO,

...点二为4。中点,

又,：点、E为边AD的中点，

:.EF为LAOD的中位线，

115

：.EF^-OD=~BD=~.

Z4-Z

5

答案:于

34.（2022•宜昌中考）如图，在矩形/3CD中，E是边/。上一点，F,G分别是BE,CE的中点，连接/凡DG,

FG,若/尸=3,DG=4,FG=5,矩形4BCD的面积为48.

AZBAE=ZCDE=90°,AD//BC,

,:F,G分别是5E,C£的中点，AF=3,0G=4,FG=5,

：.BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2FG=10,

:・B#+CG=Be,

・•・△BCE是直角三角形，NBEC=90°,

11

SABCE=万,BECE=-x6x8=24,

■:AD〃BC,

1•S矩形力BCD=2&BC£；=2X24=48，

答案：48.

35.(2022•鄂州中考)如图，在矩形/BCD中，对角线ZC、8。相交于点O,&ZCDF=ZBDC,ZDCF=Z

ACD.

(1)求证：DF=CF；

(2)若/CDF=60°,DF=6,求矩形48cD的面积.

(1)证明：•・,四边形45CD是矩形，

11

OC=-ACfOD=-BD,AC=BD,

：.OC=OD,

：./ACD=NBDC,

VZCDF=ZBDC,ZDCF=ZACD,

：.ZCDF=/DCF,

:・DF=CF；

(2)解：由(1)可知，DF=CF,

*：ZCDF=60°,

・・・△CD尸是等边三角形，

:・CD=DF=6,

,:NCDF=NBDC=60°,OC=OD,

...△OCD是等边三角形，

.\OC=OD=6,

:.BD=2OD=12,

:四边形/BCD是矩形，

:.NBCD=90°,

BC=YJBD2-CD2=7122-62=6V3，

•'•S矩彩4BCD=BC"CD=6^^x6=36V§\

36.（2022•云南中考）如图，在平行四边形/BCD中，连接2D,E为线段4D的中点，延长2E与8的延长线交

于点尸，连接4F,NBDF=90°.

（1）求证：四边形/AD尸是矩形；

（2）若/力=5,DF=3,求四边形尸的面积S.

(1)证明：:四边形48co是平行四边形,

C.BA//CD,

NBAE=ZFDE,

;点£是/。的中点，

：.AE=DE,

在ABEA和△尸中，

(Z.BAE=Z.FDE

\AE=DE,

V^BEA=乙FED

:.ABEA经AFED(ASA)f

:・EF=EB,

又・：AE=DE,

四边形ABDF是平行四边形，

:/BDF=9Q°.

...四边形尸是矩形;

(2)解：由(1)得四边形N5D歹是矩形，

AZAFD=90°,AB=DF=3,AF=BD,

：.AF=JAD2-DF2=V52-32=4,

•,•$矩形力8。尸=0尸,//=3><4=12，BD=AF=4,

,/四边形ABCD是平行四边形，

:・CD=AB=3,

11

:,SABCD=CD=《X4X3=6,

四边形ABCF的面积S=S矩形12+6=18,

答：四边形/8C尸的面积S为18.

五、正方形的性质与判定

【高频考点精讲】

1、正方形的性质

(1)正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

(2)正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。

(3)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

2、正方形的判定

(1)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

(2)邻边相等且有一个内角是直角的平行四边形是正方形。

(3)有一组邻边相等的矩形是正方形。

(4)有一个内角是直角的菱形是正方形。

(5)对角线相等的菱形是正方形。

(6)对角线互相垂直的矩形是正方形。

【热点题型精练】

37.(2022•黄石中考)如图，正方形O48C的边长为友,将正方形ON8C绕原点。顺时针旋转45°,则点8的对

应点B\的坐标为()

yA

B|---------C

A0

A.(一五，0)B.(VL0)C.(0,V2)D.(0,2)

解：如图，连接08,

y>\

咨

,/正方形O4BC的边长为VL

：.OC=BC=®NBCO=90°,NBOC=45°，

JOB=V0C2+BC2=J(V2)2+(V2)2=2,

:将正方形OABC绕原点0顺时针旋转45°后点B旋转到BX的位置,

,当在y轴正半轴上，且0丛=。8=2,

.•.点团的坐标为（0,2）,

答案:D

38.（2022•泰州中考）如图，正方形/BCD的边长为2,£为与点。不重合的动点,以。£为一边作正方形

DEFG.设DE=di，点、F、G与点C的距离分别为为、由，则山+42+公的最小值为（）

C.2V2D.4

AD

R

1/四边形DEFG是正方形,

：.ZEDG=90°,EF=DE=DG,

:四边形/BCD是正方形,

:.AD=CD,ZADC^90°,

ZADE=ZCDG,

：./\ADE^/\CDG(SAS),

：.AE=CG,

山+为+虑=EF+CF+AE,

・••点4E,F,。在同一条线上时，EF+CF+AE^,即必+4+为最小，

连接/c,

水+刈+心最小值为4C,

在RtZUBC中，AC=gB=2即

'-di+dy^di,最小=/C=2A/^,

答案:C.

39.（2022•重庆中考）如图，在正方形/BCD中，4E平分NB4C交BC于点、E,点尸是边上一点，连接。巴

)

C.67.5°D.77.5°

解：:四边形48co是正方形,

；.4D=BA,NDAF=/ABE=90°,

在△。/尸和△N8E中,

AD=BA

Z.DAF=/-ABE,

AF=BE

△DAF经LABE(&4S),

ZADF=/BAE,

:AE平分/BAC,四边形/8C。是正方形,

1

ZBAE=~ZBAC=22.50,ZADC=90°,

ZADF=22.5°,

:.NCDF=/ADC-NADF=90°-22.5°=67.5°,

答案:C

40.（2022•江西中考）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所

示），则长方形的对角线长为—而

解：根据图形可知:长方形的长是正方形的对角线为2,

长方形的宽是正方形对角线的一半为1,

则长方形的对角线长=Vl2+22=V5.

答案:V?.

41.（2022•海南中考）如图，正方形N2CD中，点、E、厂分别在边3C、CD上,AE=AF,NE4F=30°,贝！|//班

=60°；若△/斯的面积等于1,则48的值是一百

解：•.•四边形48co是正方形，

；.AB=AD,NBAD=NB=/D=90°.

在RtAABE和RtA^DF中，

(AB=AD

kAE=AF'

：.R.t^ABE^RtAADF(HL).

/BAE=ZDAF.

1

ZBAE=-(ZBAD-/EAF)

1

=5(90°-30°)

=30°.

AZAEB=60°.

答案：60.

过点尸作FGL/E,垂足为G.

•：sinZEAF=—,

：.FG=sinZEAFXAF.

11

■:S^AEF=万xAEXFG=_xAEXAFXsinZEAF=1,

1.

XAE1Xsin30°=1.

1、1

即5xAE1x-=1.

：.AE=2.

在RtZUBEt中，

AB

VcosZ^=—,

.\AB=cos30°XAE

等2

=V3.

答案:西.

1

42.（2022•益阳中考）如图，将边长为3的正方形N3CD沿其对角线/C平移，使/的对应点满足44'=~

AC,则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是4.

解：：正方形/8CD的边长为3,

:.AC=3瓜

1