山东省聊城市2023-2024学年高一年级上册期中数学试题（解析版）

2023-2024学年度第一学期期中教学质量检测

高一数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填

写到答题卡和试卷规定的位置上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.第n卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的

位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修

正带.不按以上要求作答的答案无效.

第I卷选择题（60分）

一、单选题：每小题满分5分，共8个小题，满分40分.每个小题均有四个选项，其中只

有一个选项符合题目要求.

I.设集合"=（小是10的正约数},'={中是小于10的素数},则"13=（）

A.{L，5}B.{2‘5}

c（2,3,5,7,10}D[1,2,3,5,7,10）

【答案】B

【解析】

【分析】根据正约数的概念化简集合A，根据素数的概念化简集合8,然后利用交集运算求解即可.

【详解】根据正约数的概念知，=根据素数的概念知，B=[2,3,5.1}

所以“|8={，5}

故选：B.

2.设命题p：3neN,n2+n<2,则下列表示的正确的是（）

A.n2+n>2B.V?JiN,n2

c.立任N,n2+n^2D.n2+n^2

【答案】D

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.

【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知，

命题/3/：eN,/+%<2的否定为：：VneN,〃三二

故选：D

3.下列四个条件中，是“'〈J'”成立的充分不必要的条件为（）

A.丫＜『-1+1

C./3D.入./

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分必要条件的定义判断.

【详解】一1时一定有'＜】’，但反之不一定，是充分必要条件，A正确;

_1

2时满足X＜丁+1但不满足X＜丁，不是充分条件，B错;

1=二丁=-3时满足/＜/，但不满足不充分，c错；

根据不等式的性质、＜丁与/（J'，是等价的，即为充要条件，D错，

故选：A.

工》＞0

,IxeQg（x）=＜O,x=O

4.设函数""IsxeQQ,〔-l,x＜0,则g|/（后）_|的值为（）

A.0B.1C.0D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】利用分段函数的定义即可求解.

【详解】由题意，八同卜

则g"）卜g⑴=1

故选：B.

5.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.设xeR,用卜1表示不超

过

x的最大整数，则】'=卜〕称为高斯函数，也称取整函数，例如卜？8]=-3,[3.6]=3,若不等式

4T+24[+45＜0成立,

则实数尤的取值范围是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求得不等式4卜]+-'4[、卜45'一。的解集，结合取整函数的定义，即可求解.

【详解】由不等式4卜]+24[x]-45<0可得（21小15乂2[止3）<0解得y<[x]<y则

-7』”,根据取整函数定义可知一7<x<2.

故选：D.

.,、x+—+z,x>0

/（*）=，x

6.设函数〔一+%、+/，x3°,若/°是/⑶的最小值，则实数r的取值范围是（）

A.B」T°]

D.[。'胃

【答案】B

【解析】

【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可.

x+-+tx>0

/（》）=<X

【详解】<+%v+J,x"0,当x>0时,

当且仅当即*=1时，等号成立;

当xSO时，〃x）=x'+Nx+J=（x+。：要使〃°）是/（x）的最小值，

只需/⑺=/+如+/在（f0]上递减，且*2〃0）=J,

即b'T一解得-1WO.

故选:B

7.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.己知三个房

间的粉刷面积（单位：加'）分别为x,卜，二，且二，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元

/W3）分别为。，6,C,且a<6<c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是

A.农+5+c二B®+纱+crc.勾、+左+cr口.砂+长+c二

【答案】B

【解析】

【详解】由<二，a<b<c,所以G+b1y+a-（a二+廿+。）=。。-二）+。（二

=（x-r）（^f-c）>0故a'+Nr+c二>q+办+c.同理，ay+bz^ex-+cz）

=6（二-x）+c（x-二）=（x-二）（c-6）<0,故夕+b二+cx<QY+bx+c二因为

fle+m，+ci-（q，+b:r+cx）=a（二・r）+b（y-二）=（a-b）（二-y）<0,^az+by+cx<ay+bz+cx故

最低费用为如+加+C£故选B.

8.已知函数力')是定义在R上的偶函数，且满足・门1+>=一/口)，且当TWxWO时,

f(.X)=-.T+1,则/(.一？023)=()

A.-3B.-1C.0D.1

【答案】c

【解析】

【分析】根据给定条件，确定函数X，的周期，再结合偶函数的性质及已知函数计算即得.

【详解】由〃x+»=・/(x),得/U+4)=-〃x+2)=/(x),则/(*)是以4为周期的周期函数，

又函数')是定义在R上的偶函数，当-1《0时，/(X)=一Y+1,

所以,(T023)=/(2023)=/(506x4-l)=/(-!)=0

故选：c

二、多选题：每小题满分5分，共4个小题，满分20分.每个小题均有四个选项，其中有

多项符合题目要求，多选、错选均得0分，少选得2分.

9已知集合，=卜卜'-*=。),3=卜卜则下列表示正确的是()

A.℃B.0e5cMuBD.AeB

【答案】ABD

【解析】

【分析】解一元二次方程求解集合A,然后求解集合8,逐项判断即可.

【详解】因为一卜|3'=。｝=｛切,所以3=｛。，｛。｝0,｛。叽

则003,0e5,均正确，错误.

故选：ABD

f｛x｝=^h

io.已知函数F+一是奇函数，则实数/的可能取值为()

A.1B.4C.9D.16

【答案】AB

【解析】

【分析】利用*一门+7m=°,求得一根据函数的定义域得到0<r«4,结合选项，即可求

解.

/、

【详解】由函数卜'+~1一~,可得£之1,且且xwV,

&-Y,/一/_n

因为函数/⑶为奇函数，可得，(-©+〃x)=。，即卜”+2卜2卜+2卜2,

整理得卜-刑x+-’4则-

要使得函数的定义域关于原点对称，只需0<fW4.

结合选项，A、B符合题意.

故选：AB.

11.设a>0>6,若a-b=2,且a+6=0,则下列不等式恒成立的是()

1_1>2

A,ab<-1B.abc.a'+b'>2D.a+6<0

【答案】BC

【解析】

【分析】根据基本不等式的应用依次计算，即可判断选项.

=1

【详解】A：I-J,^>-1,当且仅当a=-6时等号成立，

又a*-b,所以而>一1,故A错误；

---=—f—+—+2L.,L

B：ab-b)L」,当且仅当a-b即a=—6时等号成立,

1_1>2

又a。一6,所以ab故B正确；

1__

a3+b2[o+(-6)J3=2

当且仅当a=一》时等号成立,

又a*-6,所以故c正确;

|a+6|=y/a2+b2+2ab=+4abNJ4-4=0

D：

又a=-b,所以a+b>0,故D错误.

故选：BC.

-.2寸分

-------->0

12.对于分式不等式<-4x+3有多种解法,其中一种方法如下，将不等式等价转化为

(x+l)(x-l)(x-2)(x-3)>0然后将对应方程(x+l)(x-l)(x-2)(x-3)=0的所有根标注在数轴

上,形成ST,(TJ),(L2),(2,3)(3,划五个区间其中最右边的区间使得

/(.X：I=LX+1II.V-1H.T-2I|.V-3i的值为正值,并且可得尤在从右向左的各个区间内取值时,(*)的值

为正、负依次相间，即可得到所求不等式的解集.利用此法求解下列问题：定义区间(°为)、卜力)、

(X+1)(XT)V0

(a力］、［a,6］的长度均为人a(3>a),若满足A(.V+2I的x构成的区间的长度和为2,则实数

r的取值可以是()

A.-3B.-2C.-1D.1

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据题意转化分式不等式为整式不等式，然后根据各选项中f值写出不等式的解集，计算区间长

度和即可得.

（X+1）（XT）V0

［详解】x（x+2）一等价于小+1）5+2m一⑼且且

当£=一3时满足条件的x构成的区间为卜3,-2）U［-1,0）,长度为2,符合题意，A正确;

当f=-？时满足条件的无构成的区间为长度为1,不符合题意，B不正确；

当f=-l时满足条件的x构成的区间为（一2'°）,长度为2,符合题意，C正确；

当£=1时满足条件的X构成的区间为（一长度为2,符合题意，D正确.

故选：ACD.

第n卷非选择题（90分）

三、填空题：每小题满分5分，共4个小题，满分20分.

吧>0.—!-<X<3>

13.若关于尤的不等式X-6的解集是I,，则。一6的值为.

【答案】-5

【解析】

【分析】根据题意，转化为且5和3是（江丫-1）。-3）=°的两根，列出方程组，求得的值,

即可求解.

I详解】由段%解集是tx

2

可得a<。，且2和3是(ax_l)(x_6)=ax'_(a6+l)x+6=0的两根,

1cab+\»15

——-FD=-----------b4--=一

2aa2

1qb6__3_

—X3——

则2a且a<0,即a2且a<0,

解得a=-2,3=3,所以弓一6=一5.

故答案为：一5.

14.若函数，（x）=a『+2x-3在2）

上单调递增，则实数。的取值范围为______

【答案】［0,+a,>

【解析】

【分析】讨论。=0,结合一次函数和二次函数的单调性得出实数。的取值范围.

【详解】当。=0时,/(”)=2A3在［138)上单调递增,

当aw0时，要使得函数/(*)=。/+2》-3在［1，+0°1上单调递增，

a>0

,-1<1

必须Ia,解得。>0.

综上，实数。的取值范围为

故答案为：他用)

fo,s^b,i

maxfa,i)=<fhlg(.r)=l(.T*O)

15.对于任意实数a,b,定义lA。设函数J口一臼，x,则函数

h(X)=max(/(x),f(x))(X>0)的最小值为

【答案】1

【解析】

【分析】首先求解函数'"')的解析式，再求解函数的最小值.

【详解】令/(x)=g(x),x>0,即X,x>0,得X=l,

当xe(O,l］,忖=、<丁当xe(l,4oo),中

,z\-.-Te(O,l］

A(x)=<x

所以卜”(1,也)

当xe(0,l］时，〃(x)单调递减，当.丫6口4<»)时，函数〃(X)单调递增，

所以当X=1时，=

故答案为：1

16.为了保证信息安全传输，有一种系统称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：明文

xMfL),密文t发靖》密文t第寄市的桑歧〉明文y.现在加密密钥为幕函数，解密密钥为反比

例函数，过程如下：发送方发送明文“4”，通过加密后得到密文“2”，再发送密文“2”，接受方通过解密密

钥得到明文“6”.若接受方得到明文“4”，则发送方发送的明文为.

【答案】9

【解析】

【分析】设加密密钥为募函数代点求出解析数，解密密钥为反比例函数，代点求出解析式，再

代入明文“4”得出答案.

【详解】设加密密钥为嘉函数＞=、，4°=2,贝『2,则】1=、，

k＜k12

解密密钥为反比例函数.X,2,k=12,贝『-X,所以通过逆运算可得，

当接受方得到明文“4”时，则发送方发送明文为“9”.

故答案为：9

四、解答题：共6个小题，满分70分.解答每个题时均要写出必要的文字说明、语言描述

和解题

过程.

17.已知全集U=R,集合'={"1=7,0},集合8=卜|坊一＜1一时.

（1）若咕=-1,求力u3；

（2）若集合A,B满足条件（从下列三个条件中任选一个作答），求实数机的取值集合.

条件①15工是3的充分条件；②an（73）=0；③VaiwH,使得』=七，

____/、A^JB=fxk2＜J＜3）

【答案】（1）I।＞■,

⑵（叩7.

【解析】

【分析】（1）解出集合A,结合集合的运算，求出并集即可；

（2）找到集合间的基本关系，建立不等式组，即可求出参数机的取值集合.

【小问1详解】

*§1

X=*x---40*=[x|l＜xS3}

隹人X一]

,5=(.x|-2<x<2)

当p加=-1时，集合II),

Zu5=(.r|-2<x<3)

所以

【小问2详解】

集合4={邛＜"S3},集合8=卜"

当选择条件①时，满足A是R的充分条件，即幺±8,

加＜L

则集合3H0,gp2w＜l-w,3,

[%，

要使H=只需11一加＞3,解得加＜一2,

所以用＜一2,即实数机的取值集合是

当选择条件②时，，n&/i=0,则集合8工0,即2m<i一加，’"'了,

由集合3=｛#加<、<1-见得”=（小W4或9一向，

2w<1,

要使/n（j3）=0,只需1一加>3,,解得加<_?,

所以加<-2,即实数加的取值集合是｛呻1<■

当选择条件③时，使得玉=与，

<—

则集合月±3,且3x0,即：!加•」一加，3,

2w<1,

«

要使2a6,只需11一加>3解得加<一2,

所以加<-：!,即实数加的取值集合是｛大<一》.

18.已知实数0,6满足a>0,b>0,且ab-a-2b=0.

（1）求。+6的最小值；

（2）若不等式。2+1）-48"—+1恒成立，求实数x的取值范围.

【答案】⑴275+3

（2）-3<A-<2

【解析】

【分析】（1）解法一：把"一。一％=0变为（°一；"力一”=2,使用基本不等式求解即可；

21,

一十—=1

解法二：把a6-a-2=0变形得ab,利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可；

把不等式恒成立转化为不等式［艰+

（2）iL”“,恒成立，利用基本不等式求解最值，从

而F+rW6,解一元二次不等式即可.

【小问1详解】

解法一：因为a>0,b>0,且ab-a-%=0,则（°一2）竹一1）=2,

所以a+6=叱2+6-1+32、a-T）他-1）+3=26+3,

当且仅当。_?=6-1=J5,即a=2+S,b=l+W时等号成立，

所以a+6的最小值为2a+3.

21,

解法二：由a>0,b>0,S.ab-a-2b=0,得ab,

a+b=（a+b）[—|=3+—+—^3+2-^

Vab）ab,

当且仅当a=J5h即a=2+6,匕-l+g■时等号成立，

所以a+6的最小值为2拒+3.

【小问2详解】

由心-a-2h=0可得。（6+1）-40=2（。+6）-4户,

由⑴可得W+l）-4先=2（"6）-48/2（3+2@-4/=6,

所以要使不等式0（"1）-4#+x恒成立，只需f+x<6,

即『+x-6=（X-2）（x+3）<0,解得一34x42,

所以实数x的取值范围为-3Wx&2.

19.已知函数“*=（°一。"-皿。w1）.

（1）若a<0时，求函数J（#的定义域；

（2）若对Vxe（°』时，函数均有意义，求实数。的取值范围；

（3）若函数在区间（°」]上为减函数，求实数a的取值范围.

「41

-,-K»

【答案】（1）l_a）

⑵（-00,1）51,4]

⑶（Y）.0）U（L4]

【解析】

【分析】（1）由二次根式有意义的条件、定义域的概念即可得解.

（2）由题意只需C—C即可，从而转换为恒成立问题即可得解.

（3）首先由题意。<0或0<a<l或l<aW4,其次直接由减函数的定义分析得到a（a一由此即可

得解.

【小问1详解】

若a<0,要使函数有意义，由4-axN0,解得“一。，

即函数4的定义域为.J'""）

【小问2详解】

由题意，，e（0，l],函数八行均有意义，即Vxe（0』「（x）=4-axN0,"1，

故只需即只需“—QL4且HI即可.

综上所述，实数。的取值范围为（一8，1）51，4]

【小问3详解】

当a=0时，=为常函数，不符合题意，再由（2）可知a<0或o<a<i或l<aW4；

设网，-T3e（0,l]且$5.

/（可）-〃％）=（aT）出一%-（a-1）*-%=（a-l）（74-flTi-朋-也）

_晔-1）（百一々）

*-axj+J4-ax2

由0<占<与£1,可得11-与<0,-％>0

要使函数/（*）在区间（°』上为减函数,只需『■）・/（距）>°,则。

解得a<0,或a>l,

综上所述，实数a的取值范围为S0山（1，41

20.随着人类生活质量的提高，生活用水越来越多，水污染也日益严重，水资源愈来愈成为世界关注的问

题，许多国家都积极响应节约水资源的号召.为此我们的国家也提出了比较科学的处理污水的办法.近年

来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水的压力，决定对污水进行净化再利用，

以降低自来水的使用量.该企业经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的

购置费（单位：万元）与设备的占地面积无（单位：平方米）成正比，比例系数为02预计安装后该企业

每年需缴纳的水费c（单位：万元）与设备占地面积X之间的函数关系为-50x+250（xN°,k

为常数）.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）.

（1）试解释的实际意义，根据题意求出y关于X的函数关系式；

（2）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；

（3）当设备占地面积x为多少时，y的值最小？

80，、

n\v=0.2J+----（A>0）

【答案】20.°IV表示不安装设备时每年缴纳的水费约为4万元，"x+5

”11.刈

22.15m3

【解析】

【分析】（1）根据题目条件求出瓦即可求出解析式；

（2）由题意解不等式即可；

（3）对函数变形，利用基本不等式求解最值即可.

【小问1详解】

k

（7（0）°（。）==4

I表示不安装设备时每年缴纳的水费约为4万元，则250，解得:=1000,

1000onon

y=0.2x+x4=02x+----丁=0,2H+----（注20）

所以50.1+250i+5,即"i+5

【小问2详解】

80

0.2x+--<7

要满足题意，则〕'’7：：,即x+5

化简得Y-31x+22040,解得114x420,

即设备占地面积X的取值范围为1n

【小问3详解】

CC80x+580

v=0.2x4------=-----+-----鼻-1厢

•x+55*+5

x+5_80

当且仅当5-i+5,即x=15时等号成立，

所以设备占地面积为15m2时，y的值最小.

14

1一"'—

21.学习与探究问题：正实数x,»满足X+】'=l,求X的最小值.求解本问题的方法很多，其中一

14/14）/\'V\fv4x门v4.x

-+-=-+—（x+i^）=5+-+—>5+2=9—=—

种求解方法是：xJ（xyj'X丁V》T，当且仅当X】'，即

12

y__y——

-v=2v,而工+丁=1时，即.3,3且时取等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换.

—,

―■-=[/\2

（1）利用上述求解方法解决下列问题：若实数。，b,尤，y满足a，b',试比较与（X一]]

的大小，并注明等号成立的条件；

（2）利用（1）的结论，求丁=J%-S-右I的最小值,并注明使得T取得最小值时/的值.

b2x2_aY工

【答案】（1）当且仅当/万一且无，y同号时等号成立，此时尤，y满足,投；

7320

t—―----

（2）当72时，T有最小值3.

【解析】

2.222（乃丁）1,2222

a-b2=x3+--j-I—:j—^十♦J.r附]

【分析】（1）根据题意，得到“（°根据J小一~卜1再集合

不等式，即可求解；

9"8"1_1

（2）令x=J%-8且）=5万,由（1）得到a'~P--,求得/=1,一>得到

T-x-yNJa，-b'=

3,即可求解.

【小问1详解】

222

?r,“2厂份制华/)(bxay

--7T=1°~b=(°~b)kF=X—k+/

解：由a乂，可得kab)kab

二,22+也22“"f,22/FT=加，|%,22」2丁2

又由a2b2Va2b2四，当且仅当Jb2时，等号成立,

2232

3,3bx_av

所以a-b-v-.r）；当且仅当『一小且x,y同号时等号成立,

二_乙=[

此时尤，y满